1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật. 2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn. hoctoancapba.com 3) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC.. Hỏi lúc đầu đoà[r]
(1)1 I - ĐỀ Ô THI TUYỂ SI H LỚP 10 THPT
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Cho biết a = 2+ b = 2− Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab b) Giải hệ phương trình: 3x + y =
x - 2y = -
Câu 2: Cho biểu thức P = 1 : x x - x x x - x
+
− +
(với x > 0, x ≠1)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị x để P >
Câu 3: Cho phương trình: x2 – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1−x2 =3
Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh:
a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2
c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường trịn ngoại tiếp ∆CEF ln thuộc đường thẳng cố định
Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1
a b+
ĐỀ SỐ 2 Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1
3− −3+ b) Giải phương trình: x2 – 7x + =
Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2 b) Cho hệ phương trình: 4x + ay = b
x - by = a
Tìm a b để hệ cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1)
Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng cịn thừa lại tấn, cịn xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng
Câu 4: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI⊥AB, MK⊥AC (I∈AB,K∈AC)
a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP⊥BC (P∈BC) Chứng minh: MPK MBC=
c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: x - 2009 y - 2010 z - 2011
x - 2009 y - 2010 z - 2011 −
− −
(2)2
ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau:
a) x4 + 3x2 – = b) 2x + y =
3x + 4y = -1
Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A =
1 2
− +
−
− +
b) B = 1 x + x
x x + x x
−
− +
( với x > 0, x ≠ )
Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H
a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF
c) Chứng minh OA ⊥ EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
P = x - x y + x + y - y + 2
ĐỀ SỐ Câu 1: a) Trục thức mẫu biểu thức sau:
3; 5 1−
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; 1
4 ) Tìm hệ số a
Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x + = - x
b)
2x + 3y = x - y =
6
Câu 3: Cho phương trình Nn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 =
Câu 4: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM 90= 0(I M không trùng với đỉnh hình vng )
a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME
(3)3 Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh:
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca )
ĐỀ SỐ Câu 1: a) Thực phép tính:
2
−
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b
Câu 2: Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + =
b) x + - = 24 x - x + x -
Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc tơ
Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F
a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh:
1
S + S = S
Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x + 3 ( ) ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:
a) A = 3 3
3
+ −
+ −
+ −
b) B = b - a a b - b a( ) a - ab ab - b
( với a > 0, b > 0, a ≠b)
Câu 2: a) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
x - y = -
2
+ =
x y
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22
Câu 3:
a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2;
2 ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b
b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng:
(4)4
b) N M tia phân giác góc AN I c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2
Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao?
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = x - + - x b) Tính: 1
3− − 1+
Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x – )2 =
b) x - < 2x +
Câu 3: Cho phương trình Nn x: x2 – 2mx - = (1)
a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 =
Câu 4: Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD không qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC
b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD
c) Chứng minh: OK.OS = R2 Câu 5: Giải hệ phương trình:
3
x + = 2y y + = 2x
ĐỀ SỐ Câu 1: a) Giải hệ phương trình: 2x + y =
x - 3y = -
b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình:3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P =
1
1
+ x x
Câu 2: Cho biểu thức A = a a : a a - a a - a
+
−
−
với a > 0, a ≠ a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị a để A <
Câu 3: Cho phương trình Nn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 )
Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B)
a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ADE ACO=
(5)5 Câu 5: Cho số a, b, c ∈[0 ; 1] Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Cho hàm số y = ( 2− )x + Tính giá trị hàm số x = 2+
b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành
Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A = x x : x -
x - x x
+
+
− −
với x 0, x 4, x 9≥ ≠ ≠ b) Giải phương trình:
( )( )
2
x - 3x + x + x - = x -
Câu 3: Cho hệ phương trình: 3x - y = 2m - x + 2y = 3m +
(1)
a) Giải hệ phương trình cho m =
b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10
Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với N M cắt Ax, By thứ tự C D
a) Chứng minh ACN M BDN M tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆AN B đồng dạng với ∆CMD
c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB
Câu 5: Chứng minh rằng:
( ) ( )
a + b
2
a 3a + b + b 3b + a ≥ với a, b số dương ĐỀ SỐ 10
Câu 1: Rút gọn biểu thức: a) A = 8− 50− ( 1− )2 b) B =
2 2 x - 2x +
x - 4x , với < x < Câu 2:Giải hệ phương trình phương trình sau: a) x - 1( ) y =
x - 3y = -
+
b) x + x 0− =
Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phNm loại I 120 sản phNm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phNm loại I số sản phNm loại II 10 sản phNm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phNm loại
Câu 4: Cho hai đường tròn (O) và(O )′ cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O )′
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
(6)6
c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) và(O )′ thứ tự M N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn
Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: (x + x2+2011 y + y)( 2+2011)=2011
Tính: x + y
ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức:
2
1 - a a - a
A a
1 - a - a
= +
với a ≥ a ≠
2) Giải phương trình: 2x2 - 5x + =
Câu 2: 1) Với giá trị k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến R 2) Giải hệ phương trình:
4x + y = 3x - 2y = - 12
Câu 3: Cho phương trình x2 - 6x + m =
1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu
2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 - x2 =
Câu 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC
1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn
2) Gọi I giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3x + 2y + +
x y
ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức:
1) A = 20 - 45 + 18 + 72
2) B = + a + a + a - a
a + 1- a
với a ≥ 0, a ≠
Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1)
a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 N ếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường trịn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S
1) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp CA tia phân giác góc BCS 2) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
(7)7 Câu 5: Giải phương trình
x - 3x + + x + = x - + x + 2x - 32
ĐỀ SỐ 13 Câu 1: Cho biểu thức: P = a a - - a a + : a +2
a - a - a a + a
với a > 0, a 1, a 1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị ngun a để P có giá trị nguyên
Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + =
Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + =
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x =
b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ tính tổng nghiệm phương trình
Câu 3: Giải hệ phương trình: 4x + 7y = 18
3x - y =
Câu 4: Cho ∆ABC cân A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
1) Chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm (O)
3) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010
ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức
P = x + + x + + x - x
x - x + với x ≥ 0, x ≠ 1) Rút gọn P
2) Tìm x để P =
Câu 2: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình:y=(m x n− ) +
1) Với giá trị m n d song song với trục Ox
2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) có hệ số góc -3 Câu 3: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1)
1) Giải phương trình với m = -3
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức 2
1
x + x = 10 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc giá trị m
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh:
1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật
(8)8
x + a + b + c = (1)2 2 2 2 x + a + b + c = 13 (2)
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x
ĐỀ SỐ 15
Câu 1: Cho M = x - : + x -
x - x - x x
+
với x 0, x 1> ≠
a) Rút gọn M
b) Tìm x cho M >
Câu 2: Cho phương trình x2 - 2mx - = (m tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình
Tìm m để 2
1
x + x - x1x2 =
Câu 3: Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở Hỏi lúc đầu đồn xe có chiếc, biết xe chở khối lượng hàng
Câu 4: Cho đường trịn (O) đường kiính AB = 2R Điểm M thuộc đường tròn cho MA < MB Tiếp tuyến B M cắt N , MN cắt AB K, tia MO cắt tia N B H
a) Tứ giác OAMN hình ? b) Chứng minh KH // MB
Câu 5: Tìm x, y thoả mãn 5x - x (2 + y) + y2 + =
ĐỀ SỐ 16 Câu 1: Cho biểu thức: K = x - 2x - x
x - x - x với x >0 x≠1
1) Rút gọn biểu thức K
2) Tìm giá trị biểu thức K x = +
Câu 2: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1; 2) song song với đường thẳng y = 3x + Tìm hệ số a b
2) Giải hệ phương trình: 3x 2y
x - 3y
+ =
=
Câu 3: Một đội xe nhận vận chuyển 96 hàng N hưng khởi hành có thêm xe nữa, nên xe chở lúc đầu 1,6 hàng Hỏi lúc đầu đội xe có
Câu 4: Cho đường trịn (O) với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC > AB AC> BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE
1) Chứng minh rằng: DE//BC
2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn
3) Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: CE =
1 CQ +
1 CF Câu 5: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a + b + c a + b b + c c + a
(9)9 ĐỀ SỐ 17
Câu 1: Cho x1 = + x2 = - Hãy tính: A = x1 x2; B = x + x 12 22
Câu 2: Cho phương trình Nn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = a) Giải phương trình với m = -2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cho tích nghiệm Câu 3: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + (d’): y = (m2 - 2) x +
a) Khi m = -2, tìm toạ độ giao điểm chúng b) Tìm m để (d) song song với (d’)
Câu 4: Cho điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm A C) Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC; AT tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn K (K≠T) Đặt OB = R
a) Chứng minh OH.OA = R2
b) Chứng minh TB phân giác góc ATH
c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC Gọi D, E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TK TA Chứng minh ∆TED cân
d) Chứng minh HB = AB
HC AC
Câu 5: Cho x, y hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x + y +
ĐỀ SỐ 18 Câu 1: Rút gọn biểu thức:
1) 45+ 20− 2) x x x
x x
+ −
+
+ với x >
Câu 2: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 72m N ếu tăng chiều rộng lên gấp đôi chiều dài lên gấp ba chu vi vườn 194m Hãy tìm diện tích vườn cho lúc ban đầu
Câu 3: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = (1) 1) Giải phương trình (1) m =
2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức
2
1
x + x = (x1 + x2)
Câu 4: Cho đường tròn (O) (O )′ cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O )′ điểm thứ hai C, D Đường thẳng O′A cắt (O),(O )′ điểm thứ hai E, F
1 Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O )′ (P Ỵ (O), Q Ỵ(O )′ ) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ Câu 5: Giải phương trình:
x +
1 2−x
(10)10
ĐỀ SỐ 19
Câu 1: Cho biểu thức A = 11 11 B 5
5 11 , :5 55
+ +
+ =
+ +
a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh: A - B =
Câu 2: Cho hệ phương trình 3x + my = mx - y =
a) Giải hệ m =
b) Chứng minh hệ có nghiệm với m
Câu 3: Một tam giác vng có cạnh huyền dài 10m Hai cạnh góc vng 2m Tính cạnh góc vng
Câu 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q; AM cắt CP E, BM cắt CQ F
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh góc PCQ = 900
c) Chứng minh AB // EF
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =
4
2
x + 2x + x + ĐỀ SỐ 20
Câu 1: Rút gọn biểu thức : a) A = -
5 - +
b) B = x - : x - + - x
x x x + x
với x 0, x 1.> ≠ Câu 2: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + = (1)
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = -
c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn
2
1 2
x x + x x = 24
Câu 3: Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy
Câu 4: Cho đường tròn (O,R) điểm S ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) M N , với M nằm S N (đường thẳng a không qua tâm O)
a) Chứng minh: SO ⊥ AB
b) Gọi H giao điểm SO AB; gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp đường tròn
c) Chứng minh OI.OE = R2
(11)11 ĐỀ SỐ 21
Câu 1) Trục thức mẫu số 1− 2) Giải hệ phương trình :
2
x y x
− =
+ =
Câu 2. Cho hai hàm số: x
y= y =x+2
1) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục Oxy
2) Tìm toạ độ giao điểm M, N hai đồ thị phép tính Câu 3. Cho phương trình 2 +(2 −1) + −1=0
m x m
x với m tham số
1) Giải phương trình m=2
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn
2
1 2
4x +2x x +4x =1
Câu Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khác A , B ) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F
1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC
3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O)
Câu 5. Tìm nghiệm dương phương trình :
28
7 + = x+
x
x
ĐỀ SỐ 22 Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 - 2x - 15 =
2) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - qua điểm M (- 1; 1) Tìm hệ số a
Câu 2: Cho biểu thức: P =
− + − + −
−
1
2
2 a
a a a
a a a a
với a > 0, a 1) Rút gọn
biểu thức P
2) Tìm a để P > -
Câu 3: Tháng giêng hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy; tháng hai cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy?
Câu 4: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Trên nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P
1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.BC
3) Tính APB
(12)12
ĐỀ SỐ 23 Câu
1) Tính giá trị A = ( 20−3 5+ 80) 2) Giải phương trình 4 +7 −2=0
x
x
Câu
1) Tìm m để đường thẳng y=−3x+6 đường thẳng 2
5
+ −
= x m
y cắt điểm
nằm trục hoành
2) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật
Câu Cho phương trình −2 + −3=0
m x
x với m tham số
1) Giải phương trình m=3
2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn điều
kiện: 2 2 1 2 12 − x +x x =−
x
Câu 4. Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) với R > R’ cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D (O) E (O’) cho B gần tiếp tuyến so với A
1) Chứng minh DAB=BDE
2) Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE
3) Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh PQ song song với AB
Câu Tìm giá trị x để
2 + +
x x
số nguyên âm
ĐỀ SỐ 24 Câu Rút gọn:
1) A = (1 5) 5
+
− ⋅
2) B = 1
1
x x x x
x x
+ −
+ +
+ −
với 0≤ ≠x Câu 2. Cho phương trình +(3− ) +2( −5)=0
m x m
x với m tham số
1) Chứng minh với giá trị m phương trình ln có nghiệm x=2
2) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x=5−2
Câu 3. Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km thời gian dự định Vì trời mưa nên phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm vận tốc dự định 15km/h nên quãng đường lại xe phải chạy nhanh vận tốc dự định 10km/h Tính thời gian dự định xe tơ
Câu 4. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn điểm D nằm đoạn OA Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Đường thẳng qua C, vng góc với CD cắt cắt tiếp tun Ax, By M N
1) Chứng minh tứ giác ADCM BDCN nội tiếp đường tròn 2) Chứng 900
MD =
3) Gọi P giao điểm AC DM, Q giao điểm BC DN Chứng minh PQ song song với AB
(13)13 a b b c c a a b c
c a b b c c a a b
+ + + + + ≥ + +
+ + +
ĐỀ SỐ 25 Câu Cho biểu thức A = :
1
1
x
x
x x x x
− +
− − + −
với a > 0, a
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị A x=2 3+ Câu 2. Cho phương trình 1 0
x +ax b+ + = với a,b tham số
1) Giải phương trình a=3 b= −5
2) Tìm giá trị a,b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn
điều kiện:
= −
= −
9 3
2
x x
x x
Câu 3. Một thuyền chạy xi dịng từ bến sơng A đến bên sơng B cách 24km Cùng lúc đó, từ A bè trơi B với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B thuyền quay lại gặp bè địa điểm C cách A 8km Tính vận tốc thực thuyền
Câu 4. Cho đường (O, R) đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB
1) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn
2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
3) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé
Câu Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c abc
+ + =
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (a b a c+ )( + )
ĐỀ SỐ 26 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: 1
2− 2− + 2) Giải hệ phương trình: 3x + y =
x - 2y = -
Câu 2: Cho biểu thức P = 1 : x x + x x x + x
−
+ +
với x >
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm giá trị x để P >
Câu 3: Cho phương trình Nn x: x2 – x + m = (1) 1) Giải phương trình cho với m =
(14)14
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường trịn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
1) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đường tròn 2) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH
2) N ăm điểm B, C, I, O, H thuộc đường trịn
Câu 5: Giải phương trình: ( x + 8− x + 3)( x2+11x + 24 1+ =) 5 ĐỀ SỐ 27
Câu 1: Rút gọn biểu thức sau: 1) A = 20 80 45
2 − +3
2) B = 5 5
5
− +
+ −
− +
Câu 2: 1) Giải hệ phương trình: 2x - y = - 2y 3x + y = - x
2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức P =
1
1
x +x
Câu 3. Một xe lửa từ Huế Hà N ội Sau 40 phút, xe lửa khác từ Hà N ội vào Huế với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ km/h Hai xe gặp ga cách Hà N ội 300 km Tìm vận tốc xe, giả thiết quãng đường sắt Huế-Hà N ội dài 645km hoctoancap ba.com
Câu 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vng góc với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia CI D Chứng minh:
1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ∆ABD ~ ∆MBC
3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đường thẳng cố định K di động đoạn thẳng CI
Câu 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 21 2
x +y +xy ĐỀ SỐ 28 Câu 1: 1) Giải hệ phương trình: 2x + y =
x - 3y = -
2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: 3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức P = x12 + x22
Câu 2: Cho biểu thức A = a a : a a - a a + a
−
−
+
với a > 0, a ≠ 1) Rút gọn biểu thức A
(15)15 Câu 3: Cho phương trình Nn x: x2 – 2mx - = (1)
1) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 =
Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B)
1) Chứng minh: AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) MA2 = MD.MB
3) Vẽ CH vng góc với AB (H ∈ AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH
Câu 5: Giải phương trình: x - x + 2x -
x+ x = x
ĐỀ SỐ 29
Câu 1: a) Cho đường thẳng d có phương trình: y mx 2m 4= + − Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ
b) Với giá trị m đồ thị hàm số y m2 m x2
( )
= − qua điểm A(-1; 2)
Câu 2: Cho biểu thức P =
−
+ +
− a a
a
3 3
với a > a ≠ a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị a để P >
Câu 3: Hai người làm chung cơng việc hồn thành N ếu người làm riêng, để hồn thành cơng việc thời gian người thứ thời gian người thứ hai Hỏi làm riêng người phải làm để hồn thành cơng việc
Câu 4: Cho nửa đường trịn đường kính BC = 2R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥BC N ửa đường trịn đường kính BH, CH có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự D E
a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn Tính giá trị Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = - 1
3
ĐỀ SỐ 30 Câu 1. 1) Giải phương trình: 3x+ 75 =0 2) Giải hệ phương trình
− = +
= −
4
1
y x
y x
Câu 2. Cho phương trình 2 −( +3) + =0
m x m
x (1) với m tham số
1) Giải phương trình m=2
2) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với giá trị m Gọi x1,x2 nghiệm
của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x1−x2
(16)16
1) Rút gọn biểu thức P = 225
a a a
a a
− +
+ với a>0
2) Khoảng cách hai bến sông A B 48 km Một canơ xi dịng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian (khơng tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h
Câu Cho tam giác vng ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AC
1) Chứng minh tam giác ABD cân
2) Đường thẳng vng góc với AC A cắt đường tròn (O) E (E≠A) Tên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = AE Chứng minh ba điểm D, B, F nằm đường thẳng
3) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) Câu 5. Cho số dương a,b,c Chứng minh bất đẳng thức:
>2
+ + + +
+ a b
c a
c b c
b a
ĐỀ SỐ 31 Câu 1: Tính:
a) A= 20 18− − 45+ 72 b) B= 4+ + 4−
c) C= x x 1+ − + x x 1− − với x > Câu 2: Cho hàm số y = (2m - 1)x - m +
a) Tìm m để hàm số nghịch biến R b) Tìm m để đồ thị hàm số qua A (1; 2)
Câu 3: Hai người thợ làm cơng việc 16 xong N ếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm họ làm
4
cơng việc Hỏi người làm làm xong công việc?
Câu 4: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường trịn (O; R) qua B C (BC≠2R) Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N tiếp điểm) Gọi I, K trung điểm BC MN ; MN cắt BC D Chứng minh:
a) AM2 = AB.AC
b) AMON ; AMOI tứ giác nội tiếp đường tròn
c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường trịn ngoại tiếp ∆OID ln thuộc đường thẳng cố định
Câu 5: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1)y = x +1
ĐỀ SỐ 32
Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: P = ( 7+ 2)( 7− − 2)+
2) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y=(m2−1 x 1) + song song với
đường thẳng ( ) :d′ y 3x m 1= + −
Câu 2: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Giải phương trình (1) m =
(17)17 Câu 3: Cho a, b số dương thoả mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (a + b + 1)(a2 + b2) +
b a+
4
Câu 4: Qua điểm A cho trước nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm), lấy điểm M cung nhỏ BC, vẽ MH ⊥ BC; MI ⊥ AC; MK ⊥ AB
a) Chứng minh tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MH2 = MI.MK
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC P, Q Chứng minh chu vi∆APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Câu 5: Chứng minh a >2 hệ phương trình:
5
2
x 2y a (1)
x y (2)
− =
+ =
vô nghiệm ĐỀ SỐ 33
Câu 1: a) Giải hệ phương trình: x 3y 10
2x y
− + = −
+ = −
b) Với giá trị m hàm số y = (m + 2) x - đồng biến tập xác định
Câu 2: Cho biểu thức A =
+ + + −
+
+ −
1
1 :
a a a a
a a
a a
với a > 0, a a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A a = 2011 - 2010 Câu 3: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) =
a) Giải phương trình với k = -
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị k
Câu 4: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B, C thứ tự tiếp điểm thuộc (O; R) (O’; R’))
a) Chứng minh BAC = 900 b) Tính BC theo R, R’
c) Gọi D giao điểm đường thẳng AC đường tròn (O) (D≠A), vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E ∈ (O’)) Chứng minh BD = DE
Câu 5: Cho hai phương trình: x2 + a
1x + b1 = (1) , x2 + a2x + b2 = (2)
Cho biết a1a2 > (b1 + b2) Chứng minh hai phương trình cho có nghiệm
ĐỀ SỐ 34
Câu 1: Rút gọn biểu thức: P = ( −1+1)2 + ( −1−1)2 a
a với a >
Câu 2: Cho biểu thức: Q =
+ − − − +
−
1 1
1
1
2
x x x
x x
x
1) Tìm tất giá trị x để Q có nghĩa Rút gọn Q 2) Tìm tất giá trị x để Q = - x-
(18)18
Câu 4: Giải phương trình: −6 +19+ −2 +26
x x x
x = - x2 + 2x
Câu 5: Cho đường trịn (O), đường kính AB, d1, d2 các đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng AB M, N điểm thuộc d1, d2 cho MON = 900
1) Chứng minh đường thẳng MN tiếp tuyến đường tròn (O) 2) Chứng minh AM AN =
4 AB
3) Xác định vị trí M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ
ĐỀ SỐ 35 Câu 1: Rút gọn A =
3
+ + +
x x x
với x≠ −3
Câu 2: a) Giải phương trình x2 −2x 2+ =
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1; 2) B(2; 0) Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = (1)
a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
Câu 4: Từ điểm M đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (tiếp điểm A; B) cát tuyến cắt đường tròn điểm C D không qua O Gọi I trung điểm CD a) Chừng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn
b) Chứng minh IM phân giác AIB
Câu 5: Giải hệ phương trình:
4
3 2
x y
x y x y
+ =
+ = +
ĐỀ SỐ 36 Câu 1: a) Tính (1+ 5)2 + (1− 5)2
b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = Câu 2: Cho biểu thức: P =
a a a
a a
a
− + + − + +
+
7 3
2
với a > 0, a ≠ a) Rút gọn
b) Tìm a để P <
Câu 3: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = (1) a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt
Câu 4: Cho đường trịn (O), từ điểm A ngồi đường trịn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua (O) cắt đường tròn (O) D; E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn
b) Gọi M giao điểm thứ hai FB với đường tròn (O), chứng minh DM ⊥AC c) Chứng minh: CE CF + AD AE = AC2
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y =
x x
1
2 +
(19)19 ĐỀ SỐ 37
Câu 1: Cho biểu thức: M =
1
2
+ + + −
+ − + +
−
x x x
x x x
x
x x
Rút gọn biểu thức M với x 0.≥
Câu 2: a) Giải hệ phương trình: 3x 5y 18 x 2y
− = −
+ =
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị a, b đường thẳng (d): y = ax + - b đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = (1) a) Giải phương trình m = -
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2
1
x x + =
Câu 4: Cho∆ABC có góc nhọn, trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính AK
a) Chứng minh tứ giác BHCK hình hình hành
b) Vẽ OM ⊥BC (M ∈ BC) Chứng minh H, M, K thẳng hàng AH = 2.OM
c) Gọi A’, B’, C’ chân đường cao thuộc cạnh BC, CA, AB của∆ABC Khi BC cố định xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y =
2
x x
x 2x
+ + + +
ĐỀ SỐ 38 Câu 1: Cho biểu thức: P =
x x x x
x
x
x +
− + + −
+
1
với x > a) Rút gọi biểu thức P
b) Tìm x để P =
Câu 2: a) Giải phương trình: x + 1− =1
x
b) Giải hệ phương trình:
6x 6y 5xy
1 x y
+ =
− =
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= (1) a) Giải phương trình m = -
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 2
1 + =
x x x x
Câu 4: ∆ABC cân A Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC B, C Đường thẳng qua điểm M BC vng góc với OM cắt tia AB, AC D, E
a) Chứng minh điểm O, B, D, M thuộc đường tròn b) MD = ME
(20)20
ĐỀ SỐ 39 Câu 1:
1) Tính: 48 - 75 + 108
2) Rút gọn biểu thức: P= - - 1 - x + x x
với x≠1 x >0
Câu 2: 1) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (3; 2) N (4; -1) Tìm hệ số a b
2) Giải hệ phương trình: 2x + 5y =
3x - y =
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = (1) 1) Giải phương trình (1) m =
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm
Câu 4: Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B N ối AC cắt MN E hoc toancapba.com
1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp 2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC
3) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Câu 5: Cho x y hai số thỏa mãn đồng thời : x 0≥ , y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 2x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K = x2- 2x – y
ĐỀ SỐ 40
Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = a) Tìm hệ số góc đường thẳng d
b) Với giá trị tham số m đường thẳng d1: y = (m2 -1)x + m song song với đường thẳng d
Câu Tìm a, b biết hệ phương trình ax by bx ay 11
+ =
− =
có nghiệm x
y
= = − Câu Cho phương trình: (1+ 3)x2−2x 1+ − 3 0= (1)
a) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt
b) Gọi nghiệm phương trình (1) x , x1 2 Lập phương trình bậc có nghiệm
1
1
x 2 x
Câu 4. Bên hình vng ABCD vẽ tam giác ABE Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ đường thẳng AB cho Bx vng góc với BE Trên tia Bx lấy điểm F cho BF = BE
a) Tính số đo góc tam giác ADE b) Chứng minh điểm: D, E, F thẳng hàng
c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD M Chứng minh ME // BF Câu Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện :
3
2 2
x 2y 4y (1)
x x y 2y (2)
+ − + =
+ − =
(21)21 II - ĐỀ Ô THI TUYỂ SI H LỚP 10 CHUYÊ TOÁ
ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình:
a) 2
4
x x -
x x
+ − − =
b) ( x + 5− x + 1)( + x2+7x + 10)=3 Câu 2:
a) Cho số a, b, c khác thỏa mãn: abc =
3 3
3 3
a b c b c a
b +c +a = a + b + c
Chứng minh số a, b, c tồn số lập phương hai số lại
b) Cho x = 31 84 31 84
9
+ + − Chứng minh x có giá trị số nguyên
Câu 3: Cho số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 1 x+ + 1 y+ + 1 z+ +2( x+ y+ z)
Câu 4: Cho đường tròn ( O; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA = R Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Lấy D thuộc AB; E thuộc AC cho chu vi tam giác ADE 2R
a) Chứng minh tứ giác ABOC hình vng
b) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Tìm giá trị lớn diện tích ∆ADE
Câu 5: Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 50 điểm
ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: x ( 2011+ 2010) y( 2011+ − 2010)= 20113 + 20103
b) Tìm tất số nguyên x > y > z > thoả mãn: xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2011
Câu 2: a) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 3+1 x
b) Cho a, b, c ∈ [0; 2] a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2 <
Câu 3: Tìm tất số hữu tỉ x cho giá trị biểu thức x2 + x + số phương
Câu 4: Cho đường trịn (O) ngoại tiếp ∆ ABC có H trực tâm Trên cung nhỏ BC lấy điểm M
Gọi N , I, K hình chiếu M BC, CA, AB Chứng minh: a) Ba điểm K, N , I thẳng hàng
b)
M BC MI AC MK
AB + =
(22)
22
Câu 5: Tìm GTLN GTN N biểu thức: P = 2x2 - xy - y2 với x, y thoả mãn điều kiện sau:
x2 + 2xy + 3y2 =
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn: a + b + c =
b - c c - a a - b
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 = (b - c) (c - a) (a - b)
b) Tính giá trị biểu thức:
A =
2
4
4
2
1 + + 2010 2010 - 2010 + 1 + 2010 - 2010
1 - 2010 2010 + 2010
Câu 2: a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh: 2 + 2 + 2 a + b + c
a + bc b + ac c + ab ≤ 2abc
b) Cho biểu thức: A = x - xy +3y - x + Tìm giá trị nhỏ A Câu 3: a) Giải phương trình: x - + - x = 13
b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) biểu thức đại số xác định với số thực x khác không Biết rằng: f(x) + 3f
x
= x
2 ∀x ≠ Tính giá trị f(2)
Câu 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi M trung điểm EF, K trung điểm BD Chứng minh tam giác AMK tam giác
Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S điểm O nằm tứ giác cho:OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S Chứng minh ABCD hình vng có tâm điểm O
ĐÈ SỐ
Câu 1: a) Cho x y số thực thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức : A = xy
x + y +
b) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh:
3 3
2 2 2
2 2 x + y + z
+ + +
x + y y + z z + x ≤ xyz
Câu 2: a) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 b) Tìm x, y thoả mãn:
2 2
2
x y - 2x + y = 2x - 4x + = - y
Câu 3: a) Chứng minh nếu: x + x y + y + x y = a2 2 3 x + y = a 2 3
(23)23 Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R bán kính OC vng góc với AB Tìm điểm M nửa đường tròn cho 2MA2 = 15MK2, K chân đường vng góc hạ từ M xuống OC
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E F trung điểm BD AC Gọi G giao điểm đường thẳng qua F vng góc với AD với đường thẳng qua E vng góc với BC So sánh GD GC
ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 +
2 81x
= 40
(x + 9)
2) Giải phương trình:
x2 - 2x + 3(x - 3) x + x - =
Câu 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
2
5 - 3x - x 2) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh:
a + b + b + c + c + a 2 2 2 ≥ 2 (a + b + c). Câu 3: Giải hệ phương trình:
2
2
y - xy + = (1)
x + 2x + y + 2y + = (2)
Câu 4: Cho hình thang ABCD có đáy BC AD (BC ≠ AD) Gọi M, N điểm cạnh AB DC cho AM = CN
AB CD Đường thẳng MN cắt AC BD tương ứng với E F Chứng minh EM = FN
Câu 5: Cho đường tròn tâm (O) dây AB, điểm M chuyển động đường trịn Từ M kẻ MH vng góc với AB (H ∈ AB) Gọi E, F hình chiếu vng góc H MA, MB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt AB D
1) Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn
2) Chứng minh:
2
MA AH AD
=
MB BD BH⋅
ĐỀ SỐ Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A =
+ + +
1 + 2 + ⋅⋅⋅ 24 + 25
Câu 2: a) Cho số khác khơng a, b, c Tính giá trị biểu thức: M = x2011 + y2011 + z2011
Biết x, y, z thoả mãn điều kiện:
2 2 2
2 2 2
x + y + z x y z
= + +
(24)24
b) Chứng minh với a >
8 số sau số nguyên dương x = a + a + 8a - + a - a + 8a -
3 3
Câu 3: a) Cho a, b, c > thoả mãn: + 35 4c
1 + a 35 + 2b ≤ 4c + 57 Tìm giá trị nhỏ A = a.b.c
b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D số dương a = b = c = d
A B C D Chứng minh rằng:
aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D)
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi M, N , P, Q bốn đỉnh hình chữ nhật (M N nằm cạnh BC, P nằm cạnh AC Q nằm cạnh AB)
a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MN PQ có giá trị lớn PQ qua trung điểm đường cao AH
b) Giả sử AH = BC Chứng minh rằng, hình chữ nhật MN PQ có chu vi
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Gọi D hình chiếu C tia BM, H hình chiếu D AC Chứng minh AH = 3HD
(25)25 Câu 1: a) Ta có: a + b = (2+ 3) + (2− 3) =
a.b = (2+ 3)(2− = Suy P =
3x + y = 6x + 2y = 10 7x = x =
b)
x - 2y = - x - 2y = - y = - 3x y =
⇔ ⇔ ⇔
Câu 2:
1 x
a) P = :
x - x x x - x
+
− +
( ) ( ) ( )
2
x
1 x
x
x x x x
−
= +
− −
( ) ( ) ( )( )
2
x x x
1 x x -
x
x x x
x x
− + −
+
= = =
−
b) Với x > 0, x ≠1 x - 1 x - 1( ) x
x > ⇔2 > ⇔x > Vậy với x > P >
2
Câu 3: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + =
∆ = 25 – 4.6 = Suy phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m
Để phương trình cho có nghiệm ∆≥ m 25 ⇔ ≤ (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = (1); x1x2 = m (2)
Mặt khác theo x1−x2 =3 (3) Từ (1) (3) suy x1 = 4; x2 = x1 = 1; x2 = (4)
Từ (2) (4) suy ra: m = Thử lại thoả mãn Câu 4:
a) Tứ giác BEFI có: BIF 90= 0(gt) (gt)
BEF BEA 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF
b) Vì AB ⊥CD nên AC AD= , suy ACF AEC=
Xét ∆ACF ∆AEC có góc A chung ACF AEC=
Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC AC AE
AF AC
⇒ =
2 AE.AF = AC ⇒
F
E
I O
D C
B A
c) Theo câu b) ta có ACF AEC= , suy AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1) Mặt khác ACB 90= 0(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy AC⊥CB (2) Từ (1) (2) suy
(26)26
Câu 5: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 ≥0⇒(a + b)2 ≥ 4ab
( )
( ) ( )
a + b 1
ab a + b b a a + b
⇔ ≥ ⇔ + ≥
( )
4 P
a + b
⇒ ≥ , mà a + b ≤ 2
( )
4
a + b 2
⇒ ≥ ⇒ ≥P Dấu “ = ” xảy ( )
2
a - b
a = b = a + b = 2
=
⇔ ⇔
Vậy: P =
2 ĐỀ SỐ
Câu 1: a) ( ) ( )
( )( )
3 7
1
7
3 7 7
+ − −
− = = =
− + − +
b) ∆ = 49 – 4.3 = 37; phương trình có nghiệm phân biệt:
1
7 37 37
x ; x
2
+ −
= =
Câu 2: a) Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình: - x + = x2 ⇔x2 + x – = Phương trình có tổng hệ số nên có nghiệm –
+ Với x = y = 1, ta có giao điểm thứ (1;1) + Với x = - y = 4, ta có giao điểm thứ hai (- 2; 4) Vậy (d) giao với (P) điểm có tọa độ (1;1) (- 2; 4) b) Thay x = y = -1 vào hệ cho ta được:
( )
a = + b
8 - a = b a =
8 - + b b
2 + b = a b =
⇔ ⇔
=
Thử lại : Thay a = b = vào hệ cho hệ có nghiệm (2; - 1) Vậy a = 5; b = hệ cho có nghiệm (2; - 1)
Câu 3: Gọi x số toa xe lửa y số hàng phải chở Điều kiện: x ∈ N*, y >
Theo ta có hệ phương trình: 15x = y - 16x = y +
Giải ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn) Vậy xe lửa có toa cần phải chở 125 hàng
Câu 4:
a) Ta có:AIM AKM 90= = 0(gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM
b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 90= = 0(gt) Do CPMK tứ giác nội
tiếp⇒MPK MCK= (1) Vì KC tiếp tuyến (O) nên ta có: MCK MBC= (cùng chắn MC) (2) Từ (1) (2) suy MPK MBC= (3)
(27)27 Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ
giác nội tiếp
Suy ra: MIP MBP= (4) Từ (3) (4) suy MPK MIP=
Tương tự ta chứng minh MKP MPI= Suy ra: MPK~ ∆MIP⇒ MP MI
MK = MP
⇒MI.MK = MP2 ⇒ MI.MK.MP = MP3 Do MI.MK.MP lớn MP lớn (4)
- Gọi H hình chiếu O BC, suy OH số (do BC cố định)
Lại có: MP + OH ≤ OM = R⇒ MP ≤ R – OH Do MP lớn R – OH O, H, M thẳng hàng hay M nằm cung nhỏ BC (5) Từ (4) (5) suy max
(MI.MK.MP) = ( R – OH )3 ⇔M nằm cung nhỏ BC
H
O P
K I
M
C B
A
Câu 5: Đặt x - 2009 a; y - 2010 b; z - 2011 c= = = (với a, b, c > 0) Khi phương trình cho trở thành:
2 2
a - b - c -
a + b + c = 2
1 1 1 1 1
0
4 a a b b c c
⇔ − + + − + + − + =
2 2
1 1 1
0
2 a b c
⇔ − + − + − =
⇔a = b = c =
Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015 ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Đặt x2 = y, y ≥0 Khi phương trình cho có dạng: y2 + 3y – = (1)
Phương trình (1) có tổng hệ số nên (1) có hai nghiệm y1 = 1; y2 = - Do y ≥0 nên có y1 = thỏa mãn Với y1 = ta tính x = ±1 Vậy phương trình có nghiệm x =
±1
b) 2x + y = 8x + 4y = 5x = x =
3x + 4y = -1 3x + 4y = -1 2x + y = y = -
⇔ ⇔ ⇔
Câu 2: a) A = 1( 2) (2 2)
1 2 2
− +
− +
− = − = −
− + − +
1 x + x
b) B =
x x + x x
−
− +
( )( )
1 x ( x + 2)
=
( x 2) x
x x
−
− + +
= 1 ( x 2) ( x 2) x - x -
x x
+ − −
− = =
− +
(28)28
a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 y = x – b) Hoành độ giao điểm đường thẳng y = x – parabol
y = - x2 nghiệm phương trình:- x2 = x – ⇔x2 + x – =
Suy giao điểm cần tìm là: L( 1; -1 ) K ( - 2; - )
(xem hình vẽ)
O
Câu 4:
a) Tứ giác AEHF có: AEH AFH 90= = 0(gt) Suy AEHFlà tứ giác nội tiếp
- Tứ giác BCEF có: BEC BFC 90= = 0(gt) Suy BCEF tứ giác nội tiếp
b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: BEF BCF= (1) Mặt khác BMN =BCN = BCF (góc nội tiếp chắn BN ) (2) Từ (1) (2) suy ra: BEF BMN= ⇒ MN // EF
c) Ta có: ABM ACN= ( BCEF nội tiếp) ⇒AM AN= ⇒AM = AN , lại có OM = ON nên suy OA đường trung trực MN ⇒OA⊥MN , mà MN song song với EF nên suy
OA⊥EF
Câu 5: ĐK: y > ; x R Ta có: P = hoctoan capba.com
2
x - x y + x + y - y + ( )
2
2 y 3y y
= x - x( y - 1) + + - +
4 4
−
2 2
y 2
x - y
2 3
−
= + − + ≥
Dấu “=” xảy
- x =
3 y =
9
⇔
Suy ra: Min P =
ĐỀ SỐ 4 Câu 1: a)
( )2
4 4
3
3 = 3 = ;
( )
( )( )
5
5
5 5
+ =
− − + = ( )2
5 5
4
5
+ = +
−
b) Thay x = - y =
4vào hàm số y = ax
2 ta được: a.(-2)2 4a = 1 a =
4= ⇔ ⇔ 16
Câu 2:
( )2
7 - x x (1)
a) 2x + = - x
x 16x + 48 = 2x + = - x
≥
≤
⇔ ⇔
−
(29)29 b)
1 2x + 3y = 4x + 6y = 4 10x = x =
2
1 6x - 6y = 1 1
x - y = y = x -
y =
6
3
⇔ ⇔ ⇔
Câu 3: a) Với m = ta có phương trình: x2 – 6x + = Giải ta hai nghiệm: x1 = 3+ 5; x2 = −3 b) Ta có: ∆/ = m2 –
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ / 0 m m -2
≥
∆ ≥ ⇔ ≤
(*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m x1x2 = Suy ra: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 =
⇔x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0⇔(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = ⇔4m2 – + 4m =
⇔m2 + m – = ⇔
m
m
=
= −
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy có nghiệm m2 = - thỏa mãn Vậy m = - giá trị cần tìm
Câu 4:
a) Tứ giác BIEM có:IBM IEM 90= = 0(gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường
kính IM
b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME IBE 45= = 0(do ABCD hình vng)
c) ∆EBI ∆ECM có:IBE MCE 45= = 0, BE = CE
, BEI CEM= ( IEM BEC 90= = 0)
⇒ ∆EBI = ∆ECM (g-c-g)⇒ MC = IB; suy MB = IA
Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có:
MA MB
MN = MC= IA
IB Suy IM song song với BN (định lí Thalet đảo)
0 BKE IME 45
⇒ = = (2) Lại có BCE 45= 0(do
ABCD hình vng)
Suy BKE BCE= ⇒BKCE tứ giác nội tiếp Suy ra: BKC BEC 180+ = 0mà BEC 90= 0; suy
0
BKC 90= ; hay CK ⊥ BN
I
E M
N
B C
A D
K
Câu 5:
Ta có: (a - b) (2+ b - c) (2+ c - a)2 ≥0⇔2 a( 2+b2+c2)≥2 ab + bc + ca( )
⇔ a2+b2+c2 ≥ab + bc + ca(1)
Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có: a2 < a.(b+ c)⇒a2 < ab + ac Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) 6 3.6 2.6
2 3
− = − = − = − =
(30)30
1 2a + b = 2b = a =
2 - 2a + b = 2a + b =
b =
⇔ ⇔
Câu 2: a) Giải phương trình: x2 – 3x + = 0.Ta có: * = 9 – = 5 Phương trình có hai nghiệm: x1 =
2
+
; x2 =
−
b) Điều kiện: x ≠ ±1
( ) ( )
2 2
x x + - x -
x - 4
+ = + =
x - x + x - 1⇔ x - x - x -
⇔ x(x + 1) – 2(x – 1) = ⇔x2 – x – = ⇔
x
x
= −
=
Đối chiếu với điều kiện suy phương trình cho có nghiệm x =
Câu 3: Gọi vận tốc ô tô thứ x (km/h) Suy vận tốc ô tô thứ hai là: x – 10 (km/h) (Đk: x > 10)
Thời gian để ô tô thứ ô tô thứ hai chạy từ A đến B 120 x (h)
120 x - 10(h) Theo ta có phương trình: 120 120 0,
x = x - 10−
Giải ta x = 60 (thỏa mãn).Vậy vận tốc ô tô thứ 60 km/h ô tô thứ hai 50 km/h
Câu 4:
a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật
b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy ra:
F E
O D
C
B A
0
CAD BCE 90= = (1) Lại có CBE
= sđBC(góc tạo tiếp tuyến dây cung);
ACD
= sđ AD (góc nội tiếp), mà BC AD= (do BC = AD)⇒CBE ACD= (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE
c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE DFE= (3) Từ (2) (3) suy ACD DFE= tứ giácCDFE nội tiếp đường tròn
d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra:
2
2
S EB
S = EF
S EB
S EF
⇒ = Tương tự ta có S2 BF
S = EF Từ suy ra:
1
S S
1
S + S = ⇒ S1 + S2 = S Câu 5: Đk: x3 + ≥0 ⇔ x -1≥ (1)
Đặt: a = x + ; b = x - x + ,( a2 ≥0; b>0) (2) ⇒ a2 + b2 = x2 +
Khi phương trình cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) ⇔(a - 3b 3a - b)( )=0
⇔ a = 3b b = 3a
+) N ếu a = 3b từ (2) suy ra: x + = x - x + 2 ⇔9x2 – 10x + = (vô nghiệm) +) N ếu b = 3a từ (2) suy ra: x + = x - x + 12 ⇔9x + = x2 – x + ⇔x2 – 10x – = Phương trình có hai nghiệm x1 = 5+ 33; x2 = 5− 33 (thỏa mãn (1))
(31)31 ĐỀ SỐ 6
Câu 1:
( ) ( )
( )( )
3 3
3 3
a) A = 2
3 3
2 3
+ −
+ −
+ − = + −
+ − + −
= + − =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
b a b a
b) - a b - b a - ab a - b
a - ab ab - b a a b b a b
b ab a ab
b - a a > 0, b > 0, a b
a b
=
− −
= − = ≠
Câu 2:
a) Đk: x 0≠ y 0.≠ (*)
Rút y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được:
2
2
2 2x 3x - =
x x + 1+ = ⇔ −
x x
2
= ⇔
= −
+ Với x = 2, suy y = x + = (thoả mãn (*)) + Với x =
2
− , suy y = x +1 =
2 (thoả mãn (*)) Vậy hệ cho có hai nghiệm: (2; 3) 1;
2
−
b) Phương trình x2 – x – = có hệ số a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = -
Do đó: P = x12 + x22= (x1 + x2)2 – 2x1x2 = + = Câu 3:
a) Viết đường thẳng 2x + y = dạng y = - 2x +
Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng trên, suy a = - (1) Vì đường thẳng y = ax + b qua điểm M (2;
2) nên ta có:
2a + b
2= (2) Từ (1) (2) suy a = - b =
2
b) Gọi kích thước hình chữ nhật x (cm) y (cm) ( x; y > 0)
Theo ta có hệ phương trình:
( )( )
xy = 40 xy = 40
x + y + xy + 48 x + y = 13
⇔
=
Suy x, y hai nghiệm phương trình: t2 – 13t + 40 = (1) Giải phương trình (1) ta hai nghiệm
(32)32
a) Ta có:
0
MAB 90= (gt)(1).MN C 90= 0(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn) ⇒MN B 90= 0 (2)
Từ (1) (2) suy ABN M tứ giác nội tiếp Tương tự, tứ giác ABCI có: BAC BIC 90= =
⇒ ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn
I N
M C
B
A
b) Tứ giác ABN M nội tiếp suy MN A MBA= (góc nội tiếp chắn cung AM) (3) Tứ giác MN CI nội tiếp suy MN I MCI= (góc nội tiếp chắn cung MI) (4) Tứ giác ABCI nội tiếp suy MBA MCI= (góc nội tiếp chắn cung AI) (5) Từ (3),(4),(5) suy MN I MN A= ⇒ N M tia phân giác AN I
c) ∆BN M ∆BIC có chung góc B BN M BIC 90= = 0⇒ ∆BN M ~ ∆BIC (g.g) BN BI
BM BC
⇒ =
⇒⊂BM.BI = BN BC
Tương tự ta có: CM.CA = CN CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6)
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7)
Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh Câu 5: A = - 2x xy - 2+ y x 3+
Trước hết ta thấy biểu thức A có nghĩa khi: 0 ≥
≥
x
xy (1)
Từ (1) ta thấy x = y nhận giá trị tùy ý thuộc R (2)
Mặt khác, x = A = y + 3mà y nhỏ tùy ý nên A nhỏ tùy ý Vậy biểu thức A khơng có giá trị nhỏ
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Biểu thức A có nghĩa - 1 3 -
≥
⇔ ⇔ ≤ ≤
≥
x
x
x
b)
( )( ) ( )( )
1 5
3 5 5 5
+ −
− = −
− + − + + −
= 3 5 (3 5) ( 1)
9 5
+ − −
+ −
− = =
− −
Câu 2: a) ( x – )2 = 4⇔x – = ±
=
⇒ =
x
x
Vậy phương trình có nghiệm x = 5; x = b) Đk: x
2
≠ −
- 1 - 1 (2 - 2) - (2 1)
- 0
2 2 2(2 1)
+
< ⇔ < ⇔ <
+ + +
x x x x
x x x
( )
3
0 2x + > x >
-2 -2x +
−
(33)33 Câu 3: a) Ta có ∆/ = m2 + > 0, m R Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7⇔(x1 + x2)2 – 3x1.x2 =
⇔4m2 + = 7⇔m2 = ⇔m = ± Câu 4:
a) ∆SBC ∆SMA có: BSC MSA= , SCB SAM=
(góc nội tiếp chắn MB)
SBC SMA
⇒ ∆ ~ ∆
b) Vì AB CD nên AC AD= Suy MHB MKB= (vì 1(sdAD sdMB)
2 + ⇒ tứ
giác BMHK nội tiếp đường tròn ⇒HMB HKB 180+ = 0(1)
Lại có: HMB AMB 90= = 0 (2)
(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Từ (1) (2) suy HKB 90= 0, HK // CD (cùng vng góc với AB)
c) Vẽ đường kính MN , suy MB AN= Ta có: OSM ASC
2
= = (sđ AC - sđBM); OMK N MD
= = sđ N D =
2(sđAD- sđ AN ); mà AC AD= MB AN= nên suy OSM OMK=
OSM OMK
⇒ ∆ ~ ∆ (g.g) 2
OS OM
OK.OS = OM R
OM OK
⇒ = ⇒ =
Câu 5: Giải hệ phương trình:
3
(1) (2)
+ =
+ =
x y
y x
Lấy pt (1) trừ pt (2) ta được: x3 – y3 = 2(y – x)
⇔(x – y)(x2 – xy + y2 + 2) = ⇔x – y = 0⇔x = y ( x2 – xy + y2 + =
2 2
y 3y
x -
2
+ + >
)
Với x = y ta có phương trình: x3 – 2x + =
⇔(x – 1)(x2 + x – 1) = ⇔ x = 1; x =-1+ 5; x=-1-
2
Vậy hệ cho có nghiệm là: ( )1;1 , 5; , 5;
2 2
− + − + − − − −
ĐỀ SỐ Câu 1:
2 15 14 a)
- - - - -
+ = + = = =
⇔ ⇔ ⇔
= = = =
x y x y x x
x y x y y x y
b) Phương trình 3x2 – x – = có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1và x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 =
3 x1.x2 =
(34)34
Do P =
1 2
1 1
:
3
+
+ = = − = −
x x
x x x x
Câu 2:
( )
a a a a
a) A = : a a
a a( a - 1) ( a - 1)( a 1) a ( a - 1)
+
− = − − = −
− + −
b) A < a > 0, a a < a
≠
⇔ ⇔ <
<
Câu 3: a) Với m = ta có phương trình x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có: ∆ = – 4(1 + m) = -3 – 4m
Để phương trình có nghiệm ∆≥0 ⇔- – 4m≥0 ⇔4m m -
≤ − ⇔ ≤ (1)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = 3⇔m2 = ⇔m = ±
Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn Câu 4:
a) Vì MA, MC tiếp tuyến nên:
0
MAO MCO 90= = ⇒AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO
0
ADB 90= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒ADM 90= 0(1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC
0
AEM 90
⇒ = (2)
x N
I
H E D M
C
O B
A
Từ (1) (2) suy MADE tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MA
b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ADE AME AMO= = (góc nội tiếp chắn cung AE) (3) Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: AMO ACO= (góc nội tiếp chắn cung AO) (4)
Từ (3) (4) suy ADE ACO=
c) Tia BC cắt Ax N Ta có ACB 90= 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ACN =900,
suy ∆ACN vng C Lại có MC = MA nên suy MC = MN , MA = MN (5) Mặt khác ta có CH // N A (cùng vng góc với AB) nên theo định lí Ta-lét
IC IH BI
MN MA BM
= =
(6)
Từ (5) (6) suy IC = IH hay MB qua trung điểm CH Câu 5: Vì b, c ∈[ ]0;1 nên suy b2 ≤b; c3≤c Do đó:
a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ a + b + c – ab – bc – ca (1)
Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + (2) Vì a, b, c ∈[0 ; 1] nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) ≤ ; – abc≤0
Do từ (2) suy a + b + c – ab – bc – ca ≤ (3) Từ (1) (3) suy a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤
(35)35 ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Thay x = 2+ vào hàm số ta được: y = ( 3 2− )( 3 2+ )+ =1 ( )3 2−22+ =1 0
b) Đường thẳng y = 2x – cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x =
2; đường thẳng y = 3x + m cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = m
3
− Suy hai đường thẳng cắt
điểm trục hoành m m = -3
3 2
⇔ − = ⇒
Câu 2: a) A = x x : x - x - x x
+
+
− −
( )( ) ( )( )
x x
3( x 2) x
:
x x
x x
+ − +
= +
− + − −
3 x 1
x x x
+
= =
− + −
, với x 0, x 4, x 9≥ ≠ ≠
b) Điều kiện: x ≠ x ≠ - (1)
2
2
x 3x x 3x x
(1) x 3x x
(x 2)(x 3) x (x 2)(x 3) (x 2)(x 3)
− + − + +
⇔ = ⇔ = ⇔ − + = +
+ − − + − + −
⇔x2 – 4x + = Giải ta được: x
1 = (thỏa mãn); x2 = (loại (1)) Vậy phương trình cho có nghiệm x =
Câu 3: a) Thay m = vào hệ cho ta được: 3x - y = 6x - 2y = 7x = x = x + 2y = x + 2y = x + 2y = y =
⇔ ⇔ ⇔
Vậy phương trình có nghiệm (1; 2) b) Giải hệ cho theo m ta được:
3x - y = 2m - 6x - 2y = 4m - 7x = 7m x = m x + 2y = 3m + x + 2y = 3m + x + 2y = 3m + y = m +
⇔ ⇔ ⇔
N ghiệm hệ cho thỏa mãn x2 + y2 = 10
⇔m2 + (m + 1)2 = 10 ⇔2m2 + 2m – = Giải ta được: m1 19; m2 19
2
− + − −
= =
Câu 4:
a) Tứ giác ACN M có: MN C 90= 0(gt) MAC 90= 0( tínhchất tiếp tuyến)
⇒ACN M tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDN M nội tiếp đường trịn đường kính MD
b) ∆AN B ∆CMD có:
ABN =CDM(do tứ giác BDN M nội tiếp)
(36)36
c) ∆AN B ~ ∆CMD⇒CMD AN B= = 900 (do AN B góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Suy IMK IN K 90= = 0⇒ IMKN tứ giác nội
tiếp đường trịn đường kính IK IKN IMN
⇒ = (1)
Tứ giác ACN M nội tiếp ⇒IMN =N AC(góc nội tiếp chắn cung N C) (2)
K I
y x
D
C N
M O B
A
Lại có: N AC ABN (1
= = sđ AN ) (3)
Từ (1), (2), (3) suy IKN =ABN ⇒ IK // AB (đpcm)
Câu 5: Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
a + b 2(a + b)
(1) a 3a + b + b 3b + a = 4a 3a + b + 4b 3b + a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được:
( ) ( )
( ) ( )
4a + (3a + b) 7a + b
4a 3a + b
2
4b + (3b + a) 7b + a
4b 3b + a
2
≤ =
≤ =
Từ (2) (3) suy ra: 4a 3a + b( )+ 4b 3b + a( )≤4a + 4b 4( ) Từ (1) (4) suy ra:
( ) ( )
a + b 2(a + b) 4a + 4b
a 3a + b + b 3b + a ≥ = Dấu xảy a = b
Bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho số không âm Cụ thể : + Với hai số a 0, b ta có
2
a b ab
+
≥ , dấu đẳng thức có a = b + Với ba số a 0, b 0, c ta có
3
a b c
abc
+ +
≥ , dấu đẳng thức có a = b = c
ĐỀ SỐ 10 Câu 1:
( )2 ( )
a) A = 8− 50− 1− =6 2− − = 2− − 1− =1
b) ( )
2
2 2
x - x -
2 x - 2x + 2
B =
x - 4x = x - x = x - x Vì < x < nên x - 1= −(x - ; x) =x ( )
( )
- x - 1 B =
2x x - x
⇒ = −
Câu 2: a) x - 1( ) y = 2x y = 2x y = x = 2x - 6y = - 16 7y = 21 y = x - 3y = -
+ + +
⇔ ⇔ ⇔
(37)37 Khi phương trình cho trở thành: t2 + 3t – = (2)
Phương trình (2) có tổng hệ số 0; suy (2) có hai nghiệm: t1 = (thỏa mãn (1)); t2 = - (loại (1))
Thay t1 = vào (1) suy x = nghiệm phương trình cho
Câu 3: Gọi x số sản phNm loại I mà xí nghiệp sản xuất giờ(x > 0) Suy số sản phNm loại II sản xuất x + 10
Thời gian sản xuất 120 sản phNm loại I 120 x (giờ) Thời gian sản xuất 120 sản phNm loại II 120
x + 10 (giờ) Theo ta có phương trình: 120 120
x +x + 10= (1) Giải phương trình (1) ta x1 = 30 (thỏa mãn); x2 = 40
7
−
(loại)
Vậy xí nghiệp sản xuất 30 sản phNm loại I 40 sản phNm loại II Câu 4:
c) Ta có CMA DN A 90= = 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy CM // DN hay CMN D
là hình thang
Gọi I, K thứ tự trung điểm MN CD Khi IK đường trung bình hình thang CMN D Suy IK // CM // DN (1) CM + DN = 2.IK (2)
Từ (1) suy IK MN ⇒ IK ≤ KA (3) (KA số A K cố định)
Từ (2) (3) suy ra: CM + DN ≤ 2KA Dấu “ = ” xảy IK = AK⇔d AK A
Vậy đường thẳng d vng góc AK A (CM + DN ) đạt giá trị lớn 2KA Câu 5: Ta có:
(x + x2+2011 y + y)( +2011)=2011 (1) (gt) (x + x2+2011 x - x)( +2011)= −2011 (2) (y + y2+2011 y - y)( 2+2011)= −2011 (3)
Từ (1) (2) suy ra:
(y + y2+2011) (= − x - x2+2011) (4)
Từ (1) (3) suy ra:
(x + x2+2011) (= − y - y2+2011) (5)
a) Ta có ABC ABDlần lượt góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (O/)
0
ABC ABD 90
⇒ = =
Suy C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có:
0
CFD CFA 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
0
CED AED 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/)
0
CFD CED 90
⇒ = = suy CDEF tứ giác nội tiếp
d
K I
N
M
F E
O/ O
C
D B
(38)38
I E
x M O
C B
A
Cộng (4) (5) theo vế rút gọn ta được: x + y = - (x + y) ⇒ 2(x + y) = 0⇒ x + y = ĐỀ SỐ 11
Câu 1: 1) Rút gọn
A = ( ) ( )
( ) ( )
2
1 - a + a + a 1 - a + a
1 - a - a + a
= ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1
1 + a + a = + a =
1 + a + a
2) Giải phương trình: 2x2 - 5x + =
Phương trình có tổng hệ số nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = Câu 2: 1) Hàm số nghịch biến R - k < ⇔ k >
2) Giải hệ:
x =
4x + y = 8x +2y = 10 11x = - 11
3x - 2y = - 12 3x - 2y = -12 4x + y = 63 y =
11
−
⇔ ⇔ ⇔
Câu 3: 1) Phương trình có nghiệm trái dấu khi: m <
2) Phương trình có nghiệm x1, x2 ⇔ ∆’ = - m ≥ ⇔ m ≤ Theo hệ thứcViét ta có
1
x + x = (1) x x = m (2)
Theo yêu cầu x1 - x2 = (3) Từ (1) (3) ⇒ x1 = 5, thay vào (1) ⇒ x2 = Suy m = x1.x2 = (thoả mãn)
Vậy m = giá trị cần tìm
Câu 4:
a) Ta có E trung điểm AC⇒ OE ⊥ AC hay OEM = 900
Ta có Bx ⊥ AB ⇒ ABx =900 nên tứ giác CBME nội tiếp b) Vì tứ giác OEMB nội tiếp ⇒
OMB = OEB (cung chắn OB ), EOM = EBM (cùng chắn cung EM)
EIO
⇒ ∆ ~ MIB∆ (g.g)⇒ IB.IE = M.IO
Câu 5: Ta có : P = 3x + 2y + + = ( x + y) + ( x + ) + ( + )8 3 y
x y 2 x y
Do 3x + y = x + y = 9.3 ( )
2 2 ≥
3x 3x
+ =
2 x ≥ x ,
y y
+ =
2 y ≥ y
(39)39
k
d a
Dấu xNy
x + y =
x = 3x
=
y =
2 x
y
=
2 y
⇔
Vậy P = 19 ĐỀ SỐ 12
Câu 1: Rút gọn biểu thức
1) A = 20 - 45 + 18 + 72 = - + + 36 = - + + = 15 -
2) B = + a + a + a - a a + 1 - a
với a ≥ 0, a ≠
= + a ( a + 1) - a ( a - 1) a + a -
= (1 + a ) (1 - a ) = - a
Câu 2: 1) Đồ thị hàm số qua điểm M (- 2; -12) nên ta có: - 12 = a (- 2)2 ⇔ 4a = -12
⇔ a = - Khi hàm số y = - 3x2
2) a) Với m = ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0 ∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11
x1 = - - 11; x2 = - + 11
b) Phương trình có nghiệm phân biệt khi:
∆’ > ⇔ (m + 1)2 - m2 > 0⇔ 2m + > ⇔ m > - (*) Phương trình có nghiệm x = - ⇔ - (m + 1) + m2 =
⇔ m2 - 4m = ⇔ m = m =
(thoả mãn điều kiện (*))
Vậy m = m = giá trị cần tìm
Câu 3:
Gọi chiều dài ruộng x, chiều rộng y (x, y > 0, x tính m) Diện tích ruộng x.y
N ếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm m diện tích ruộng lúc là: (x + 2) (y + 3)
N ếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích ruộng cịn lại (x-2) (y-2) Theo ta có hệ phương trình:
(x + 2) (y + 3) = xy + 100 (x - 2) (y - 2) = xy - 68
xy + 3x + 2y + = xy + 100 xy - 2x - 2y + = xy - 68
⇔
3x + 2y = 94 x = 22 x = 22 2x + 2y = 72 x + y = 36 y = 14
⇔ ⇔ ⇔
Vậy diện tích ruộng là: S = 22 14= 308 (m2) Câu 4: 1) Ta có BAC = 90 (gt)0
0
(40)40
A, D nhìn BC góc 900, tứ giác ABCD nội tiếp
Vì tứ giác ABCD nội tiếp.⇒ ADB = ACB (cùng chắn cung AB) (1)
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp⇒ADB = ACS (cùng bù với MDS) (2)
Từ (1) (2) ⇒ BCA = ACS
2) Giả sử BA cắt CD K Ta có BD ⊥ CK, CA ⊥BK
⇒ M trực tâm ∆KBC Mặt khác MEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
⇒ K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy K
3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp ⇒ DAC = DBC (cùng chắn DC ) (3) Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp ⇒ MAE = MBE (cùng chắn ME) (4) Từ (3) (4) ⇒ DAM = MAE hay AM tia phân giác DAE
Chứng minh tương tự: ADM = MDE hay DM tia phân giác ADE Vậy M tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE
Câu 5: Ta có: x2 - 3x + = (x - 1) (x - 2), x2 + 2x - = (x - 1) (x + 3) Điều kiện: x ≥ (*)
Phương trình cho⇔ (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + - x - = x - ( x - - x + 3) - ( x - - x + 3) =
⇔
( x - - x + ) ( x - - = 0)
⇔
x - = x + (VN )
2 x - - =
⇔ ⇔ =
x (thoả mãn đk (*))
Vậy phương trình cho có nghiệm x =
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, phương pháp thường dùng chứng minh ba đường thẳng ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác tam giác
ĐỀ SỐ 13 Câu 1:
1) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠
Ta có: ( ) ( )
( ) ( ) (( ) )
a - a + a + a + a - a + a + 2
P = - :
a -
a a - a a +
a + a + - a + a - a +
= :
a -
a
2 (a - 2) =
a + 2) Ta có: P = 2a - = 2a + - = -
a + a + a + P nhận giá trị nguyên ⋮ (a + 2)
a + = a = - 1; a = - a + = a = ; a = -
a + = a = ; a = - a + = a = ; a = - 10
±
±
⇔ ⇔
±
±
Câu 2:
1) Đường thẳng qua điểm M (1; -1) a + (2a - 1) (- 1) + =
⇔ a - 2a + = ⇔ a =
Suy đường thẳng 4x + 7y + = 7y = - 4x - y = - 4x -
7
(41)41 nên hệ số góc đường thẳng
7
−
2) a) Phương trình có nghiệm x = nên: m + = 0⇔m= −1 b) Phương trình có nghiệm khi:
∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ ⇔ m2 - m2 + ≥ 0, ∀m Ta có x1.x2 = ⇔ m +
m - = ⇔ m + = 5m -
3 4m = m =
2
⇔ ⇔
Với m =
2 ta có phương trình : 2x
2 - 3x + 5 =
2 ⇔ x
2 - 6x + = Khi x1 + x2 = - b =
a
Câu 3: Hệ cho 4x + 7y = 18 25x = 25 x = 21x - 7y = 3x - y = y =
⇔ ⇔ ⇔
Câu 4:
1) Theo giả thiết ta có:B = B , B = B1 2 3 4
Mà
1
B + B + B + B = 180
2
B +B =90
Tương tự
2
C + C = 90
Xét tứ giác BICK có B + C = 180⌢ ⌢
⇒ điểm B, I, C, K thuộc đường trịn tâm O đường kính IK
2) N ối CK ta có OI = OC = OK (vì ∆ICK vng C)⇒ ∆ IOC cân O
⇒ OIC = ICO (1)
Ta lại có C = C1 2 (gt) Gọi H giao điểm AI với BC
2
2
4
1
K I
H
B C
A
O
Ta có AH ⊥ BC (Vì ∆ ABC cân A)
Trong ∆ IHC có HIC + ICH = 90 0 ⇒ OCI + ICA = 90 0
Hay ACO = 90 hay AC tiếp tuyến đường tròn tâm (O) 0
3) Ta có BH = CH = 12 (cm)
Trong ∆ vng ACH có AH2 = AC2 - CH2 = 202 - 122 = 256 ⇒AH = 16 Trong tam giác ACH, CI phân giác góc C ta có:
IA AC AH - IH AC 20
= = = =
IH CH ⇒ IH CH 12 ⇒ (16 - IH) = IH ⇒ IH = Trong ∆ vng ICH có IC2 = IH2 + HC2 = 62 + 122 = 180
Trong ∆ vuông ICK có IC2 = IH IK
IC 180 IK = = = 30
IH
⇒ , OI = OK = OC = 15 (cm)
Câu 5:
Ta có x + x + 2010 = 2010 (1) Điều kiện: x ≥ - 2010 2
(1) x + x + - x - 2010 + x + 2010 - = 02 1
4
(42)42
2
1
x + - x +2010 - =
2
⇔
1
x + = x + 2010 - (2)
2
1
x + = - x + 2010 + (3)
2
⇔
Giải (2) : (2) ⇔ x 02
(x 1) x 2010 (4)
+ ≥
+ = +
(4) ⇔(x + 1)2 = x + 2010 ⇔ x2 + x - 2009 = ∆ = + 2009 = 8037
1
- + 8037 -1 - 8037 x = ; x =
2 (loại)
Giải (3): (3) ⇔ x x 2010 22010 x
x x 2010 (5)
− ≤ ≤
= − + ⇔
= +
(5)
x x 2010
⇔ − − = ∆ = + 2010 = 8041,
1
1 + 8041 - 8041 x = ; x =
2 (loại nghiệm x1)
Vậy phương tình có nghiệm: x 8037; x 8041
2
− + −
= =
SỐ 14
Câu 1: 1) Ta có : P = x + + x - + x x - x - x +2
P = ( x +1) ( x +2) + x ( x - 2) - - x ( x - 2) ( x + 2) = = x + x +2 + 2x - x - - x
( x +2) ( x - 2)
= 3x - x = x ( x 2) = x ( x + 2) ( x - 2) ( x + 2) ( x - 2) x +2
−
2) P = x = x = x +4 x = x = 16
x +2 ⇔ ⇔ ⇔
Câu 2: 1) d song song với trục Ox m m
n n
− = =
⇔
≠ ≠
2) Từ giả thiết, ta có: m m
1 m n n
− = − = −
⇔
− = − + =
Vậy đường thẳng d có phương trình: y= −3x 2+
Câu 3: 1) Với m = - ta có phương trình: x2 + 8x = ⇔ x (x + 8) = ⇔ x = x = -
2) Phương trình (1) có nghiệm khi:
∆’ ≥ ⇔0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ ⇔m2 - 2m + + m + ≥
⇔m2 - m + > ⇔ 15
(m )
2
− + > m∀
Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt ∀m Theo hệ thức Vi ét ta có:
1
x + x = 2(m - 1) (1) x - x = - m - (2)
Ta có 2
1
(43)43
o2 o1
o
e f
h
c b
a
⇔ 4m2 - 6m + 10 = 10
m = 2m (2m - 3) = 3
m =
⇔ ⇔
3) Từ (2) ta có m = -x1x2 - vào (1) ta có: x1 + x2 = (- x1x2 - - 1) = - 2x1x2 -
⇔ x1 + x2 + 2x1x2 + =
Đây hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m Câu 4: 1) Từ giả thiết suy
0
CFH = 90 , HEB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Trong tứ giác AFHE có: A = F = E = 90 ɵ ⇒ AFHE
hình chữ nhật
2) Vì AEHF hình chữ nhật ⇒ AEHF nội tiếp ⇒ AFE = AHE (góc nội tiếp chắn AE) (1) Ta lại có AHE = ABH (góc có cạnh tương ứng ⊥) (2)
Từ (1) (2)
⇒AFE = ABH mà CFE + AFE = 180 0
CFE + ABH = 180
⇒ Vậy tứ giác BEFC nội tiếp
3) Gọi O1, O2 tâm đường trịn đường kính HB đường kính HC Gọi O giao điểm AH EF Vì AFHE hình chữ nhật ⇒ OF = OH ⇒ ∆ FOH
cân O ⇒ OFH = OHF Vì ∆ CFH vng F ⇒ O2C = O2F = O2H ⇒ ∆ HO2F cân O2.⇒ O FH = O HF2 2 mà O HF + FHA = 90 2 ⇒ O FH + HFO = 90 2 Vậy EF tiếp tuyến đường tròn tâm O2
Chứng minh tương tự EF tiếp tuyến đường tròn tâm O1 Vậy EF tiếp tuyến chung nửa đường tròn
Câu 5: Tìm GTLN , GTN N x thoả mãn
2 2
x + a + b + c = (1) x + a + b + c = 13 (2)
Từ (1) ⇒ a + b + c = - x Từ (2) ⇒ a2 + b2 + c2 = 13 - x2 Ta chứng minh: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2
⇔ 3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc ≥
⇔ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ (đpcm)
Suy (13 - x2) ≥ (7 - x)2 ⇔ (13 - x2) ≥ 49 - 14x + x2
⇔4x2 - 14x + 10 ≤ ⇔ ≤ x ≤ 5
5
x a b c , x a b c
2
= = = = = = = =
Vậy max x =
2, x = ĐỀ SỐ 15
Câu 1: a) M = x - : + x - x - x - x x +
=
( ) ( ) ( ) ( )
x x -
- : +
x - x ( x - 1) x - x + x - x +1
(44)44
a
h b o
n
m
k
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x - x +
x - x + x -
: =
x + x x - x - x +1 x x -
= x - x
b) M > ⇔ x - > (vì x > nên x > 0) ⇔ x > (thoả mãn) Câu 2: a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a c = (-1) = -1 <
⇒ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Vì phương trình ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1
1
b x + x = - 2m
a c x x = = -
a
=
đó: 2 ( )2
1 2 2
x + x - x x = ⇔ x + x - 3x x =
⇔ (2m)2 - ( -1) = ⇔ 4m2 = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Câu 3: Gọi x (chiếc) số xe lúc đầu (x nguyên, dương)
Số xe lúc sau là: x + (chiếc) Lúc đầu xe chở: 480
x (tấn hàng), sau xe chở: 480
x + (tấn hàng) Ta có phương trình: 480 - 480 =
x x +3 ⇔ x
2 + 3x - 180 = Giải phương trình ta x1 = - 15 (loại); x2 = 12 (TMĐK) Vậy đoàn xe lúc đầu có 12
Câu 4: a) AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ⇒ AM ⊥ MB (1)
MN = BN (t/c tiếp tuyến cắt nhau), OM = OB
⇒ ON đường trung trực đoạn thẳng MB
⇒ ON ⊥ MB (2)
Từ (1) (2) ⇒ AM // ON ⇒ OAMN hình thang b) ∆ N HK có HM ⊥ N K; KB ⊥ N H
suy O trực tâm ∆N HK ⇒ ON ⊥ KH (3) Từ (2) (3) ⇒ KH // MB
Câu 5: 5x - x(2 + y) + y2 + = (1) Điều kiện: x ≥ Đặt x= z, z ≥0, ta có phương trình:
5z2 - 2(2 + y)z + y2 + =
Xem (2) phương trình bậc hai Nn z phương trình có nghiệm ∆’ ≥ ∆’ = (2 + y)2 - 5(y2 + 1) = - (2y - 1)2 ≤ với ∀y
Để phương trình có nghiệm ∆’ = y =
⇔
Thế vào (1) ta tìm x =
4 Vậy x =
1 y =
2 giá trị cần tìm ĐỀ SỐ 16
Câu 1:
1) K = x - x(2 x - 1) x - x( x - 1) =
x - x +
(45)45
q o
p
e d
c b
a
2) Khi x = + , ta có: K = 3+ - = ( +1)2-1 = +1-1 =
Câu 2:
1) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + nên a =
Vì đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1;2) nên ta có:2 = 3.(-1) + b b= (t/m b 1≠ )
Vậy: a = 3, b = giá trị cần tìm 2) Giải hệ phương trình: 3x + 2y =
x - 3y =
⇔
3 (3y + 2) + 2y = x = 3y +
11y x
x 3y y
= =
⇔ ⇔
= + =
Baì 3:
Gọi x sốxe lúc đầu ( x nguyên dương, chiếc) Số xe lúc sau : x+3 (chiếc)
Lúc đầu xe chở : 96
x (tấn hàng)
Lúc sau xe chở : 96
x + ( hàng)
Ta có phương trình : 96
x - 96
x + = 1,6 ⇔x
2 + 3x -180 = Giải phương trình ta được: x1= -15 ; x2=12
Vậy đồn xe lúc đầu có: 12 (chiếc)
CâuCDE 4: 1) =
2
1Sđ DC =
1Sđ BD = BCD
⇒ DE// BC (2 góc vị trí so le trong) 2) APC =
2
1 sđ (AC - DC) = AQC
⇒ Tứ giác PACQ nội tiếp (vì APC = AQC) 3) Tứ giác APQC nội tiếp
CPQ = CAQ (cùng chắn CQ) CAQ = CDE (cùng chắn DC ) Suy CPQ = CDE ⇒ DE // PQ Ta có : DE
PQ = CE
CQ (vì DE//PQ) (1) , DE FC =
QE
QC (vì DE// BC) (2) Cộng (1) (2) : DE + DE = CE + QE = CQ =
PQ FC CQ CQ
1 1
+ =
PQ FC DE
⇒ (3)
ED = EC (t/c tiếp tuyến); từ (1) suy PQ = CQ Thay vào (3) ta có : + =
CQ CF CE
Câu : Ta có a
a + b + c < a b + a <
a + c
a + b + c (1) b
a + b + c < b b + c <
b + a
a + b + c (2) c
a + b + c < c c + a <
c + b
a + b + c (3) Cộng vế (1), (2), (3), ta : < a
a + b + b b + c +
c
c + a < 2, đpcm ĐỀ SỐ 17
(46)46
e
h t
k o d
c b
a
A = x1.x2 = ( )( ) ( )
2
3 + - = + - = - = - = =
B = 2 ( ) (2 )2
1
x +x = + + - = + + - =
Câu 2: a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, = - 33
2
±
b) Ta có ∆ = [ ]2
- (2m +1 - (m + 5m) = 4m2 + 4m + - 4m2 - 20m = - 16m Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ - 16m ≥ m
16
⇔ ≤
Khi hệ thức Vi-ét ta có tích nghiệm m2 + 5m
Mà tích nghiệm 6, m2 + 5m = ⇔ m2 + 5m - = Ta thấy a + b + c = + + (-6) = nên m1 = 1; m2 = -
Đối chiếu với điều kiện m ≤
16 m = - giá trị cần tìm
Câu 3: a) Khi m = - 2, ta có hai đường thẳng y = - x - + = - x y = (4 - 2)x + = 2x +
Ta có toạ độ giao điểm đường thẳng nghiệm hệ y = - x y = 2x +
- x = 2x + x = -
⇔ Từ tính : y
=
Vậy tọa độ giao điểm A( 1; ) 3
−
b) Hai đường thẳng (d), (d′) song song
2 m = 1
m - = -
m = m -
m +
±
⇔ ⇔
≠
≠
Vậy m = hai đường thẳng cho song song với
Câu 4: a) Trong tam giác vng ATO có:
R2 = OT2 = OA OH (Hệ thức lượng tam giác vng) b) Ta có ATB = BCT⋑ (cùng chắn cung TB)
BCT = BTH (góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) ATB = BTH
⇒ hay TB tia phân giác góc ATH
c) Ta có ED // TC mà TC ⊥ TB nên ED ⊥ TB ∆ TED có TB vừa đường cao vừa đường phân giác nên ∆TED cân T
d) BD // TC nên HB = BD = BE
HC TC TC (vì BD = BE) (1) BE // TC nên BE = AB
TC AC (2)
Từ (1) (2) suy ra: HB = AB
HC AC
Câu 5: Từ giả thiết: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 =
( )2 ( ) 7 2
x +y + x +y + - + 10 = - y
2 2
⇒ ≤
(47)47
I
Q
O O'
F H
P E
D
C B
A
2
7 9
x + y + - x + y +
2 4
≤ ⇒ ≤
Giải - ≤ x + y + ≤ -
A = -1 x = - y = 0, A = - x = -5 y =
Vậy giá trị nhỏ A - giá trị lớn A - ĐỀ SỐ 18
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
1) 45+ 20− = 3 52 + 2 52 − 5
= 5+ − =
2)
2
x x x
x x
+ −
+
+ =
( 1) ( 2)( 2)
2
x x x x
x x
+ + −
+
+
= x+ +1 x−2 = x−1
Câu 2: Gọi x chiều dài, y chiều rộng hình chữ nhật (điều kiện: x > 0, y > 0, x, y tính mét)
Theo ta có: (x + y) = 72 ⇔x +y = 36 (1) Sau tăng chiều dài gấp 3, chiều rộng gấp đơi, ta có : (3 x + 2y) = 194 ⇔ 3x + 2y = 97 (2) Ta có hệ PT : x + y = 36
3x + 2y = 97
Giải hệ ta được:
x = 25 y = 11
Đối chiếu điều kiện toán ta thấy x, y thỏa mãn Vậy diện tích vườn là: S = xy = 25.11 = 275 (m2) Câu 3:
1) Khi m = 2, PT cho trở thành: x2- 4x + = Ta thấy: a +b + c = - +3 =
Vậy PT cho có nghiệm: x1 = 1; x2 =
2) Điều kiện để phương trình cho có nghiệm là: ∆ =, b' - ac 02 ≥ ⇔ 22−(m 1) 0+ ≥
⇔3 - m ≥ ⇔m ≤ (1)
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có :
1
x x
x x m
+ =
= +
2
1
x + x = (x1+ x2) ⇔(x1+ x2)2- 2x1x2 = (x1 + x2)
⇔42 - (m +1) = 5.4⇔2 (m + 1) = - ⇔ m = - Kết hợp với điều kiện (1) , ta cóm = -
Câu :
1 Ta có: ABC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABF = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B, C, F thẳng hàng AB, CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy
2 Do IEF IBF 90= = 0 suy BEIF nội tiếp đường tròn
3 Gọi H giao điểm AB PQ Ta chứng minh tam giác AHP PHB đồng dạng HP HA
HB= HP HP
2 = HA.HB
Tương tự, HQ2 = HA.HB Vậy HP = HQ hay H trung điểm PQ Câu 5:
(48)48
y x
m p
q b a
Ta có:
2
x + y = (1) 1
2 (2) x y
+ =
Từ (2) ta có : x + y = 2xy Thay vào (1) Có : xy = xy = -1 * N ếu xy = x + y = Giải ra, ta có : x
y
=
=
* N ếu xy = -1
2 x + y = -1 Giải ra, ta có :
1 3
x x
2 ; .
1 3
y y
2
− + − −
= =
− − − +
= =
Đối chiếu đk (*), phương trình cho có nghiệm : x = ; x= - - ĐỀ SỐ 19
Câu 1: a) A = 5 11 11 11
5 11
( ) ( )
+ +
+ = + +
+
b) B = 5 11 11
( )
+ = +
Vậy A - B = 7+ + 11 − 5− 11= 7, đpcm Câu 2: a) Với m = ta có hệ
3x + 2y = y = 2x - y = 2x - x = 2x - y = 3x + 2(2x - 1) = 7x = y =
⇔ ⇔ ⇔
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) b) Hệ có nghiệm khi: m
m ≠ − ⇔ m
2 ≠ - với m Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m
Câu 3: Gọi cạnh góc vng nhỏ x Cạnh góc vng lớn x +
Điều kiện: < x < 10, x tính m
Theo định lý Pitago ta có phương trình: x2 + (x + 2)2 = 102 Giải phương trình ta x1 = (t/m), x2 = - (loại) Vậy cạnh góc vng nhỏ 6m; cạnh góc vng lớn 8m Câu 4: a) Ta có PAC = 900 PAC + PMC = 180 0
nên tứ giác APMC nội tiếp
b) Do tứ giác APMC nội tiếp nên MPC MAC= (1) Dễ thấy tứ giác BCMQ nội tiếp suy MQC MBC (2)= Lại có MAC MBC 90+ = 0 (3) Từ (1), (2), (3) ta có :
0
MPC MBC 90+ = ⇒PCQ 90=
c) Ta có BMQ = BCQ (Tứ giác BCMQ nội tiếp) BMQ = AMC (Cùng phụ với BMC) EMC = EFC (Tứ giác CEMF nội tiếp) N ên BCQ = EFC hay AB // EF
Câu 5: P = x2 + +
1
x + ≥ ( )
2
2 x +
x + 1, P = ⇔ x
2 + =
1
x + x = Vậy P =
(49)49 Câu 1: a)
( ) ( ) ( )2
2
2( +2) - 2( - 2) +4 - +
A = = = =
5 -
5 - +2 5 - 2
b) Ta có:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
x - x + +1 - x x x +1
x - x -
B = : =
x x x +1 x x - + - x
x - x +1 x +1 =
x x x -
⋅
=
Câu 2: x2 - (m + 5)x - m + = (1)
a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + = a + b + c = - + = ⇒ x1 = 1; x2 = b) Phương trình (1) có nghiệm x = - khi:
(-2)2 - (m + 5) (-2) - m + = ⇔ + 2m + 10 - m + = ⇔ m = - 20 c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + Phương trình (1) có nghiệm ∆ = m2 + 14m + ≥ (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x1 + x2 = m + 5; P = x1 x2 = - m + Khi đó: x x12 2+x x1 22 =24⇔x x x1 2( 1+x2)=24
⇔ (− +m m 5)( + )=24 ⇔ m2− − = ⇔m m m= ; = −2 Giá trị m = thoả mãn, m = - không thoả mãn điều kiện (*) Vậy m = giá trị cần tìm
Câu 3: Gọi x số dãy ghế phòng lúc đầu (x nguyên, x > 3) x - số dãy ghế lúc sau
Số chỗ ngồi dãy lúc đầu: 360
x (chỗ), số chỗ ngồi dãy lúc sau: 360
x - (chỗ) Ta có phương trình: 360 - 360 =
x - x
Giải x1 = 18 (thỏa mãn); x2 = - 15 (loại) Vậy phịng có 18 dãy ghế
Câu 4: a) ∆SAB cân S (vì SA = SB - theo t/c tiếp tuyến cắt nhau) nên tia phân giác SO đường cao ⇒ SO ⊥ AB
b) SHE = SIE = 90 0 ⇒ IHSEnội tiếp đường trịn đường kính SE
c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g) OI = SO
OH OE
⇒
⇒ OI OE = OH OS = R2 (hệ thức lượng tam giác vuông SOB) Câu 5: (1) ⇔ x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0, ⇔ x (x2 - 2mx + m2) + x - m =
⇔ x (x - m)2 + (x - m) =
⇔ (x - m) (x2 - mx + 1) =
2 x = m
x - mx + = (2)
⇔
(50)50
Dễ thấy x = m không nghiệm (2) Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt ∆ = m2 - > m >
m < -
⇔
Vậy giá trị m cần tìm là: m > m < -
ĐỀ SỐ 21 Câu
1) A = ( ( )( ) ) ( )
2
1 5
1
5
2 +
= + =
+ −
+ =
−
2) Ta có hệ ⇔
− =
− =
4
x y
x
⇔
− =
− =
2 11
y x
Câu
1) Vẽ đồ thị
x
y= thông qua bảng giá trị
x -2 -1
y 1
Vẽ đồ thị y=x+2 qua điểm A(0, 2) B(-2,0)
-2 -1
-1
x y
M
A
B
O
2) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị = +2
x
x hay x2 −x−2=0
Phương trình có nghiệm: x1 =−1⇒ y1 =1 x2 =2⇒ y2 =4
Vậy hai đồ thị cắt hai điểm M(-1, 1) N (2, 4)
Câu
1) Với m=2, ta có phương trình: 2x2 +3x+1=0 Các hệ số phương trình thoả mãn nên
phương trình có nghiệm: x1 =−1,
2
2 =−
x a−b+c=2−3+1=0
2) Phương trình có biệt thức (2 1)2 4.2.( 1) (2 3)2
≥ − = − −
− =
∆ m m m nên phương trình ln
(51)51 Theo định lý Viet, ta có:
− = − − = + 2 2 m x x m x x
Điều kiện đề 4 2 2
1 + x x + x =
x ⇔ 4(x1+x2)2 −6x1x2 =1 Từ ta có:
(1 )2 3( 1)
= − −
− m m ⇔ 4m2 −7m+3=0
Phương trình có tổng hệ số a+b+c=4+(−7)+3=0 nên phương trình có nghiệm
4 ,
1 2 = m =
m Vậy giá trị cần tìm m
4 , = = m m
Câu 1) Tứ giác FCDE có góc đối : FED FCD 90= = o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy tứ giác FCDE nội tiếp
2) Xét hai tam giác ACD BED có: ACD=BED=900, ADC=BDE (đối đỉnh) nên ACD BED Từ ta có tỷ
số : DC DE DC DB DA DE
DA = DB⇒ =
3) I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE tam giác ICD cân ICD=IDC=FEC (chắn cung FC) Mặt khác
tam giác OBC cân nên OCB=OBC=DEC (chắn cung AC (O)) Từ
0 90
ICO=ICD+DCO=FEC+DEC=FED= IC CO
hay IC tiếp tuyến đường tròn (O)
Câu 5. Đặt
2 28
9
4 + = +
y x , − ≥
y ta có
4 28 2 + + = + y y x ⇔
7y2 + y= x+
Cùng với phương trình ban đầu ta có hệ:
+ = + + = + 7 7 2 x y y y x x
Trừ vế cho vế hai phuơng trình ta thu (x −y )+7(x−y)= y−x
7 2 ⇔ ( − )(7 +7 +8)=0
y x y
x ⇔x− y=0 (vì x>0
2 − ≥
y
nên 7x+7y+8>0) hay x= y
Thay vào phương trình ta
7x2 + x− =
+ − = − − = ⇔ 14 50 14 50 x x
Đối chiếu với
điều kiện x, y ta nghiệm
14 50 6+ − = x
ĐỀ SỐ 22
Câu 1: 1) x2 - 2x - 15 = , ∆' = - (-15) = 16 , ∆' = Vậy phương trình có nghiệm x1 = - = - 3; x2 = + =
2 Đường thẳng y = ax - qua điểm M (- 1; 1) khi: = a (-1) -1 <=> a = - Vậy a = -
(52)52
Câu 2: 1) P = ( )( ) ( )( )
( )( )
a a a a a a
a
2 a a a
− − − + +
−
+ −
= ( )( ) a
a a a a
a
a a a a a a a a a a a
2
)
1 (
− = −
= −
− − − − + − − −
Vậy P = - a
2) Ta có: P ≥ −2 ⇔- a > - ⇔ a < ⇔ < a <
Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: < a < Vậy P > -2 a < a <
Câu 3: Gọi x, y số chi tiết máy tổ 1, tổ sản xuất tháng giêng (x, y ∈ N* ),
ta có x + y = 900 (1) (vì tháng giêng tổ sản xuất 900 chi tiết) Do cải tiến kỹ thuật nên tháng hai tổ sản xuất được: x + 15%x, tổ sản xuất được: y + 10%y
Cả hai tổ sản xuất được: 1,15x + 1,10y = 1010 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:
x y 900 1,1x 1,1y 990 0,05x 20
1,15x 1,1y 1010 1,15x 1,1y 1010 x y 900
+ = + = =
⇔ ⇔
+ = + = + =
<=> x = 400 y = 500 (thoả mãn)
Vậy tháng giêng tổ sản xuất 400 chi tiết máy, tổ sản xuất 500 chi tiết máy
Câu 4: 1) Ta có IPC = 900 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => CPK = 900
Xét tứ giác CPKB có: K B+ = 900 + 900 = 1800 => CPKB tứ giác nội tiếp đường trịn (đpcm) 2) Xét ∆AIC và∆BCK có A B= = 900;
ACI BKC= (2 góc có cạnh tương ứng vng góc) => ∆AIC ~ ∆BCK (g.g) =>
BK AC BC
AI
= => AI.BK = AC.BC
3) Ta có: PAC PIC= (vì góc nội tiếp chắn cung PC ) PBC PKC= (vì góc nội tiếp chắn cung PC )
Suy PAC PBC PIC PKC 90+ = + = 0 (vì ∆ICK vng C).=> APB = 900 Câu 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + px + q = biết p + q= 198 Phương trình có nghiệm ∆≥0 <=> p2 + 4q ≥ 0; gọi x
1, x2 nghiệm - Khi theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p x1x2 = q
mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198
<=> (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2∈ Z ) N ên ta có :
x1 - 1 -1 199 -199
x2 - 199 -199 -1
x1 200 -198
x2 200 -198
Vậy phương trình có nghiệm ngun: (2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0) x
y
P
A
B C
I
(53)53 ĐỀ SỐ 23
Câu
1) A = ( 20−3 5+ 80) = (2 5 5 15− + ) = = 2) Đặt
x
t = , t≥0 phương trình trở thành 4t2 +7t−2=0
Biệt thức ∆=72 −4.4.(−2)=81 Phương trình có nghiệm
4 1 =
t , t2 =−2 (loại)
Với =
t ta có
4 =
x ⇔
2 ± =
x Vậy phương trình có nghiệm
2 ± =
x
Câu
1) Ta gọi (d1), (d2) đường thẳng có phương trình y =−3x+6
1 2
+ −
= x m
y Giao điểm (d1) trục hoành A(2, 0) Yêu cầu toán thoả
mãn (d2) qua A ⇔ 2
5
0= − m+ ⇔ m=3
2) Gọi x chiều rộng hình chữ nhật (đơn vị m, x > 0) chiều dài hình chữ nhật x + (m)
Vì đường chéo 13 (m) nên theo định lý Piatago ta có :
( )2
2
13 =x + x 7+ 2x2+14x 49 169+ =
⇔ x2+7x 60 0− = x
x 12
= ⇔ = −
Chỉ có nghiệm x 5= thoả mãn Vậy mảnh đất có chiều rộng 5m, chiều dài 12m diện tích S = 5.12 = 60 (m2) Câu
1) Khi m=3 phương trình trở thành x2 −2x=0 ⇔ x(x−2)=0⇔ x=0; x=2
2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ ∆'=1−(m−3)>0⇔ m<4
Khi theo định lí Vi-et ta có: x1+x2 =2 (1) x1x2 =m−3 (2)
Điều kiện toán 2 2 1 2 12 − x +x x =−
x ⇔ x1(x1 +x2)−2x2 =−12
⇔ 2x1−2x2 =−12 (do (1)) ⇔ x1−x2 =−6 (3)
Từ (1) (3) ta có: x1 =−2,x2 =4 Thay vào (3) ta được: ( )−2.4=m−3
⇔ m=−5, thoả mãn điều kiện Vậy m=−5
Câu
1) Ta có DAB =
2sđDB (góc nội tiếp) BDE =
2sđDB (góc tiếp tuyến dây cung) Suy DAB=BDE
2) Xét hai tam giác DMB AMD có: DMA chung, DAM =BDM nên DMB AMD
MD MA
MB = MD hay
2 .
MD =MA MB
Tương tự ta có: EMB AME ME MA
MB = ME hay
2 .
ME =MA MB
Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE 3) Ta có DAB=BDM , EAB=BEM
PAQ+PBQ=DAB+EAB+PBQ=BDM +BEM +DBE=1800
tứ giác APBQ nội tiếp PQB=PAB Kết hợp với PAB=BDM suy PQB=BDM Hai
(54)54
A B
O O'
M D
E
P
Q
Câu 5. Đặt
1
2 + + =
x x
y
Khi ta có ( +1)=4 +3
x x
y ⇔ y.x2 −4x+(y−3)=0 (1)
Ta tìm điều kiện y để (1) có nghiệm N ếu y =0 (1) có nghiệm
3 − =
x
N ếu y ≠0, (1) có nghiệm ⇔ ∆'=22 −y(y−3)≥0 ⇔ y2 −3y−4≤0 ⇔ −1≤ y≤4
Kết hợp lại (1) có nghiệm ⇔ −1≤ y≤4
Theo giả thiết ylà số nguyên âm ⇔ y=−1 Khi thay vào ta có x=−2
ĐỀ SỐ 24 Câu
1) A = (1 5) 5(1 5) (1 5) (1 5)
2
2
+ + −
− ⋅ = − ⋅ = = −
2) B = ( 1) ( 1) ( )( )1 1
1
x x x x
x x x
x x
+ −
+ + = + − = −
+ −
Câu
1) Thay x=2 vào vế trái phương trình ta được:
( )
2
2 + 3−m 2(+ m−5) 2= + − m+2m−10 0= với m nên phương trình có nghiệm x=2 với m
2) Vì phương trình ln có nghiệm x=2 nên để có nghiệm x=5−2 theo định lý
Vi-et ta có: 2(5−2 2)=2(m−5) ⇔ 5−2 =m−5 ⇔ m=10−2
Câu
Gọi x (km/h) vận tốc dự định xe, x > 15 Thời gian dự định xe 80
x
Thời gian xe phần tư quãng đường đầu 20 15
x− , thời gian xe quãng
đường lại 60 10
x+
Theo ta có 80
x =
20 15
x− +
60 10
x+ (1)
Biến đổi (1) ⇔
15 10
x = x− + x+ ⇔ 4(x−15)(x+10)=x(4x−35)
(55)55 Từ thời gian dự định xe 80
40 = Câu
1) Ta có Ax tiếp tuyến nửa đường tròn nên 900
MAD= Mặt khác theo giả thiết
90
MCD= nên suy tứ giác ADCM nội tiếp
Tương tự, tứ giác BDCN nội tiếp
2) Theo câu tứ giác ADCM BDCN nội tiếp nên: DMC=DAC, D C=DBC
Suy 900
DMC+D C =DAC+DBC= Từ MD =900
3) Vì = =900
ACB MD nên tứ giác CPDQ nội tiếp Do CPQ=CDQ=CD
Lại tứ giác CDBN nội tiếp nên CD =CB Hơn ta có CB =CAB, suy CPQ=CAB hay PQ song song với AB
Câu Với số dương x, y ta có: (x+y)2 ≥4xy ⇔ x y xy x y
+ ≥
+ ⇔
1
x+ ≥y x+y
Áp dụng bất đẳng thức ta, có:
1 1 1
a b b c c a
a b c
c a b b c c a a b
+ + + + + = + + + + +
4 4
a b c
b c c a a b
≥ + +
+ + + =
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
Vậy bất đẳng thức chứng minh ĐỀ SỐ 25
Câu 1) Ta có A =
( 1) : 11
x x x x x − + − −
= 1
1
x x x
x x x
+ − = −
+
2) x=2 3+ ⇔ x=( 1+ )2 ⇔ x = 1+ nên A = 2 2
2 +
=
+
Câu 1) Khi a=3 b= −5 ta có phương trình: x2 +3x−4=0 Do a + b + c = nên
phương trình có nghiệm x1 =1, x2 =−4
2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ ∆ =a2−4(b+ >1) (*)
Khi theo định lý Vi-et, ta có
1
x x a
x x b
+ = −
= +
(1)
Bài toán yêu cầu = − = − 3 x x x x ⇔ ( ) ( )
1 2
x x
x x 3x x x x
− = − + − = ⇔ − = = − 2 x x x x (2)
Từ hệ (2) ta có: ( ) (2 )2
1 2 4( 2)
x +x = x −x + x x = + − = , kết hợp với (1)
(56)56
Các giá trị thoả mãn điều kiện (*) nên chúng giá trị cần tìm Câu
Gọi x (km/h) vận tốc thực thuyền (x > 4) Vận tốc thuyền xi dịng x + (km/m) Vận tốc thuyền ngược dòng x – km Thời gian thuyền từ A đến B 24
4
x+
Thời gian thuyền quay từ B đến C 16
x−
Thời gian bè
4= (giờ) Ta có phương trình: 24
4
x+ +
16
x− = (1)
Biến đổi phương trình: (1) 12(x−4) 8(+ x+4)=(x−4)(x+4) x2−20x=0
( 20)
x x− =
20
x x
= =
Đối chiếu với điều kiện ta thấy có nghiệm x = 20 thoả mãn Vậy vận tốc thực thuyền 20km/h
Câu
1) Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB hay OHM =900 Theo tính chất tiếp tuyến ta
lại có OD⊥DM hay ODM =900 Suy điểm M, D, O, H nằm đường trịn
2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD MCD cân M MI đường phân giác CMD Mặt khác I điểm cung nhỏ CD nên
2
DCI = sđDI =
2sđCI =
MCI
CI phân giác MCD Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
3) Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính:
2 ( )
2
OQM
S= S = OD QM =R MD+DQ Từ S nhỏ MD + DQ nhỏ Mặt khác,
theo hệ thức lượng tam giác vuông OMQ ta có . 2
DM DQ=OD =R khơng đổi nên MD
(57)57 d
I B A
O M
C
D H
Q P
Câu
Từ giả thiết ta có: abc a b c( + + )=1 Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cơsi,
P = (a b a c+ )( + ) = a2+ab ac bc+ + = a a b c( + + )+bc a a b c bc( + + ) =
Đẳng thức xảy
( )
1
a a b c bc a b c
abc
+ + =
+ + =
( )
1
a a b c bc
+ + =
=
Hệ có vơ số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn b = c = a = 1− Vậy giá trị nhỏ biểu thức P
ĐỀ SỐ 26 Câu 1:
1) ( ) ( )
( )( )
2 5
1
2
2 5 5
+ − −
− = = = −
−
− + − +
2) 3x + y = 6x + 2y = 18 7x = 14 x = x - 2y = - x - 2y = - y = - 3x y =
⇔ ⇔ ⇔
Câu 2:
1) P = 1 : x
x + x x x + x
−
+ +
( ) ( )
( )2
x
1 x
x
x x x x
+
= −
+ +
( ) ( ) ( )( )
2
x 1 x x
1 x - x
x
x x x
x x
+ − +
−
= = =
+
2) Với x > - x - x( ) x x > ⇔2 >
2 3x > - x <
3
⇔ − ⇔
Vậy với x <
< P > Câu 3:
1) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình vơ nghiệm
(58)58
Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – )2 = 9( x1 + x2 ), ta được: (m – 1)2 = ⇔m2 – 2m – = 0⇔ m = - 2.
m =
Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn
Câu 4:
1) Tứ giác ABEH có: B = 900 (góc nội tiếp nửa đường tròn); H = 900 (giả thiết)
nên tứ giác ABEH nội tiếp
Tương tự, tứ giác DCEH có C = H = 900, nên nội tiếp
2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: EBH = EAH (cùng chắn cung EH ) Trong (O) ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD)
Suy ra: EBH = EBC, nên BE tia phân giác góc HBC
Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE, nên CE tia phân giác góc BCH
Vậy E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH
I
O H E
D C
B
A
3) Ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng ECD, nên BIC = 2EDC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EC) Mà EDC = EHC, suy BIC = BHC
+ Trong (O), BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC)
+ Suy ra: H, O, I cung chứa góc BHC dựng đoạn BC, hay điểm B, C, H, O, I nằm đường tròn
Câu 5: ĐK: x ≥ - (1)
Đặt x + a; x + b a 0; b 0= = ( ≥ ≥ ) (2)
Ta có: a2 – b2 = 5; x2+11x + 24= (x + x + 3)( )=ab
Thay vào phương trình cho ta được:
(a – b)(ab + 1) = a2 – b2 ⇔(a – b)(1 – a)(1 – b) = x + x + (vn)
a - b =
x = - - a = x +
x = - - b = x + 1
=
⇔ ⇒ = ⇔
=
Đối chiếu với (1) suy phương trình cho có nghiệm x = - ĐỀ SỐ 27
Câu 1:
1) A = 4.5 16.5 9.5
2 − +3 = 5 5− + = − 5.
2) B = 5 5
5
− +
+ −
− +
(59)59 5( 1) 5( 1) ( )( )2 5
5
− +
= + − = + − = −
− +
Câu 2:
1) 2x - y = - 2y 2x + y = 2x = x = 3x + y = - x 4x + y = y = - 2x y = -
⇔ ⇔ ⇔
2) Phương trình x2 – x – = có a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = -
Do đó: P =
1 2
x x
1 1
x x x x 3
+
+ = = = −
−
Câu 3: Gọi x (km/h) vận tốc xe lửa thứ từ Huế đến Hà N ội Khi vận tốc xe lửa thứ hai từ Hà N ội là: x + (km/h) (ĐK: x > 0) Theo giả thiết, ta có phương trình: 300 345
5
x+ + = x
( ) ( )
900x 5x x 1035 x x 22x 1035
⇔ + + = + ⇔ − − =
Giải phương trình ta được: x1= −23 (loại x > 0) x2 =45 0>
Vậy vận tốc xe lửa thứ là: 45 km/h vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h Câu 4:
1) Ta có: AMB 90= 0(góc nội tiếp chắn nửa
đường trịn)⇒AMD 90= 0 Tứ giác ACMD
có AMD ACD 90= = 0, suy ACMD nội tiếp
đường trịn đường kính AD
2) ∆ABD ∆MBC có: B chung
BAD BMC= (do ACMD tứ giác nội tiếp)
Suy ra: ∆ABD ~ ∆MBC (g – g) E
D
M I
C K
O B
A
3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định EDC BDC= , lại có: BDC CAK= (cùng phụ với B ), suy ra: EDC CAK= Do AKDE tứ giác nội tiếp Gọi O’ tâm đường trịn ngoại tiếp ∆AKD O’ củng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O′A = O′E, suy O′
thuộc đường trung trực đoạn thẳng AE cố định Câu 5:
A = 21 2
x +y +xy = 2
1 1
x +y +2xy 2xy+
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
x + y xy xy 4xy
2xy
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ (1)
Đẳng thức xảy x = y Tương tự với a, b dương ta có:
1 1
2
a+ ≥b ab ≥ a + b =a + b (*) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
( )2
2
1
4 x +y +2xy ≥ x + y = (2)
Dấu đẳng thức xảy x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y Từ (1) (2) suy ra: A 6≥ Dấu "=" xảy x = y =
2
(60)60
ĐỀ SỐ 28 Câu 1:
1) 2x + y = 6x + 3y = 21 7x = 14 x = x - 3y = - x - 3y = - y = - 2x y =
⇔ ⇔ ⇔
2) Phương trình 3x2 – x – = có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1và x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 =
3 x1.x2 = −
Do P = 2 ( )2
1 2
x +x = x +x −2x x = 13 3+ =
Câu
1) A = a a : a
a a ( a + 1) ( a - 1)( a 1)
−
−
+ +
( )
a
a a
a a +
= − + = −
+
2) A < a > 0, a a < a
≠
⇔ ⇔ <
<
Câu 3:
1) Ta có ∆′ = m2 + > 0, m R Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 2) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 =
⇔(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = ⇒ 4m2 + = 7⇔m2 = ⇔m = ±1 Câu 4:
1) ADB 90= 0(góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn)⇒ADM 90= 0(1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC ⇒AEM 90= 0(2)
Từ (1) (2) suy MADE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA
x N
I
H E D M
C
O B
A
2) Xét ∆MAB vng A có AD⊥MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng tam giác vuông)
3) Kéo dài BC cắt Ax N , ta có ACB 90= 0(góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)⇒ACN =900, suy ∆ACN vng C Lại có MC = MA nên suy MC = MN ,
do MA = MN (5)
Mặt khác ta có CH // N A (cùng vng góc với AB) nên theo định lí Ta-lét
IC IH BI
MN MA BM
= =
(6) với I giao điểm CH MB
(61)61 Câu 5: Điều kiện: x≠0, - x 1≥0, - x 5≥0
x x (*)
4 5
- - - - - -
+ x =x + x ⇔ x = x x
x x x x x x
4
4
- -
1 5
- - - -
− = ⇔ + = + + x x x x x x
x x x x
x x x x
4 -
⇔ x =
x (vì
1
1
1
- -
+ > + x x x x )
⇔ x = ±
Đối chiếu với điều kiện (*) có x = thỏa mãn
ĐỀ SỐ 29
Câu 1: a) Đường thẳng d qua gốc tọa độ 2m 0− = ⇔m 2= b) Đồ thị hàm số y m2 m x2
( )
= − qua điểm A(-1; 2) 2 m2 m 12
( ).( )
⇔ = − −
2
m m m m 2;
⇔ − − = ⇔ = − =
Câu 2:
a) P = ( )( )
a a a a a a a a a 3 3 3 − + − − + + = − + + − = ) )( ( ) ( + = + − − a a a a a a
Vậy P =
3
+
a
b) Ta có:
3
+
a >
1
⇔ a + < ⇔ a < ⇔ < <0 a
Vậy P >
< a <
Câu 3: Gọi x, y thời gian người cần để hồn thành cơng việc (x, y > tính giờ) Trong người làm
x
1 ;
y
1
công việc, làm
x + y =
cơng việc.(vì hai người hồn thành cơng việc giờ) Do người thứ làm người thứ hai nên y - x =
Ta có hệ phương trình
y x y x (1)
1 1 1
(2)
x y x x
− = = + ⇔ + = + = +
Giải (2): (2) <=> x(x + 6) = (x + x + 6) <=> x2 - 2x - 24 = <=> x = (t/m); x = - (loại x > 0) Thay vào (1) y = 12
Vậy để hồn thành cơng việc người thứ cần giờ, người thứ hai cần 12
Câu 4:
(62)62
Xét tứ giác ADHE có A ADH AEH= = = 900 => ADHE hình chữ nhật Từ DE = AH mà AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH2 = 10 40 = 202 (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 b) Ta có: BAH = C (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH ADE= (1)
(Vì ADHE hình chữ nhật) => C ADE= C BDE+ = 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn
c) Vì O1D = O1B =>∆O1BD cân O1 => B BDO= 1 (2) Từ (1), (2) =>ADE BDO+ 1= B BAH+ = 900 => O
1D //O2E Vậy DEO2O1 hình thang vng D E
Ta có Sht = 1(O D O E).DE1 2 1O O DE1 2 1O O1 22
2 + =2 ≤ (Vì
O1D + O2E = O1H + O2H = O1O2 DE < O1O2 )
2
2
ht
1 BC R
S O O
2
≤ = = Dấu "=" xảy DE = O1O2
DEO2O1 hình chữ nhật
A điểm cung BC Khi maxSDEO2O1 =
2 R
Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = - 1
3 (1)
(1) <=> 3x3 + 3x2 - 3x = - <=> 4x3 = x3 - 3x2 + 3x - <=> 4x3 = (x - 1)3 <=> x3 4= x - <=> x(1−3 4) = <=> x =
3 4
1
−
Vậy phương trình có nghiệm x =
3 4
1 − ĐỀ SỐ 30
Câu
1) Phương trình tương đương với 3x=− 75 ⇔ 3x=−5 ⇔ x=−5
2) Hệ phương trình − = + = − y x y x ⇔ = − − = 7 y x x ⇔ − = − = y x Câu
1) Với m=2 phương trình trở thành 2x2 −5x+2=0
5 4.2.2
∆ = − = nên phương trình có hai nghiệm x1 =2, 2 = x
2) Phương trình có biệt thức ( 3)2 4.2 2 ( 1)2
> + − = + − = − + =
∆ m m m m m với m
Do phương trình ln có hai nghiệm x1,x2 Khi theo định lý Viet
= + = + 2 2 m x x m x x
O1 O2
D
O
B H C
A
(63)63 Biểu thức A = x1 −x2 = (x1 −x2)2 = (x1+x2)2 −4x1x2 =
2
3 m
m
−
+ =
( 1)
1 2
1 − + = − +
m m
m
Do (m−1)2 ≥0 nên (m−1)2 +8 ≥ =2 2, suy A
Dấu xảy ⇔ m=1
Vậy giá trị nhỏ A , đạt m=1 Câu 1) Ta có 9 25 4 9 5 2
a− a+ a = a− a+ a a 2= a a( +2) a2 +2a=a a( +2)
nên P = ( )
( )
2 2
2
a a
a a a
+ =
+
2) Gọi vận tốc canô nước yên lặng x (km/h, x>4)
Vận tốc ca nơ nước xi dịng x+4 thời gian ca nơ chạy xi dịng 48
x+
Vận tốc ca nô nước ngược dịng x−4 thời gian ca nơ chạy ngược dòng 48
x−
Theo giả thiết ta có phương trình 48 48
4
x+ +x− = (*)
(*) 48( 4 4) 5( 16) 5 96 80 0
x x x x x
⇔ − + + = − ⇔ − − =
Giải phương trình ta x= −0,8 (loại), x=20 (thỏa mãn)
Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 20 km/h Câu 4.
1) Chứng minh ∆ABD cân
Xét ∆ABD có BC⊥DA CA = CD nên BC vừa đường cao vừa trung tuyến Vậy ∆ABD cân B
2) Chứng minh ba điểm D, B, F nằm đường thẳng
Vì CAE = 900, nên CE đường kính (O)
Ta có CO đường trung bình tam giác ABD
Suy BD // CO hay BD // CE (1)
Tương tự CE đường trung bình tam giác ADF
C
O D
F B A
E
Suy DF // CE (2) Từ (1) (2) suy D, B, F nằm đường thẳng 3) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường trịn (O)
Tam giác ADF vng A theo tính chất đường trung bình DB = CE = BF B trung điểm DF Do đường trịn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm AB làm bán kính Hơn nữa, OB = AB - OA nên đường trịn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường trịn (O) A
Câu 5.
Vì số a,b,c dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số ta có:
( )
2 ) (b c a
c b
a + ≤ + +
( ) a b c
a c
b a
a c
b a
+ + ≥ + =
+
2
(64)64 c b a b a c b + + ≥ + , c b a c b a c + + ≥ +
Cộng bất đẳng thức chiều ta có 2 2 = + + + + ≥ + + + +
+ a b c
c b a b a c a c b c b a
Dấu xảy
+ = + = + = ⇔ b a c a c b c b a = = =
⇔a b c , không thoả mãn
Vậy >2
+ + + +
+ a b
c a c b c b a
ĐỀ SỐ 31 Câu 1: Tính
a) A = 20 18− − 45+ 72= 4.5 9.2− − 9.5+ 36.2 = = 2− − + = −3 2−
b) B = 4+ + 4−
1 7 ) ( ) ( 8
2 = + + − = + + − = + + −
B
14
2
2B= ⇔B=
c) C = x+2 x−1+ x−2 x−1 với x >
C = ( −1+1)2 + ( −1−1)2 = −1+1+ −1−1
x x
x x
+) N ếu x > C = x−1+1+ x−1−1=2 x−1 +) N ếu x < 2, C = x−1+1+1− x−1=2 Câu 2: a) Hàm số y = (2m - 1)x - m + nghịch biến R 2m - > <=> m >
2
b) Đồ thị hàm số qua A (1; 2) khi: = (2m - 1).1 - m + <=> m = Vậy hàm số y = x +
Câu 3: Gọi x, y thời gian người thợ thứ người thợ thứ làm (x, y > 0, tính giờ)
- Một người làm
x
1 ;
y
1
công việc người làm
x + y = 16
(vì người làm 16 xong cơng việc)
- Trong người thứ làm
x
3
(CV), người làm
y
6
(CV) hai làm
được
(CV) ta có
(65)65
1 1 3 3
x 24
x y 16 x y 16 y 16
3 6 1 1 y 48
x y x y x y 16
+ = + = =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
+ = + = + =
Vậy người thứ hồn thành cơng việc 24 người thứ hai hồn thành cơng việc 48
Câu 4: a) Xét∆ABM và∆AMC Có góc A chung; AMB MCB= ( =
2
sđ cung MB)
=> ∆AMB ~ ∆ACM (g.g) =>
AM AB AC
AM =
=> AM2 = AB.AC b) Tứ giác AMON có M N+ = 1800 (Vì M N= = 900 tính chất tiếp tuyến) => AMON tứ giác nội tiếp
- Vì OI ⊥BC (định lý đường kính dây cung)
Xét tứ giác AMOI có M I+ɵ = 900 + 900 = 1800 => AMOI tứ giác nội tiếp c) Ta có OA ⊥MN K (vì K trung điểm MN ), MN cắt AC D
Xét tứ giác KOID có K I+ɵ = 1800 => tứ giác KOID nội tiếp đường tròn tâm O
=> O1 nằm đường trung trực DI mà AD.AI = AK.AO = AM2 = AB.AC khơng đổi (Vì A, B, C, I cố định)
Do AI không đổi => AD không đổi => D cố định
Vậy O1 tâm đường trịn ngoại tiếp∆OIK ln thuộc đường trung trực DI cố định Câu 5:
Ta có: (2x 1)y x y x 2y 2x 2y 1
2x 2x 2x
+ +
+ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = +
+ + + (*)
Xét pt (*): Để x, y nguyên 2x +1 phải ước 1, đó: + Hoặc 2x +1 =1 ⇔x = 0, thay vào (*) y =
+ Hoặc 2x +1 = -1 ⇔x = -1, thay vào (*) y = Vậy pt cho có nghiệm nguyên là: (0; 1) ; (-1; 0)
ĐỀ SỐ 32
Câu 1: 1) P = ( 7+ 2− )( 7− 2+ )=[ 7+( ][ 7− ) −( ]− ) = ( 7)2−( 3 2− ))2 = − −7 (3 4+ )=4 3
2) Đường thẳng d d′ song song với khi:
2 m 2
m m
m
m
m 1 m
− = = = ±
⇔ ⇔ ⇔ = −
≠
− ≠ ≠
Câu 2: x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1)
a) Khi m = ta có phương trình: x2 + 3x + = Vì a = 1; b = 3; c = => a - b + c =
D K
I B
O
N A
(66)66
Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = -
b) Phương trình (1) có nghiệm âm khi:
2
2
3
0 2m m m
4m 4
S 2m
2m 1
m
P m 1 0
2
( ) ( )
( )
∆ ≥ + − + ≥
≥
− ≥
< ⇔ − + < ⇔ ⇔
+ >
> + > > −
⇔ m
4 ≥
Câu 3: Ta có: a2 + b2 > 2ab = (vì ab = 1) A = (a + b + 1)(a2 + b2) +
a b+ > 2(a + b + 1) + a+b
4 = + (a + b +
b a+
4
) + (a + b) > + + =
(a + b +
b a+
4
> a + b > ab áp dụng BĐT Cơsi cho số dương)
Dấu “=” a = b =
Vậy minA =
Câu 4:
a) Xét tứ giác BHMK: H K+ = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn
CM tương tự có tứ giác CHMI nội tiếp b) Ta có B HMK C HMI+ = + = 1800
mà B C= ⇒HMK HMI= (1)
KBM BCM KBM KHM= , = (vì góc nội tiếp
cùng chắn cung MK góc tạo tia tt góc nội tiếp chắn cung BM)
HCM HIM= (góc tạo tia tiếp tuyến góc nội tiếp chắn HM ) ⇒KHM HIM= (2)
Từ (1), (2) =>∆HMK ~∆IMH (g.g) => MH MH
MK MI
MH = ⇒
= MI MK (đpcm) c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến)
Xét chu vi ∆APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB khơng đổi
Vì A cố định đường tròn (O) cho trước nên chu vi ∆APQ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (đpcm)
Câu 5: Giả sử hệ
5
2
x 2y a (1)
x y (2)
− =
+ =
có nghiệm (x; y) Từ (2) suy x 1, y 1≤ ≤ Từ (1) ta có:
5 2 2
x −2y ≤ x +2 y ≤ x +2 y =( x + y ) ( y− −2 y 1) 1+ +
2
2 ( y y 1) ( y 1)
= − − + = − − ≤ ⇒ a ≤2 trái giả thiết a >2
Suy hệ vô nghiệm, đpcm
H K
I
B
C A
(67)67 ĐỀ SỐ 33
Câu 1: a) x 3y 10 2x 6y 20 x 3y 10
2x y 2x y y
− + = − − + = − − + = −
⇔ ⇔
+ = − + = − = −
x 3 10 x
y y
( )
− + − = − =
⇔ ⇔
= − = −
b) Hàm số y = (m + 2) x - đồng biến R chi m + > ⇔ m > -
Câu 2: a) A = a a : a
a a a (a 1) (a 1)
+ −
−
+ + + + +
=
2 2
( a 1) a ( a 1) ( a 1)
: :
a a (a 1)( a 1) a ( a 1)(a 1)
− − = − −
+ + + + + + +
=
2
2
( a 1) (a 1)( a 1)
a
a ( a 1)
− + +
= +
+ −
b) a = 2011 - 2010 =( 2010−1)2 ⇒ = 2010−1
a
Vậy A = 2010 Câu 3: a) Với k = -
2
ta có:
-
(x2 - 4x + 3) + (x - 1) = ⇔ x2 - 8x + = Vì a + b + c = + (- 8) + = N ên pt có nghiệm x1 = 1; x2 =
b) + N ếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = ⇔ x =
+ N ếu k ≠ 0, phương trình có dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - = '
∆ = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k = k2 - 2k + = (k - 1)2 > với k
Vậy phương trình có nghiệm với k
Câu 4:
a) Qua A vẽ tiếp tuyến chung cắt BC M Ta có MB = MA = MC (t/c tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ A = 900
b) Giả sử R’ > R Lấy N trung điểm OO’
Ta có MN đường trung bình hình thang vng OBCO’ (OB // O’C; B C= = 900) tam giác AMN vuông A Có MN =
2 '
R R+
; AN = R R ′ −
Khi MA2 = MN 2 - AN2 = RR’ => MA = RR' mà BC = 2MA = RR'
c) Ta có O, B, D thẳng hàng (vì BAD = 900 ; OA = OB = OD) ∆BDC có DBC = 900, BA ⊥ CD, ta có: BD2 = DA DC (1) ∆ADE ~∆EDC (g.g) =>
DE DA DC DE =
=> DA DC = DE2 (2) (1), (2) => BD = DE (đpcm)
E N A M
O O'
B
C
(68)68 Câu 5:
Xét ∆1 +∆2 = 1 2
2 2 2 2 2
1 4b a 4b a a 4(b b ) a a 2a a
a − + − = + − + ≥ + −
(vì a1a2 > 2(b1 + b2))
Mà ( )2
2 2 2
1 +a − a a = a −a ≥
a , ∆1 +∆2>
=> Tồn ∆1 ∆2 không âm => phương trình cho có nghiệm
ĐỀ SỐ 34 Câu 1: P = a −1+1+ a−1−1
N ếu a> => a−1−1≥0⇒P=2 a −1 N ếu 1< a < => a −1−1 < => P = Câu 2: ĐKXĐ: x > 0; x ≠
1) Q =
x x x x x x x x x x x ) ( 4 ) ( ) ( ) ( )
( 2 2 −
= − − = − − − + −
2) Q = - x−3 => 4x + x - = ⇔
x (loai)
1 x 16 x = − ⇔ = = (thỏa mãn)
Câu 3: Đặt x = t, t2 + 2(m - 1)t + m + = (1)
Phương trình có nghiệm phân biệt <=> (1) có nghiệm khác dấu (1) có nghiệm kép t >
+) (1) Có nghiệm khác dấu <=> m + < <=> m < -1 +) ∆' = <=> m2 - 3m = <=> m
m = =
Thay vào (1) để xét m = thỏa mãn, m = bị loại Vậy m < - m =
Câu 4: PT <=> 3( −1)2 +16+ ( −1)2 +25
x
x = - (x - 1)2
VT > 9; VP < (vì (x - 1)2 > 0) nên: PT <=> VT
VP =
=
<=> x = (TM) Câu 5: 1) Gọi H hình chiếu O đường thẳng MN Xét tứ giác OAMH
0
A H 180 (do A H 90 )+ = = =
=> OAMH tứ giác nội tiếp đường tròn Tương tự tứ giác OAN H nội tiếp
=> A1=M , B1 1 =N1 (2 góc nội tiếp chắn cung)
0
1 1
A B M N 90
⇒ + = + = => AHB = 900 => MN tiếp tuyến
2) Ta có AM = MH, BN = N H, theo hệ thức lượng tam vng, ta có:
(69)69
2 =
∆MO
S OH MN >
2
OH AB (Vì AMN B hình thang vng) Dấu “=” MN = AB hay H điểm cung AB
⇔M, N song song với AB ⇔AM = BN = AB Vậy S∆MO nhỏ AM = BN = AB
2 ĐỀ SỐ 35 Câu 1: A =
2 x 3
(x 3)
x x
+ +
=
+ + =
1 x x
> −
− < −
Câu 2: a) Bình phương hai vế ta được:
x2 - 2x + = <=> x(x - 2) = <=> x = x =
b) Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b qua điểm A (1; 2) B (2; 0) khi:
a b a
2a b b
+ = = −
⇔
+ = =
Vậy y = - 2x +
Câu 3: a) Với m = 2, ta có phương trình
(x2 - x - 2)(x - 1) = <=> x2 x x 1; x x
x
= − =
− − =
⇔
− = =
Vậy phương trình có nghiệm x ±1; x =
b) Vì phương trình (1) ln có nghiệm x1 = nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi:
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = có nghiệm kép khác
⇔
1
0 4m m
m
f (1) 1 m
m
∆ = + = = −
⇔ ⇔ ⇔ = −
≠ − − ≠
≠
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = có nghiệm phân biệt có nghiệm
⇔
1
0 4m m
m
f (1) m
m
∆ > + > > −
⇔ ⇔ ⇔ =
= =
=
Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt m = -
; m = Câu 4:
a) Vì MA, MB tiếp tuyến đường tròn (O) N ên MA ⊥OA; MB ⊥OB; Mà OI ⊥CD (Theo định lý đường kính dây cung)
Do MAO MBO MIO= = = 900 => điểm A, B, I thuộc đường trịn đường kính MO hay điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn
b) Ta có: AIM AOM= (vì góc nội tiếp chắn cung MA) BIM BOM= (vì góc nội tiếp chắn cung MB) mà AOM BOM= (tính chất hai tiếp tuyến)
=> AIM BIM= => IM phân giác góc AIB (đpcm)
I C
O
B M
(70)70 Câu 5:
4
3 2
x y 1
x y x y
+ = + = + ( ) ( )
Từ (1) suy ra: x4 ≤ ⇒ ≤1 x 1 Tương tự y 1≤ (3)
2
2 x x y y
( )⇔ ( − )+ ( − )= (4), Từ (3) suy vế trái (4) không âm nên
(4)
2
x x x x x x
y y y y
y y
( ) ; ; ; ( ) − = = = = = ⇔ ⇔ = = = = − =
Thử lại hệ có nghiệm là: x x
y 1; y
= =
= =
ĐỀ SỐ 36 Câu 1: a) P = 1+ + −1 = +1 5+ 5− = b) x2 + 2x - 24 =
'
∆ = + 24 = 25 => ∆' =
=> phương trình có nghiệm x1 = - + = 4; x2 = - - = - Câu 2: a) P = a a a
a a ( a 3)( a 3)
+ − − + + + − − + = ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( + − − − + + + − = + − − − + + + − a a a a a a a a a a a a a a = 3 ) )( ( ) ( ) )( ( + = + − − = + − − a a a a a a a a a a
Vậy P = a a 3+
b) P < ⇔ a a a a a
2
a 3+ < ⇔ < + ⇔ < ⇔ ≤ < Câu 3: a) Với m = ta có x4 - 5x2 + =
Đặt x2 = t , với t 0≥ ta có pt t2 - 5t + = <=> t
1 = 1; t2 = Từ đó, ta được:
2
x x
x x = = ± ⇔ = ± =
Vậy phương trình có nghiệm x= ±1; x= ±2
b) x4 - 5x2 + m = (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = (2) (với y = x2 ; y > 0) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt <=> phương trình (2):
1) Hoặc có nghiệm kép khác <=>
25
0 m 25
m
f (0) m 0
∆ = = ⇔ ⇔ = ≠ ≠
2) Hoặc có nghiệm khác dấu ⇔m 0< Vậy m =
4 25
hoặc m < phương trình (1) có nghiệm phân biệt
Câu 4: a) FAB = 900 (vì AF ⊥ AB) BEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => BEF = 900 Do FAB BEF+ = 1800
D E
(71)71 Vậy tứ giác ABEF nội tiếp đường trịn
b) Ta có: AFB AEB= = (
sđ cung AB) (vì góc nội tiếp chắn cung)
AEB BMD= = (
sđ cung BD) (vì góc nội tiếp chắn cung)
Do AFB BMD= => AF // DM mà FA ⊥AC => DM ⊥AC c) ∆ACF ~ ∆ECB (g.g) =>
BC CF CE AC =
=> CE.CF = AC.BC (1)
∆ABD ~ ∆AEC (g.g) =>
AC AD AE AB =
=> AD.AE = AC.AB (2) (1), (2) => AD.AE + CE.CF = AC(AB + BC) = AC2 (đpcm)
Câu 5: Ta có y =
x x x x x x x x + − + − + − = + − ) ( ) 2 ( 1
= + + 2
1 2 1 + = − − + ≥ − + − x x x x x x x x
(áp dụng BĐT Côsi với số dương)
Đẳng thức xảy <=> 1 − = ⇔ − =
− x x
x x
x
(loại nghiệm x = - 1 - )
Vậy giá trị nhỏ y + 2 x = -1
ĐỀ SỐ 37 Câu 1: M =
1 ) ( )
( 3
+ − + − + + − x x x x x x x x
+ x +
=
1 ) )( ( ) )( ( + + + − + − + − + + + + − x x x x x x x x x x x x x
= x - x- x - x + x + = x - x + = ( x - 1)2
Câu 2: a) 3x 5y 18 3x 5y 18 11y 33 x
x 2y 3x 6y 15 x 2y y
− = − − = − = = −
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = =
Vậy hệ phương trình có nghiệm (- 1; 3)
b) Hai đường thẳng (d) (d’) song song khi:
a a a
2
b b b 1
= − = ⇔ ≠ − ≠
(72)72
Khi theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = m (1)
2 2
1 2
2 2 2
1 2
x x (x x ) 2x x
1
1 1
x x x x (x x )
+ + −
+ = ⇔ = ⇔ = (2)
Từ (1), (2), ta được: - 2m = m2 <=> m2 + 2m - = '
∆ = + = => ∆' = nên m = -1 + (loại); m= - - 5(T/m m < 1) Vậy giá trị m cần tìm là: m= − −1
Câu 4: a) Ta có ACK = 900
(vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
N ên CK ⊥AC mà BH ⊥AC (vì H trực tâm) => CK // BH tương tự có CH // BK
=> Tứ giác BHCK hbh (đpcm) b) OM ⊥BC => M trung điểm BC
(định lý đường kính dây cung) => M trung điểm HK (vì BHCK hình bình hành) => đpcm ∆AHK có OM đường trung bình => AH = 2.OM
c) Ta có AC C BB C′ = ′ = 900=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC B′ ′ = ACBmà ACB BAx= (Ax tiếp tuyến A) => Ax // B’C’
OA ⊥Ax => OA ⊥ B’C’ Do SAB’OC’ =
R.B’C’
Tương tự: SBA’OC’ =
R.A’C’; SCB’OA’ =
R.A’B’
ABC
S∆ =
2
R(A’B’ + B’C’ + C’A’)=
AA’ BC <
(AO + OM).BC
=> A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn A, O, M thẳng hàng <=> A đỉểm cung lớn BC
Câu 5: y =
2
2
2
x x
y(x 2x 2) (x x 1)
x 2x
+ +
⇔ + + − + + =
+ +
⇔(y - 1)x2 + (2y - 1)x + (2y - 1) = (1) - N ếu y = x = -
- N ếu y ≠ (1) phương trình bậc hai x Để (1) có nghiệm phải có ∆= (2y - 1)2 - (y - 1)(2y-1) ≥ (2y 1)(2y 3) 0 y
2
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
1 y
2
= x = Vậy y =
ĐỀ SỐ 38 Câu 1:
a) Ta có x2 + x = x ( x3 + =1) x ( x 1)(x+ − x 1)+
nên P =
x x x x
x
x x x
x (2 1)
1
) )(
1
( + − +
+ −
+ − +
= x ( x 1) x x+ + − − = − x Vậy P = x− x
M
H O
B A
(73)73 b) P = ⇔ x - x = ⇔ x( x - 1) = ⇔ x = (loại) ; x = (t/m)
Vậy x = P = Câu 2: a) Ta có 1
x
− = - x Đk: x <
Bình phương hai vế, ta phương trình hệ quả: - x2 = (1 - x)2 <=> 2x2 - 2x = <=> 2x (x - 1) <=> x = ; x =
Thay vào pt cho thử lại nghiệm thoả mãn b) Đk: x ≠ y ≠0
Hệ cho tương đương với hệ phương trình:
3 7
x
x
x y x
3
4
4 1 y
1 y
x y
x y
+ = = =
=
⇔ ⇔ ⇔
− = =
− = − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 3)
Câu 3: a) Với m = - ta phương trình: x2 + 4x = <=> x(x + 4) = <=> x = ; x = -
b) Phương trình (1) có nghiệm ∆' > <=> (m -1)2 - (m+ 1) = m2 - 3m = m(m - 3) > <=> m > ; m < (1)
Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2(m - 1) x1x2 = m + (2) Ta có:
2
x x
x + x =
2 2
1 2
1 2
x x (x x ) 2x x
x x x x
+ = + −
nên
2
2
1 2
1 2
2 1
x x (x x ) 2x x
4 (x x ) 6x x
x x x x
+ −
+ = ⇔ = ⇔ + = (3)
Từ (2) (3) ta được: 4(m - 1)2 = 6(m + 1) <=> 4m2 - 8m + = 6m + <=> 2m2 - 7m - = ∆m = 49 + = 57 nên m =
4 57 7−
< ; m =
57 7+
> Đối chiếu đk (1) nghiệm thoả mãn
Câu 4: a) Ta có: DBO DMO= = 900 (vì gt)
=> điểm B, M thuộc đường trịn đường kính DO =>đpcm
b) Chứng minh tương tự có điểm O, C, E, M thuộc đường tròn => MEO MCO= (vì góc nội tiếp chắn cung MO)
MBO MDO= (vì góc nội tiếp chắn cung MO) Mà MBO MCO= (vì∆BOC cân O)
=> MEO MDO= =>∆DOE cân O Mà MO ⊥DE nên MD = ME (đpcm) Câu 5: Đặt 2+1
x = t, với t > 0, ta có t2 - (x + 3) t + 3x =
Xem pt ∆= (x + 3)2 - 12x pt bậc t t1 = t2
= (x - 3)2x+ +x− =x
3
; =
2 3
= + −
+ x
x
E
D
A
(74)74
O1 E
I
C
O
N M
B A
Do đó: - Hoặc: 2+1
x = x ⇔ x 02 2
x x
≥
+ =
vô nghiệm - Hoặc: 2+1
x = ⇔ x2 = ⇔ x = ±2
Vậy phương trình có nghiệm x = ±2
ĐỀ SỐ 39 Câu 1: (2 điểm)
1) Tính: 48 - 75 + 108= 16 - 25 + 36 = - 10 + =
2)Rút gọn biểu thức: P = - -
1 - x + x x
= + x - + x x -
1- x x
=2 x x -
1- x x =
- + x
Câu 2:1)Đường thẳng y = ax + b qua điểm M (3; 2) N ( 4; -1) nên:
2 = 3a + b - = 4a + b
⇔
a = - b = 11
2) Giải hệ pt: 2x + 5y = 3x - y =
⇔
2x + 5y = 7 15x - 5y = 10
⇔
17y = 17 3x - y =
⇔
x = y =
Câu 3:
1) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = '
∆ = 16, pt cho có nghiệm: x = - 2; x =
2) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆' ≥0 ⇔m2 + 6m ⇔ m≤ −6; m 0≥ (2) Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có:
1
x + x = 2m x x = - 6m
(3) Phương trình có 1nghiệm gấp lần nghiệm khi:
2
1 2 1 2 1 2
x =2x ; x =2x ⇔(x −2x )(x −2x ) 0= ⇔5x x −2(x +x ) 0=
2
1 2 2
5x x 2[(x x ) 2x x ] 9x x 2(x x )
⇔ − + − = ⇔ − + = (4) Từ (3), (4), ta có: 54m 8m2 0 m 0; m 27
4
− − = ⇔ = = − (thỏa mãn đk (2)) Vậy giá trị m cần tìm m 0; m 27
4
= = −
Câu 4:
1 Theo giả thiết MN AB I
0
ACB = 90 hay ECB = 90 EIB + ECB = 180 ⇒
mà hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB tứ giác nội tiếp
(75)75 góc nội tiếp chắn hai cung nhau) hayAME = ACM, lại có CAM góc chung tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM = AE
AC AM
⇒ ⇒ AM2 = AE.AC
3 Theo AMN = ACM ⇒ AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ECM N ối MB ta có AMB = 900, tâm O
1 đường trịn ngoại tiếp ECM phải nằm BM
Ta thấy N O1 nhỏ N O1 khoảng cách từ N đến BM⇒N O1 BM Gọi O1 chân đường vng góc kẻ từ N đến BM ta O1 tâm đường trịn ngoại tiếp ECM có bán kính O1M
Do để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ECM nhỏ C phải giao điểm đường trịn (O1), bán kính O1M với đường trịn (O) O1 hình chiếu vng góc N BM
Câu 5: Từ 2x + 3y 6≤ y - x2 - y 2x - 2
3 3
⇒ ≤ ⇒ ≥
K = x2 - 2x - y x - 2x + 2 2x - = (x - ) - 2 22 - 22
3 3 9 9
≥ ≥
Suy : K = - 22
9 x =
3 ; y = 14
9 Ta có : 2x2 + xy ≤4x ( x≥0)
( )
2 xy - y x +
x - 2x - y - - y =
2
⇒ ≤ ≤
Suy : max K = y =
x =
y = x =
ĐỀ SỐ 40
Câu a) 3x + 4y = y 3x
4
⇔ = − + , nên hệ số góc đường thẳng d k = −
b) d // d1 ⇔
2 1
m m m
1
4 m
1 1
m m m
2 2
− = − = = ±
⇔ ⇔ ⇔ = −
≠ ≠ ≠
Vậy với m
= − d1 // d
Câu Hệ phương trình ax by bx ay 11
+ =
− =
có nghiệm x
y
= = − nên
a.3 b( 1) b.3 a( 1) 11
+ − =
− − =
3a b
a 3b 11 − =
⇔ + =
9a 3b 10a 20
a 3b 11 a 3b 11
− = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + =
a a
3a b b
= =
⇔ ⇔
− = =
Câu
a) Do ac (1= + 3)(1− 3) 3= − = − <2 nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt b) Vì x , x1 2 nghiệm phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có:
1
2
x x
1
+ =
+ ,
1
x x
1
− =
(76)76
Do đó:
1 2
x x
1 2(1 3)
S (1 3)
x x x x
+ +
= + = = = = − +
−
−
và P =
1 2
1 1 (1 3)
(2 3)
x x x x 2
+ + +
= = = = = − +
− −
−
Vậy phương trình bậc cần tìm là: X2+ +(1 3)X (2− + 3) 0= Câu
a) Tam giác ADE cân A AD = AE Lại có:
1
A = DAB EAB 90− = 0−600 =300
Do
0 0
1
ADE AED (180 30 ) 75
2
= = − =
b) Từ giả thiết, dễ thấy tam giác BEF vuông cân B, nên
1
E =45 Từ ta có:
2 1
2 3
x
1
1
M
O
F E
D C
A B
0 0
2
DEF DEA E= + +E =75 +60 +45 =180 suy điểm D, E, F thẳng hàng, đpcm c) Ta có: B1=A1 (cùng chắn cung EM) suy
1
B =30 nên
B =30 Mà E3 =B2 nên
3
E =30
Vậy 0
2
E +E =60 +30 =90 hay ME⊥EB Mặt khác BF⊥EB ME // BF Câu Từ (1) ta có: x3 = −2(y 1)− 2− ≤ − ⇒ ≤ −1 1 x 1 (3)
Từ (2) ta có: 2
2y
x x 1 x
y
= ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ≤
+ (4)
Từ (3) (4), suy x = -1, thay vào hệ cho ta y = Vậy P =
II - LỚP 10 THPT CHUYÊ ĐỀ SỐ
(77)77 a) Đặt x - t
x = (1), suy
2
2
x t
x
+ = +
Khi phương trình cho trở thành: t2 – 4t – = t t
= − ⇔ =
Lần lượt thay giá trị t vào (1) phương trình cho có nghiệm: x1 = 1; x2 = - 2; x3 33; x4 33
2
+ −
= =
b) Đk: x ≥ - (1)
Đặt x + a; x + b a 0; b 0= = ( ≥ ≥ ) (2)
Ta có: a2 – b2 = 3; x2+7x + 10= (x + x + 2)( )=ab
Thay vào phương trình cho ta được:
(a – b)(1 + ab) = a2 – b2 ⇔(a – b)(1 – a)(1 – b) =
a - b = - a = - b =
⇔
nên
x + x + (VN )
x = - x +
x = - x +
=
= ⇔
=
Đối chiếu với (1) suy phương trình cho có nghiệm x = - Câu 2:
a) Đặt
3
3
3
1 b a
x
x a b
b c
y
c y b
c 1 a
z
a z c
= =
= ⇒ =
=
=
, abc = nên xyz = (1)
Từ đề suy x y z 1
x y z
+ + = + + ⇒x + y + z = yz + xz + xy (2) Từ (1) (2) suy ra: xyz + (x + y + z) – (xy + yz + zx) – =
⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) =
Vậy tồn x =1 chẳng hạn, suy a = b3, đpcm b) Đặt 31 84 a; 13 84 b
9
+ = − = ⇒ x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = − Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra: x3 = – x ⇔x3 + x – = ⇔(x - x)( 2+x + 2)=0
⇔x = Vì x2 + x + =
2
1
x +
2
+ >
Từ suy điều phải chứng minh
Câu 3: Áp dụng BĐT:
( 2)
a + b ≤ a +b ; a + b + c ≤ 3 a( 2+b2+c2)
(được suy từ bất đẳng thức Bunhiacôpski) Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 + x 2x x 2x x + 1 + y 2y y 2y y + 1 + z 2z z 2z z +
x y z x + y + z
+ ≤ + + =
+ ≤ + + =
+ ≤ + + =
(78)78
Lại có: A = 1 x+ + 1 y+ + 1 z+ + 2x+ 2y+ 2z
+ (2− 2)( x+ y+ z)
( ) ( ) ( )
A x + y + z + 2 x + y + z
⇒ ≤ + −
A +
⇒ ≤ (do x + y + z ≤ 3) Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy maxA = 2.+
Câu 4:
a) Ta có: ABO ACO 90= = 0(tính chất tiếp tuyến) (1)
AB = AC = OA2−OB2 = R = OB = OC (2)
Từ (1) (2) suy ABOC hình vng b) Theo ta có: AD + DE + AE = 2R (3) Suy ra: DE = BD + CE (4) Vẽ OM DE (M∈DE) (5)
Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF = BD; suy ∆BDO = ∆COF (c-g-c)
⇒OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)⇒OM = OC = R
(hai đường cao tương ứng) (6) Từ (5) (6) suy DE tiếp tuyến đường tròn (O;R)
c) Đặt: AD = x; AE = y SADE 1xy
⇒ = (x, y > 0) Ta có: DE= AD2+AE2 = x + y2 (định lí Pitago)
Vì AD + DE + AE = 2R⇒x + y + x2 +y2 = 2R (6)
Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có:
2
x + y xy x + y≥ ≥ 2xy (7) Dấu “=” xảy x = y
Từ (6) (7) suy ra: xy+ 2xy 2R≤ ⇔ xy 2( + 2)≤2R
( 2R )
xy
2+
⇔ ≤ ⇔xy 2R2
3 2 ≤
+ ⇒SADE ( )
2
2 ADE
R
S - 2 R
3 2
≤ ⇔ ≤
+
Vậy max SADE = (3 2 R− ) ⇔x = y⇔∆ADE cân A Câu 5: Xét điểm A hình trịn (C1) có tâm A, bán kính
C2 C1
C
B A
- N ếu tất 98 điểm lại nằm (C1) hiển nhiên tốn chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (C1)
Ta có: AB > (1)
Vẽ hình trịn (C2) tâm B, bán kính
+ Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình trịn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C khơng thuộc hai hình trịn nói
R
F M
y
x E
D
C B
(79)79 Suy ra: AC > BC > (2)
Từ (1) (2) suy điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết)
Chứng tỏ C (C1) C (C2) N hư 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo nguyên tắc Dirichle phải có hình trịn chứa khơng 50 điểm
ĐỀ SỐ Câu 1: a) Theo ta có:
) 2010 (
2010 )
2011 (
2011 x+y− = y−x+
+ N ếu x + y - 2011 = y - x + 2010 = x y 2010 2x 4021
x y 2011 2y
− = =
⇒ ⇔
+ = =
⇔
x 2010,5 y 0,5
= = + N ếu y - x + 2010 = x + y - 2011 = 0, ta kết + N ếu x + y - 2011 ≠0
2011 2010 2010
2011
− +
+ − =
y x
x y
vô lý (vì VP số hữu tỉ, VT số vơ tỉ) Vậy x = 2010,5 y = 0,5 cặp số thoả mãn đề
b) Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2012 <=> (z + 1)(xy + y + x + 1) = 2012
<=> (z + 1)[x(y + 1)+(y + 1)] = 2012
<=> (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 1.2.2.503 = 503.4.1 Chỉ có sau thoả mãn: x = 502, y = 1, z = x = 1005, y = 1, z = x = 2011, y = 0, z =
Câu 2: a) Điều kiện: x > -1 Đặt a = x+1 ; b = x2−x+1
Ta có: 2(a2 + b2) = 5ab <=> (2a - b)(2b - a) = <=> b = 2a ; a = 2b Do đó: 1) x+1 = x2−x+1 <=> 4(x + 1) = x2 - x +
<=> x2 - 5x - = <=> x =
2 37
5− (loại); x
2 =
37 5+
2) x+1 = x2−x+1 ⇔ + =x 4(x2− + ⇔x 1) 4x2−5x 0+ = vơ nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm: x =
37 5+
b) Vì a, b, c ∈ [0; 2] nên: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > <=> - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > <=> 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc
nên 2(ab + bc + ca) > (vì a + b + c = abc ≥ 0) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) >
<=> a2 + b2 + c2 5≤ (vì (a + b + c)2 = 9)
Dấu “=” xNy số a, b, c có số 2, số số Câu 3: Giả sử x =
q p
(p, q ∈ Z, q > 0) (p, q) =
Ta có
2
6 n q
p q
p
= + +
(80)80
=> p2 + p + = n2 (p, n ∈ Z)
<=> (2p + 1)2 + 23 = 4n2 <=> (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 <=> (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23
Do 2n - 2p - = 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 2n + 2p + = (vì 23 ∈ P 2n + 2p + > 2n - 2p - > 0) <=> p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm –
Câu 4:
a) Tứ giác MN KB nội tiếp (vì K N+ = 1800) Tứ giác MN CI nội tiếp (vì MN C MIC= MN C = 900) => BN K BMK= , IN C IMC= (1) (vì góc nội tiếp chắn cung) Mặt khác BMK IMC= (2) (vì BMK KMC KMC IMC+ = + bù với góc A tam giác ABC) Từ (1), (2) suy BN K= IN C nên điểm K, N , I thẳng hàng
P S
K
N
I
Q H
O A
B
C
M
b) Vì MAK MCN= = β (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) => AK CN cot g AB BK CN
MK MN MK MN
−
= = β => = hay AB BK CN
MK MK− =MN (1) Tương tự có:
M B MI
AI =
hay AC CI BN
MI +MI =MN (2)
Mà IC BK tg
MI =MK = α (α = BMK IMC= ) (3) Từ (1), (2), (3) => AB AC BC
MK + MI =MN (đpcm)
c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P ∈MS)
=> HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC)
=> N trung điểm PM mà HP // KN (vì KN // AS SAC AIN= N MC) => KN qua trung điểm HM (đpcm)
Câu 5: Đưa tốn tìm P để hệ phương trình:
2
2
2x xy y p
x 2xy 3y
− − =
+ + =
có nghiệm
Hệ
2
2
8x 4xy 4y 4p (1)
px 2pxy 3py 4p (2)
− − =
⇔
+ + =
Lấy (1) - (2), ta có: (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3)
(81)81 (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) với t =
y x
+ N ếu p = t = -
+ N ếu p ≠ 8: Phương trình (2) có nghiệm <=> ∆' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > <=> p2 - 12p - 18 < <=> - 3 6≤ p≤6+3 6 Dấu “=” có xảy Vậy P = - , max P = +3
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Từ giả thiết ta có:
( )( )
2
a b c ab - b - ac + c = - =
b - c a - c a - b a - b a - c
N hân vế đẳng thức với
b - c ta có: ( ) ( )( )( )
2
2
a ab - b - ac + c =
a - b a - c b - c b - c
Vai trò a, b, c nhau, thực hoán vị vịng quanh a, b, c ta có:
( ) ( )( )( )
2
2
b cb - c - ab + a =
a - b a - c b - c
c - a , ( ) ( )( )( )
2
2
c ac - a - bc + b =
a - b a - c b - c a - b
Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có a 2 + b 2 + c 2 =
(b - c) (c - a) (a - b) (đpcm) b) Đặt 2010 = x ⇒ 2010 = x ; 2010 = x2 4 Thay vào ta có:
2
2 2 4
2
2
1 + +
x - x + x x x
A = + -
1 - x x + x
=
2
2 2
2
1 +
x
-
x + x
2
1
= - =
x x
Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
a2 + bc≥ 2a bc, b + ac 2b ac ; c + ab 2c ab2 ≥ ≥
Do 2 + 2 + 2 1 + +
a + bc b + ac c + ab a bc b ac c ab
≤
=
a +b b + c c + a
+ +
1 ab + bc + ca 2 2 2 a + b + c
=
2 abc ≤ abc 2abc , đpcm
Dấu xNy a = b = c, tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥
Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1
( ) (2 )
= [ x - y - x - y + 1] - y + 2y
( )2 1
= x - y - + (2y - y + ) -
(82)82
o k
m f
e d
c b
a
o b
( )2 ( )2 1
= x - y - + y - -
2 − ≥
9 x = x - y - =
1
A= -
1 2 y - = 0
y =
⇔ ⇔
Vậy minA = −
Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có:
(2 x - + - x + 3)2 ≤ ( 2)(x - + - x = 13.4)
x - + - x 13
⇒ ≤
Dấu xNy x - = - x x = 29 13 ⇔
Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn Vậy pt có nghiệm x = 29
13
b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f = x2
x
x 0∀ ≠ (1)
Thay x = vào (1) ta có: f(2) + 3.f
=
Thay x =
2 vào (1) ta có:
1
f + 3.f(2) =
2
Đặt f(2) = a, f
= b ta có
a + 3b = 3a + b =
4
Giải hệ, ta
13 a = -
32 Vậy f(2) = - 13
32 Câu 4:
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK =
2AB Vì FM =
2EF mà EF = AB FM = OK
Ta lại có AF = R ⇒ AF = OA AFM = 1200
0 0
AOK + AOB = 180 = AOK + 60 ⇒ AOK = 120 Do đó: ∆AFM = ∆AOK (c.g.c)
0
AM = AK, MAK = 60 AMK
⇒ ⇒ ∆
Câu 5:
(83)83 N hưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB
mà OA.OB
2
OA + OB ≤
Do 2SAOB
2
OA + OB ≤
Dấu “=” xảy ⇔ OA ⊥ OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có:
2SBOC
2
OB + OC
≤ ; 2SCOD
2
OC + OD ≤
2SAOD
2
OD + OA ≤
Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ ( )
2 2
2 OA + OB + OC + OD
Hay 2S ≤ OA2 + OB2 + OC2 + OD2
Dấu xNy OA = OB = OC = OD
và AOB = BOC = COD = DOA = 90 0 ⇒ ABCD hình vng tâm O Lời bình:
Câu III.b
1) Chắc chắn bạn hỏi
x= từ đâu mà ra?
Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa thức biến x f(x) hàm số xác định bởi phương trình
A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau
Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2)
Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A a x B a y C a B b x A b y C b
+ =
+ =
(3)
Giải hệ phương trình (3) (đó hệ phương trình bậc hai Tn x, y) Trong bài toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = 1
x, C(x) = x
2, a =
Phương trình Q(x) = P(a)
x =
1
x= , tức
2
b=
Số
x= nghĩ
2) Chú ý: Khơng cần biết phương trình (2) có nghiệm Chỉ cần biết (có
thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành cơng
3) Một số tập tương tự
a) Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f( x) = + 3x (với x ℝ) b) Tính giá trị hàm số f(x) x = ( )
1
f x f x
x
+ =
−
(84)84
c) Tính giá trị hàm số f(x) x = ( 1) ( ) 1
x f x f
x x
− + =
−
(với x 1).
ĐỀ SỐ
Câu 1: a) Từ x2 + y2 = ⇒ 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) Vì x + y + ≠ nên xy = x + y -
x + y + 2 (1) Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:
x + y ≤ 2 x + y ( 2) ⇒ x + y ≤ 2 (2)
Từ (1), (2) ta được: xy -
x + y + ≤ Dấu "=" 2 2 x 0, y
khi x = y x = y =
x + y =
≥ ≥
⇔
Vậy maxA = - b) Vì x2 + y2 + z2 = nên:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 x + y + z x + y + z x + y + z
+ + = + +
x + y y + z z + x x + y y + z z + x
=
2 2
2 2 2
z x y
+ + +
x + y y + z x + z
Ta có x2 + y2 ≥ 2xy 2
2
z z
x + y 2xy
⇒ ≤ ,
Tương tự
2
2
x x
y + z ≤ 2yz ,
2
2
y y
x + z ≤ 2xz Vậy
2
2
z
x + y +
2
x
y + z +
2
y
+ x + z
2 z 2xy
≤ +
2 x 2yz +
2 y 2xz +
⇔ 2 2 + 2 2 + 2 2 x + y + z3 3 +
x + y y + z z + x ≤ 2xyz , đpcm
Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 (1) Điều kiện: x 10 ≥ − (2) (1) ⇔ (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) =
⇔ ( 3x + 10- 1)2 + (x + 3)2 = 3x + 10 - =
x = - x + =
⇔ ⇔
(thỏa mãn đk (2)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3
b)
2 2
2
x y - 2x + y = 2x - 4x + = - y
2
3
2x
y = (1) x + y = - (x - 1) -
⇔
Ta có:
2 2x
y - y (1)
1 + x ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ≤
Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ - ⇒ y3 ≤ - ⇒ y ≤ - (2)
(85)85 h
k
h' o
m
c
b a
i f g e
d c
b a
Câu 3:
a) Đặt x = b > 0 3 y = c > ta có x2 = b3 y2 = c3
Thay vào gt ta b + b c + c + bc = a3
⇒ a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + 2 b c b + c2 2( )2
a2 = (b + c)3 ⇒ a = b + c3 hay 3 x + y = a , đpcm 2 3
b) Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy x0 ≠0 Suy
0
x + ax0 + b + 2
0
a
+ =
x x
2
0
0
1
x + + a x + + b =
x x
⇔
Đặt x0 + 0 20 2 02 0
0
1
= y x + = y - , y
x ⇒ x ≥
2
0
y - = - ay - b
⇒
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
( 2 )2 ( )2 ( 2 2)( 2 )
0 0
y - = ay + b a + b≤ y + 2 20 2
(y 2)
a b
y
−
⇒ + ≥
+ (1) Ta chứng minh
2
0
(y 2)
y
− ≥
+ (2)
Thực vậy: (2) 2
0 0 0
5(y 4y 4) 4(y 1) 5y 24y 16
⇔ − + ≥ + ⇔ − + ≥
2
0
4
5(y 4)(y )
5
⇔ − − ≥ với y ≥2 nên (1)
Từ (1), (2) suy a + b 2 5(a + b ) 42
≥ ⇒ ≥ , đpcm
Câu 4: Đặt AH = x
Ta có AMB = 90 (OA = OB = OM)0
Trong ∆ vng AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx (H chân đường vuông góc hạ từ M xuống BC)
Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2
Do H ∈ AB ⇒ O ≤ x ≤ 2R
Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 =
⇔ (5x - 3R) (3x - 5R) = x = 3R; x = 5R
5
⇔
Cả giá trị thoả mãn
Vậy ta tìm điểm H H’ ⇒ điểm M M’ giao điểm nửa đường trịn với đường vng góc với AB dựng từ H H’
Câu 5:
Gọi I trung điểm CD
N ối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆BDC ⇒ IE // BC
Mà GF BC ⇒ IE GF (1) Chứng minh tương tự EG IF (2)
(86)86
⇒ IG ⊥EF (3) Dễ chứng minh EF // DC (4) Từ (3) (4) ⇒ IG ⊥ DC
Vậy ∆ DGC cân G ⇒ DG = GC
ĐỀ SỐ
Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 2x 9x x +
Ta có:
2 2
9x 18x
x - = 40 -
x + x +
2
2
x 18x
+ - 40 =
x + x +
⇔
(1)
Đặt
2 x
x + = y (2), phương trình (1) trở thành y
2 + 18y - 40 = (y + 20) (y - 2) = y = -20 ; y =
Thay vào (2), ta có
2
2
x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) x = 2(x + 9) = x - 2x - 18 = (4)
⇔
Phương trình (3) vơ nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: x 1= ± 19 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x 1= ± 19
2) Điều kiện x + x > x - x -
≥ ⇔
≤
(*)
Phương trình cho ⇔ (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x + = x - Đặt t = (x - 3) x + t = (x - 3) (x + 1)2
x - ⇒
Phương trình trở thành: t2 + 3t - = ⇔t = 1; t = - 4 Ta có: (x -3) 1 (1) ; ( 3) (2)
- 3
+ +
= − = −
−
x x
x
x x
+ (1) x x 32 x
(x 3)(x 1) x 2x
>
>
⇔ ⇔ ⇔ = +
− + = − − =
(t/m (*))
+ (2) x x 32 x
(x 3)(x 1) 16 x 2x 19
<
<
⇔ ⇔ ⇔ = −
− + = − − =
(t/m (*))
Vậy phương trình cho có nghiệm là: x 1= + ; x 5= − Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > ⇔ - < x < ⇒ - 3x > ⇒ A ≥
Vậy A2 = 2
2
25 - 30x + 9x (3 - 5x)
= +16 16
1 - x - x ≥
Dấu xNy - 5x = x = ⇔ Vậy minA =
2) Chứng minh: a + b + b + c + c + a 2 2 2 ≥ 2 (a + b + c) (1)
Sử dụng bất đẳng thức: 2(x2+y ) (x y)2 ≥ + 2, ta có:
2 2 2
(87)87 f
k i
e
o h n
m
b a
Tương tự, ta được: 2 b + c b + c 2 ≥ (3)
2 c + a c + a 2 ≥ (4)
Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm Câu 3: (1) có nghiệm
y x x 2; x (3)
⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤ − ≥
(2) ⇔(y 1)+ = −x2−2x có nghiệm ⇔ −x2−2x 0≥ ⇔ − ≤ ≤2 x (4)
Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1)
Câu 4: Kẻ MP // BD (P ∈AD)
MD cắt AC K N ối N P cắt BD H Ta có AM = AP
AB AD mà
AM CM
= (gt)
AB CD
AP CN
= PN // AC
AD CD
⇒ ⇒ Gọi O giao điểm
AC BD Ta có BO = CO , MK = OC
OD OA PK OA
N H = OC
PH OA Suy ra:
N H MK
= KH // MN
PH PK ⇒
Các tứ giác KEN H, MFHK hình bình hành nên MF = KH EN = KH ⇒ MF = EN ⇒ ME = N F
Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH + MFH = 1800
AMB = 180 - EHF = EHA + FHB (1) ⇒
Ta có MHF = MEF (góc nội tiếp chắn MF ) Lại có MHF + FHB = 90 = MEF + EMD0
FHB = EMD (2) ⇒
Từ (1) (2) ⇒ EHA = DMB, Gọi N giao điểm MD với đường trịn (O) ta có DMB = N AB(góc nội tiếp chắn N B)⇒ EHA = N AB AN // EH mà HE ⊥ MA nên N A ⊥ MA hay MAN = 90 0 ⇒ AN đường kính đường trịn Vậy MD qua O cố định
2) Kẻ DI ⊥ MA, DK ⊥ MB, ta có
MAD MAD
MBD MBH
S S
AH AM HE AD AM DI
= = ; = =
BD S BM DK BH S BM HF
Vậy
2
AH AD MA HE DI
=
BD BH MB DK HF (1)
Ta có HMB = FHB (cùng phụ với MHF ) mà FHB = EMD (CMT) EFH = DIK
⇒ EHF = DMH
Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = EFH EHF = 180 - AMBvµ
Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = DIK IDK = 180 - AMB0
vµ
EFH = DIK EHF = IDK
⇒ vµ ⇒ ∆ DIK HFE (g.g)∆
ID DK
suy =
HF HE ⇒ ID HE = DK HF
HE.DI = DK.HF
⇒ (2)
Từ (1), (2)
2
MA AH AD
=
MB BD BH
(88)88
ĐỀ SỐ
Câu 1: Ta có: A = - + - + + 24 - 25
- - -
= - + - + - + + 25 = - + =
Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x y y z z
- + - + - =
a a + b + c b a + b + c c a + b + c
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
x - + y - + z - =
a a + b + c b a + b + c c a + b + c
⇔
(*)
Do 12 - 2 12 2 > 0; 12 - 2 12 2 > 0; 12 - 2 12 2 >
a a + b + c b a + b + c c a + b + c
N ên từ (*) suy x = y = z = 0, M =
b) x3 = 2a +
2
2 a + 8a -
3 a -
3
x
⇔ x3 = 2a + 3x ( ) 3 1 - 2a
3 ⇔ x
3 = 2a + x(1 - 2a)
⇔ x3 + (2a - 1) x - 2a = ⇔ (x - 1) (x2 + x + 2a) =
2
x - =
x 1
x + x + 2a = ( a > ) nên x nguyên
⇔ ⇔ =
v« nghiƯm
mét sè du¬ng
Câu 3: a) Ta có:
( )( )
4c 35 35
+ >
4c + 57 ≥ + a 35 2b+ ≥ + a 2b + 35 (1)
Mặt khác 4c - 35 - 4c 35 + a ≤ 4c + 57 35 + 2b ⇔ + a 4c + 57 ≤ 35 + 2b
1 4c 35 2b
- + 1 - =
1 +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b
⇔ ≤
( )( )
2b 57 57
+
35 + 2b + a 4c + 57 + a 4c + 57
⇔ ≥ ≥ > (2)
Ta có: - 1 - 4c + 35 + a ≥ 4c + 57 35 + 2b
( )( )
a 57 35 35 57
+
1 + a 4c + 57 35 + 2b 4c + 57 35 + 2b
⇔ ≥ ≥ > (3)
(89)89
Q
P
N
M H C
B
A
H M
D
C B
A
( )( )( ) ( )( )( )
8abc 35 57
1 + a 4c + 57 2b + 35 ≥ + a 2b + 35 4c + 57 Do abc ≥ 35.57 = 1995
Dấu “=” xảy a = 2, b = 35 c = 57 Vậy (abc) = 1995
b) Đặt t = A = B = C = D
a b c d ⇒ A = ta, B = tb, C = tc, D = td t = A + B + C + D
a + b + c + d
Vì aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t2 2
= (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) A + B + C + D a + b + c + d = (a + b + c +d)(A + B + C + D)
Câu 4:
a) Xét ∆ABC có PQ // BC AQ = QP
AB BC
⇒
Xét ∆BAH có QM // AH BQ = QM
BA AH
⇒ Cộng vế ta có:
AQ BQ QP QM QP QM
+ = + = +
AB AB BC AH ⇒ BC AH
2
MN PQ ABC ABC
MN PQ
2S
QP QM QP QM
= + =
BC AH BC AH S
S
S
2
⇒ ≥
⇒ ≤
ABC MN PQ
S QP QM BC
max S = = = QP =
2 BC AH ⇔
Tức PQ đường trung bình ∆ABC, PQ qua trung điểm AH b) Vì = QP + QM
BC AH mà BC = AH
QP + QM
= QP + QM = BC
BC
⇒ ⇔
Do chu vi (MN PQ) = 2BC (không đổi) Câu 5:
∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà AB = 2AM nên HC = 2HD
Đặt HD = x HC = 2x Ta có: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x
(90)90
MỤC LỤC
Trang
- Lời giới thiệu _3
- A phần đề tài
I – Phần ôn thi tuyển sinh lớp 10 THPT _ II – Đề ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán _33
B- Phần lời giải 38