Bài 6 (3.0điểm) Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều của tam giác đều ABC lấy một điểm P tùy ý.. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại Q.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS HUYỆN M’DRĂK Năm học : 2011 -2012
Ngày thi : 22/02/2012 Môn thi : Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài1: (3 điểm)
1) Cho biểu thức:
1 1
x x x x x P
x x x x x
a) Rút gọn P b) Tìm x để
9 P
2) Cho x = 2 2 Tính giá trị biểu thức: f x( )x33x Bài (3.0điểm) Giải hệ phương trình sau:
12 36 13 18 xy x y
xz x z
yz y z
Bài (3,0điểm) a) Chứng minh:
2 2
x x
với x b) Chứng minh
2010 2009
2009 2010
2009 2010
Bài (4.0điểm)
a) Cho 0 x ; 0 y4
Chứng minh : (3-x)(4-y)(2x+3y) 36
b) Chứng minh : với n số tự nhiên : 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133
Bài (4.0điểm) cho đường tròn (O;R) điểm A cố định AB AC hai dây cung quay quanh A cho tích AB.AC không đổi Vẽ đường cao AH tam giác ABC đường kính AD (O;R)
a) Chứng minh AB.AC = AD.AH Suy đường thẳng BC ln tiếp xúc với đường trịn cố định
b) Trường hợp AH > R Tìm vị trí dây cung BC cho diện tích tam giác ABC lớn
Bài (3.0điểm) Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác ABC lấy điểm P tùy ý Các đoạn thẳng AP BC cắt Q
Chứng minh :
1 1
PQ PB PC
………Hết……… ( Cán coi thi khơng giải thích thêm)
(2)Chữ ký giám thị Chữ ký giám thị UBND HUYỆN M’DRĂK
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : Tốn
Bài (3đ)
1) ĐK để P có nghĩa: x0 x1 (0,25đ) a)
( 1).( 1) ( 1).( 1)
( 1) ( 1)
x x x x x x x
P
x x x x x
(0,25đ)
=
1 1
x x x x x
x
(0,25đ) =
2 ( x 1)
x
( 0,25đ) b)
2
9 ( 1)
2
2
x
P x x
x
(0,5đ) Giải pt được: x14
1 x
(0,5đ)
2) Ta có:
3
3 5 2 5 2
x
(0,25đ)
=
3
3
5 2 ( 2)( 2) 2 2
(0,25đ) =4 3 x (0,25đ) f x( )x33x 4 3x3x4 (0,25đ) Bài (3đ):
12 36 13 18 xy x y
xz x z
yz y z
Hay
5 1
(1)
12 12
13 1 13
(2)
36 36
5 1
(3)
18 18
x y
xy x y
x z
xz x z
y z
yz y z
( 1đ) Cộng theo vế phương trình này, ta :
1 1 19 36
x yz (*) (0,5đ) Lấy (*) trừ (1) ta có
1
9
z z = (0,5đ) Lấy (*) trừ (2) ta có
1
6
y y = (0,25đ) Lấy (*) trừ (3) ta có
1
4
(3)1) Bài (3đ): a) Chứng minh:
2 2
x x
với x
Ta có: x2 + = x2 + + 2 (x22).1 2 x22 (theo côsi cho hai số dương) (0,5đ)
dấu = khơng thể xảy x2 + 2>0 với x (0,5đ)
Vậy
2
2 x
x
với x (0,5đ) b) Chứng minh :
2010 2009
2009 2010
2009 2010
2009 2010
2009 2010
2009 2010
1
2009 2010 2009 2010
2009 2010
(0,5đ)
1
0
2009 2010
(BĐT đúng) (0,5đ) Vậy
2010 2009
2009 2010
2009 2010
(0,5đ) Bài (4.0 điểm )
a) Vì 0 x ; 0 y4 nên - x ; –y ; 2x + 3y (0,25đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho ba số dương
– 2x ; 12 – 3y; 2x + 3y ta có (0,25đ) ( – 2x)(12 – 3y)(2x + 3y)
3
6 12 3
3
x y y x
(0,5đ) ( – 2x)(12 – 3y)(2x + 3y) 63
( – x) ( – y) ( 2x + 3y) 63
( – x) ( – y) ( 2x + 3y) 36 (0,5đ)
Dấu ‘’ = ‘’ xảy
6 12 3
6
x y x y x
x y x x y y
(0,5đ)
b)11n+2 +122n+1 =121.11n +12.144n (0.5đ)
=(133-12).11n +12.144n (0.5đ)
=133.11n +12(144n-11n) 133 (0.5đ)
Vì 144n-11n 144 -11= 133 (0,5đ)
Bài 5(4đ)
a) Đường tròn tâm O
(4)( ABDAHC ADB, ACH)
AB AD AH AC
(0,25đ) AB.AC = AD.AH (0,5đ) B
2 AB AC AB AC AH
AD R
(0,25đ) H( ; )A r , với
AB AC r
R
(0,5đ) Ta có (A;r) cố định BC ln tiếp xúc với đường tròn cố định (0,25đ)
b)
1
,
ABC AH BC
S
AH không đổi nên
S
ABC lớn BC lớn (0,5đ)Vẽ OE BC ta có BC lớn OE bé (0,25đ) Gọi I giao điểm (A;r) với AD ,do OA < AI nên O nằm A I (0,25đ) Ta có OA+ OE AE AH = AI = OA + OI (0,25đ)
OE OI O I cố định Vậy OE = OI EIH (0,5đ) Do dây cung BC qua I vng góc với AD I (0,25đ) Bài 6: (3.0điểm)
A
M Trên AP lấy điểm N, M cho PN =PB ; PM = PC (0,25đ) Ta có CPM BPN
N (vìBPA BCA 600;CPA CBA 600) (0,5đ) B Q Xét CQP BQN có :
C BQN PQC (đối đỉnh ), NPC PNB 600 P
CQP BQN (0,5đ)
CP NB BP PB
PQ NQ PN PQ PB PQ PQ BP PQ
CP BP
(1,0đ) Chia hai vế cho PQ ta :
1 1
1 1
BP PQ
CP BP PQ BP PQ PQ PB Hay
PQ PB PC
(0,75đ) ………