SKKN phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập cực trị số phức

MỤC LỤC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Về nội dung mơn Tốn: Trong hệ thống kiến thức đưa vào chương trình giảng dạy cho học sinh THPT, ngồi nội dung quen thuộc mơn Tốn Số phức đưa vào chương trình Giải tích 12 Mục tiêu việc đưa nội dung số phức vào chương trình mơn tốn trường THPT hồn thiện hệ thống số khai thác số ứng dụng khác số phức Đại số, Hình học Lượng giác Số phức xuất từ thể kỷ XIX nhu cầu phát triển Toán học giải phương trình đại số Từ đời số phức thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Bài toán số phức toán sử dụng nhiều kì thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng, …Đặc biệt toán cực trị số phức dạng tốn khó chun đề số phức, đứng trước toán cực trị số phức, học sinh thường lúng túng đặt câu hỏi: “Phải định hướng tìm lời giải tốn từ đâu?” Đối với HS bậc THPT số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng khơng nhiều, HS biết kiến thức số phức, việc khai thác toán cực trị số phức hạn chế, đặc biệt giải toán cực trị số phức phải sử dụng kiến thức hình học phẳng lượng giác vấn đề khó, địi hỏi HS phải có lực giải toán định, biết vận dụng kiến thức đa dạng toán học Tuy nhiên dạy cho HS giỏi biết vận dụng linh hoạt kiến thức hình học phẳng để giải toán cực trị số phức có tác dụng lớn việc bồi dưỡng lực giải toán cho HS, đồng thời giúp HS khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức bản, dạng toán quen thuộc, giải số tốn khó, phức tạp chưa có thuật tốn Để đáp ứng điều địi hỏi GV phải có hiểu biết cần thiết, có cách nhìn sâu sắc cực trị Số phức Mặc dù SGK Giải tích 12 đưa số lượng tập cực trị số phức vào khơng nhiều Hơn nữa, qua tìm hiểu thực tế giảng dạy vấn đề đưa số phức trở thành cơng cụ giải tốn cho HS chưa GV quan tâm coi trọng mức Vì vậy, thực tế yêu cầu cần phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải tốn cực trị số phức Với ý định đó, tơi chọn đề tài: “Phát triển tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải tập cực trị số phức” II ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phần số phức số dạng toán cực trị số phức thuộc phân mơn Giải Tích 12 THPT III MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Góp phần giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn cực trị số phức IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu người dạy trọng đến việc trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức vững số phức, phân loại cách tương đối dạng toán cực trị số phức góp phần quan trọng cho học sinh luyện thi tuyển sinh vào Đại học V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu để xây dựng hệ thống tập khai thác dạng toán cực trị số phức - Đúc rút kinh nghiệm tham khảo ý kiến đóng góp thầy cô giáo đồng nghiệp VI ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI - Đã trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán cực trị số phức - Đã trọng triển khai hướng dẫn cho học sinh biết cách phân tích chất tốn số phức để có định hướng tốt q trình giải tốn cực trị số phức - Đã tạo cho học sinh thói quen xem xét toán nhiều gốc độ, khai thác yếu tố ý nghĩa hình học số phức để tìm lời giải PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN Mơn Tốn đóng góp phần đáng kể trình phát triển tư duy, tư sáng tạo cho học sinh, “Tâm lý lực toán học học sinh” Krutecki V.A cho rằng: Năng lực toán học học sinh cần hiểu theo hai mức độ: Thứ nhất, lực việc học tốn nắm cách nhanh tốt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng giáo trình tốn học trường phổ thông (năng lực học tập tái tạo) Thứ hai, lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo kết có giá trị loài người (năng lực sáng tạo khoa học) Vậy tư duy, tư sáng tạo làm để phát triển tư sáng tạo cho học sinh? 2 Tư 1.1 Khái niệm tư Dưới góc độ giáo dục, hiểu tư hệ thống gồm nhiều ý tưởng, tức gồm nhiều biểu thị tri thức vật hay kiện Nó dùng suy nghĩ hay tái tạo suy nghĩ để hiểu hay giải việc Theo cách hiểu đơn giản nhất, tư loạt hoạt động não diễn có kích thích Những kích thích nhận thơng qua giác quan năm giác quan: xúc giác, thị giác, thính giác, khứu giác hay vị giác 1.2 Đặc điểm tư Tư thuộc mức độ nhận thức lý tính nên có đặc điểm sau: a) Tính có vấn đề Vấn đề tình huống, hồn cảnh chứa đựng mục đích, vấn đề mà hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ cịn cần thiết khơng đủ sức để giải b) Tính gián tiếp tư - Tính gián tiếp tư cịn thể chỗ trình tư người sử dụng công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy móc,…) để nhận thức đối tượng mà khơng thể trực tiếp tri thức chúng - Tư thể qua ngơn ngữ c) Tính trừu tượng khái quát tư - Trừu tượng dùng trí óc để gạt bỏ mặt, thuộc tính, mối quan hệ thứ yếu khơng cần thiết giữ lại yếu tố cần thiết cho tư - Khái qt dùng trí óc để hợp đối tượng khác thành nhóm, loại, phạm trù theo thuộc tính, liên hệ quan hệ chung định d) Tư quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ Tư mang tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu tượng khái qt gắn chặt với ngơn ngữ Tuy ngơn ngữ có mối quan hệ mật thiết với Nếu khơng có ngơn ngữ q trình tư người khơng thể diễn Đồng thời sản phẩm tư không chủ thể người khác tiếp nhận - Ngôn ngữ cố định lại kết tư duy, phương tiện biểu đạt lại kết tư duy, khách quan hóa kết tư cho người khác cho thân chủ thể tư Ngược lại, khơng có tư ngôn ngữ chuỗi âm vô nghĩa Tuy nhiên ngôn ngữ tư mà phương tiện tư e) Tư có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính - Tư phải dựa vào nhận thức cảm tính, kinh nghiệm, sở trực quan sinh động Tư thường nhận thức cảm tính, sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình có vấn đề Nhận thức cảm tính khâu mối quan hệ trực tiếp tư thức, sở khái quát kinh nghiệm dạng khái niệm, quy luật, chất liệu khái quát 3 thực theo nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật q trình tư 1.3 Các giai đoạn tư Tư q trình hoạt động trí tuệ Nghĩa tư có nảy sinh diễn biến kết thúc Q trình tư bao gồm bước bản: - Xác định vấn đề, biểu đạt thành nhiệm vụ tư Nói cách khác ta tìm câu hỏi cần giải đáp - Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết cách giải vấn đề, cách trả lời câu hỏi - Xác minh giả thiết thực tiễn, giả thiết qua bước sau, giả thiết sai phủ định hình thành giả thiết - Quyết định đánh giá kết đưa sử dụng Sơ đồ q trình tư K.K.Platơnơp xây dựng: Nhận thức vấn đề Xuất liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thiết Kiểm tra giả thiết Chính xác hóa Khẳng định Giải vấn đề Phủ định Hoạt động tư Như trình tư trình hoạt động trí tuệ, có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào trình tư cụ thể: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái qt hóa 1.4 Các thao tác tư - Phân tích: Là q trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành phận, thành phần khác nhau; từ vạch thuộc tính, đặc điểm đối tượng nhận thức hay xác định phận tổng thể cách so sánh, phân loại, đối chiếu, làm cho tổng thể hiển minh - Tổng hợp: Là trình dùng trí óc để hợp nhất, xếp hay kết hợp phận, thành phần, thuộc tính đối tượng nhận thức tách rời nhờ phân tích thành chỉnh thể để từ nhận thức đối tượng 4 cách bao quát, toàn diện Trong tư duy, tổng hợp thao tác xem mang dấu ấn sáng tạo - So sánh: Là thao tác tư nhằm “xác định giống khác vật, tượng thực” Nhờ so sánh người ta tìm dấu hiệu giống khác vật Ngồi cịn tìm thấy dấu hiệu chất không chất thứ yếu chúng - Trừu tượng hóa: Là q trình dùng trí óc để gạt bỏ mặt, thuộc tính, mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, giữ lại yếu tố đặc trưng, chất đối tượng nhận thức - Khái quát hóa: Là trình dùng trí óc để hợp nhiều đối tượng khác thành nhóm, loại theo thuộc tính, liên hệ, quan hệ chung, chất vật, tượng Kết khái quát hóa cho ta đặc tính chung hàng loạt đối tượng loại hay tạo nên nhận thức hình thức khái niệm, định luật, quy tắc Tư sáng tạo 2.1 Khái niệm tư sáng tạo Theo định nghĩa Từ điển sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề khơng bị gị bó phụ thuộc vào có Nội dung sáng tạo bao gồm ý chính: có tính (khác cũ, biết) có lợi ích (có giá trị cũ) Như sáng tạo cần thiết cho hoạt động xã hội loài người Khi bàn quan hệ khái niệm tư tích cực, tư độc lập tư sáng tạo, V.A.Krutexki cho biểu diễn quan hệ dạng vịng trịn đồng tâm Đó mức độ tư khác mà mức độ tư trước tiền đề cho mức độ tư sau Trong tư sáng tạo có tư tích cực tư độc lập, khơng phải tư tích cực tư độc lập tư độc lập tư sáng tạo Tư tích cực Tư độc lập Tư sáng tạo Chính điều quan trọng hệ thống tập cần phải khai thác sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư sáng tạo biểu mặt như: khả tìm bước (khả tìm nhiềuGiảikhác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết toán, xem xét kết khác tốn) Có thể nói đến tư sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh chưa biết 5 2.2 Đặc trưng tư sáng tạo - Tính mềm dẻo: Là khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác - Tính thục: Là thể khả làm chủ tư duy, làm chủ kiến thức, kỹ thể tính đa dạng cách xử lý, giải vấn đề - Tính độc đáo: Là khả tìm kiếm định phương thức lạ - Tính chi tiết: Là khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát ý tưởng, kiểm tra chứng minh ý tưởng Nó làm cho tư trở thành trình, từ chỗ xác định vấn đề cần giải quyết, huy động vốn kiến thức kinh nghiệm để sử dụng để giải đến cách giải quyết, kiểm tra kết Nghĩa ý tưởng sáng tạo phải thoát biến thành sản phẩm quan sát 2.3 Một số vấn đề dạy tư phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.1 Quan niệm “dạy tư duy” Dạy tư hay dạy người học tư làm cho người học biết cách để tư tốt, có kỹ để tư hiệu Thể chỗ họ biết tư biết vận dụng thành tố tư vào “chiến lược” giải vấn đề Dạy tư dạy cho người học vận dụng nhiều trạng thái tư vận dụng trạng thái tư cách có hiệu Với dạy tư duy, giáo viên người trung gian tạo nên xúc tác đưa học sinh môi trường học, xếp, tổ chức lại điều kiện nhằm cho tư học sinh hoạt động tư học sinh thiết lập thơng qua rèn luyện có hướng dẫn giáo viên Tóm lại, dạy tư làm cho học sinh trở thành người tư tích cực hơn, cụ thể như: * Làm cho người học biết tư tốt học tập lẫn sống * Làm cho người học phát huy hết tiềm năng, mạnh thân mà tiềm năng, mạnh khơng bị thui chột không quan tâm phát triển * Làm cho người học khắc phục thiếu sót, hạn chế kỹ tư họ 2.3.2 Phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh a) Khái niệm phát triển Theo định nghĩa thông dụng, khái niệm “phát triển” hiểu “sự vận động tiến triển theo chiều hướng tăng lên”, “biến đổi làm cho biến đổi từ đến nhiều, vận động từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp” b) Phát triển số yếu tố tư sáng tạo Phát triển trí tuệ nói chung, tư sáng tạo nói riêng vấn đề phức tạp triết học, tâm lý học giáo dục học Ở phát triển tư sáng tạo xét góc độ giáo dục học Phát triển tư sáng tạo làm cho tư học sinh thể đặc trưng tư sáng tạo trình học tập Như 6 vậy, thực chất phát triển tư sáng tạo cho học sinh việc phát triển lực sáng tạo trình học tập học sinh c) Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh tổ hợp tác động có định hướng chủ thể dạy giáo viên đến chủ thể học học sinh, tập trung vào trình học tập học sinh nhằm hình thành phát triển phẩm chất, đặc trưng tư sáng tạo học sinh, làm cho trình tư học sinh việc giải nhiệm vụ học tập thể nét đặc trưng tư sáng tạo Biện pháp chung nhóm biện pháp thường thể biện pháp cụ thể II CƠ SỞ KHOA HỌC Khái niệm sớ phức Số phức (dạng đại số) có dạng b z gọi phần ảo, i z = a + bi đơn vị ảo, i = −1 số thực ⇔ phần ảo số phức z với z z a, b ∈ ¡ ( b = 0) , a ( a = 0) số ảo ⇔ phần thực số phức Số vừa số thực vừa số ảo  a = a′ a + bi = a′ + b′i ⇔  b = b′ Hai số phức £ ¡ ⊂£ Tập hợp số phức kí hiệu Biểu diễn hình học của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Mỗi số phức xác định M ( a; b ) Oxy điểm mặt phẳng Ta có quan hệ 1−1 tương ứng tập số phức với tập hợp điểm Oxy Oxy mặt phẳng Do mặt phẳng cịn gọi mặt phẳng phức Tởng hai sớ phức, hiệu hai số phức ( a + bi ) + ( a′ + b′i ) = ( a + a′ ) + ( b + b′ ) i gọi phần thực, y b O a ( a + bi ) − ( a′ + b′i ) = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Số đối số phức số phức − z = −a − bi z −z số phức Vậy Nhân hai số phức ( a + bi ) ( a′ + b′i ) = ( aa′ − bb′) + ( ab′ + a′b ) i z′ = −a − bi ta kí hiệu số đối k ( a + bi ) = ka + kbi Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a − bi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) số Ta chứng minh tính chất sau : z z z = z; z ± z′ = z ± z′; z.z′ = z.z ′;  ÷ =  z ′  z ′ z z = a + b ; z=z z z = −z số thực ; số ảo Môđun của số phức uuuu r OM = a + b M ( a; b ) z = a + bi ( a, b ∈ ¡ Độ dài với điểm biểu diễn số phức z gọi môđun số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ) z = a + b2 , kí hiệu z = z.z z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = ⇔ z = z z ′ = z z ′ ; z z = ; z − z′ ≤ z ± z′ ≤ z + z′ z ′ z′ Chia hai số phức Số nghịch đảo số phức z −1 = z ( z ≠ ) z z số phức z −1 z −1 = −1 thoả mãn z z = Kí hiệu z ; z′ z′.z z′.z = z′.z −1 = = z z z z z′ = w ⇔ z′ = w.z z Căn bậc hai của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bậc hai số phức 2 x − y = a w2 = z ⇔  2 xy = b w=0 - Số có bậc hai số z≠0 w −w - Số có hai bậc hai đối - Hai bậc hai số thực - Hai bậc hai số thực a>0 a F1F2 ⇒ a = 4; c = Ta có 2b = 16 − 2a = chạy Elip có trục lớn , trục nhỏ   I  − ; −1÷ F1 F2   Tâm Elip điểm trung điểm Suy M P = z + + 2i = z + P 25 = 39   + i = z −  − − i ÷ = MI   ⇔ MI = b = 39 P = 39 Vậy: Chọn đáp án D Qua ví dụ minh họa giáo viên yêu cầu học sinh phải biết tổng qt hóa tốn phương pháp giải cho tốn tổng qt 70 70 * Bài tốn tởng qt Cho số phức z − ( a1 + b1i ) + z − ( a2 + b2i ) = 2a z thỏa mãn , z − ( c + di ) z − ( c + di ) z tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( tìm để có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ) * Phương pháp giải tổng quát M ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Điểm biểu diễn số phức , từ giả thiết z − ( a1 + b1i ) + z − ( a2 + b2i ) = 2a F1 ( a1; b1 ) F2 ( a2 ; b2 ) với ; tương ứng a1 + b1i a2 + b2i F1F2 = 2c điểm biểu diễn cho hai số phức ; , khoảng cách với 2a > F1F2 = 2c ( E) M z , quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường Elip F1 , F2 tiêu điểm tương ứng  a + a2 b1 + b2   a +a b +b  z − + i ÷ = MI , I  ; ÷, M ∈( E ) 2     I Ta có với , tâm z − ( c + di ) ( E) M Elip , đạt giá trị lớn nhất, nhỏ di chuyển a1 + a2 b1 + b2 c + di = + i ( E) 2 MI cho dài nhất, ngắn nhất, với z − ( c + di ) a z − ( c + di ) Vậy đạt giá trị lớn ; đạt giá trị nhỏ b z K Dạng Cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước M Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ztổng khoảng cách từ điểm biểu diễn cho số phức đến hai điểm cố định Phương pháp giải Để giải dạng tốn thơng thường ta có cách sau Cách z − z1 + z − z2 - Dùng công thức đường trung tuyến ( 2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 - Dùng công thức: - Dùng bất đẳng Bunhiacôpski 71 2 ) z −z z +z =2z− + 2 2 71 * Bất đẳng thức Bunhiacôpski Cho bốn số thực a, b, c, d ta ln có ( ab + cd ) ≤ ( a + c ) ( b2 + d ) ⇔ ab + cd ≤ ( a + c2 ) ( b2 + d ) a c = b d Dấu xảy Cách ( Phương pháp xét hàm sớ ) *Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho số phức T = z +1 + z −1 MaxT = z z = thỏa mãn điều kiện MaxT = 10 A B Giải *Cách Áp dụng công thức trung tuyến C Giá trị lớn MaxT = D MaxT = 1+1 z +1 + z −1 = z + =4 2 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( T ≤ z +1 + z −1 ) ( + ) = 20 ⇒ T ≤ 2 Vậy MaxT = Chọn đáp án A *Cách ( Phương pháp xét hàm số ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Gọi z = ⇔ x2 + y2 = T = z + + z − = ( x + 1) + yi + ( x − 1) + yi T= ( x + 1) + y2 + ( y − 1) + y = x + + −2 x + ( f ( x ) = x + + −2 x + ⇒ f ′ ( x ) = Xét hàm số f ′( x ) = ⇔ x = − , x + y = ⇒ x ∈ [ −1;1] 72 x2 + y = ) − 2x + −2 x + 72  3 f ( 1) = 2; f ( −1) = 4; f  − ÷ =  5 Tính: Ví dụ ( Đề minh họa 2018) z = a + bi ( a, b ∈ ¡ Vậy MaxT = ) Chọn đáp án A z − − 3i = Xét số phức thỏa mãn điều kiện T = z + − 3i + z − + i P = a+b đạt giá trị lớn P = 10 P=6 P=8 P=4 A B C D *Vẽ hình biểu thị cho tốn Tính *Phân tích tốn Từ giả thiết z − − 3i = ⇔ z − ( + 3i ) , học sinh phải nhận biết tập I ( 4;3) ( C) M z hợp điểm biểu diễn cho số phức đường trịn có tâm R= bán kính Biểu thức T = MA + MB T = z + − 3i + z − + i ⇔ T = z − ( −1 + 3i ) + z − ( − i ) với A ( −1;3) ; B(1; −1) M ∈( C ) T = MA + MB Vậy chất tốn tìm cho lớn Để giải dạng tốn dùng cơng thức trung tuyến để thay tổng A ( −1;3) ; B (1; −1) M M khoảng cách từ đến hai điểm thành khoảng cách từ đến 73 73 AB trung điểm M ∈( C ) M ≡C EM Bài tốn trở thành tìm cho lớn nhất, Khi điểm ( C) EI giao đường tròn với đường thẳng Giải M ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Gọi điểm biểu diễn số phức điểm E z − − 3i = ⇔ ( x − ) + ( y − 3) = Từ giả thiết, ta có Suy tập hợp ( C) M đường trịn có tâm A ( −1;3) ; B (1; −1) T = MA + MB Khi với I ( 4;3) bán kính R= T = MA2 + MB + 2MA.MB ≤ ( MA2 + MB ) Ta có E ( 0;1) AB Gọi trung điểm MA2 + MB AB ME = − Theo cơng thức đường trung tuyến Do T ≤ 4ME + AB ( ) ( T ≤ + Suy Với C , mà ME ≤ CE = EI + R = 16 + + = + 16 ) = 200 giao điểm đường thẳng ( C) EI với đường tròn  MA = MB  T ≤ 10 M ≡ C Vậy Dấu xảy ⇒ M ( 6;4 ) ⇒ a + b = 10 Chọn đáp án A Từ toán học sinh mở rộng toán tổng quát đưa lời giải cho toán tổng quát z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) * Bài tốn tởng qt Xét số phức thỏa mãn điều kiện z − ( a + bi ) = R 74 74 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ * Phương pháp giải tổng quát Điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức T = z − ( c + di ) + z − ( p + qi ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) học sinh phải nhận biết tập hợp điểm I ( a; b ) ( C) R đường trịn có tâm bán kính Biểu thức M , từ giả thiết z − ( a + bi ) = R biểu diễn cho số phức T = z − ( c + di ) + z − ( p + qi ) ⇔ T = MA + MB M ∈( C ) với z , A ( c; d ) ; B ( p ; q ) T = MA + MB Vậy chất tốn tìm cho lớn nhất, nhỏ Để giải dạng toán dùng công thức trung tuyến để thay tổng A ( c; d ) ; B ( p; q) M M khoảng cách từ đến hai điểm thành khoảng cách từ đến E AB điểm trung điểm M ∈( C ) EM Bài toán trở thành tìm cho lớn nhất, nhỏ Khi điểm ( C) M ≡C hai giao điểm tương ứng đường tròn với đường thẳng EI z + − 2i = z + + 2i 2 z Ví dụ Cho số phức thỏa mãn điều kiện Q = z − − 4i + z − − 6i Biết biểu thức đạt giá trị nhỏ z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) P = a − 4b Tính 1333 691 P= P= 272 272 P = −2 P = −1 A B C D *Vẽ hình biểu thị cho tốn 75 75 *Phân tích tốn z+ Từ giả thiết − 2i = z + + 2i 2 , học sinh phải nhận biết tập hợp I ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) điểm hợp điểm điểm biểu diễn số phức đường trung     A  − ;2 ÷; B  − ; −2 ÷     ⇒d d AB trực đoạn thẳng với có phương trình x − y + = Biểu thức Q = IM + IN Q = z − − 4i + z − − 6i ⇔ Q = z − ( + 4i ) + z − ( + 6i ) với M ( 2;4 ) ; N (4;6) Q = IM + IN I ∈d Vậy chất tốn tìm cho nhỏ Để giải dạng tốn u cầu học sinh phải có kiến thức hình học M ( 2;4 ) ; N (4;6) M1 d phẳng, nằm phía , lấy điểm đối d d M I xứng qua , cần tìm giao đường thẳng với đường thẳng M1 N Giải 76 76 Ta có     A  − ;2 ÷; B  − ; −2 ÷     I ( x; y ) Tập hợp điểm điểm biểu diễn số phức z + − 2i = z + + 2i z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) 2 thỏa mãn điều kiện đường trung trực x − y + = d AB đoạn thẳng có phương trình M ( 2;4 ) ; N ( 4;6 ) Q = IM + IN I ∈d Xét hai điểm với  58 28  M1  ; − ÷ Q M1N  17 17  I Do nhỏ giao điểm với d M điểm đối xứng với qua  62 24  62 24 62 24 I ; ÷ z= + i ⇒ a = ;b = ⇒ P = a − 4b = −2  17 17  17 17 17 17 Vậy ứng với Chọn đáp án A *Nhận xét Từ toán học sinh mở rộng toán tổng quát đưa lời giải cho toán tổng quát z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) * Bài tốn tởng qt Xét số phức thỏa mãn điều kiện z − ( a1 + b1i ) = z − ( a2 + b2i ) T = z − ( c + di ) + z − ( p + qi ) Tìm nhỏ * Phương pháp giải tổng quát M ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Điểm biểu diễn số phức , từ giả thiết z − ( a1 + b1i ) = z − ( a2 + b2i ) M z suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức A ( a1; b1 ) B ( a2 ; b2 ) ∆ AB đường trung trực đoạn thẳng , với ; tương a1 + b1i a2 + b2i ứng điểm biểu diễn cho hai số phức ; Biểu thức T = z − ( c + di ) + z − ( p + qi ) ⇔ T = MP + MQ 77 với P ( c; d ) ; Q( p; q) 77 T = MP + MQ M ∈∆ Vậy chất tốn tìm cho nhỏ Để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức hình học P; Q ∆ phẳng, xem xét nằm khác phía hay phía , P; Q ∆ I ∆ nằm khác phía , cần tìm giao đường thẳng với PQ P; Q P1 ∆ đường thẳng , cịn nằm phía , lấy điểm đối xứng PQ P ∆ I ∆ qua , cần tìm giao đường thẳng với đường thẳng Ví dụ Cho số phức z + − 3i = 13 z thỏa mãn điều kiện P = z − i − z − + 2i biểu thức giá trị nhất? A đạt giá trị lớn B C 10 D P0 Khi P0 gần Giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z + − 3i = 13 ⇔ ( x + 2) + ( y − 3) = 13 P = z − i − z − + 2i = x + ( y − 1)i − ( x − 1) + (2 − y )i 2 P = x + ( y − 1) − ( x − 1) − ( − y ) = x + y − 2 Khai thác giả thiết Ta biến đổi 2 ( x + 2) + ( y − 3) = 13 2 Cần tìm giá trị lớn P P = ( x + y − ) = ( x + ) + ( y − 3)  − Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức Q = ( x + ) + ( y − 3)  ta có: 2 Q = ( x + ) + ( y − 3)  ≤ ( 12 + 12 ) ( x + ) + ( y − 3)  = 26 ⇒ Q ≤ 26 ⇒ P ≤ 26 −   Vậy gần với giá trị Chọn đáp án A 78 78 Ví dụ ( Đề thi thử lần Chuyên Đại Học Vinh 2018) Gọi hai số số phức thỏa mãn z1 , z2 iz + − i = A Giải Gọi z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 B C D z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) iz + − i = ⇔ i ( x + yi ) + − = ⇔ Suy tập hợp M đường tròn ( C) tâm ( I 1; M1 , M hai điểm biểu diễn cho ( − y + ( x − 1) i = ⇔ ( x − 1) + y − z1 , z2 thuộc ) , bán kính ( C) với R =1 ) =1 M 1M = Vậy M 1M đường kính đường tròn P = z1 + z2 > ⇒ P = z1 + z2 + z1 z2 = OM 12 + OM 2 + 2OM 1.OM ≤ ( OM 12 + OM 2 ) 2 ⇒ P ≤ 4.OI + M 1M 2 = 4.3 + = 16 ⇒ P ≤ Vậy giá trị lớn z1 + z2 Chọn đáp án A Ví dụ ( Đề thi thử lần Chuyên Phan Bội Châu 2018) Với hai số phức thỏa mãn Giá trị lớn z1 + z2 = + 6i z1 , z2 P = z1 + z2 A z1 − z2 = B C 26 5+3 D 34 + Giải 79 79 Gọi M1 , M Ta có hai điểm biểu diễn cho z1 , z2 với M 1M = P = z1 + z2 = OM + OM > ⇒ P = z1 + z2 + z1 z2 = OM 12 + OM 2 + 2OM OM ≤ ( OM 12 + OM 2 ) 2 ⇒ P ≤ 4.OI + M 1M 2 Với I trung điểm , M 1M I ( 4;3) ⇒ P ≤ 4.25 + = 4.26 ⇒ P ≤ 26 Vậy giá trị lớn P = z1 + z2 Ví dụ Xét số phức z Chọn đáp án B 26 z + − 2i + z − + i = thỏa mãn P = z + + z − − 3i lượt GTLN, GTNN biểu thức A M = 17 + 5; m = B M = 26 + 5; m = C *Vẽ hình biểu thị cho toán D M ,m Gọi M = 26 + 5; m = M = 17 + 5; m = lần *Phân tích toán 80 80 z + − 2i + z − + i = Từ giả thiết , học sinh phải nhận biết tập M ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) AB hợp điểm biểu diễn số phức đoạn thẳng với A ( −3;2 ) ; B ( 3; −1) P = z + + z − − 3i = z − ( −2 ) + z − ( + 3i ) = MC + MD M ∈ [ AB ] với C ( −2;0 ) ; D ( 1;3) ; P = MC + MD Vậy chất tốn tìm cho có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức C, D AB hình học phẳng, xét thấy nằm hai phía đoạn , điểm MC + MD ≥ CD M AB thuộc đoạn ta ln có , dấu xảy M , C, D AC = + = 5; BC = 26; AD = 5; BD = thẳng hàng , với MD ≤ BD; MC ≤ BC ⇒ MC + MD ≤ BD + BC M AB điểm thuộc đoạn ta ln có , M ≡B dấu xảy Giải z + − 2i + z − + i = ⇔ z − ( −3 + 2i ) + z − ( − i ) = Ta có M ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Gọi điểm biểu diễn số phức ; A ( −3;2 ) ; B ( 3; −1) AB = 36 + = 45 = MA + MB = = AB ; , từ giả thiết M AB Do thuộc đoạn thẳng P = z + + z − − 3i = z − ( −2 ) + z − ( + 3i ) = MC + MD Biểu thức C ( −2;0 ) ; D ( 1;3 ) , với MC + MD M AB Vậy tìm thuộc đoạn cho đạt giá trị lớn C, D AB M nhất, nhỏ Xét thấy nằm hai phía đoạn , điểm MC + MD ≥ CD AB thuộc đoạn ta ln có , dấu xảy M , C, D P = CD = + = = m thẳng hàng Vậy 81 81 AC = + = 5; BC = 26; AD = 5; BD = M , với điểm thuộc đoạn MD ≤ BD; MC ≤ BC ⇒ MC + MD ≤ BD + BC = 26 + AB ta ln có , dấu M ≡ B ⇒ max P = 26 + = M xảy Chọn đáp án B *Nhận xét Từ toán học sinh mở rộng toán tổng quát đưa lời giải cho toán tổng quát z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) * Bài tốn tởng qt Xét số phức thỏa mãn điều kiện z − ( a1 + b1i ) + z − ( a2 + b2i ) = 2a T = z − ( c + di ) + z − ( p + qi ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ * Phương pháp giải tổng quát M ( x; y ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Điểm biểu diễn số phức , từ giả thiết z − ( a1 + b1i ) + z − ( a2 + b2i ) = 2a A ( a1; b1 ) B ( a2 ; b2 ) với ; tương ứng a1 + b1i a2 + b2i AB = 2a điểm biểu diễn cho hai số phức ; , Khi quỹ tích M AB z điểm biểu diễn số phức đoạn thẳng Biểu thức T = z − ( c + di ) + z − ( p + qi ) ⇔ T = MP + MQ P ( c; d ) ; Q( p; q) với M ∈ [ AB ] T = MP + MQ Vậy chất tốn tìm cho có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức P, Q hình học phẳng, phải xét xem nằm hai phía hay phía đoạn AB PHẦN III: KẾT LUẬN Qua việc phân loại dạng toán số phức dạng cực trị số phức mang lại hiệu học tập cao, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có kỹ giải toán tương tự, sở học sinh thể tự tin gặp tốn khó cực trị số phức Và điều phù hợp chương trình sách giáo khoa mới, tốt cho chuyên đề tự 82 82 chọn học sinh Những chủ đề tự chọn học sinh vừa bám sát chương trình học – thi, vừa cung cấp cho em hệ thống tri thức phương pháp Qua trình vận dụng đề tài giảng dạy nhận thấy giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng toán số phức dạng cực trị số phức học sinh nâng cao khả tư tính sáng tạo giải tốn, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ vai trò ý nghĩa phương pháp để giải toán cách sâu sắc cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi sở nắm vững phương pháp áp dụng vào tập phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh Qua số năm giảng dạy số phức tự đúc rút số kinh nghiệm thể qua đề tài với hy vọng bạn đọc thuận lợi việc tìm hiểu, làm quen sử dụng số phức để giải tốn phổ thơng, từ bạn đọc có điều kiện để rèn luyện tư học mơn tốn tốt Dù tài liệu học cịn ỏi chưa đa dạng, khai thác đề tài chưa thật đầy đủ ví dụ minh họa chưa thật đại diện cho dạng toán với nỗ lực mình, tơi hi vọng đề tài tơi giúp phần nhỏ cho q thầy cô dạy ôn thi đại học Mặc dù tham khảo nhiều tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp nhằm kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian cịn hạn chế Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu, nhược điểm cách dạy nội dung để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải dạng toán THPT Số phức – Lê Hồng Đức (Chủ biên) Phân dạng phương pháp giải toán trắc nghiệm Số phức - Ơn thi THPT Quốc gia – Lê Hồnh Phị (Chủ biên) Chuyên đề ứng dụng Số phức giải toán THPT – Võ Thanh Văn ( Chủ biên) 83 83 Chinh phục dạng tập trắc nghiệm Hàm số - Số phức Theo định hướng Bộ Giáo dục đào tạo – Trần Minh Tiến ( Chủ biên ) Phương pháp hay giải toán Đại số Số phức – Nguyễn Ngọc Thu Tạp chí Tốn học tuổi trẻ SGK Giải tích 12 Cơ – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) SGK Giải tích 12 Nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) Chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông 10.Các tài liệu từ Internet 84 84 ... sáng tạo cho học sinh việc phát triển lực sáng tạo trình học tập học sinh c) Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh tổ... lý học giáo dục học Ở phát triển tư sáng tạo xét góc độ giáo dục học Phát triển tư sáng tạo làm cho tư học sinh thể đặc trưng tư sáng tạo trình học tập Như 6 vậy, thực chất phát triển tư sáng tạo. .. phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.1 Quan niệm ? ?dạy tư duy? ?? Dạy tư hay dạy người học tư làm cho người học biết cách để tư tốt, có kỹ để tư hiệu Thể chỗ họ biết tư biết vận dụng thành tố tư