3.2.4 Phương pháp điện nút a Tính dịng điện nhánh theo điện • Xét nhánh hình 3.19 Điện áp: ̇ − 𝐸̇ 𝑈̇𝑎𝑏 = 𝑍̅𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑏 𝑈̇𝑎𝑏 +𝐸̇ ̇ = 𝐼𝑎𝑏 = (𝜑̇ 𝑎 − 𝜑̇ 𝑏 + 𝐸̇ )𝑌𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑏 đó: 𝜑̇ 𝑎 - điện nút a 𝜑̇ 𝑏 - điện nút b Yab = Z ab • Xét nhánh hình 3.20 Điện áp: ̇ + 𝐸̇ 𝑈̇𝑎𝑏 = 𝑍̅𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑏 ̇ ̇ ̇ = 𝑈𝑎𝑏 −𝐸 = (𝜑̇ 𝑎 − 𝜑̇ 𝑏 − 𝐸̇ )𝑌𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑏 • Xét nhánh hình 3.21 Điện áp: ̇ 𝑈̇𝑎𝑏 = 𝑍̅𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑏 ̇ ̇ = 𝑈𝑎𝑏 = (𝜑̇ 𝑎 − 𝜑̇ 𝑏 )𝑌𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑏 ̇ a 𝐼𝑎𝑏 Zab 𝐸̇ b 𝑈̇𝑎𝑏 Hình 3.19 ̇ a 𝐼𝑎𝑏 Zab 𝐸̇ b 𝑈̇𝑎𝑏 Hình 3.20 ̇ a 𝐼𝑎𝑏 Zab b b Nội dung 𝑈̇𝑎𝑏 Phương pháp đỉnh dựa định luật Kirchhoff Ẩn điện nút mạch điện Hình 3.21 ∑1𝑛𝑢𝑡 𝐼 ̇ = (3.5) Nếu mạch có d nút, số phương trình độc lập cần xác định theo định luật Kirchhoff là: d-1 Trong điện nút chọn làm gốc (thường 𝜑̇ = 0𝑉) từ xác định phương trình cho nút cịn lại Ví dụ 3.15: Cho mạch điện hình 3.22 Lập hệ phương trình tìm dịng điện nhánh theo phương pháp đỉnh Lời giải: Chọn điện 𝜑̇ = 0V làm gốc Chiều dịng điện hình 3.22 𝐸̇3 Tính dịng điện theo điện nút: 𝜑̇ 𝐼4̇ Z4 Z1 𝐼1̇ 𝜑̇ 𝐼3̇ Z3 𝐼1̇ = (𝜑̇ − 𝜑̇ + 𝐸̇1 )𝑌1 = (−𝜑̇ + 𝐸̇1 )𝑌1 𝐼2̇ 𝐼5̇ ̇ 𝐸1 ̇𝐼2 = (𝜑̇ − 𝜑̇ − 𝐸̇2 )𝑌2 Z2 𝐸̇4 Z5 = (𝜑̇ − 𝐸̇2 )𝑌2 𝐸̇2 𝐼3̇ = (𝜑̇ − 𝜑̇ + 𝐸̇3 )𝑌3 𝐼4̇ = (𝜑̇ − 𝜑̇ − 𝐸̇4 )𝑌4 = (𝜑̇ − 𝐸̇4 )𝑌4 𝜑̇ = 0𝑉 ̇𝐼5 = (𝜑̇ − 𝜑̇ )𝑌5 = −𝜑̇ 𝑌5 Hình 3.22 Theo định luật Kirchhoff ta có hệ phương trình độc lập: 𝐼 ̇ − 𝐼2̇ − 𝐼3̇ = {1 𝐼3̇ − 𝐼4̇ + 𝐼5̇ = Thay giá trị dòng điện vào hệ ta có: (−𝜑̇ + 𝐸̇1 )𝑌1 − (𝜑̇ − 𝐸̇2 )𝑌2 − (𝜑̇ − 𝜑̇ + 𝐸̇3 )𝑌3 = { (𝜑̇ − 𝜑̇ + 𝐸̇3 )𝑌3 − (𝜑̇ − 𝐸̇4 )𝑌4 − 𝜑̇ 𝑌5 = −𝜑̇ 𝑌 + 𝐸̇1 𝑌1 − 𝜑̇ 𝑌2 + 𝐸̇2 𝑌2 − 𝜑̇ 𝑌3 + 𝜑̇ 𝑌3 − 𝐸̇3 𝑌3 = { 1 𝜑̇ 𝑌3 − 𝜑̇ 𝑌3 + 𝐸̇3 𝑌3 − 𝜑̇ 𝑌4 + 𝐸̇4 𝑌4 − 𝜑̇ 𝑌5 = (𝑌 + 𝑌2 + 𝑌3 )𝜑̇ − 𝑌3 𝜑̇ = 𝐸̇1 𝑌1 + 𝐸̇2 𝑌2 − 𝐸̇3 𝑌3 { −𝑌3 𝜑̇ + (𝑌3 + 𝑌4 + 𝑌5 )𝜑̇ = 𝐸̇3 𝑌3 + 𝐸̇4 𝑌4 Ví dụ 3.16: Cho mạch điện hình 3.23 Lập hệ phương trình tìm dịng điện nhánh theo phương pháp đỉnh Lời giải: Chọn điện nút b: 𝜑̇ 𝑏 = 0𝑉 làm gốc Chiều dòng điện hình 3.23 Tính dịng điện theo điện nút : 𝐼1̇ = (𝜑̇ 𝑏 − 𝜑̇ 𝑎 + 𝐸̇1 )𝑌1 𝐼2̇ = (𝜑̇ 𝑏 − 𝜑̇ 𝑎 − 𝐸̇2 )𝑌2 (I) Z1 𝐼1̇ a 𝐼2̇ Z2 ̇𝐼3 = (𝜑̇ 𝑎 − 𝜑̇ 𝑏 )𝑌3 Theo định luật Kirchhoff nút a 𝐼3̇ 𝐼1̇ + 𝐼2̇ − 𝐼3̇ + 𝐽 ̇ = 𝐼3̇ thay (I) vào ta có: 𝐼2̇ Z (𝜑̇ 𝑏 − 𝜑̇ 𝑎 + 𝐸̇1 )𝑌1 + (𝜑̇ 𝑏 − 𝜑̇ 𝑎 − 𝐸̇2 )𝑌2 − (𝜑̇ 𝑎 𝐽̇ ̇ − 𝜑̇ 𝑏 )𝑌3 + 𝐽 = ⇔ ̇ −𝜑̇ 𝑎 𝑌1 + 𝐸1 𝑌1 − 𝜑̇ 𝑎 𝑌2 − 𝐸̇2 𝑌2 − 𝜑̇ 𝑎 𝑌3 + 𝐽 ̇ = b ̇ ̇ ̇ ⇔ (𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 )𝜑̇ 𝑎 = 𝐸1 𝑌1 − 𝐸2 𝑌2 + 𝐽 Hình 3.23 𝐸̇ 𝑌 −𝐸̇ 𝑌 +𝐽̇ 𝜑̇ 𝑎 = 1 2 (𝑌1 +𝑌2 +𝑌3 ) Trường hợp mạch điện có nút: Nếu mạch điện có nút, gồm nhiều nhánh mắc song song với nhau, phương pháp điện nút cịn phương trình gọi cơng thức điện áp hai nút Lấy nút làm gốc điện nút Vậy điện nút cịn lại tính theo cơng thức tổng qt: 𝜑̇ = ∑ 𝐸̇𝑘 𝑌𝑘 +∑ 𝐽̇ (3.6) 𝑌11 đó: Y11 - tổng tổng dẫn nối vào nút ∑ 𝐸̇𝑘 𝑌𝑘 + ∑ 𝐽:̇ - Tổng 𝐸̇1 𝑌1 , 𝐸̇2 𝑌2 , 𝐽 ̇ nguồn vào nút lấy dấu “+” khỏi nút lấy dấu “-” Ví dụ 3.17: Cho mạch điện hình 3.24a Biết e1(t) = 90 sin(314t) V, e2(t)=30 sin(314t) V, R= 20, XL = 5, XC=5 Tìm dịng điện nhánh theo phương pháp thê đỉnh Lời giải: Sơ đồ phức tương đương hình 3.24b Z1 = jXL= j5, Z2 = -jXC= -j5, Z3 = R = 20 𝐸̇1 = 90∠00 = 90𝑉 𝐸̇2 = 30∠00 = 30𝑉 Chọn điện 𝜑̇ = 0𝑉làm gốc 𝐼3̇ 𝜑̇ 𝐼2̇ Z2 L C R Z3 e2 Z1 𝐸̇1 𝐸̇2 e1 𝐼1̇ 𝜑̇ a) Hình 3.24 Phương trình điện cho nút 𝜑̇ 𝜑̇ = 𝜑̇ = 𝐸̇1 𝐸̇2 − 𝑍1 𝑍2 1 + + 𝑍1 𝑍2 𝑍3 = 90 30 − 𝑗5 −𝑗5 1 + + 𝑗5 −𝑗5 20 b) ∑1 𝐸̇𝑘 𝑌𝑘 𝐸̇1 𝑌1 − 𝐸̇2 𝑌2 = 𝑌11 𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 = −480𝑗 = 480∠ − 900 𝑉 Chiều dịng điện nhánh hình 3.24b Ta có: (−𝜑̇ + 𝐸̇1 ) 𝑗480 + 90 𝐼1̇ = = = 96 − 𝑗18 = 97,67∠ − 10,620 𝐴 𝑍1 𝑗5 𝜑̇ + 𝐸̇2 −𝑗480 + 30 = = 96 + 𝑗6 = 96,18∠3,580 𝐴 𝑍2 −𝑗5 −𝑗480 = = −𝑗24 = 24∠ − 900 𝐴 𝐼2̇ = 𝐼3̇ = 𝜑̇1 𝑍3 20 Ví dụ 3.18: Cho mạch điện hình 3.25 Lập hệ phương trình đỉnh Biểu diễn dịng nhánh theo điện đỉnh Lời giải: Chọn 𝜑̇ = 0𝑉làm gốc, nút cịn lại có điện thế: 𝜑̇ , 𝜑̇ hình vẽ Hệ phương trình tổng quát: 𝐼1̇ − 𝐼2̇ − 𝐼3̇ − 𝐽 ̇ = (𝑡ạ𝑖 1) 𝐼3̇ − 𝐼4̇ − 𝐼5̇ + 𝐽 ̇ = 0( 𝑇ạ𝑖 2) 𝐼6̇ + 𝐼4̇ + 𝐼5̇ = 0( 𝑇ạ𝑖 3) 𝐽̇ 𝐸̇1 Z1 𝐼1̇ 𝜑̇ 𝐼2̇ 𝐼3̇ 𝐼4̇ 𝜑̇ Z3 𝐸̇2 𝐼5̇ 𝐸̇3 Z2 Z4 Z5 𝐸̇4 Z6 𝐼6̇ 𝜑̇ = 0𝑉 𝜑̇ Hình 3.25 { Từ sơ đồ mạch ta có: ̅1 + 𝑌 ̅2 + 𝑌 ̅ )𝜑̇ − 𝑌 ̅ 𝜑̇ = 𝐸̇ 𝑌 ̅ + 𝐸̇ 𝑌 ̅ − 𝐸̇ 𝑌 ̅ − 𝐽̇ (𝑌 ̅ 𝜑̇ + (𝑌 ̅3 + 𝑌 ̅4 + 𝑌 ̅ )𝜑̇ − (𝑌 ̅4 + 𝑌 ̅ )𝜑̇ = 𝐸̇ 𝑌 ̅ + 𝐸̇ 𝑌 ̅ + 𝐽̇ −𝑌 ̅4 + 𝑌 ̅ )𝜑̇ + (𝑌 ̅6 + 𝑌 ̅4 + 𝑌 ̅ )𝜑̇ = −𝐸̇ 𝑌 ̅4 (𝑌 Chọn chiều dịng nhánh hình vẽ, dịng nhánh tính theo cơng thức: (−𝜑̇ + 𝐸̇1 ) (𝜑̇ − 𝐸̇2 ) 𝐼1̇ = = (−𝜑̇ + 𝐸̇1 )𝑌1 ; 𝐼2̇ = = (𝜑̇ − 𝐸̇2 )𝑌2 𝑍1 𝑍2 (𝜑̇ − 𝜑̇ + 𝐸̇3 ) (𝜑̇ − 𝜑̇ − 𝐸̇4 ) 𝐼3̇ = = (𝜑̇ − 𝜑̇ + 𝐸̇3 )𝑌3 ; 𝐼4̇ = = (𝜑̇ − 𝜑̇ − 𝐸̇4 )𝑌4 𝑍3 𝑍3 𝜑̇ − 𝜑̇ −𝜑̇ 𝐼5̇ = = (𝜑2 − 𝜑̇ 3̇ )𝑌5 ; 𝐼6̇ = = −𝜑̇ 𝑌6 𝑍5 𝑍6 3.2.5 Phương pháp biến đổi tương đương Nguyên tắc biến đổi tương đương giá trị dòng điện, điện áp phần mạch không bị biến đổi giữ nguyên cũ a Các nhánh mắc nối tiếp a 𝐼̇ Z1 Z2 Zn b a Ztđ 𝐼̇ b 𝑈̇ 𝑈̇ b) a) Hình 3.27 Các tổng trở phức Z1, Z2, Zn mắc nối tiếp với biến đổi thành tổng trở phức Ztđ Theo sơ đồ hình 3.27a: 𝑈̇ = (𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍𝑛 )𝐼 ̇ Theo sơ đồ hình 3.16b: 𝑈̇ = 𝑍𝑡𝑑 𝐼 ̇ suy ra: Ztđ =Z1+Z2+Zn (3.7) b Các nhánh song song không nguồn 𝐼̇ 𝑈̇ 𝐼̇ 𝐼1̇ 𝐼2̇ 𝐼𝑛̇ Z1 Z2 Zn 𝑈̇ a) Ztđ b) Hình 3.28 Theo định luật Kirchhoff hình 3.28a: 𝑈̇ 𝑈̇ 𝑈̇ 𝐼 ̇ = 𝐼1̇ + 𝐼2̇ + 𝐼𝑛̇ = + + = 𝑈̇ ( + 𝑍1 𝑍2 𝑍𝑛 𝑍1 𝑍2 + 𝑍𝑛 ) Theo sơ đồ hình 3.28b: 𝐼̇ = 𝑈̇ = 𝑈̇ 𝑍𝑡𝑑 𝑍𝑡𝑑 suy ra: 1 1 = + + Z td Z1 Z Z n (3.8) hay: Ytđ = Y1+Y2+Yn (3.9) Trường hợp nhánh mắc song song Z1//Z2 tổng trở tương đương xác định: ZZ 1 = + Z td = (3.10) Z td Z1 Z1 Z1 + Z Ví dụ 3.20 Cho mạch điện hình 3.29 Biết R1=R2=12, L1=9mH, L2=4mH, C=2.10-4F, e(t)=220 sin(1000t+150) a Tìm biểu thức dịng điện i(t) b Tính cơng suất P,Q, S tồn mạch R2 R1 L1 i(t) C e(t) L2 Lời giải: Sơ đồ phức tương đương hình 3.30 Hình 3.29 𝐸̇ = 220∠150 𝑉 Z1=R1+jL1 = 12+j103.9.10-3 =12+j9 Z2=R2=12 1 Z3 = − j =−j = − j5 C 10 2.10 −4 Z2 -3 Z4=jL2 = j10 3.10 =j4 𝐼 ̇ Z1 Ta có: Z 23 Ztd Z3 Z2Z3 = Z // Z = Z2 + Z3 Z 23 = 𝐼̇ 𝐸̇ 𝐸̇ 12(− j 5) = 12 − j 60 − 90 = 4,61 − 67,4 13 − 22,6 Z td = Z1 + Z 23 + Z = 12 + j + 4,61 − 67,4 + j = Z4 a) Z td = 13,8 + j8,7 = 16,332,2 Từ sơ đồ hình 3.30b ta có: 𝐸̇ 220∠150 ̇𝐼 = = = 13,5∠ − 17, 20 𝐴 𝑍𝑡𝑑 16,3∠32, 20 Công suất toàn mạch: Ptm = Rtd I = 13,8.(13,5) = 2515 W Qtm = X td I = 8,7.(13,5) = 1585,6VAr S tm = Ptm2 + Qtm2 = (2515) + (1585,6) = 2973VA c Biến đổi – tam giác (Y ) b) Hình 3.30 • Trường hợp biến đổi – tam giác (Y→ ) 𝐼1̇ 𝐼1̇ Z1 𝐼3̇ O Z3 Z2 𝐼2̇ Z12 Z31 𝐼3̇ ̇ 𝐼2 Z23 a) b) Hình 3.31 Z 12 = Z + Z + Z1 Z Z3 Z 23 = Z + Z + Z2Z3 Z1 Z 31 = Z + Z + Z Z1 Z2 (3.11) Nếu Z1 = Z2 = Z3 =ZY Z12 = Z23 = Z31 = Z Z = 3ZY • Trường hợp biến đổi tam giác – (→Y) Z1 = Z 12 Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31 Z2 = Z 12 Z 23 Z 12 + Z 23 + Z 31 Z3 = Z 23 Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31 (3.12) (3.13) Nếu Z12 = Z23 = Z31 = Z Z1 = Z2 = Z3 =ZY ZY = Z (3.14) Ví dụ 3.21 Cho mạch điện hình 3.32a Biết Z1=Z2=Z3=Z4=Z5=9+6j , Z0=4+5j , 𝐸̇ = 120∠600 𝑉 Dụng cụ đo lý tưởng Tìm số Ampemet A Lời giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi tam giác Z1Z2Z3 hình Sơ đồ tương đương hình 3.32b Z0 Z0 𝐼0̇ Z1Y A Z1 Z3 Z2 𝐸̇ Z2Y Z3Y Z5 Z4 Z5 Z4 a) Hình 3.32 b) Tổng trở hình (Y): Z1 Z Z + j6 Z1Y = = = = + j2 Z1 + Z + Z 3 Z1 Z Z + j6 Z 2Y = = = = + j2 Z1 + Z + Z 3 Z2Z3 Z + j6 Z 3Y = = = = + j2 Z1 + Z + Z 3 Ta có: Za = Z4+Z1Y = 9+j6+3+2j = 12+j8 Zb = Z5+Z3Y = 9+j6+3+2j = 12+j8 Zc = Z0+Z1Y = 4+j5+3+2j = 7+j7 Z Z (12 + j8)(12 + j8) Z td = Z C + a b = + j + = 13 + j11 Za + Zb 12 + j8 + 12 + j8 Dòng điện nhánh : 𝐸̇ 120∠600 120∠600 𝐼0̇ = = = = 7,04∠19, 80 𝐴 𝑍𝑡𝑑 13 + 𝑗11 17,03∠40, 20 Vậy số Ampemet A I=7,04A Biến đổi tương đương nguồn dòng (𝑱̇) nguồn áp (𝑬̇) 𝐼̇ 𝐼1̇ 𝐽̇ Z 𝐼̇ a Z 𝑈̇ a 𝑈̇ 𝐸̇ b b b) a) Hình 3.33 Sơ đồ biến đổi tương đương hình 3.33 Theo sơ đồ hình 3.33a: 𝐼1̇ = 𝐼 ̇ + 𝐽 ̇ 𝑈̇ = 𝑍 𝐼1̇ = 𝑍(𝐼 ̇ + 𝐽)̇ = 𝑍𝐼 ̇ + 𝑍𝐽 ̇ Theo sơ đồ tương đương hình 3.33b: 𝑈̇ = 𝑍 𝐼 ̇ + 𝐸̇ 𝐼 ̇ − 𝐼1̇ + 𝐽 ̇ = (3.15) (3.16) Từ (3.15) (3.16) suy ra: 𝐸̇ 𝐸̇ = 𝑍𝐽 ̇ hay 𝐽 ̇ = (3.17) 𝑍 Ví dụ 3.22: Cho mạch điện hình 3.34a Biết 𝐽 ̇ = 2𝐴 , 𝐸̇2 = 42𝑉, Z1=6 , Z2=8j .Tìm dòng điện nhánh 𝐼2̇ 𝐼2̇ 𝐼1̇ 𝐽̇ Z2 Z1 𝐸̇2 a) Z2 Z1 𝐸̇1 Hình 3.34 𝐼2̇ b) Lời giải: Biến đổi tương đương nguồn dòng 𝐽 ̇ nguồn áp 𝐸̇1 (Hình 3.34b) đó: ̇ = 12𝑉 𝐸̇1 = 𝐽𝑍 Chiều dòng nhánh, vòng hình 3.34 Theo định luật Kirhoff 2: ̇ = 𝐸̇1 − 𝐸̇2 (𝑍1 + 𝑍2 )𝐼𝑣1 𝐸̇2 ̇ = 12 − 42 (6 + 8𝑗)𝐼𝑣1 −30 −30 ̇ = 𝐼𝑣1 = = −3∠ − 53, 10 A 6+8𝑗 10∠53,1 Xếp chồng kết tìm dịng điện nhánh: ̇ = + 3∠ − 53, 10 𝐴 𝐼1̇ = 𝐽 − 𝐼𝑣1 ̇ = −3∠ − 53, 10 𝐴 𝐼2̇ = 𝐼𝑣1 Ví dụ 3.23: Cho mạch điện hình 3.35 Biết E1 = 12V, E2 = 6V, E3 = 15V, R1=4, J=0,5A., R2=4, R3=5 Tìm dịng điện nhánh R1 I E1 a E3 I3 R2 I2 J R3 E2 b Hình 3.35 Lời giải: Biến đổi tương đương nguồn dịng J nguồn áp E0 (Hình 3.36a) đó: E0 = J.R2 = 0,5.4 = 2V Sơ đồ tương đương hình 3.36b: E=E0+E2 = 2+6=8V I1 R1 a I3 I1 R1 a R2 R2 R3 E1 I3 E0 E1 I0 R3 I0 E1 E3 E3 E E2 b b a) b) Hình 3.36 Từ sơ đồ hình 3.36b Chọn điện b=0V làm gốc Phương trình đỉnh nút a: E1 a = R1 R1 + + E R2 R2 − + E3 R3 R3 Thay số ta được: 12 15 + − 4 = 20 = 2,86V a = 1 + + 4 Dòng điện nhánh: b − a + E1 − 2,86 + 12 I1 = = 2,285A − b + E3 2,86 + 15 I3 = a = = 3,572 A R3 − a + E − 2,86 + I0 = b = = 1,285A R2 R1 = Dòng nhánh I2 xác định: I2 = I0 –J = 1,285 – 0,5= 0,785A ... hợp mạch điện có nút: Nếu mạch điện có nút, gồm nhiều nhánh mắc song song với nhau, phương pháp điện nút cịn phương trình gọi công thức điện áp hai nút Lấy nút làm gốc điện nút Vậy điện nút lại... Cho mạch điện hình 3.23 Lập hệ phương trình tìm dịng điện nhánh theo phương pháp đỉnh Lời giải: Chọn điện nút b: