1) Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại các điểm M, N. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.. 2) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đườ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀNỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2012 – 2013
Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 23 tháng năm 2012
Thời gian làm bài: 150 phút
( Dành cho thí sinh thi vào lớp chun tốn chuyên tin)
Bài I (2,0 điểm)
1) Chứng minh n số nguyên n5+5n3−6n chia hết cho 30 2) Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n+1)+6 không chia hết cho Chứng minh 2n2
+n+8 khơng số phương
Bài II (3,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
¿
x −2y −2 x+1=0 x2−4 xy+4y2−
x2+1=0
¿{
¿
2) Xét số x, y, z thỏa mãn điều kiện x2
+y2+z2=2012 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M=2 xy−yz−zx
Bài III (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động đường tròn (O;R) cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC
1) Đường thẳng chứa tia phân giác ngồi góc BHC cắt AB, AC điểm M, N Chứng minh tam giác AMN tam giác cân
2) Gọi E, F hình chiếu D đường thẳng BH, CH Chứng minh OA EF
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác góc BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định
Bài IV (1,0 điểm)
Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: (x+1)(y+z)=xyz+2
Bài V(1,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn bán kính 2cm Chứng minh số 17 điểm
A1 , A2 , …, A17 nằm tứ giác ABCD ln tìm hai điểm mà
khoảng cách hai điểm khơng lớn 1cm -