Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O)... Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).[r]
(1)Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chøng minh r»ng:
1 Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta cã:
CEH = 900 ( Vì BE đờng cao)
CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEC = 900.
CF đờng cao => CF AB => BFC = 900.
Nh E F nhìn BC dới góc 900 => E F nằm đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng trịn
3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; Â góc chung => AEH ADC => AE
AD= AH
AC => AE.AC = AH.AD
* Xét hai tam giác BEC ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung => BEC ADC => BE
AD= BC
AC => AD.BC = BE.AC 4 Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phơ víi gãc ABC)
C2 = A1 ( v× hai góc nội tiếp chắn cung BM)
=> C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB đơng trung trực HM H M đối xứng qua BC
5 Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF)
Cịng theo chøng minh trªn CEHD tứ giác nội tiếp
C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD)
E1 = E2 => EB lµ tia phân giác góc FED
Chng minh tng t ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đờng trịn nội tiếp tam giác DEF
(2)ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED =
2 BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đờng trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lời giải:
1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
CEH = 900 ( Vì BE đờng cao)
(3) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp
2 Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEA = 900. AD đờng cao => AD BC => BDA = 900.
Nh E D nhìn AB dới góc 900 => E D nằm đờng trịn đờng kính AB
Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn
3 Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đờng cao nên đờng trung tuyn
=> D trung điểm BC Theo trªn ta cã BEC = 900 VËy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyÕn => DE =
2 BC
4.Vì O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1)
Theo trªn DE =
2 BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2)
Mµ B1 = A1 ( v× cïng phơ víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 +
E3
Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E. Vậy DE tiếp tuyến đờng tròn (O) E