De thi vao 10 Ha Noi 2012 2013

Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi K là hình chiếu của H trên AB... 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giá[r]

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức

4 x A

x  

 Tính giá trị biểu thức A x = 36.

2) Rút gọn biểu thức

4 16

:

4

x x

B

x x x

  

  

  

  (với x  0, x16).

3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên

Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung công việc

12

5 xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2

1 x y x y 

  

 

   



2) Cho phương trình : x2 (4m1)x3m2 2m0 (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12x22 7

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB

1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minhACM ACK

3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C

4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB

AP MB

R

MA  Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK

Bài V (0,5 điểm)

Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x  2y, tìm giá trị nhỏ biểu thức M =

2

x y

xy 

(2)

-HẾT -HƯỚNG DẪN: Bài I: (2,5 điểm)

1) Với x = 36, ta có : A =

36 10

8

36



 

 2) Với x , x  16 ta có :

B =

x ( x 4) 4( x 4) x x 16 x 16 x 16

    



 

    

  =

(x 16)( x 2) x (x 16)(x 16) x 16

  



  

3) Biểu thức B (A – 1) =

x x x

x 16 x

 

   

 

   =

2

x 16 số nguyên

 x – 16 = 1 hay x – 16 = 2  x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18

Bài II: (2,0 điểm)

Gọi thời gian người thứ hồn thành xong công việc x (giờ), ĐK

12

x Thì thời gian người thứ hai làm xong công việc x + (giờ)

Mỗi người thứ làm

1

x(cv), người thứ hai làm được x 2 (cv) Vì hai người làm xong công việc

12

5 giờ nên hai đội làm được 12 1:

5 = 12(cv) Do ta có phương trình:   

1

x x 12

x x x(x 2) 12

 

 

  5x2 – 14x – 24 = 0

’ = 49 + 120 = 169,  , 13

=>

 

7 13

5

x

(loại)



7 13204

5

x

(TMĐK) Vậy người thứ làm xong công việc giờ, người thứ hai làm xong công việc 4+2 = Bài III: (1,5 điểm)

1)Giải hệ: 

  

 

   



2

x y

6

1

x y , (ĐK: x y, 0).

Hệ

    



    

    

   

         

   

         



  



4 10

4 x

x y x x x x

2

2 2

6 y

2

1 y

x y x y

x y .(TMĐK)

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (2;1)

2) + Phương trình cho có  = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m

(3)

A B C

d

E O P

Q

H

K M

+ Theo ĐL Vi –ét, ta có:

  

  

 

 

1 2

x x 4m

x x 3m 2m

Khi đó: x12x22  7 (x1x )2 2 2x x1 7

 (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) =  10m2 – 4m – =  5m2 – 2m – =

Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = hay m =

3

 + Trả lời

Bài IV: (3,5 điểm)

1) Ta có HCB 90  0( chắn nửa đường tròn đk AB)



HKB 90 (do K hình chiếu H AB)

=> HCB HKB 180   0 nên tứ giác CBKH nội tiếp đường trịn đường kính HB. 2) Ta có ACM ABM  (do chắn AM (O))

và ACK HCK HBK   (vì chắn HK.của đtrịn đk HB) Vậy ACM ACK 

3) Vì OC  AB nên C điểm cung AB  AC = BC sdAC sdBC 90   

Xét tam giác MAC EBC có

MA= EB(gt), AC = CB(cmt) MAC = MBC chắn cung MC (O) MAC EBC (cgc)  CM = CE  tam giác MCE cân C (1)

Ta lại có CMB 450(vì chắn cung CB 900)

CEM CMB 45   0(tính chất tam giác MCE cân C)

Mà CME CEM MCE 180    0(Tính chất tổng ba góc tam giác)MCE 900 (2) Từ (1), (2) tam giác MCE tam giác vuông cân C (đpcm)

4) Gọi S giao điểm BM đường thẳng (d), N giao điểm BP với HK Xét PAM  OBM :

Theo giả thiết ta có

AP.MB AP OB

R

MA   MAMB (vì có R = OB)

Mặt khác ta có PAM ABM  (vì chắn cung AM của (O))PAM ∽ OBM

AP OB

PA PM PM OM

   1 

.(do OB = OM = R) (3) Vì AMB900(do chắn nửa đtrịn(O)) AMS 900  tam giác AMS vng M  PAM PSM 90  

PMA PMS 90   0  PMS PSM   PS PM (4) Mà PM = PA(cmt) nên PAM PMA 

(4)

Vì HK//AS (cùng vng góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có:  

NK BN HN

PA BP PS hay 

NK HN

PA PS

mà PA = PS(cmt)  NKNH hay BP qua trung điểm N HK (đpcm) Bài V: (0,5 điểm)

Ta có M =

2 2 2 2

x y (x 4xy 4y ) 4xy 3y (x 2y) 4xy 3y

xy xy xy

       

 

=

2

(x 2y) 3y

xy x



 

Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy  x = 2y x ≥ 2y 

1 3

2

y y

x x

 

  

, dấu “=” xảy  x = 2y

Từ ta có M ≥ + -3 2=

5

2, dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M

5

2, đạt x = 2y Cách khác:

M =

2

x y

xy



với x, y số dương x  2y

Ta có 2

1 x(2y)

M 2(x y ) 

2 2 2 2 2

x 4y x y 3y

4(x y ) 4(x y )

  



  (Bất đẳng thức Cauchy)

=

2

2 2

1 3y 3y

4 4(x y ) 4(4y  y ) 20 5   (Thay mẫu số số nhỏ hơn).

Suy Max

1

M 5 x = 2y, giá trị nhỏ M =