- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng Bước 2 : ( Giải pưhương trình ). Kiểm tra xem[r]
(1)NỘI DUNG ƠN TẬP HÈ TỐN LÊN A ĐẠI SỐ :
CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Phần : PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC
1) Nhân đơn thức với đa thức : ( áp dụng tính chất nhân số với tổng )
Quy tắc : Muôn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với
Bài tập :
1 Làm tính nhân :
a) 2x ( x2 – 7x – ) b) 4
3
2x y xy xy
c) ( -5x3)(2x2 + 3x -5 ) d) 2 3
1
2x xy y x
2 Rút gọn biểu thức sau :
a) 3x2 – 2x ( + 1,5x ) + 10 b) 7x( 4y –x ) + 4y ( y -7x ) – ( 2y2 – 3,5x ) c) { 2x – ( x – ) – [ x – ( – 2x) + 10 ]} ( -2x )
3 Tìm x biết :
a) ( 2x – ) – 5( x – ) + ( 3x – ) = 24 b) 2x2 + 3( x2 -1 ) = 5x( x + 1) c) 2x ( – 3x) + 2x(3x – ) – ( x – ) = d) 3x ( x + ) – 2x( x + ) = -1 – x 4 Tính gía trị biểu thức sau :
a) A = x2 ( x + y ) – y ( x2 – y ) + 2002 với x = ; y = -1 b) B = 5x ( x – 4y ) – 4y ( y – 5x ) -
20 11
Với x = - 0,6 ; y = - 0,75 c) C = x( x – y + 1) – y ( y +1 – x ) Với
3 ;
y
x
2 )Nhân đa thức với đa thức ( Áp dụng tính chất nhân tổng với tổng )
Quy tắc : Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với
Bài tập :
1.Thực phép tính :
a) ( x2 – 2x + )( x – ) b) (2x – 3x – 1)(5x +2 )
c) ( 25x2 +10y + 4y2)(5x – 2y) d) (5x3 – x2 + 2x – 3)(4x2 – x + 2) 2 Tìm x biết :
a) (3x – 1)(2x +7) – (x + 1)(6x -5 ) = 16 b) (10x + 9)x – (5x – )(2x + 3) = c) (3x – 5)(7 – 5x ) + (5x + 2)(3x – ) – = d) x(x + 1)(x + ) – x3 = 5x
3 Chứng minh đẳng thức sau :
a) (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) = x5 + y5 b) (x – y)(x4 + x3y +x2y2 +xy3 + y4) = x5 – y5 4 Chứng minh với số nguyên n :
a) n(n + 5) – (n – 3)(n + 2) 6 b) (n1)(n1)(n7)(n5)12
Phần 2 : NHỮNG HẰNG ĐẢNG THỨC ĐÁNG NHỚ Kiến thức cần nhớ :
1 Bình phương tổng : ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2 Bình phương hiệu : ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3 Hiệu hai bình phương : A2 – B2 = ( A + B)(A – B)
4.Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5.Lập phương hiệu : ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6 Tổng hai lập phương : A3 + B3 = (A + B)(A2 –AB + B2 ) 7 Hiệu hai lập phương : A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2 ) Bài tập :
(2)Kiến thức trọng tâm lớp ngoclinhtbt@yahoo.com.vn d)
2
x e)
2
y
x d)
y x y
x
5
2
2
2.Rút gọn biểu thức :
a) (x + 1)2 – (x – 1)2 – 3(x +1)(x -1 ) b) 5(x + 2)(x – 2) - (6 ) 17
1
x
3 Tìm x biết :
a) 25x2 – = b) (x + 4)2 – (x + 1)(x – 1) = 16 c) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x +7)(x – 7) = 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
a) A = x2 + 5x + b) x2 – x + c) x ( x – 1) d) x( x -2 ) + 5 Tìm giá trị lớn biểu thức :
a) A = 6x – x2 – b) x – – x2 c) - x ( x – ) d) x( – x ) +1 6 Rút gọn biểu thức :
a) (a + b)3 + (a – b)3 – 6a2b b) (a + b)3 – (a –b)3 – 6a2b c) ( x2 – 1)3 – ( x4 +x2 +1)(x2 – 1) d) (x4 – 3x2 + )(x2 + 3) – (3 + x2) e) (x – 3)2 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2
7 Tìm x biết :
a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x(x2 + 2) = 15 b) (x +3)3 – x(3x + 1)2 + ( 2x + 1)(4x2 – 2x + 1) = 28 8 Cho biểu thức A = (x2 + 2)2 – (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)
a) Rút gọn A ;
b) Tính giá trị A x = -2 ; x = ; x =
c) Chứng minh A luôn dương với giá trị x
Phần : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Kiến thức : Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số ) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức Để phân tích đa thức thành nhan tử , ta thường dùng phương pháp sau : - Đặt nhân tử chung
- Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm hạng tử
- Phối hợp phương pháp
Ngồi cịn sử dụng : Tách hạng tử thành nhiều hạng tử , Thêm bớt hạng tử , tìm nghiệm đa thức v .v
Bài tập :
1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x3y2 – 6x2y3 + 9x2y3 b) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 c) 12x2y – 18xy2 - 30y2 d) 36 – 12x + x2 e) 4x2 + 12x + f) – 25x6 – y8 + 10x3y4
g) 25
4
y xy
x h) (x – 5)2 – 16 i) 25 – (3 – x)2 k) 125 – x6 l) (7x – 4)2 – (2x + 1)2 n) 49(y – 4)2 – 9(y + 2)2 m )
27
8x3 2. Phân tích thành nhân tử :
a) xy + xz + 3x + 3y b) xy – xz + y – z c) 11x + 11y – x2 – xy d) x2 – xy – 8x + 8y e) x2 – 6x – y2 + f) 25 – 4x2 – 4xy – y2 g) x2 + 2xy +y2 – xz – yz h) x2 – 4xy + 4y2 – z2 + 4xt – 4t2 3. Phân tích thành nhân tử :
a) x5 + x3 – x2 – b) x4 – 3x3 – x + c) x3 – x2y – xy2 + y3 d) 3x + 3y – x2 – 2xy – y2 e) x2 + 4x + f) 4x2 + 4x – g) x2 – x – 12 h) 4x4 + 4x2y2 – 8y4
4. Tìm x biết :
a) 5(x + 3) – 2x(3 + x ) = b) 4x(x – 2012) – x + 2012 = c) (x + 1)2 = x + d) (x + 8)2 = 121 e) (x – 4)2 – 36 = f) x(x – 5)2 – 4x + 20 = g) x2 + 8x + 16 = h)4x2 – 12x = i) x(x + 6) – 7x – 42 = k) x3 – 5x2 + x – = l) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x =
5 Tìm x biết :
(3)6.Chứng minh với số nguyên n :
a) n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho b) (2n – 1)3 – (2n – 1) chia hết cho
c) (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho d) (n + 7)2 – (n – 5)2 chia hết cho 24 e) Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp chia hết cho
Phần CHIA ĐƠN THỨC – CHIA ĐA THỨC Kiến thức cần nhớ :
* Đơn thức A chia hết cho đơn thức B biến B biến A với số mũ khơng lớn số mũ A
* Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm sau : - Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B
- Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B - Nhân kết tìm với
* Muốn chia đa thức A cho đơn thức B , ta chia mỗ hạng tử A cho B cộng kết với
* Người ta chứng minh với hai đa thức tùy ý A B biến ( B khác 0) , tồn hai đa thức Q R cho A = B.Q + R
R = bậc R thấp bậc B Khi R = phép chia A cho B phép chia hết Bài tập :
1. Làm tính chia :
a)
x y x y x y
y
x3
5 : 10
9
6
3
b)
2
4
3 :
2x x x x
c) ( 8x4 – 4x3 + x2 ) : 2x2 d) [5(x – y)4 – 3(x – y)3 + 4(x – y)2] : (y – x)2 e) ( 8.57 – 55 + 56 ): 55 2 Tìm x biết :
a) ( 4x4 + 3x3 ) : ( - x3) + (15x2 + 6x) : 3x = b) :2 3 1 : 1
1
2
x x x x
x
3 Làm phép chia :
a) ( -3x3 + 5x2 – 9x + 15): (-3x + 5) b) (x4 – 2x3 + 2x – ) : (x2 – 1) c) ( 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – ) : ( x – 1) d) ( 5x3 + 14x2 + 12x + ) : ( x + 2) 4 Với giá trị x đa thức dư phép chia sau có giá trị :
a) ( 2x4 – 3x3 + 4x2 + 1) : ( x2 – ) b) ( x5 + 2x4 + 3x2 + x - ) : ( x2 + 1) 5 Tìm giá trị nguyên x để
a) Giá trị đa thức 4x3 + 11x2 + 5x + chia hết cho giá trị đa thức x + b) Giá trị đa thức x3 – 4x2 + 5x – chia hết cho giá trị đa thức x – c) Giá trị đa thức n3 – 2n2 + 3n + chia hết cho đa thức n –
PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I 1 Rút gọn biểu thức :
a) (x – 3)(x + ) – (x + 5)(x – 1) b) (x + 8)2 – 2(x + 8)(x – 2) + (x – 2)2 c) x(x – 4)(x + 4) – (x2 + 1)(x2 – 1) d) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)
e) (a + b + c )2 + (a + b – c)2 – 2(a + b) f) (a + b + c)2 + (a – b + c)2 + (a + b - c)2 + (b + c - a)2 2 Tính giá trị biểu thức sau :
a) A = (2x2 + 5x + 3) : (x + 1) - (4x – ) với x = -2
b) B = [ (3x – 2)(x + 1) – (2x + 5)(x2 – 1)] : ( x + 1) Với x = 2,5 c) C = (2x + 3y)(2x – 3y) – (2x – 1)2 + (3y – 1)2 với x = y = - 3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x3 – x2 – 4x2 + 8x – b) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + ) c) 4x2y2 – (x2 +y2 – z2)
d) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 e) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 f) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 4 Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần làm phép chia :
(4)Kiến thức trọng tâm lớp ngoclinhtbt@yahoo.com.vn a) x2 – 25 – (x +5) = b) (2x – 1)2 – (4x2 – 1) = c) x2(x2 + 4) – x2 – =
6. Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A = (x – 1)(x – 3) + 11 ; b) B = (x2 – 3x + 1)(x2 – 3x – 1) ; c) C = (x – 1)(x + 5)(x2 + 4x + 5) 7 Tìm giá trị lớn biểu thức :
a) D = – 4x2 + 4x ; b) E = - – x2 + 6x ; c) F = |x – 3|(2 - |x – 3|) ; d) G = - x2 – 4x – y2 + 2y 8 a) Chứng minh đẳng thức : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
b) Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc a = b = c c) Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 - 3abc =
9 Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp , biết tích chúng bằnd 24 10. Xác định số nguyên n để :
a) Giá trị biểu thức 10n2 + n – 10 chia hết cho giá trị biểu thức n – b) Giá trị biểu thức 25n2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị biểu thức n –
CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Phần TÍNH CHẤT CƠ BẢN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Kiến thức :
1.* Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức ) biểu thức có dạng B A
, A , B đa thức B khác
A gọi tử thức ( hay tử ) ; B gọi mẫu thức ( hay mẫu ) Mỗi đa thức coi phân thức cho mẫu thức 2.* Với hai phân thức
B A D C Ta nói D C B A
A.D = B.C
3 * Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho
M B M A B A
( M đa thức khác 0)
4 * Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức
phân thức cho
N B N A B A : :
( N nhân tử chung)
5 * Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho
B A B A
6 * Muốn rút gọn phân thức ta :
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử ( cần ) để tìm nhân tử chung ; - Chia tử mẫu cho nhân tử chung
Bài tập :
1. Rút gọn phân thức sau :
a) yz xy y x y x 2 2
; b)
xz y z x xy z y x 2 2 2 2
; c) 3 2 3 2 ) ( 35 ) ( 15 y x y x y x y x
; d)
) ( 12 ) ( 10 3 x y x x xy e) 12 3 x x x x x x
; f) 3 2 2 ) ( ) ( x x x x
; g)
1 3 x x x x x x h) 12 2 x x x x i) 1 4 10 x x x x x x
P ;
1 10 35 40 45 10 20 30 40 x x x x x x x x x Q
2.Chứng minh đẳng thức :
a)
2 2 x x x x x x x
; b)
y x y x x y x xy y x 1 1 2 2
; c)
2
2 3 3 3 x y x x x x xy y
(5)Phần II QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
Kiến thức cần nhớ :
1.Muốn tìm mẫu thức chung nhiều phân thức ta làm sau : - Phân tích mẫu thành nhân tử ( cần )
- Chọn tích gồm số chia hết cho nhân tử số mẫu thức ( nhân tử số nguyên số BCNN chúng ) , với số lũy thừa có mặt mẫu số ta lấy lũy thừa với số mũ cao
2 Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm sau : - Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung - Tìm nhân tử phụ mẫu thức ;
- Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng
Bài tập
1. Quy đồng mẫu thức phân thức sau : a) y z x y x z xz y 2 6 ; 18 11 ; 12
; b)
z y x z x x y x x 3 20 ; 10 ; 15
2
; c)
) ( ; ) ( ;
x x
x x x x x x
d) ; ;
1 2
3
x x
x x x x x x
; e)
2 2
2 ; ; y x y x xy x x
; f) 10;
3 ; 5 2
x x
x x
x x
Phần III CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ NHÂN CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Kiến thức cần nhớ :
1 * Muốn cộng hai phân thức mẫu thức ta cộng tử thức với , giữ nguyên mẫu thức rút gọn phân thức vừa tìm
* Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức mẫu vừa tìm
2 *
B A
phân thức đối
B A
; ngược lại
B A
phân thức đối
B A
; Phân thức đối phân thức
B A
kí hiệu
B A
; Ta có :
B A B
A
B A B A
* Muốn trừ phân thức
B A
cho phân thức
D C
, ta cộng
B A
với phân thức đối
D C : ( ) D C B A D C B A
3. * Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân tử số với , mẫu số với , rút gọn phân thức
vừa tìm :
D B C A D C B A
* Phép nhân phân thức đại số có tính chất : a) Giao hoán :
B A D C D C B A
b) Kết hợp :
F E D C B A F E D C B A
c) Phân phối phép cộng :
F E B A D C B A F E D C B A
4 * Nếu
B A
phân thức khác 1
A B B A
Do
A B
là phân thức nghịch đảo
B A
ngược lại ; * Muốn chia phân thức
B A
cho phân thức D C
khác ta nhân B A
với phân thức nghịch đảo D C C D B A D C B A
: với 0
D C
(6)Kiến thức trọng tâm lớp ngoclinhtbt@yahoo.com.vn 1 Cộng phân thức :
a) 2 2 2
2 yz z y yz x
; b)
3
5
2
x x x x x x
; c) 2 2 2 2
4 2 y x y xy y xy x x d) ) )( ( ) )( ( ) )(
( z x z y
z z y x y y z x y x x
; e) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 y z x z z z y x y y z x y x x 2 Thực phép tính sau :
a)
1 2
1 2
x x
x x
; b)
1 1 x x x x x x x
; c)
1 15 10
x x x
x d) 1 x x x x
x ; e)
2 1 2
x x
x ; f)
1 18
2
x x x
x
3 a) Chứng minh :
) ( 1 1 x x x x
b) Áp dụng tính :
) )( ( ) )( ( ) )( ( ) (
x x x x x x
x x
c) Tính :
5 20 12 1 2 2
2
x x x x x x x x x x
x
4.Rút gọn biểu thức :
a) ) )( ( x x x x x x
; b)
5 3 x x x x x x x x x
; c)
4 3 2 3 x x x x x x x x
d) 4 4
2 2 2 2 : y x y xy x y x y x
; e)
y x x xy x 2 : y) -y
(xy ; f)
2 : : 2 2 x x y xy xy x y xy x
g)
y x xy x z y y x 2 :
: ; h)
y y x y x xy x z 2
2 : : k)
1 : : 1 : 2 2 x x x x x x x x x x x
5 Cho biểu thức
2 6 x x x x x A
a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định ; b) Rút gọn biểu thức A
c) Tính giá trị biểu thức A x =
d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A ? e ) Tìm giá trị x để A >
6 Cho biểu thức
32 16 4
4
x x
x x
M
a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức M xác định ; b) Tìm giá trị x để giá trị M
3 c) Tìm giá trị x để giá trị M
d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị ngun
7 Tìm giá trị nguyên x để giá trị củamỗi biểu thức sau số nguyên :
a) x x
N b)
1
8 2
x x x x
Q c)
3 x x x P
8 Chứng minh đẳng thức :
a)
2
(7)CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Kiến thức cần nhớ
1 * Một phương trình ẩn x ln có dạng A(x) = B(x) , vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến x
* Giá trị biến nghiệm phương trình cho gọi nghiệm phương trình
* Một phương trình có , hai , ba … nghiệm , khơng có nghiệm vơ số nghiệm Phương trình khơng có nghiệm gọi phương trình vơ nghiệm
* Giải phương trình tìm tất nghiệm ( hay tập nghiệm ) phương trình * Hai phương trình tương đương hai phương trình có tập nghiệm
2 * Trong phương trình ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạng tử * Trong phương trình ta nhân ( hay chia ) hai vế với số khác
* Từ phương trình , dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta phương trình tương đương với phương trình
* Phương trình dạng ax + b = , với a,b hai số tùy ý a0được gọi phương trình bậc ẩn * Phương trình axb0(a0) giải sau :
a b x b ax b
ax 0
* Phương trình bậc ax + b = có nghiệm day
a b x
2.* Phương trình tích phương trình có dạng A(x).B(x) = , A(x) , B(x) đa thức biến x * Muốn giải phương trình A(x).B(x) = , ta giải hai phương trình A(x) = B(x) = , lấy tất nghiệm thu
3 * Muốn giải phương trình có chứa ẩn mẫu thức ta thực bước sau : Bước : Tìm điều kiện xác định phương trình
Bước : Quy đồng mẫu thức hai vế phương trình khử mẫu Bước : Giải phương trình vừa nhận
Bước : ( Kết luận ) Trong giá trị tìm ẩn bước , loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định , giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho
4 Giải tốn cách lập phương trình gồm ba bước sau : Bước : ( Lập phương trình ): Bao gồm :
- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Từ lập phương trình biểu thị tương quan đại lượng Bước : ( Giải pưhương trình ) Giải phương trình vừa thu
Bước : ( Trả lời ) Kiểm tra xem nghiệm phương trình , nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn , nghiệm không , trả lời
Bài tập :
1. Giải phương trình :
a)
5 ) (
1 ) (
) (
x x x
x
b)
9 ) (
7
10 x x x x
x
c)
4 ,
5 ,
1 ,
1
5
x x x
x
d)
6
5 10
2
4
x x x
x
2 Giải phương trình :
a) 3(x – 1)(2x – 1) = 5(x + 8)(x – 1) b) 9x2 -1 = (3x + 1)(4x + 1) c) x3 – 5x2 + 6x =
d) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 e) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 f) x(x -1)(x + 1)(x + 2) = 24 3 Giải phương trình :
a)
24
102 13 8 20 16
3
x
x x
x
x ; b) x
x x
x
x 4
1 12 4
1
2
;c) 16
7 10 12
7 12
5
2
x x x x x x
x
e)
d)
3
6
6 13
2
2
x x
x x x
x x x
x
e)
3
3 )
3 )( (
8
1
2
x x
x x
(8)Kiến thức trọng tâm lớp ngoclinhtbt@yahoo.com.vn f)
1
8
1 2
1
2
x x
x x
x
; g)
) )( (
1 )
2 )( (
1 )
3 )( (
1 )
4 )( (
1
2
2
2
2
2
x x x x x x x
x
4 Cho phương trình ẩn x : 9x2 – 25 –k2 – 2kx = a) Giải phương trình với k =
b) Tìm giá trị k cho phương trình nhận x = - làm nghiệm
5 Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu tơ với vận tốc , cịn 60 km quãng đường AB , ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h quãng đường lại , đến B sớm so với dự định Tính quãng đường AB
6 Có hai loại dung dịch chứa thứ axít , loại I chứa 30% axít , loại II chứa 5% axít Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% axít cần phải trộn lít dung dịch loại
7.Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80 km , lẫn 20 phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng , biết vận tốc dịng nước km/h
B-HÌNH HỌC
CHƯƠNG I – TỨ GIÁC
Phần I - HÌNH THANG VÀ CÁC TÍNH CHẤT Kiến thức cần nhớ :
1 * Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song
* Hình thang vng hình thang có cạnh bên vng góc với hai đáy ( Hình thang có góc vng ) * Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy
- Trong hình thang cân : + Hai cạnh bên + Hai đường chéo
- Dấu hiệu nhận biết + Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân + Hình thang có hai đường chéo hình thang cân 2 * Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba cạnh * Đường trung bình hình thang song song với hai đáy tổng hai đáy EF // AB , EF // CD
2
CD AB
EF
Bài tập :
1 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , phân giác BD , CE a) Tứ giác BEDC hình ? Vì ?
b) Chứng minh BE = ED = DC
c) Biết Â=500 Tính góc tứ giác BEDC
2 Cho hình thang vng ABCD ,AˆDˆ 900 Gọi M , N trung điểm cạnh BC , AD Chứng minh :
a) Tam giác MAD tam giác cân b ) Góc MAˆBMDˆC
3 Cho tam giác vng cân ABC , Â = 900 Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Từ C kẻ đường vng góc với BE cắt BA I
a) Chứng minh BE = BI
b) Qua D A kẻ đường vng góc với BE cắt BC M N Chứng minh MN = NC
4 Cho hình thang ABCD ( AB // CD) Gọi E,F trung điểm AD BC Phân giác góc A góc B cắt EF theo thứ tự I K
a) Chứng minh tam giác AIE tam giác BKF tam giác cân b) Chứng minh tam giác AID tam giác BKC tam giác vuông c) Chứng minh IE AD
2
KF BC
2
(9)Phần II HÌNH BÌNH HÀNH
Kiến thức cần nhớ :
1 * Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song 2 * Trong hình bình hành :
* Các cạnh đối * Các góc đối
* Hai đường chéo cắt trung điểm đường
3 Để chứng minh tứ giác hình bình hành ta chứng minh tứ giác thỏa mãn tính chất sau :
* Các cạnh đối song song * Các cạnh đối * Các góc đối
* Hai đường chéo cắt trung điểm đường * Hai cạnh đối song song
Bài tập :
1 Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh BC AD , O giao điểm AC BD Chứng minh :
a) Tứ giác AMCN hình bình hành b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng
2 Cho hình bình hành ABCD Kẻ AEBD,CF BD a) Tứ giác AECF hình ? Vì ?
b) AE cắt CD I , CF cắt AB K Chứng minh AI = CK c) Chứng minh BE = DF
Phần III HÌNH CHỮ NHẬT Kiến thức cần nhớ :
1 Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Hình chữ nhật hình bình hành , hình thang cân 2 Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành , hình thang cân
3 Dấu hiệu nhận biết tứ giác hình chữ nhật : * Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật
* Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật * Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật
* Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật
4 Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh huyền Ngược lại tam giác có trung tuyến ứng với cạnh cạnh tam giác tam giác vng
Bài tập :
1 Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) đường cao AH Gọi M , P , Q trung điểm BC , CA , AB Chứng minh :
a) PQ đường trung trực AH b) Tứ giác MPQH hình thang cân
2 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ H đến AB , AC
a) Tứ giác EAFH hình ?
b) Qua A kẻ đường vng góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
3 Cho tam giác ABC , trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng M qua G , gọi Q điểm đối xứng N qua G
a) Tứ giác MNPQ hình ? Vì ?
b) Nếu tam giác ABC cân A tứ giác MNPQ hình ? Vì ? Phần IV HÌNH THOI Kiến thức cần nhớ :
(10)Kiến thức trọng tâm lớp ngoclinhtbt@yahoo.com.vn 2 Hình thoi có tất tính chất hình bình hành
* Trong hình thoi : + Hai đường chéo vng góc với
+ Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết :
* Tứ giác có bốn cạnh hình thoi
* Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi
* Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi
* Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi Bài tâp :
1. Cho hình thoi ABCD , góc B = 600 Kẻ AEBC,AFCD Chứng minh: a) AE = AF
b) Tam giác AEF tam giác
c) Biết BD = 16cm TÍnh chu vi cuae tam giác AEF
2 Cho hình thang ABCD Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , BC , CD , DA a) Tứ giác MNPQ hình ? Vì ?
b) Chứng minh ABCD hình thang cân MP tia phân giác góc QMN
3 Cho hình thoi ABCD Trên cạnh AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự điểm M , N , P ,Q cho AM = CN = CP = QA Chứng minh
a) Ba điểm M , O , P thảng hàng ba điểm N , O , Q thẳng hàng b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật
Phần V HÌNH VNG Kiến thức cần nhớ :
1 Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh Hình vng hình thoi có bốn góc vng Hình vng vừa hình chữ nhật vừa hình thoi 2 Hình vng có tất tính chất cuat hình chữ nhật hình thoi
3 Dấu hiệu nhận biết :
* Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng
* Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng * Hình chữ nhật có đường chéo phân giác góc hình vng * Hình thoi có góc vng hình vng
* Hình thoi có hai đường chéo hình vng Bài tập :
1.Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự điểm A’ , B’ , C’ , D’ cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ Chứng minh :
a) A'BB'B'CC'
b) Tứ giác A’B’C’D’ hình vng
2 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F
a) Tứ giác AEMF hình ? Vì
b) Tam giác ABC có điều kiện tứ giác AEMF hình chữ nhật
c) Nếu tam giác ABC vuông can A tứ giác AEMF hình ? Vì ?
3 Cho tam giác nhọ ABC , vẽ phía ngồi tam giác hai hình vuôn ABDE ACFH Gọi U K tâm hai hình vng nói M trung điểm cạng BC
a) Chứng minh EC = BH ECBH
b) Gọi N trung điểm EH , Tứ giác MINK hình ? Vì ?
4 Cho tam giác ABC , trung tuyến BE CF cắt G Gọi M , N theo thứ tự trugn điểm BG CG
a) Tứ giác MNEF hình ? Vì ?
b) Tam giác ABC có điều kiện MNEF Hình chữ nhật ? Hình thoi ?
5 Cho hình bình hành ABCD có Â = 600 , AD = 2AB Gọi M trung điểm AD , N trung điểm BC Từ C kẻ đường vng góc với MN E cắt AB F Chứng minh :
(11)b) E trung điểm CF
c) Tam giác MCF tam giác d) Ba điểm F , N , D thẳng hàng
CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Phần I ĐỊNH LÍ TA LET – HỆ QUẢ - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Kiến thức cần nhớ :
1.* Định lí ta lét tam giác : Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
* Định lý đảo : Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác
* Hệ : Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho
2 Đường phân giác góc tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ( Định lý với đường phân giác tam giác )
Bài tập :
1 Cho tam giác ABC , cạnh AB AC lấy hai điểm M N Biết AM = 3cm , MB = 2cm ,AN = 7,5cm , NC = 5cm
a) Chứng minh MN // BC
b) Gọi I trung điểm BC , K giao điểm AI với MN Chứng minh K trung điểm MN 2 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có AB = 7,5cm , CD = 12cm GọiM trung điểm CD , E giao điểm MA BD , F giáo điểm MB AC
a) Chứng minh EF song song với AB b) Tính độ dài đoạn EF
3 Cho tam giác ABC có AB = 14cm , AC = 10cm , BC = 12cm Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC D
a) Tính độ dài đoạn thẳng DB , DC
b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD
4 Cho tam giác vuông ABC vuông A Biết AB = 20cm , AC = 21cm a) Tính độ dài cạnh BC
b) Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Tính DB , DC
c) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E ,qua D kẻ đường thẳng song song vứoi AB cắt AC F Tứ giác AEDF hình ? Tính diện tích tứ giác
Phần II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Kiến thức cần nhớ :
1 * Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC
CA A C BC
C B AB
B A
C C B B A A
' ' ' ' ' '
ˆ ' ˆ ; ˆ ' ˆ ; ˆ ' ˆ
* Hai tam giác đồng dạng có tính chất : + Mỗi tam giác đồng dạng với + Nếu A'B'C'ABC ABCA'B'C'
+ Nếu A'B'C'A"B"C" A"B"C"ABC A'B'C'ABC
+ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho MN // BC => AMN ABC
2 Các trường hợp đồng dạng hai tam giác :
* Nếu ba cạch tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng ' ' '( )
' ' ' ' '
' C A ABC ABC ccc
CA C
B BC B
A AB
(12)Kiến thức trọng tâm lớp ngoclinhtbt@yahoo.com.vn * Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng ' ' ' ( )
ˆ ' ˆ
' ' ' '
c g c ABC C
B A A
A
AC B A AB
B A
* Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng Bˆ'Bˆ;Cˆ'CˆA'B'C'ABC(g.g)
3 Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông
* Tam giác vng có góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng *Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng kí hai tam giác vng đồng dạng với
* Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuong tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với
4 Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng 5 Tỉ số hai diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Bài tập :
1. Cho tam giác ABC cân A , có AB = AC = 100cm , BC = 120cm , hai đường cao AD , BE cắt H a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác BDH;
b) Tính độ dài đoạn thẳng HD , AH , BH HE
2 Cho tam giác ABC vuông A , AB = 6cm , AC = 8cm , đường cao AH , đường phân giác BD a) Tính độ dài đoạn AD , DC
b) Gọi I giao điểm AH BD Chứng minh AB.BI = BD.HB c) Chứng minh tam giác AID tam giác cân
3 Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD , AB < CD ) Đường cao BH chia cạnh CD thành hai đoạn DH = 16cm , HC = 9cm Biết BDBC
a) Tính đường chéo AC BD hình thang ; b) Tính diện tích hình thang ;
c) Tính chu vi hình thang
4 Cho tam giác ABC vng A có AB = 8cm , AC = 15cm , đường cao AH a) Tính BC , AH
b) Gọi M , N hình chiếu H AB , AC Tứ giác AMNH hình ? Tính độ dài MN c) Chứng minh AM.AB = AN AC
5 Cho tam giác ABC vuông A , trung tuyến BD Phân giác góc BAD góc BDC cắt AB , BC M N Biết AB = 8cm , AD = 6cm
a) Tính độ dài đoạn BD , BM ; b) Chứng minh MN // AC ;
c) Tứ giác MNCA hình ? Tính diện tích tứ giác
6 Cho hình chử nhật ABCD có AB = 36cm , AD = 24cm E trung điểm AB Tia DE cắt AC F cắt CB G