NÕu mçi ngêi lµm riªng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc th× ngêi thø nhÊt lµm Ýt h¬n ngêi thø hai lµ 6h.. Gäi T lµ giao ®iÓm thø hai cña c¹nh BC víi ®êng trßn..[r]
(1)(Thêi gian lµm bµi 150 phót)
Bài 1 (2 đ):
Cho biểu thức: A=(a+a
√a+1+1)(
a−√a
√a−1−1) (Víi a 0, a 1)
a/ Rót gän biĨu thøc A b/ Tìm a cho A = - a2
Bài 2 (2 ®):
Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 1) N(5;
1
-) đờng thẳng (d-) có phơng trình y = ax + b
a/ Tìm a, b để đờng thẳng (d) qua M, N
b/ Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng MN với trục Ox, Oy
Bài 3 (2 đ): Cho số ngun dơng gồm hai chữ số Tìm số biết tổng hai chữ số nó 1/8 số cho, thêm 13 vào tích hai chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc li vi s ó cho
Bài 4 (3 đ):
Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đờng trịn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt M N Nối N với A cắt đờng trịn đờng kính BC điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P nằm đờng tròn Hãy xác định tâm bán kính đờng trịn
b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC
c/ Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE
Bài 5 (1 đ):
1 2+
1 3√2+
1
4√3+ +
(2)Bài 1 (1,5 đ):
Rút gän biÓu thøc:
1
( ).( )
1
a a a
M a
a a
-= +
- + (Víi a> 0, a 1)
Bµi 2 (1,5đ):
Tìm hai số x; y thoả m·n:
2 25
12
x y
xy
ìï + =
ïïí
ï =
ïïỵ
Bài 3 (2 đ): Hai ngời làm chung cơng việc hồn thành 4h Nếu ngời làm riêng để hồn thành cơng việc ngời thứ làm ngời thứ hai 6h Hỏi làm riêng ngời phải làm hồn thành cơng việc?
Bài 4 (2 đ):
Cho hàm sè y = x2 (P) ; y =3x + m2 (d)
a/ Chứng minh với giá trị m đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt
b/ Gọi y1; y2 tung độ giao điểm (d) (P) Tìm m để có đẳng thức: y1 + y2=11y1y2
Bài 5 (3 đ):
Cho ABC vuụng A Trên AC lấy điểm M (M A C) Vẽ đ≠ ờng trịn đờng kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh:
a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp
b) Khi M chuyển động AC ADMã có số đo khơng đổi c) AB//ST
(3)-% -(Thêi gian làm 150 phút)
Bài (2đ)
S=( √y
x+√xy+
√y x −√xy):
2√xy
x − y Cho biĨu thøc:
(Víi x > 0, y >0, x y) a/ Rót gän biĨu thøc S
b/ Tìm giá trị x y S =
Bài (2đ):
Trªn Parabol y =
2x
lấy hai điểm A B, biết hoành độ A xA = - 2; tung độ B yB = Viết phơng trình đờng thẳng AB
Bài (1đ)
Xỏc nh giỏ tr m phơng trình bậc hai: x2 - 8x + m = 0
để 4+ √3 nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc, phơng trình cho cịn nghiệm tìm nghiệm cị lại
Bài (4đ)
Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đ-ờng tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đđ-ờng chéo AC BD
a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI
c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng ứng R S Chứng minh:
I trung điểm RS
AB+ CD=
2 RS
Bµi (1®):
Tìm tất cặp số (x; y) nghiệm phơng trình:
(4)Bài (2đ)
Giải hệ phơng trình:
2
2
3
1,7
x x y
x x y
ìïï + =
ïï +
ïïí
ïï + =
ùù +
ùùợ
Bài (2đ):
Cho biÓu thøc:
1
x P
x x x
= +
+ - (víi < x 1)≠
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P x =
1
Bài (3đ)
Cho đờng tròn (O) điểm A cố định nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AP; AQ với đờng tròn (O) (P, Q tiếp điểm) Đờng thẳng qua O vng góc với OP cắt đờng thẳng AQ M
a/ Chøng minh r»ng MO = MA
b/ Lấy điểm N cung lớn PQ đờng tròn (O), cho tiếp tuyến N đờng tròn (O) cắt tia AP, AQ tơng ứng B C
Chøng minh r»ng AB + AC – BC kh«ng phơ thc vào vị trí điểm N
Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp PQ//BC
Bài (2®)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Biết đờng thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ song song với đờng thẳng y = - 2x + 2003
a) Tìm a b?
b) Tìm toạ độ giao điểm (d) parabol
2
1
y= - x
(nếu có)
Bài (1đ):
Giải phơng tr×nh:
2 2 3 2 3 2 3
(5)-(Thêi gian lµm bµi 150 phót) Bài (3đ):
1) Đơn giản biểu thức: P = 14 5+ + 14 -2) Cho biÓu thøc:
2
2 1
x x x
Q
x x x x
ỉ + - ư÷ +
ỗ
=ỗỗố + + - - ữữữứ
(víi < x 1)≠ a) Chøng minh r»ng
2
Q x
=
-b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị số nguyên Bài (3đ):
Cho hệ phơng trình:
( 1)
2
a x y ax y a
ì + + =
ïïï
íï + =
ïïỵ (a tham số)
1 Giải hệ phơng trình a =
2 Chứng minh với giá trị a hệ phơng trình có nghiệm (x; y) cho x+ y
Bài (3đ):
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho M A, M Q, Q A Các đ≠ ≠ ≠ ờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đ-ờng tròn (O) điểm thứ hai N P Chứng minh:
1 Tích BN.BM khơng đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp
3 Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài (1):
Tìm giá trị nhỏ của:
2
2
2
x x
y
x x
+ +
=
(6)Bài (2đ):
a/ Tính giá trị biểu thức: P = 743+7+43
b/ Chøng minh
√a −√b¿2+4√ab
¿ ¿ ¿
(víi a > 0; b > 0) Bài (3đ):
Cho Parabol (P) v đờng thẳng (d) có phơng trình; (P): y=x
2
2 (d): y = mx – m + (m lµ tham sè)
1 Tìm m để đờng thẳng (d) parabol (P) qua điểm có hoành độ
2 Chứng minh với giá trị m đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt
3 Giả sử (x1; y1) (x2; y2) toạ độ giao điểm (d) (P) Chứng minh rằng: y1+y2≥(2√2−1)(x1+x2)
Bài (4đ):
Cho BC l dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di động cung lớn BC cho Δ ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt H (D BC; E CA; F AB)
4 Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp Từ suy AE.AC = AF.AB Gọi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S diện tích Δ ABC, 2p chu vi Δ DEF Chứng minh:
a d // EF b S = p.R Bài (1đ):
Giải phơng trình:
(7)(Thời gian làm 120 phút) Bài (2đ):
Cho biểu thức:
1
:
1
x x
A
x x x x
ổ ổữ + + ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗố - ữữữứ ốỗỗ - ữữữứ
- - - víi x > 0; x 1; x 4≠ ≠
1 Rút gọn A Tìm x để A = Bài (3,5đ):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) đờng thẳng (d) có phơng trình; (P):
2
y =x ; (d): y = 2(a – 1)x + – 2a (a lµ tham sè)
1 Với a = 2, tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) Parabol (P)
2 Chứng minh với a đờng thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt Gọi hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) Parabol (P) x1; x2 Tìm a để
2
1
x +x = Bài (3,5đ):
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
7 Tø gi¸c IECB néi tiÕp AM2 = AE.AC
9 AE.AC – AI.IB = AI2
Bài (1đ):
(8)Bài (2,5đ):
Cho biÓu thøc:
5
1
2
x x
P x
x x
ỉ ỉ÷ + + ư÷
ỗ ỗ
= +ỗỗố - ứ ốữữữỗỗ - + ữữữứ
với x0 x 1/ Rót gän P
2/ Tìm x để P > Bi (3):
Cho phơng trình:
x2 – 2(m + 1)x + m – = (1) (m tham số) Giải phơng trình (1) m = -
2 Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm x1; x2 phân biệt với m Tìm m để x1- x2 đạt giá trị nhỏ (x
1; x2 hai nghiệm phơng trình câu b)
Bài (3,5đ):
Cho ng tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH
10.Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn 11 Chứng minh: OH.OI = OK OM
12.Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng tròn (O) Bài (1đ):
(9)(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài (2,0đ): Các câu dới đây, sau câu có phơng án trả lời (A, B, C, D), có phơng án đúng Hãy viết vào làm phơng án trả lời mà em cho đúng
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đờng thẳng d1: y = 2x + d2: y = x – Hai đờng thẳng cắt điểm có toạ độ là:
A (-2; -3) B (-3; -2) C (0; 1) D (2; 1)
Câu 2: Trong hàm số sau đây, hàm số đồng biến x < 0? A y = -2x B y = -x + 10 C
2
3
y= x D y=( 2)- x2
Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị hàm số y=2x+3 hàm số y=x2 Các đồ thị cắt nhau hai điểm có hồnh độ lần lợt là:
A vµ -3 B -1 vµ -3 C vµ D -1
Câu 4: Trong phơng trình sau phơng trình có tổng hai nghiệm 5?
A x2- 5x+25=0 B 2x2- 10x- 2=0 C x2- 0= D 2x2+10x+ =1
C©u 5: Trong phơng trình sau phơng trình có hai nghiƯm ©m?
A x2+2x+ =3 B x2+ 2x- 0= C x2+3x+ =1 D x2+ =5
Câu 6: Cho hai đờng tròn (O; R) (O'; R') có OO'=4cm; R=7cm; R'=3cm Hai đờng trịn cho: A cắt B Tiếp xúc C ngồi D Tiếp xúc ngồi
C©u 7: Cho ABC vuông A có AB=4cm; AC=3cm Đờng tròn ngoại tiếp ABC có bán kính bằng: A 5cm B 2cm C 2,5cm D 5cm
Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 5cm Khi diện tích xung quanh hình trụ là: A 30cm2 B 30cm2 C 45cm2 D 15cm2
Bài (1,5đ)
Cho biểu thức:
2
1 :
1
x x x
P
x x x x
ổ ửữ + +
ỗ
= -ỗỗố - + ÷÷÷ø +
(víi x0) Rót gän P
5 Tìm x để P <
Bài (2,0đ)
Cho phơng trình x2+2mx+m-1=0 Giải phơng trình m=2
2 Chng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt, với m Hãy xác định m để ph-ơng trỡnh cú nghim dph-ng
Bài (3,0đ):
Cho đờng trịn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vng góc với AB I, đờng thẳng cắt đờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H Hãy chứng minh:
13 Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 14 KM tiếp tuyến đờng tròn (O; R)
15 Ba điểm H; N; B thẳng hàng
Bài (1,5đ)
1) Giải hệ phơng trình:
2 12 xy y xy x ìï - = -ïï íï = + ïïỵ
(10)Hết Bài 1 (2,0 điểm) Trong câu từ câu đến câu có bốn phơng án trả lời A, B, C, D; có phơng án Hãy chọn phơng án viết vào làm
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số y=x2 y=4x+m ct ti hai
điểm phân biệt chØ
A m>−1 B m>−4 C m<−1 D m<−4
Câu 2: Cho phơng trình 3x −2y+1=0 Phơng trình sau với phơng trình cho lập thành hệ phơng trình vơ nghiệm?
A 2x −3y −1=0 B 6x −4y+2=0 C −6x+4y+1=0 D
6x+4 y 2=0
Câu 3: Phơng trình sau có nghiệm nguyên?
A (x −√5)2=5 B 9x2−1=0 C 4x2−4x+1=0 D x2+x+2=0
Câu 4: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, góc tạo đờng thẳng y=√3x+5 trục Ox
A 300 B 1200 C 600 D 1500
Câu 5: Cho biểu thức: P=a√5 , với a<0 Đa thừa số vào dấu căn, ta đợc P A √5a2 B −
√5a C √5a D −√5a2
Câu 6: Trong phơng trình sau đây, phơng trình có hai nghiệm dơng? A x22
2x+1=0 B x2−4x+5=0 C x2+10x+1=0 D
x2−√5x −1=0
Câu 7: Cho đờng tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác MNP vng cân M Khi MN
A R B 2R C 2√2R D R√2
Câu 8: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN=4 cm, MQ=3 cm Khi quay hình chữ nhật cho vịng quanh cạnh MN ta đợc hình trụ tích
A 48 cm3 B 36 cm3 C 24 cm3 D 72 cm3
Bài 2 (2,0 điểm)
1) T×m x, biÕt: √(2x −1)2 =9
2) Rót gän biĨu thøc: M=√12+
√3+√5
3) Tìm điều kiện xác định biểu thức: A=√− x2+6x −9
Bài 3 (1,5 điểm) Cho phơng trình: x2
+(3− m)x+2(m−5)=0 (1), víi m lµ tham sè
1) Chứng minh với giá trị m, phơng trình (1) ln có nghiệm x1=2 2) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm x2=1+2√2
Bài 4 (3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đờng trịn (O; R) Đờng trịn đ-ờng kính AO cắt đđ-ờng trịn (O; R) M N Đđ-ờng thẳng d qua A cắt (O; R) B C (d không qua O; điểm B nằm hai điểm A C) Gọi H trung điểm BC
(11)a) AHN = BDN
b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC c) HB + HD > CD
Bài 5 (1,5 điểm)
1) Giải hệ phơng tr×nh:
¿
x+y −2 xy=0
x+y − x2y2=√(xy−1)2+1 ¿{
¿
2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: (2x+1)√x2− x+1>(2x −1)
√x2 +x+1