SKKN một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông

MỤC LỤC Trang Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phần II NỘI DUNG Tầm quan trọng ý nghĩa việc dạy học hàm ẩn Thực trạng dạy học toán hàm ẩn Cơ sở lí luận Dạy học toán hàm ẩn 4.1 Các tốn hàm ẩn tính đơn điệu hàm số 4.2 Các toán hàm ẩn cực trị hàm số 4.3 Các toán hàm ẩn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 4.4 Các toán hàm ẩn tiệm cận đồ thị hàm số 4.5 Các toán hàm ẩn toán liên quan đến biến thiên hàm số 4.6 Các tốn hàm ẩn tích phân Một số kinh nghiệm dạy học hàm ẩn 5.1 Các biện pháp dạy học toán hàm ẩn đạt hiệu 5.2 Một số sai lầm thường gặp dạy học toán hàm ẩn Kiểm tra thực nghiệm đề tài 6.1 Phương pháp kiểm tra thực nghiệm 6.2 Kết kiểm tra thực nghiệm Giáo án thực nghiệm Phần III KẾT LUẬN Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt GV HS NXB SGK THCS THPT ĐC TN Viết đầy đủ Giáo viên Học sinh Nhà xuất Sách giáo khoa Trung học sở Trung học phổ thông Đối chứng Thực nghiệm 1 3 5 10 16 22 26 31 39 39 42 43 43 43 44 50 50 50 GTLN, GTNN Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phần I Đ/ẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Toán trường THPT, toán hàm ẩn đóng vai trị quan trọng Đây dạng tập trừu tượng dối với HS Thường giải toán HS quen với việc cho trước hàm số sau HS xét tốn liên quan đến hàm số Tuy nhiên tốn hàm ẩn HS lại có số tính chất hàm số mà chưa có hàm số Để giải tập HS phải đưa việc tìm hàm số sử dụng định nghĩa tính chất hàm số để giải vấn đề Học sinh thường gặp khó khăn làm tập dạng Thông thường tốn hàm ẩn có đề thi THPT Quốc Gia thường tập mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao Để HS học tốt thi THPT đạt điểm cao, GV cần phải định hướng dạng tập hàm ẩn tốt từ giúp HS có tư tốt để giải tập dạng Dạy tốn hàm ẩn khơng cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ giải tốn mà cịn rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, đức tính cẩn thận, xác tính sáng tạo Học tốn ln phải gắn liền với sáng tạo mà tốn học mang lại HS thường u thích học mơn Tốn người GV tạo niềm say mê, hứng thú có tác động tích cực đến việc học giải tốn Một phần mà học sinh thích thú tốn học THPT toán liên quan đến hàm ẩn Thích thú khơng HS chưa dễ dàng giải mà giải cịn có nhiều cách giải khác nhau, ấn tượng giải toán dễ mang lại sai lầm Về tập việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nhiều học sinh cịn mơ hồ khó diễn đạt theo ý mà muốn nói Trong mơn tốn, học sinh thường học chưa hiệu toán hàm ẩn Ngày nay, kỳ thi quốc gia, quốc tế thường khơng vắng bóng tốn hàm ẩn Khi giải toán này, học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu được, chưa linh hoạt sử dụng định nghĩa, tính chất, quy tắc nên gặp số sai lầm giải tốn Qua q trình giảng dạy chúng tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp tốn hàm ẩn cịn lúng túng, khơng phân loại dạng toán, chưa định hướng cách giải Tuy nhiên tập SGK khơng có dạng tập này, với hình thức thi trắc nghiệm đổi so với hình thức thi tự luận trước việc bổ tốn hàm ẩn quan trọng HS Qua nhiều năm giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia đúc rút số kinh nghiệm dạy tốn này, nhờ mà kết dạy học cho học sinh nâng cao Vì thiết yếu đó, chúng tơi nghiên cứu, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp nghiên cứu viết thành đề tài: “Một số kinh nghiệm dạy học toán hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông” Với mong muốn chia sẻ sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy kết học tập học sinh trường THPT Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 12 + Phạm vi nghiên cứu đề tài là: “Các tập liên quan đến hàm ẩn với chuyên đề hàm số tích phân” Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 ban + Đề tài áp dụng cho HS ôn thi THPT * Kiến thức vận dụng: Giải tích Lớp 12 + Một số tính chất hàm số: Tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ + Đạo hàm, nguyên hàm tích phân * Bài tập: + Trong đề tài sử dụng số tập sách giáo khoa, sách tập Giải tích lớp 12 trích đề kì thi THPT Quốc Gia đề thi thử THPT trường Tỉnh Nghệ An số tỉnh khác, số sách tài liệu tham khảo + Trên cở sở phương pháp, ví dụ có nêu nhận xét, cách giảng dạy giáo viên, hướng phân tích lời giải, gợi mở hướng tập phát sinh Phần II NỘI DUNG Tầm quan trọng ý nghĩa việc dạy học hàm ẩn Chuyên đề hàm ẩn chuyên đề chương trình Tốn đặc biệt đề thi THPT Quốc Gia mà HS gặp nhiều tập hàm ẩn Chuyên đề cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ giải tốn mà cịn rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức sáng tạo góp phần giúp học sinh phát triển lực tư duy, khả quan sát, trí tưởng tượng Từ bồi dưỡng cho học sinh tư sáng tạo, tạo nên phẩm chất người lao động Vì đa số HS biết vận dụng kiến thức học có hàm số cụ thể nên việc giải tập hàm ẩn khó khăn dối với HS HS thường thấy khó trừu tượng tập dạng Hiện với hình thức thi THPT trắc nghiệm, toán hàm ẩn đưa vào đề thi tương đối nhiều với tập mức độ Trong đề thi THPT Quốc Gia thường xuất nhiều câu có liên quan hàm ẩn tất mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Việc dạy học cho HS nắm khái niệm công thức áp dụng trực tiếp cơng thức khơng khó khăn Tuy nhiên chưa có hàm số HS thấy khó khăn khó định hướng tập hàm ẩn dạng đa dạng Đối với tốn này, HS thường có cách giải khác cách thấy có lý lại có kết khác Như vây toán hàm ẩn lại dễ mắc sai lầm cho HS giải Chính việc dạy học hàm ẩn GV cần khắc phục sai sót thường gặp cho HS Yêu cầu giáo dục địi hỏi đổi PPDH mơn tốn để phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo cho HS, GV cần phải gây hứng thú cho em cách thiết kế giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với thực tiễn phù hợp với chương trình thi cử em Vì vậy, chuyên đề nhằm giúp GV giảng dạy để HS có cách tiếp cận tốt hơn, hiệu tập hàm ẩn Chuyên đề cung cấp số kiến thức cho học sinh từ nâng cao kĩ giải tốn cho HS đặc biệt tăng cường vận dụng kiến thức nâng cao tư cho HS THPT Thực trạng việc dạy học toán hàm ẩn Trong chương trình GDPT nay, việc thay đổi hình thức thi THPT từ tự luận sang trắc nghiệm, tập SGK không đủ dạng để HS ơn luyện đầy đủ được, đặc biệt tập hàm ẩn dạng tập mà HS cần bổ sung Trong đề thi tự luận thường đề thi với toán hàm ẩn với hình thức thi trắc nghiệm nhiều tập dạng mà HS cần biết đến Với đối tượng học sinh trung bình yếu Trường THPT nơi giảng dạy chiếm đa số, việc học tốn hàm ẩn gặp khó khăn Đối với tốn hàm ẩn HS trung bình, yếu thường khơng muốn học làm bài, cịn HS giỏi làm tập dạng gặp khó khăn tập vận dụng Vì kết học HS chưa tốt phần tập Sau buổi dạy chuyên đề hàm ẩn, cho HS làm dạng hàm ẩn thấy kết HS thấp chiếm đa số kiểm tra trắc nghiệm nhiều HS khoanh mò đáp án Chúng tơi xin trích kết kiểm tra kiến thức chuyên đề hàm ẩn môn Giải tích lớp 12 số lớp 12 Trường THPT nơi công tác năm gần sau: 2.1 Năm học 2016 – 2017 STT Lớp 12A1 12B1 Sĩ số 40 40 Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu Đạt điểm loại SL SL 12 11 SL 10 % 2.5 SL % 10 % 30 27,5 SL 10 10 % 25 25 % 20 25 Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL % 10 15 b Năm học 2017 - 2018 STT Lớp Sĩ số 12A1 12B3 41 38 Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu Đạt điểm loại SL SL 10 12 SL % 4,8 2,6 SL % 7,3 5,3 % 24,4 31,6 SL 10 % 19,5 24,4 % 22 10,5 Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL % 19,5 18,4 Tác giả lấy ngẫu nhiên kết kiểm tra chuyên đề lớp 12 02 năm học 2016 - 2017; năm học 2017- 2018 Từ kết cho thấy: đa số học sinh có kết cịn mức trung bình Cơ sở lý luận Đối với chương trình tốn THPT, thơng thường học sinh có khả tiếp thu kiến thức Đối với HS lực học giỏi GV khơi dậy lực HS phát triển tư tốt từ làm toán mức dộ vận dụng vận dụng cao đạt hiệu Để học sinh có lực học trung bình yếu mơn tốn lĩnh hội kiến thức, địi hỏi nhiều cơng sức thời gian so với học sinh khác Đối với HS giỏi thường HS thích thú làm tập hàm ẩn chưa có định hướng phù hợp nên gặp khó khăn, cịn HS trung bình yếu thường khơng muốn làm tập hàm ẩn thấy tập trừu tượng tập có hàm số cụ thể Vì người GV cần lựa chọn tập phù hợp để HS giải phù hợp với lực học tập HS Để có biện pháp phù hợp giúp đỡ học sinh trung bình yếu HS khá, giỏi giải toán, giáo viên thường phân loại đối tượng học sinh , giỏi, trung bình, yếu dựa vào nguyên nhân giải toán học sinh Từ có biện pháp phù hợp để dạy HS - Đối với học sinh hổng kiến thức bản, nên việc tiếp thu kiến thức gặp nhiều khó khăn GV cần lập kế hoạch thời gian lâu dài, nhiều phương pháp nhằm lấp dần lỗ hổng kiến thức Giáo viên tìm kiến thức cũ có liên quan tái lại kiến thức cũ hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức cách linh hoạt - Đối với học sinh khơng tích cực học tốn, giáo viên cần phát lực em, tạo điều kiện em có hội để phát huy lực Đối với HS này, GV cần tạo cho HS niềm say mê học Toán Giáo viên nên động viên kịp thời, phù hợp để em tự tin học tập mơn tốn cách tập vừa sức, khen ngợi em biết hướng giải, giải đúng, cố gắng làm Đối với HS giáo viên cần nghiêm khắc có kết hợp với gia đình để có quan tâm phụ huynh việc học tập học sinh - Với HS tiếp thu nhanh kỹ làm chưa tốt, GV cần định hướng cách giải để HS tìm hướng giải lời giải GV phân dạng phù hợp để HS làm tập từ dễ đến khó Đa số HS kỹ làm chưa tốt nên GV cần phải có định hướng cụ thể dạng tập hàm ẩn Đặc biệt tập trắc nghiệm, GV cần hướng dẫn HS cách giải phù hợp nhanh xác khơng để nhầm lẫn phương án, có nhứng giải giải cách chọn hàm đặc biệt Đề xuất quy trình để giải tốn để HS hiểu rõ rèn luyện kĩ giải toán tốt Đối với HS giỏi, GV cần tạo tình có vấn đề để tạo cho HS phát triển tư giúp HS làm tập vận dụng, từ hướng đến khả vận dụng GV hướng dẫn HS giỏi tổng quát kết toán Dạy học toán hàm ẩn Trong mục SKKN hệ thống cách dạy học toán hàm ẩn về: Tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, toán liên quan đến biến thiên hàm số, toán tích phân Chúng tơi hệ thống kiến thức đưa tập theo mức dộ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Mỗi tập có phân tích hướng dẫn cho HS cách giải tập tập phát sinh, số kết tổng quát, dấu hiệu giải tốn trắc nghiệm Một số tốn có hướng giải hình thức trắc nghiệm chọn hàm đặc biệt 4.1 Các tốn hàm ẩn tính đơn điệu hàm số 4.1.1 Các kiến thức a Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x) xác định K * Hàm số y = f ( x) đồng biến K x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 ) * Hàm số y = f ( x) nghịch biến K x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 ) Chú ý : K khoảng đoạn nửa khoảng b Định lý : Cho hàm số y = f ( x) đạo hàm K a) Nếu f '( x)  0, x �K hàm số f ( x) đồng biến K b) Nếu f '( x)  0, x �K hàm số f ( x) nghịch biến K c Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm K + Nếu f '( x) �0, x �K f '( x)  số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K + Nếu f '( x) �0, x �K f '( x)  số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K + Nếu f '( x)  0, x �K f ( x) không đổi K 4.1.2 Các dạng tập Bài Cho hàm số y  f  x  xác định � có đồ thị đường cong hình bên Mệnh đề sau sai? f  x A.Hàm số khoảng ( - �;0) ; ( 2; +�) B Hàm số f  x C Hàm số khoảng ( - đồng biến khoảng nghịch biến khoảng  0;  f  x đồng biến khoảng 1;1) ; ( 3; +�) D Hàm số f  x nghịch biến khoảng  1;  Nhận xét: Để giải tập này, GV cho HS nhắc lại mối quan hệ tính đơn điệu đồ thị hàm số “Nếu đồ thị hàm số khoảng (a;b) đường lên từ trái sang phải hàm số đồng biến khoảng (a;b) Nếu đồ thị hàm số khoảng (a;b) đường xuống từ trái sang phải hàm số nghịch biến khoảng (a;b)” Bài tập này, GV gọi HS yếu trung bình lên giải chốt lại kiến thức cho HS Lời giải: Từ đồ thị hàm số ta có: Hàm số f  x đồng biến khoảng khoảng ( - �;0) ; ( 2; +�) khoảng x tăng y tăng hàm số f  x  nghịch biến khoảng  0;  khoảng x tăng y giảm Như mệnh đề A, B, D Ta có nhận xét: Mệnh đề C sai khoảng (-1;0) hàm số đồng biến đồ thị lên từ trái sang phải, khoảng (0;1) hàm số nghịch biến đồ thị xuống từ trái sang phải khoảng nên mệnh đề C sai Chọn C Bài (Đề minh họa THPT năm 2020) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A  1; � B C  1;0   1;1 D  0;1 Lời giải: Hàm số cho đồng biến f '  x  không âm Từ bảng biến thiên ta thấy: f '  x  có dấu dương khoảng  �; 1  0;1 Vì vậy, khoảng (0;1) hàm số đồng biến nên ta chọn phương án D Nhận xét : Ở tập 2, HS dễ dàng làm sau làm tập sau hiểu kiến thức tính đơn điệu hàm số GV cho gia tăng tập tương tự để HS yếu trung bình luyện tập phần tập tự luyện tập nhà Bài tập mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải chốt lại kiến thức Bài Cho hàm số y  f  x  xác định � có đồ thị hàm số y  f '  x  đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số f  x nghịch biến khoảng  1;1 B Hàm số f  x đồng biến khoảng  1;  C Hàm số f  x đồng biến khoảng  2;1 D Hàm số f  x nghịch biến khoảng  0;  Lời giải: Chọn D Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên hàm số f  x nghịch biến khoảng  0;  Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số Nếu khoảng hàm số f  x K đồ thị hàm số đồng biến y  f ' x f ' x nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) K Nếu khoảng hàm số f  x K đồ thị hàm số nghịch biến Nếu khoảng K f ' x nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) f ' x vừa có phần nằm trục hồnh vừa có K đồ thị hàm số phần nằm trục hồnh loại phương án Trên khoảng  0;  ta thấy đồ thị hàm số hàm số f  x y  f ' x nằm bên trục hoành, nên nghịch biến khoảng  0;  Nhận xét: Ở tập này, GV nhấn mạnh mối liên quan giũa dấu đạo hàm với đồ thị đạo hàm Bài tập mức độ thông hiểu Ở tập GV hỏi HS trung bình trả lời để hướng dẫn điều chỉnh kết Sau chốt phương án cho tất HS hiểu Bài tập mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải chốt lại kiến thức Bài ( Trích đề THPT minh họa năm 2018 Câu 39) Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y f� ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f (2  x ) đồng biến khoảng A (1;3) B D x) C ( 2;1) (�; 2) Lời giải: Cách 1: Hàm số ��� ۳�y �f � (2 (2; �) y  f (2  x ) f� (2 x) đồng biến Từ đồ thị f� (2  x)  �  x  1   x  � x  2  x  Vì ta chọn phương án D Cách 2: GV yêu cầu HS lập bảng biến thiên để giải toán Nhận xét: Đây câu mức độ vận dụng hiểu cách giải HS khơng cịn thấy khó khăn chọn đáp án kể HS mức độ trung bình ( x) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Nhận thấy nghiệm g� ( x) cịn xác định cách: Trên khoảng lấy Như vậy, dấu g� giá trị thay trực tiếp vào Đây cách xác định dấu đạo hàm mà HS cần linh hoạt sử dụng Sau làm tập hàm số hợp, hiểu HS dễ dàng làm dạng tập xét tính đơn điệu hàm số hợp Bài 5.( Trích đề minh họa THPT năm 2020, câu 50) Cho hàm số f  x  Đồ thị y  f '  x  cho hình bên Nhận xét : Bài tập tập mức độ vận dụng, GV hướng dẫn HS cách giải GV hướng dẫn HS gặp biểu thức dấu tích phân f(x-a) ta thường dùng đổi biến đặt t=x-a Bài tập GV gọi HS lên giải chốt lại kiến thức Bài Cho hàm số liên tục f  x A 1 �  Tính  f  x  dx �  f   x   f  x   tan x  B  1 C D 2 1   Lời giải: Theo đề bài, ta có f   x   f  x   tan x  1 Thay x  x ta được: f  x   f   x   tan   x   tan x  2 Từ  1   suy ra: f  x   tan x I   f  x  dx  � tan �      xdx  � tan xdx   � � �  2� d x  dx �1  tan x   1� �  1� � � cos x � � 0 Chọn đáp án D     tan x  x    Nhận xét: Đối với tập này, GV yêu cầu HS tìm hàm số f(x) Từ tính tích phân cần tìm Bài tập tập vận dụng, GV gọi HS lên chữa khắc sâu kiến thức Bài 10 (Trích đề THPT năm 2018 ) Cho hàm số f  1 f  x thỏa mãn A  35 36 f  2   f�  x  2x � �f  x  � � B C với Giá trị x �� 19  36  D  15 Lời giải: 41 Ta có � �1 � f�  2x � �  x  C  x  2x � � 2 x � �f  x  � �� f x f x     � f x �   � � � � Từ f�  x f  x  �0 suy f  2   C Do f  1  Chọn đáp án B  �1� 12  �  � � 2� Nhận xét: Ở tập này, GV hướng dẫn cho HS phương pháp đổi biến Đặt t=f(x) Bài tập mức độ vận dụng, HS hiểu tập HS kể mức độ trung bình làm GV gọi HS trung bình chữa chốt kiến thức Bài 11 f( 1) - Cho hàm số ( 0) = Tính liên tục f  x thỏa � I = �f ( x) dx ( x) dx = 10 �( x +1) f � A I =- 12 C I = 12 B I = D I =- Lời giải: Đặt � u = x +1 � du = dx � �� � � � dv = f � v = f ( x) ( x) dx � � � Khi đó: 1 ( x) dx = 10 � ( x +1) f ( x) �( x +1) f � 0 �f ( x) dx = 10 � f( 1) - ( 0) I = 10 Suy I =- Chọn đáp án D Nhận xét: Đây tập mức độ vận dụng HS cần linh hoạt sử dụng phương pháp tích phân phần GV hướng dẫn cho HS dùng phương pháp phần cần linh hoạt đặt u dv phù hợp để suy hàm số f(x).Thông thường dùng phương pháp phần cần xuất f(x) mà biểu thức dấu tích phân có f � ( x ) dx ta thường đặt : dv = f � ( x ) dx � v = f ( x) Trong phạm vi SKKN chúng tơi khơng nghiên cứu nhiều sử dụng tích phân phần giải tốn nên cịn dấu hiệu nghiên cứu SKKN khác Bài tập tự luyện 42 Bài Cho f  x  hàm liên tục  0;1 Giả sử với x� 0;1 , ta có f  x  f  x f  1 x  C Tính dx �  f  x A D B Bài Cho hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn f   x   2018 f  x   x sin x Tính  A .B C D I �f  x  dx 2019  Bài Cho hàm số f  x 2019 thỏa mãn 1009 2018 f  x  dx  � f  2  Tính f�  x  dx � B I = C A I = I =5 D I =1 Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn x� dx  f  1  x   2� �f � � � Giá trị I � f  x  dx A B Bài Cho hàm số Tính I e 1 �f  x  dx y  f  x liên tục với C 1 D 2 thỏa mãn x �1 �x  � f � � x  3, x �1 �x  � A I  4e  C I  4e  D I  e  B I  e  Một số kinh nghiệm dạy học hàm ẩn 5.1 Các biện pháp dạy học tập hàm ẩn 5.1.1 Cách thức tổ chức rèn luyện kĩ cho học sinh giải toán hàm ẩn Để rèn luyện kĩ giải tập toán cho học sinh giáo viên cần phải xác định rõ kĩ cụ thể dạng tập mức độ yêu cầu tương ứng Trong kĩ cụ thể gồm nhiều kĩ riêng lẻ 43 Để rèn luyện kĩ cho học sinh giải toán hàm ẩn, giáo viên cần tổ chức cho học sinh thực theo bước sau đây: Bước 1: Học sinh xác định mục đích tốn Bài tốn cần giải điều gì? Bước 2: Giáo viên làm mẫu Giáo viên chọn toán đơn giản Yêu cầu học sinh giỏi trình bày trao đổi kết cho lớp, giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở để dạy cho lớp Sau giáo viên chữa tập để làm mẫu cho học sinh Bước 3: Yêu cầu lớp giải tập tương tự Thông thường tập từ dễ đến mức độ cao Luyện tập toán tổng hợp nhằm rèn luyện cho học sinh biết vận dụng, phối hợp linh hoạt thao tác giải toán Các dạng tập nâng cấp dần từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển kĩ cách tốt Bước 4: Hình thành quy trình giải tốn Bước 5: Tập luyện theo quy trình Để rèn luyện kĩ giải tập toán cho học sinh giáo viên cần phải xác định rõ kĩ cụ thể dạng tập mức độ yêu cầu tương ứng Trong kĩ cụ thể gồm nhiều kĩ riêng lẻ Để rèn luyện kĩ giải tập toán cho học sinh giáo viên cần phải xác định rõ kĩ cụ thể dạng tập mức độ yêu cầu tương ứng Trong kĩ cụ thể gồm nhiều kĩ riêng lẻ Để rèn luyện kỹ học tập cho học sinh Giáo viên cần cung cấp cho học sinh quy trình bước giải tốn: Bước 1: Tìm hiểu toán: Đọc thật kỹ đề ra, ý chi tiết bật, khắc sâu ý lưu ý mối quan hệ chúng Bước 2: Tìm lời giải: Xem xét tốn thuộc dạng nào, phương pháp giải sao? Bước 3: Thực lời giải: Trình bày viết lập luận Bước 4: Kiểm tra: Kiểm tra lại giải thử xem phương pháp khác để giải toán phát triển toán từ toán cho Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: Học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kĩ Muốn hình thành kĩ năng, đặc biệt kĩ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kĩ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Do quen với tư cụ thể, nên tiếp cận với kiến thức trừu tượng đòi hỏi tư cao, suy luận logic, em gặp nhiều khó khăn Từ giảm hứng thú học tập em Ví dụ: Kĩ vận dụng định nghĩa, định lý Sau học xong “ Sự biến thiên hàm số” làm rõ cho học sinh nắm định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến khoảng (a;b) Qua HS nắm hàm số đồng biến 44 khoảng K K đồ thị hàm số lên từ trái sang phải, hàm số nghịch biến K đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải khoảng Khi sử dụng định lý GV hướng dẫn HS tránh mắc sai lầm giải toán sử dụng hai dạng toán Khi xét biến thiên hàm số, GV đưa hai tập đồ thị hàm số y=f(x) đồ thị hàm số đạo hàm GV cần hướng dẫn cho HS mối liên hệ đồ thị hàm số tính đơn điệu hàm số Mối liên hệ đồ thị đạo hàm hàm f(x) dấu đạo hàm Xác định rõ nguyên nhân sai lầm dạng toán học sinh việc quan trọng, sau giáo viên có biện pháp để xóa bỏ dần nguyên nhân, tạo nên tự tin niềm hứng thú cho học sinh việc học mơn tốn nói chung 5.1.2 Một số kinh nghiệm GV dạy học phần hàm ẩn cho HS + Để dạy học hàm ẩn cho HS có hiệu quả, GV cần quan tâm đến việc xây dựng hệ thống tập - Hệ thống tập hàm ẩn xây dựng với mục đích rèn luyện kĩ giải toán cần thiết cho học sinh trung học phổ thông với yêu cầu sau đây: - Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa, khai thác sử dụng hiệu hệ thống tập sách giáo khoa cách tập Bổ sung kiến thức cho HS - Hệ thống tập chọn lọc, phân loại hợp lí, có tính phân hóa, phù hợp với nhiều loại đối tượng học sinh Đối với đối tượng HS, GV cần có tập phù hợp lực Đối với HS ôn thi THPT Quốc gia cần có tập đủ mức độ Đối với HS ôn thi HS giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc Gia… cần tập với cấp độ vận dụng cao để tăng sáng tạo tăng cường tư cho HS - Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức chương trình học GV cần tổng quát hóa tập tạo cho HS biết tổng quát hóa đặc biệt hóa học toán hàm ẩn - Bài tập giúp học sinh nâng cao tính độc lập, chủ động, tích cực, sáng tạo học tập, gắn thực tiễn + Một hoạt động học sinh học tập mơn tốn trường phổ thơng hoạt động giải toán Hoạt động học giải toán học sinh thường diễn theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức, làm có hướng dẫn, tự làm theo mẫu, độc lập làm Qua thực tế tình hình chất lượng học sinh tơi đưa số phương pháp để dạy học sinh mơn tốn sau: - Nắm đối tượng học sinh -Trên sở điều tra phân loại ban đầu, giáo viên có cách nhìn nhận thái độ phù hợp học sinh: nhẹ nhàng khích lệ, động viên học sinh có hồn cảnh đặc biệt bị hổng kiến thức GV cần bổ sung cung cấp thêm kiên thức cho HS trình học để lấp lỗ hổng kiến thức - Luyện tập vừa sức học sinh 45 Gia tăng số lượng tập thể loại mức độ Để hiểu kiến thức, rèn luyện kỹ cho học sinh trung bình, yếu cần tập thể loại mức độ với số lượng nhiều so với em khá, giỏi, phần gia tăng thực tiết học dạy tự chọn hay tiết học phụ đạo học sinh trung bình, yếu Đối với HS giỏi, GV cần tập mức độ tăng dần cho HS giỏi phát triển tư Cần bổ sung tập khái quát hóa tổng quát hóa tốn, u cầu HS tìm quy trình giải toán - Giúp đỡ học sinh học tập: Rèn luyện kỹ học tập thực cần thiết học sinh Vì vậy, biện pháp nâng cao kết học tập HS giúp đỡ em phương pháp học tập Đối với học sinh cần hướng dẫn cho em cách thức học tập toán như: nắm lý thuyết làm tập, đọc kỹ đề 5.2 Một số sai lầm thường gặp dạy học toán hàm ẩn Trong phần đề tài nêu sai lầm phổ biến HS giải toán hàm ẩn giúp HS có định hướng cách giải tránh gặp sai lầm Mỗi chuyên đề, tập HS có nhầm lẫn phổ biến Đối với người GV cần phải tìm lỗi sai để nhắc HS khơng mắc sai lầm Ví dụ: Khi dạy tính đơn điệu hàm số, đề cho đồ thị hàm số f(x) dựa vào đồ thị HS cần nhìn vào đồ thị thấy đồ thị hàm số lên từ trái sang phải khoảng hàm đồng biến khoảng đó, đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải khoảng hàm số nghịch biến khoảng Tuy nhiên đề cho đồ thị đạo hàm, HS cần ý đồ thị đạo hàm nằm trục hồnh khoảng hàm số đồng biến khoảng Nếu đồ thị đạo hàm nằm trục hồnh hàm số nghịch biến khoảng Ví dụ: Khi dạy cực trị hàm số, đề cho đồ thi hàm số f(x) để xác định điểm cực trị cần dùng định nghĩa cực trị, cho cho đồ thị đạo hàm HS cần xác định cực trị dựa vào dấu đạo hàm, đổi dấu hàm số Trong này, HS hay sai lầm chỗ nghĩ hàm số đạt cực trị điểm đạo hàm nhiên cần đạo hàm qua điểm dổi dấu hàm số xác định điểm GV hướng dẫn cho HS tổng quát hóa tập số cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Khi dạy GTLN GTNN hàm số, GV hướng dẫn HS hiểu định nghĩa định lý từ làm tập mức độ từ thấp đến cao Ví dụ: Khi dạy tiệm cận GV cần cho HS nắm định nghĩa tiệm cận ngang tiệm cận đứng HS dễ nhầm lẫn giũa tiệm cận ngang tiệm cận đứng.GV chốt điều kiện để đường thẳng tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ: Khi dạy tốn hàm ẩn đồ thi hay tích phân, GV hướng dẫn HS tìm hàm số phù hợp thực khơng cịn hàm ẩn Vì tốn hàm ẩn HS thấy trừu tượng nên GV cần hướng dẫn từ định nghĩa, định lý Các phương pháp làm bài, GV cho HS chọn hàm phù hợp Đặc 46 biệt hóa cách giải phương pháp trắc nghiệm GV hướng dẫn HS cách chọn hàm đặc biệt Kiểm tra thực nghiệm đề tài 6.1 Phương pháp kiểm tra thực nghiệm Sử dụng hình thức đề thi kiểm tra gồm tập chương I, chương III giải tích lớp 12, làm 45 phút, thang điểm 10 Mỗi năm khảo sát lớp học sinh khối 12, cụ thể : - Lớp 12A1, 12B1 (Năm học 2016-2017) lớp 12A1, 12B3 (Năm học 20172018) làm lớp đối chứng (ĐC): Lớp chưa tiến hành sử dụng kết SKKN - Lớp 12A2, 12B1 (Năm học 2019-2020) lớp Lớp 12A, 12A2 (Năm học 20202021) làm lớp thực nghiệm (TN): Lớp tiến hành sử dụng kết SKKN 6.2 Kết kiểm tra thực nghiệm Khảo sát học sinh, 04 lớp 12 năm học 2016 - 2017; 2017 – 2018 (lớp đối chứng : không sử dụng kinh nghiệm đề tài này) qua kiểm tra chuyên đề lớp 12 Khảo sát học sinh mức độ học tương đồng với lớp đối chứng 04 lớp 12 năm học 2019 - 2020 ;2020-2021 (lớp thực nghiệm: sử dụng kinh nghiệm đề tài này) qua kiểm tra chuyên đề hàm số nguyên hàm tích phân, kết điểm số sau: 6.2.1 Kết kiểm tra lớp đối chứng (Lớp chưa sử dụng kinh nghiệm đề tài này) a Năm học 2016 - 2017 STT Lớp Sĩ số 12A1 12B1 40 40 Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu Đạt điểm loại SL SL 12 11 SL 10 % 2.5 SL % 10 % 30 27,5 SL 10 10 % 25 25 % 20 25 Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL % 10 15 b Năm học 2017 - 2018 STT Lớp 12A1 12B3 Sĩ số 41 38 Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu Đạt điểm loại SL SL 10 12 SL % 4,8 2,6 SL % 7,3 5,3 % 24,4 31,6 SL 10 % 19,5 24,4 % 22 10,5 Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL % 19,5 18,4 6.2.2 Kết kiểm tra lớp thực nghiệm (Lớp sử dụng kinh nghiệm đề tài này) a Năm học 2019 - 2020 STT Lớp Sĩ số Đạt điểm loại giỏi Đạt điểm loại Đạt điểm trung bình Đạt điểm loại yếu Đạt điểm loại 47 SL % SL % 12A2 36 12 33 14 39 12B1 37 12 32 18 49 SL % SL % SL % 22 2,8 2,8 16,2 0 2,8 b Năm học 2020 - 2021 ST T Lớp Sĩ số 12A 41 12A2 42 Đạt điểm loại giỏi SL 10 % 24,4 19 Đạt điểm loại Đạt điểm trung bình Đạt điểm loại yếu Đạt điểm loại SL 14 % 34,1 SL 15 % 36,6 SL % 2,4 SL % 2,4 12 28,6 20 47,6 2,4 2,4 So sánh kết lớp đối chứng lớp thực nghiệm năm cho thấy: - Tỉ lệ điểm giỏi: Lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng - Tỉ lệ điểm khá: Lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng - Tỉ lệ điểm trung bình yếu: Lớp thực nghiệm thấp so với lớp đối chứng - Tỉ lệ điểm kém: Lớp thực nghiệm thấp so với lớp đối chứng Như lớp đối chứng số học sinh có điểm trung bình yếu cao hơn, lớp thực nghiệm có điểm giỏi cao vượt trội Kết chứng tỏ sử dụng kết SKKN có hiệu tốt, có tính ứng dụng rộng rãi dễ áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM Luyện tập: Ơn tập: Các tốn hàm ẩn hàm số tích phân I/ Mục tiêu dạy: Qua học HS cần: 1) Về kiến thức: Ôn tập lại kiến thức bản: + Về hàm số: Tính đơn điệu, cực trị, Giá trị lớn nhất, nhỏ Tiệm cận đồ thị hàm số Bài toán đồ thị hàm số + Về tích phấn 2) Về kĩ năng: - Áp dụng lý thuyết vào giải tập: Tính đơn điệu, cực trị, Giá trị lớn nhất, nhỏ Tiệm cận đồ thị hàm số Bài toán đồ thị hàm số - Tính tích phân hầm ẩn 3) Về tư thái độ: Phát triển tư trừu tượng, khái qt hóa, tư lơgic,… Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê học tập, biết quan sát phán đốn xác, biết quy lạ quen 4) Về phát triển lực cho học sinh: 48 Đưa ví dụ đặt tình nhằm phát triển lực giải vấn đề, lực thực nghiệm, lực khái quát hóa, lực đánh giá kết II/ Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, Sách giáo khoa, đồ dùng dạy học, thiết bị dạy học 2.Học sinh: Ơn tập lí thuyết làm tập trước nhà III/ Phương pháp: Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm Kết hợp với cách thức tổ chức rèn luyện kĩ cho học sinh giải toán hàm ẩn III/ Tiến trình dạy: 1/ Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số 2/ Kiểm tra cũ, tìm hiểu lực học sinh chia nhóm (Chia nhóm dựa vào lực học tập học sinh) - Giáo viên: Phát phiếu học tập cho học sinh (Lần phát phiếu học tập số1 cho học sinh, lần phát tiếp hiếu học tập số2 cho học sinh làm xong phiếu học tập số Tiếp tục lần 3, hết thời gian quy định phút) - Học sinh: Hoàn thành tập phiếu học tập (trong tổng thời gian quy định phút, học sinh hoàn thành trước thời gian quy định nạp tiếp tục nhận phiếu học tập tiếp theo) Phiếu học tập số + Hãy nêu định nghĩa tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, Giá trị lớn nhất, nhỏ Tiệm cận đồ thị hàm số + Hãy nêu định lý tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, Giá trị lớn nhất, nhỏ Tiệm cận đồ thị hàm số + Nêu định nghĩa, tính chất tích phân Phiếu học tập số - Giáo viên thu chia nhóm học sinh theo lực (Từ 4- nhóm) (Thời gian phút) HS làm phiếu học tập số ( Bài 1) Nhóm 1,2: Đối tượng học sinh trung bình, yếu (Điểm đạt 6,5 điểm) Nhóm 3,4: Đối tượng học sinh khá, giỏi (Điểm đạt từ 6,5 điểm trở lên) 3/Tiến trình dạy học Hoạt động GV HS Hoạt động 1: Chữa Nội dung ghi bảng Luyện tập tập phiếu học tập số 1, Phiếu số 1: (Thời gian phút): Phiếu số 2: Làm - Giáo viên: Yêu cầu học Phiếu số 3: Làm 49 sinh nhóm 1,2 trình bày Phiếu số 4: Làm Học sinh nhóm 3,4 nhận Bài Trích đề THPT năm 2018 xét bổ sung Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Sử dụng máy chiếu hỗ trợ, chiếu kết - Học sinh: Trả lời nhận xét Hàm số cho nghịch biến khoảng - Máy chiếu: Chiếu kết đây? yêu cầu trả lời A  1;  B  �;  C  1;  � D Hoạt động 2: Chữa  1;  tập phiếu học tập số 2, (Thời gian phút): - Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhóm 1,2 trình bày Học sinh nhóm 3,4 nhận xét bổ sung Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho nghịch biến khoảng  0;1 Chọn A Bài Cho hàm số f  x  xác định �\  0 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Sử dụng máy chiếu hỗ trợ, chiếu kết - Học sinh: Trả lời nhận xét - Máy chiếu: Chiếu kết yêu cầu trả lời Hoạt động 3: Chữa tập Hàm số cho có bao nhiêm điểm cực trị? A B C D Bài Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x2 ) đồng biến khoảng khoảng sau? phiếu học tập số 3: Yêu cầu học sinh nhóm trình bày Học sinh nhóm nhận xét bổ sung *Khi dạy học sinh giải tập tiết dạy A ( - �;- 1) giáo viên tiến hành theo C ( - 1;0) B ( - 1;+�) D ( 0;1) 50 bước: Bước 1: Học sinh xác định mục đích tốn Bài tốn cần giải điều gì? Bước 2: Giáo viên làm mẫu Giáo viên chọn Lời giải Cách Ta có g� ( x) = 2xf � ( x2 ) Hàm số g( x) đồng biến � �x > � � � � � f ( x2 ) > � � � �>> ����� g� ( x) � � � � �x < � � � f x2 < � � � ( ) � theo thi f '( x) � x>0 � � � � � � - 1< x2 < � x2 > � � � � �x < � � �2 � � �x =0 � ( x) ������ � f� ( x2 ) = � � theo thi f '( x) � x2 = - � �2 x =0 � �2 � x =1 � � x=0 � � x = �1 � dụng phương pháp gợi mở Bảng biến thiên để dạy cho lớp Bước 3: Yêu cầu lớp giải tập tương tự Bước 4: Hình thành quy Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C trình giải tốn Chú ý: Dấu g� ( x) xác định sau: Ví dụ - Giáo viên: Giáo viên xét khoảng ( 1;+�) chốt lại cách giải để hình x �( 1;+�) � x > ( 1) thành kĩ cho học sinh x �( 1;+�) � x2 > theo thi f '( x) giải dạng toán … Với x2 > 1����� � f� ( x2 ) > ( 2) - Học sinh: Trả lời Từ ( 1) ( 2) , suy g�( x) = 2xf ( x2 ) > khoảng nhận xét ( 1;+�) nên g� ( x) mang dấu + - Máy chiếu: Chiếu kết Nhận thấy nghiệm g� ( x) nghiệm bội lẻ nên qua yêu cầu trả lời Giáo viên :chốt lại cách nghiệm đổi dấu Bài Cho hàm số xác giải để hình thành kĩ định R hàm số cho học sinh có đồ thị hình bên dưới: Hoạt động 4: Chữa Xét khẳng định sau: có ba cực tập 4( Cả nhóm làm bài) (I) Hàm số 51 + Giáo viên:- tổ chức cho nhóm tích cực hoạt động -u cầu học sinh nhóm thảo luận -Giáo viên cho học sinh nhắc lại bước tính xác suất biến cố + Học sinh: Độc lập làm theo mẫu -Học sinh nhóm 1, trình bày giải câu a Học sinh nhóm 3, nhận xét bổ sung trị (II) Phương trình có nhiều ba nghiệm (III) Hàm số nghịch biến khoảng Số khẳng định là: A B C D Lời giải Chọn B Phương pháp: Từ đồ thị hàm số đồ thị hàm số lập BBT kết luận Cách giải: Ta có BBT: Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai Với nghịch biến khoảng Hàm số => (III) Vậy có hai khẳng định Chọn phương án B Hoạt động 6: Củng cố: Để tránh sai lầm đáng tiếc giải tốn, nhìn tốn nhiều góc độ để tìm cách giải khác tốn Hoạt động 7: Bài tập nhà: Bài tập sách tập, đề luyện thi THPT trường Bài tập (Trích đề minh họa Bộ Giáo Dục năm 2017) Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục � có bảng biến thiên: Khẳng định sau khẳng định đúng? 52 A Hàm số có giá trị cực tiểu B Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1 C Hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu x  D Hàm số có cực trị Lời giải Đáp án A sai hàm số có điểm cực trị Đáp án B sai hàm số có giá trị cực tiểu y  1 x  Đáp án C sai hàm số khơng có GTLN GTNN � Đáp án D hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu x  Vậy chọn phương án C Phần III KẾT LUẬN Kết luận Trong giai đoạn nay, đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội nguồn nhân lực thực Chúng mong muốn làm để nâng cao chất lượng học tập học sinh nên chúng tơi ln cố gắng tìm giải pháp để giảng dạy có kết tốt Đề tài giúp ích cho cơng việc giảng dạy chúng tơi, góp phần giúp học sinh hiểu kĩ vận dụng tốt vào giải toán, nâng cao khả vận dụng kiến thức thực tiễn nâng cao chất lượng học mơn giải tích đặc biệt tốn hàm ẩn Thông 53 qua tiết dạy, lý thuyết, luyện tập, sử dụng giải pháp sáng kiến kinh nghiệm cho thấy: + Học sinh nắm dạng toán chương biết cách giải dạng tốn, từ kết học sinh nâng lên + Tinh thần thái độ học tập học sinh tốt + Học sinh chủ động sáng tạo học mơn giải tích tốn hàm ẩn khắc phục số sai lầm giải tốn.Học sinh cảm thấy u thích học tập mơn tốn đặc biệt mơn giải tích tốn hàm ẩn + Khi dạy học sử dụng sáng kiến kinh nghiệm kết học tập học sinh với mức độ học tương đồng có thay đổi rõ rệt Số lượng điểm 9; 10 7; tăng đáng kể, tỉ lệ học sinh điểm trung bình trở xuống giảm rõ rệt Bước đầu cho thấy tính khả thi sáng kiến kinh nghiệm Với nhiều năm giảng dạy trường THPT, chúng tơi thấy khó khăn học sinh giải toán hàm ẩn khó khăn giáo viên giảng dạy tốn hàm ẩn Với trăn trở đó, nêu lên số biện pháp để khắc phục khó khăn dạy mộn hàm ẩn Kiến nghị - Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy học tập cần hiểu đối tượng học sinh, định nghĩa, tính chất, cách giải dạng tốn để vận dụng có hiệu SKKN nhiều dạng tập liên quan khác - SKKN triển khai có hiệu nhiều lớp 12 trường THPT Nghi Lộc SKKN chia sẻ chuyên môn với đồng nghiệp nhiều trường THPT như: THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hà Huy Tập, THPT Nghi Lộc 2, THPT Cửa Lị thấy có kết tốt Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu để SKKN có nhiều kết tốt cho HS tài liệu có ich cho GV Mong thời gian tới SKKN tiếp tục áp dụng với nhiều trường, nhiều lớp, nhiều đối tượng học sinh nữa, đồng thời kính mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để SKKN hồn thiện Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo bạn đọc ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo, Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội Tài liệu tập huấn dạy học kiểm tra, đánh giá kết học tập theo định hướng phát triển lực học sinh Nguyễn Hữu Châu, Những vấn đề chương trình trình dạy học, NXB Giáo dục, Hà Nội 2006 54 Nguyễn Bá Kim, Tơn Thân, Vương Dương Minh, Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội 1999 Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều, Phát triển Lí luận dạy học mơn Tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội 1997 Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, SGK Giải tích lớp 12 bản, NXB Giáo dục 2007 Tài liệu tập huấn phương pháp kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm hướng dẫn học sinh tự học Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương Sách Giáo viên Giải tích lớp 12 bản, NXB Giáo dục 2007 10 Chuẩn kiến thức kỹ mơn Tốn lớp 12 11 Các tập đề thi THPT Bộ giáo dục đề thi thử trường THPT tập diễn đàn Giáo viên Toán 12 Nguồn tài liệu Internet 13 Bộ Giáo Dục, Chương trình tổng thể mơn Tốn, 2018 55 ... I  e  Một số kinh nghiệm dạy học hàm ẩn 5.1 Các biện pháp dạy học tập hàm ẩn 5.1.1 Cách thức tổ chức rèn luyện kĩ cho học sinh giải toán hàm ẩn Để rèn luyện kĩ giải tập toán cho học sinh giáo... ? ?Một số kinh nghiệm dạy học toán hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông? ?? Với mong muốn chia sẻ sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy kết học tập học sinh. .. dõi kết làm 4.5.? ?Các? ?bài? ?toán? ?hàm? ?ẩn? ?về? ?bài? ?toán? ?liên quan đến sự biến thiên của ? ?hàm? ?số? ? 4.5.1 Kiến thức Các tập hàm ẩn liên quan đến đồ thị hàm số tập tương giao hai đồ thị, số nghiệm phương trình,