Đang tải... (xem toàn văn)
Xác ñịnh tâm của ñường tròn ngoại tiếp ñáy Dựng ñường thẳng ∆ qua I và vuông góc với ñáy Vẽ mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì Giao ñiểm O của ∆ và (P) là tâm của mặ[r]
(1)CHUN ðỀ: HÌNH CẤU Chun đề gồm 02 phần:
Hình cầu hình học khơng gian tổng hợp Hình cầu hình học giải tích khơng gian
CHỦ ðỀ 1: HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH A Lý thuyết bản:
1 Phương trình mặt cầu: 1.1 Phương trình mặt cầu:
Loại 1: mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình (S): (x a− )2+(y b− )2+(z−c)2 =R2
Loại 2: với a2+b2+c2− >d 0, phương trình : x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+ =d 0 phương trình mặt cầu cótâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2+b2+c2−d
1.2 Một số dạng toán viết phương trình mặt cầu:
ðể viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): (x a− )2+(y b− )2+(z−c)2=R2
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và qua điểm A: Khi bán kính R = IA
Dạng 3: (S) nhận ñoạn thẳng AB cho trước làm ñường kính:
– Tâm I trung ñiểm ñoạn thẳng AB: ; ;
2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x = + y = + z = +
– Bán kính R = IA =
2
AB
Dạng 4: (S) ñi qua bốn ñiểm A, B, C, D(mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+ =d (*)
– Thay toạ ñộ ñiểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S)
Dạng 5: (S) ñi qua ba ñiểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự dạng
Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác ñịnh tâm J bán kính R′ mặt cầu (T)
– Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi)
2 Vị trí tương ñối hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2)
• I I1 2 < R1−R2 ⇔ (S1), (S2) • I I1 2 >R1+R2 ⇔ (S1), (S2) ngồi
• I I1 2 = R1−R2 ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc • I I1 =R1+R2⇔ (S1), (S2) tiếp xúc
• R1−R2 <I I1 2<R1+R2 ⇔ (S1), (S2) cắt theo đường trịn
B Các dạng tập Loại 1: Viết phương trình mặt cầu Có hai cách:
1 Tìm tọa độ tâm bán kính, sử dụng phương trình (1) 2 Tìm hệ số a,b,c,d phương trình (2)
Bài: (DB KB 06) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x− +y 2z+ =5 ñiểm (0; 0; 4), (2; 0; 0)
A B
a) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AB mp(P)
b) Viết phương trình mặt cầu qua O,A,B tiếp xúc với (P)
Bài (DB KD 08) Trong không gian Oxyz cho mp( ) : 2α x− +y 2z+ =1 0và ñường thẳng
1
:x y z
(2)a) Tìm tọa ñộ giao ñiểm d với ( )α ; tính sin góc d với ( )α
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α (Oxy) Bài (KD-2011 CTNC) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng ∆ :
2
x− y− z
= =
mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z = 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Bài (DB KA 08) Trong khơng gian Oxyz cho mp(P): 2x+3y−3z+ =1 0, đường 1:
2
x y z
d − = = +
3 ñiểm (4; 0;3), ( 1; 1;3), (3; 2; 6)A B − − C
a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A,B,C có tâm thuộc (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính lớn
Bài (KD 08) Trong khơng gian Oxyz cho điểm (3;3; 0), (3; 0;3), (0;3;3), (3;3;3)A B C D
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A,B,C,D
b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài (CðKTKT KA 04) Trong không gian Oxyz cho ñiểm (2; 2; 6), (4; 0; 0), (4; 4; 0), (0; 4; 0)S A B C
a) Chứng minh hình chóp SABCO hình chóp tứ giác b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài (KD-04) Cho ñiểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 Viết phương trình mặt cầu qua A,B,C có tâm thuộc (P) ðS: (x−1)2+y2+(z−1)2=1 Bài : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d:
2
x z
y
+ − =
− =
cắt mặt phẳng (P): y-z=0 theo thiết diện đường trịn lớn có bán kính ðS:
2 2
(x+1) +(y−2) +(z−2) =16
Bài (KD-08) Trong khơng gian Oxyz cho điểm (3;3; 0), (3; 0;3), (0;3;3), (3;3;3)A B C D
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A,B,C,D
b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
ðS: x2+y2+z2+3x−3y−3z=0 Bài (KB-05) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA B C1 1 1 với (0; 3; 0), (4; 0; 0),A − B
1 (0;3; 0), (4; 0; 4)
C B Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mp BCC B( 1 1)
ðS: ( 3)2 576 25
x + y− +z =
Bài (Cð KTKTI-04) Trong không gian Oxyz cho ñiểm (2; 2; 6), (4; 0; 0), (4; 4; 0), (0; 4; 0)S A B C
a) Chứng minh hình chóp SABCO hình chóp tứ giác b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
ðS: ( 2)2 ( 2)2 ( 7)2 121
3
x− + y− + z− =
Bài: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 ñiểm A(0;0;4), B(2;0;0) Viết phương trình mặt cầu qua O,A,B tiếp xúc với (P) ðS: (x−1)2+(y−1)2+(z−2)2 =6 Bài: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d:
1
x y z
x y z
+ + + =
− + − =
tiếp xúc với hai
mp (P): x+2y+2z+3=0 (Q): x+2y+2z+7=0 ðS: ( 3)2 ( 1)2 ( 3)2
x− + y+ + z+ =
Bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;3;-1) cắt ñường thẳng d: 20
3
x y z
x y z
− + + =
− + − =
hai ñiểm
(3)Bài: Cho ñiểm I(1;2;-2), ñường thẳng d:
x y
y z
− − =
− + =
mp(P): 2x+2y+z+5=0 Viết phương trình
mặt cầu (S), tâm I cho (P) cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có chu vi 8π Loại 2: Các tốn liên quan đến tiếp diện mặt cầu
Bài (TN 05) Trong không gian cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x+2y+4z− =3 hai ñường thẳng
1
2
: , :
2 1
x y x y z
d d
x z
+ − =
−
= =
− =
Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết song song
với d1 d2
Bài: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng : 11 30
2
x y z
d
x y z
− + − =
− − =
tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2+y2+z2+2x−6y+4z−15=0
ðS: (P): 3x-4y+2z-10=0, (P): 2x-3y+4z-10=0
Bài: (DB KD 03) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x+2y+ −z m2−3m=0 mặt cầu
2 2
( ) : (S x−1) +(y+1) +(z−1) =9 Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m vừa tìm xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm (S) (P)
Bài (DB KB 07) Trong không gian Oxyz cho ñiểm (2; 0; 0), (0; 3; 6)A B −
a) chứng minh mp P( ):x+2y− =9 0tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm tọa dộ tiếp điểm
b) Viết phương trình mp(Q) chứa A,M cắt trục Oy,Oz ñiểm tương ứng B, C cho
OABC
V =
Loại 3: Các toán vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng với hình cầu Bài (KD-08) Trong khơng gian Oxyz cho ñiểm (3;3; 0), (3; 0;3), (0;3;3), (3;3;3)A B C D
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A,B,C,D
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ðS: x2+y2+z2+3x−3y−3z=0 Bài: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu: 2 2 2
1
( ) :S x +y +z −2z=0, (S ) :x +y +z −4z=0 a) Chứng minh: (S1) (S2) cắt
b) Gọi (S) đường trịn giao tuyến (S1) (S2) Xác định tâm tính bán kính (S)
Bài: Tìm điểm A mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x+2z− =2 cho khoảng cách từ A ñến mp(P): - 2x y+ + =z 0là lớn nhất, nhỏ
Bài: (KB 07) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2−2x+4y+2z− =3 0và mặt phẳng
( )P : 2x− +y 2z−14=0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính b) Tìm tọa độ M thuộc mc(S) cho khoảng cách từ M ñến (P) lớn
Bài: (KA 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−2y− − =z 0và mặt cầu
( ) 2
: 11
S x +y +z − x− y− z− = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn Xác định tọa độ tâm tính bán kính mặt cầu
Bài (DB KA 08) Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x+3y−3z+ =1 0, ñường 1:
2
x y z
d − = = +
3 ñiểm (4; 0;3), ( 1; 1;3), (3; 2; 6)A B − − C
(4)d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính lớn
Loại 4: Về tốn hình cấu có tham số
Bài : Cho họ (Sm) xác định sau: x2+y2+z2−4mx−2my−6z+m2+4m=0
a) Tìm m để (Sm) phương trình mặt cầu
b) Chứng minh tâm Im mặt cầu (Sm) nằm ñường thẳng cố ñịnh ( với giá trị
của m tìm câu a)
Bài : Cho họ (Sm) xác ñịnh sau: x2+y2+z2−2 sinx α−2ycosα− =3 Chứng minh tâm Iαcủa
(Sα)ln nằm đường trịn cố định (α biến thiên cho (Sα)là mặt cầu)
Bài : Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng : 2
2
x y z
d
x y z
− − + =
+ − − =
mặt cầu (S):
2 2
4
x +y +z + x− y+m= Tìm m để d cắt (S) hai ñiểm M, N cho MN=8
ðS: m=-12 Bài: (DB KD 03) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x+2y+ −z m2−3m=0 mặt cầu
2 2
( ) : (S x−1) +(y+1) +(z−1) =9 Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m vừa tìm xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm (S) (P)
CHỦ ðỀ 2: HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP A Lý thuyết
1 ðịnh nghĩa
•••• Mặt cầu: S O R( ; )={M OM =R} •••• Khối cầu: V O R( ; )={M OM ≤R}
2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) v mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
• Nếu d < R (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn nằm (P), có tâm H bán kính
2
r= R −d
• Nếu d = R (P) tiếp xúc với (S) tiếp ñiểm H ((P) ñgl tiếp diện (S))
• Nếu d > R (P) (S) khơng có điểm chung
Khi d = (P) qua tâm O đgl mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến có bán kính R đgl đường trịn lớn.
3 Vị trí tương đối mặt cầu ñường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) v ñường thẳng ∆ Gọi d = d(O; ∆)
• Nếu d < R ∆ cắt (S) hai điểm phân biệt
• Nếu d = R ∆ tiếp xúc với (S) (∆ ñgl tiếp tuyến (S))
• Nếu d > R ∆ v (S) khơng có điểm chung 4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất đỉnh hình đa diện ñều
nằm mặt cầu
Tất mặt hình đa diện tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường trịn đáy hình trụ nằm mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với mặt ñáy ñường sinh hình trụ
Hình nĩn Mặt cầu qua đỉnh đường trịn đáy hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt ñáy ñường sinh hình nón
5 Xc định tm mặt cầu ngoại tiếp khối ña diện
(5)• Cch 2: ðể xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Xác định trục ∆ đy (∆ đường thẳng vuơng góc với ñáy tâm
ñường tròn ngoại tiếp ña giác ñáy).
– Xác ñịnh mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên
– Giao ñiểm (P) ∆ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp II Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Diện tích
4
S = πR
2 xq
S = πRh
2 tp xq đáy
S =S + S
xq
S =πRl
tp xq đáy
S =S +S
Thể tích
3
V = πR
V =πR h
3
V = πR h
B Các dạng tập:
Loại 1: Các tốn hình cầu
Bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, AB=a Biết SA=2a SA⊥(ABC) Gọi H K hình chiếu A SB, SC
Chứng minh:
a) A,B,C,S nằm mặt cầu Xác định tâm tính bán kính mặt cầu b) Các điểm A,B,C,H,K cùng nằm mặt cầu Tính diện tích mặt cầu
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA⊥(ABCD) AB=SA=a Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB,SC,SD H, I K Chứng minh ñiểm
A,B,C,D,H,I,K nằm mặt cầu Tính diện tích mặt cầu
Bài : (KD-03) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với có giao tuyến ∆ Trên ∆ lấy hai ñiểm A B cho AB=a Trong mp(P) lấy ñiểm C, mp(Q) lấy điểm D cho AC BD vng góc với ∆ Giả sử AC=BD=AB Chứng minh điểm A,B,C,D nằm mặt cầu tìm bán kính mặt cầu
Bài (Cð KTCN-06) Trong mp(P) cho hình vng ABCD Trên đường thẳng Ax vng góc với (P) lấy ñiểm S Dựng mp(Q) qua A vng góc với SC Mp(Q) cắt SB,SC,SD B’,C’,D’ Chứng minh ñiểm A,B,C,D,A’,B’,C’, D’ nằm mặt cầu cố ñịnh
Bài: Cho hình cầu (S) tâm O bán kính R=5cm Tam giác ABC với cạnh BC=13cm, CA=14cm, AB=15cm, cạnh tiếp xúc với mặt cầu Tính khoảng cách từ tâm O ñến mp(ABC) Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng SB vng góc với (ABCD) Lấy điểm M SA (
M khác S,A) Giả sử (BCM)∩SD=N Chứng minh sáu ñiểm A,B,C,D,M,N không nằm mặt cầu
Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Có hình cầu qua A
và tiếp xúc với SB, SD trung ñiểm chúng Xác ñịnh tâm O hình cầu bán kính hình cầu theo a
Loại 2: Hình cầu nội ngoại tiếp hình chóp 1 Hình cầu ngoại tiếp:
2 Hình cầu nội tiếp:
3 ðiều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp đa giác nội tiếp Khi xác định tâm hình cầu ngoại tiếp ta thực bước:
Xác ñịnh tâm ñường tròn ngoại tiếp ñáy Dựng đường thẳng ∆ qua I vng góc với đáy Vẽ mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên Giao điểm O ∆ (P) tâm mặt cầu
(6)Bài : Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có SA, SB,SC vng góc với đơi SA=a,SB=b,SC=c
Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SB=2a Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mp vng góc với mp(ABCD) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài : Cho tứ diện ABCD Biết AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c
a) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện
Bài : Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF cạnh đáy a, góc mặt bên đáy α Tìm bán kính hình cầu ngoại tiếp nội tiếp hình chóp
Bài : Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vng ABC đỉnh A Giả sử SA vng góc với đáy Biết AB=c, AC=b, SA=a
a) Xác định tâm I tính bán kính R hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
b) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Chứng minh: A, G, I thẳng hàng Bài :
a) Giả sử R bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC Chứng minh: tp
V r
S
= , ñây V,
Stp tương ứng thể tích diện tích tồn phần hình chóp
b) Áp dụng: Cho hình chóp S.ABC SA,SB,SC đơi vng góc với
SA=SB=SC=a Tìm bán kính hình cầu nội tiếp
Bài : Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau: AB=CD; AC=BD, AD=BC Chứng minh: tâm hình cầu ngoại tiếp nội tiếp tứ diện trùng
Bài: (KB 2010) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có AB=a, góc hai mặt phẳng (A’BC)
(ABC) 60o Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Cho ABCD tứ diện có cặp cạnh đối vng góc với Chứng minh: trung điểm cạnh đường vng góc chung cặp cạnh ñối diện nằm mặt cầu
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có chiều cao kẻ từ ñỉnh h h h h1, 2, 3, 4 Gọi r bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh:
1
1 1 1
h +h +h +h = r
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, SA=a Tìm bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp (2 2)
2
a
r= −
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh ñáy cạnh bên a Gọi A’, B’, C’, D’
lần lượt trung ñiểm cạnh SA, SB, SC, SD
a) Chứng minh: ñiểm A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ thuộc mặt cầu (S) b) Tìm bán kính mặt cầu (S)
ðS: 10
4
(7)Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c, AC=BD=b, AD=BC=a Tìm diện tích mặt cấu ngoại tiếp tứ diện
ðS: ( 2 2)