Bat dang thuc

có hạn tôi không thể truyền đạt hết những kinh nghiệm mà mình tích lũy được cho học sinh chỉ trong 2 tiết học.Vì vậy để học sinh học tốt hơn chuyên đề này tôi đề nghị các nhà trường cần [r]

Trờng đại học s phạm hà nội Khoa toán-tin

đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ s phạm

Tên đề tài :

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Ngêi híng dÉn :PGS,TS.Ngun Do·n Tn

C¸n Khoa Toán- Tin-ĐHSP Hà Nội Ngời thực hiện: Đặng Thïy Dung

Ngµy sinh: 17-08-1986

phó thä -2010

Mục lục

Trang

2 Mục đích nghiên cứu……… 03

3 NhiƯm vơ nghiªn cøu……… 04

4 Phạm vi đối tợng nghiên cứu……… 04

Phơng pháp nghiên cứu 05

Phần II: Nội dung 05

Chơng : Cơ sở lý luận thực tiễn.05

Chơng : Các biện pháp s phạm cần thực hiện06

Biện pháp 1: 06

Biện pháp 2: 06

Chơng 3: Thực nghiệm s ph¹m………25

1 Mục đích thực nghiệm……… 25

2.Néi dung cđa thùc nghiƯm……… 25

3.KÕt qu¶ thùc nghiƯm:……… 33

PhÇn III : KÕt ln……… 35

Tài liệu tham khảo 36

phần I: mở đầu

1.Lý chọn đề tài:

 Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh (ngời học Tốn) kỹ tính tốn cần thiết mà cịn điều kiện chủ yếu rèn luyện khả t lôgic, phơng pháp luận khoa học

đạo đức, thao tác t để giải tập Toán có tốn bất đẳng thức toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy, trí tuệ cho học sinh

Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức tốn khó phạm kiến thức rộng, đặc biệt với học sinh T.H.C.S Là giáo viên dạy THCS thấy thực trạng dạy tốn bất đẳng thức là:

- Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong, khai thác, phân tích đề tài mở rộng toán dẫn đến học sinh gặp tốn khác chút khơng giải đợc

- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức kiến thức khơng liền mạch, phơng pháp giải hạn chế, tốn bất đẳng thức thờng khó, phải áp dụng kiến thức khó nh: quy nạp tốn học, phản chứng, nên học sinh hay ngại học sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải tốn khó nh cực trị, hàm số, Việc thực đề tài nhằm:

 Nhằm giúp học sinh nắm đợc số phơng pháp chứng minh BĐT giải toán chơng trình

 Gióp häc sinh ph¸t triĨn lực toán học, phát triển lòng yêu thích môn häc

 Chn bÞ kiÕn thøc nh»m phơc vơ kỳ thi HSG huyện, tỉnh năm học kỳ thi vào lớp 10 tới

2.Mc ớch nghiờn cu:

a Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b §èi víi häc sinh:

- Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức - Gây đợc hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc số tập

- Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán bất đẳng thức trình dạy học

- Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp vận dụng thành thạo phơng pháp để giải tập

Thơng qua việc giải toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt toán bất đẳng thức

Chuẩn bị cho học sinh số kiến thức BĐT để học sinh có thề giải đợc số toỏn c bn

Phát triển lòng say mê m«n häc, më réng vèn hiĨu biÕt cđa häc sinh vỊ to¸n häc

 Ph¸t triĨn t cho häc sinh, n©ng cao vèn kiÕn thøc tõ SGK

 Góp phần đào tạo cho đất nớc nguồn nhân lực có tri thức vững vàng

3.NhiƯm vơ nghiªn cứu:

Tìm hiểu nội dung dạy học B§T SGK líp

 §iỊu tra thùc tr¹ng:

- Nghiên cứu tốn bất đẳng thức chơng trình thcs

- Kiểm tra nhận thức học sinh dạng toán bất đẳng thức

- Trao đổi với đồng nghiệp phơng pháp giảng dạy chuyên đề BĐT cho học sinh

4.Phạm vi đối t ợng nghiên cứu:

- Đề tài nghiên cứu trờng THCS Văn Lang –Hạ Hòa_Phú Thọ với số học sinh khối

-Ph¹m vi: 10 em häc sinh kh¸ giái cđa líp

-Do thời gian có hn, nên t i n y chà ỉ nghiªn cøu số tÝnh chất bất

đẳng thức, c¸ch chứng minh số dạng bất dẳng thức thường gặp chương tr×nh tãan bc THCS

5.Ph ơng pháp nghiên cứu:

Phơng pháp chủ yếu đợc sử dụng phơng pháp thực nghiệm khoa học

PhÇn II: Néi dung Ch

ơng I : Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu

 Kế thừa kiến thức tính thứ tự học lớp

 Sư dơng kiến thức chơng bất phơng trình bặc nhÊt Èn ë líp

 T×m hiĨu số dạng toán nâng cao sách tham khảo

 Mục đích giúp học sinh giải số toán bất đẳng thức Đào tạo đội tuyển học sinh giỏi tốn

 §iỊu tra thực trạng:

Qua quan sát tình hình hc tập bất đẳng thức kiểm tra học sinh phần n y t«i rằng, đại đa số học sinh lóng tóng đứng trước b i tãan chứng minh bất đẳng thức Cụ thể nghiªn cứu sau:

Ở mức độ kiến thức bản, 72 học sinh th× cã 30học sinh (42%) chng minh c

mc nâng cao 72 em cã em (3%) chứng minh

đẳng thức học sinh kÐm sau:

 Häc sinh häc kÐm môn toán

Hc sinh cha nm vng khái nim, cng nh tính cht ca bt ẳng thc

 Chưa vận dụng linh hoạt lý thuyết bất đẳng thức v o già ải c¸c b i tãan cà ụ thể

 Kinh nghiệm giả tãan bt ng thc

H thng tập tự giải tự tÝch lũy c¸c em chưa nhiu

Các em cha phân loi c dạng tãan cïng phương ph¸p chứng minh

Ch

ơng II: Các biện pháp s phạm cần thực để nâng cao chất lợng dạy học bất đẳng thức:

1.BiƯn ph¸p 1:ĐiỊu tra thùc nghiƯm

-Tìm hiểu nhận thức học sinh đội tuyển chọn BĐT -Tìm hiểu nhu cầu kiến thức học sinh nội dung BĐT

2.Biện pháp 2: Hớng dẫn dạng toán cụ thể: I/ Một số kiến thc c bn v bt ng thc.

1 Định nghÜa:

Cho sè a vµ b ta nãi:

a lín h¬n b, kÝ hiƯu: a > b ⇔ a - b > a nhá h¬n b, kÝ hiÖu: a < b ⇔ a - b <

2 Các tính chất bất đẳng thức:

2.1 a > b ⇔ b < a

2.2 Tính chất bắc cầu: a > b, b > c ⇒ a > c

2.3 Tính chất đơn điệu phép cộng: Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a > b ⇒ a + c > b + c

2.4 Cộng vế hai bất đẳng thức chiều đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d

Chú ý: không đợc trừ vế hai bất đẳng thức chiều

2.5 Trừ vế hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ

NÕu a > b, c > d th× a - c > b - d

2.6 Tính chất đơn điệu phép nhân:

a) Nhân hai vế bất đẳng thức với số dơng a > b, c > ⇒ a.c > b.c

b) Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm a > b, c < ⇒ a.c < b.c

2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế bất đẳng thức a > b > ⇒ an > bn.

a > b ⇒ an > bn víi n = 2k ( k Z).

2.9 So sánh hai luỹ thừa số với số mũ nguyên dơng Với m > n > 0:

- NÕu a > th× am > an.

- NÕu a = th× am = an.

- NÕu < a < th× am < an.

2.10 Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu

NÕu a > b > hc a < b < th×

a<¿

1

b

Chú ý: Ngoài bất đẳng thức chặt (a > b) ta gặp bất đẳng thức không chặt (a b) tức a > b a = b

Trong c¸c tÝnh chÊt nêu nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <”) cã thĨ thay bëi dÊu “ ” ( hc dÊu “ ”)

3 Các bất đẳng thức cần nhớ.

3.1 a2 0, -a2 Xảy dấu đẳng thức a = 0.

3.2 |a| Xảy dấu đẳng thức a =

3.3 - |a| a |a| Dấu đẳng thức xảy a =

3.4 |a+b| |a| + |b| Xảy dấu đẳng thức khhi ab 3.5 |a − b| |a| - |b| Xảy dấu dẳng thức khhi ab 0; |a| |b|

(Các điều kiện cịn diễn đạt lại a b a b 0)

Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng: a/ a2 + b2 2ab.

b/ ( a+b

2 )2 ab hay (a + b)2 4ab (Bất đẳng thức Cô si)

c/

a +

1

b

1

a+b víi a; b >

d/ a

b + b

a víi ab >

e/ (ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2) (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki) II Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức đại số

1 Phơng phỏp dựng nh ngha

1.1 Cơ sở toán häc:

§Ĩ chøng minh A > B ta chøng minh A - B > §Ĩ chøng minh A < B ta chøng minh A - B < 1.2 VÝ dơ minh ho¹.

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1

Gi¶i

XÐt hiÖu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)] = (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1.

Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức đợc viết lại nh sau:

(y-1)(y+1) + = y2-1+1 = y2 0.

⇒ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1 VÝ dô 2: Chøng minh: 2(x2 + y2) (x + y)2.

Gi¶i

2(x2 + y2)- (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2 = x2 - 2xy + y2 = (x - y)2

0

VËy 2(x2 + y2) (x + y)2.

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu a b số thực không âm thì: a+b

2 √ab

Gi¶i

XÐt hiÖu:

a+b

2 - √ab =

a+b −√ab

2 =

2

( )

2

a b

§óng víi mäi a; b

Dấu đẳng thức xảy a = b Ví dụ 4: Cho a > 0; b > Chứng minh rằng: a

3

+b3

2 ≥(

a+b

2 )

2

Gi¶i

XÐt hiÖu: A = a

3

+b3

2 −(

a+b

2 )

2

=(a+b)(a

2

−ab− b2)

2 −

(a+b)3

8

¿a+b

2 (a

2−ab

+b2−a

2

+2ab+b2

4 )

a+b

2 (

4a2−4 ab+4b2− a2−2 ab−b2

4 )

3

8(a+b) (a −b)

2

V× a > 0; b > 0; (a - b)2 nªn A 0.

VËy a

3

+b3

2 ≥(

a+b

2 )

2

1.3 Bài tập tự giải Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/ a

2

+b2

2 ≥(

a+b

2 )

2

2/ x3 + 4x + > 3x2 víi x 3.

3/ Cho a + b = c + d Chøng minh r»ng: c2 + d2 + cd 3ab.

4/ Víi a ≥ b ≥1 th×

1+a2+

1 1+b2≥

2 1+ab

2 Phơng pháp dùngcác tính chất bất đẳng thức.

2.1 C¬ së to¸n häc.

- Xuất phát từ bất đẳng thức biết vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức phải chứng minh

- Thờng áp dụng tính chất bất đẳng thức (Đã nêu phần trên)

2.2 VÝ dơ minh ho¹

VÝ dô 1: Cho a + b > Chøng minh a4 + b4 >

8

Gi¶i

Ta cã a + b > > (1)

Bình phơng vế (1) ta đợc:

(a + b)2 > ⇒ a2 + 2ab + b2 > (2)

Cộng vế (2) (3) ta đợc: 2(a2 + b2) > ⇒ (a2 + b2) >

2

(4)

Bình phơng hai vế (4) ta đợc: a4 + 2a2b2 + b4 >

4 (5)

Mặt khác: (a2 - b2)2 ⇔ a4 - 2a2b2 + b4 (6)

Cộng vế (5) (6) ta đợc: 2(a4 + b4) >

4 Hay a4 + b4 >

8

VÝ dụ 2: Cho a, b, c ba cạnh mét tam gi¸c Chøng minh r»ng:

1

a+b − c +

1

b+c − a +

1

c+a −b

1

a +

1

b +

1

c Gi¶i

XÐt

a+b − c +

1

b+c − a víi a + b - c > 0; b + c - a >

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có:

x +

1

y

1

√xy

x+y

Vì ta đợc:

a+b − c +

1

b+c − a

4

2b =

2

b

T¬ng tù ta cã:

b+c − a +

1

c+a −b

2

c

c+a −b +

1

a+b − c

2

a

Cộng vế bất đẳng thức chia hai vế cho ta đợc:

a+b − c +

1

b+c − a +

1

c+a −b

1

a +

1

b +

1

c

DÊu b»ng x¶y a = b = c VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng nÕu a2

+b2≤2 th× a+b ≤2

Gi¶i

Ta cã: (a −b)2≥0⇔a2−2ab+b2≥0⇒a2+b2≥2 ab

Tõ a2

+b2≤2⇒−a2−b2≥ −2

Suy ab20 hay 2ab

Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)

ab≤2 (2) a2

+b2≤2 (3)

Tõ (1), (2), (3) suy (a+b)2≤4 hay |a+b|≤2

Nhng |a+b|≥ a+b nªn a+b ≤2

2.3 Chú ý: Khi sử dụng bất đẳng thức ta cần tránh sai lầm sau: a > b; c > d ⇒ a - c > b - d

2 a > b; c > d ⇒ ac > bd (Nhân vế với vế hai bất đẳng thức mà cha biết hai vế có khơng âm hay khơng)

3 Bình phơng hai vế bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm: a > b ⇒ a2 > b2.

4 Khư mÉu mµ cha biÕt dÊu cđa chóng: a

b > c

d ⇒ ad > bc

5 Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có dấu hay khơng: a > b ⇒

a >

1

b

nhãm råi lµm tréi tõng nhãm

Ta xÐt vÝ dơ sau:

Chøng minh r»ng: Víi số tự nhiên n thì: +

2 +

1

3 + +

2n−1 < n

Gọi vế trái bất đẳng thức A, ta có: A = + (

2 +

1

3 ) + (

22 + +

7 ) + (

23 + +

15 ) + + (

2n−1 + 2n−1 )

ở nhóm ta làm trội cách thay phân số nhỏ nhóm phân số lớn nhóm ta đợc:

A < +

2 +

22 +

23 + + 2n−1

n-1 = 1⏟+1+ +1

n = n

2.4 Bài tập tự giải:Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/

√a+

1

√b

4

√a+√b (a > 0; b > 0)

2/ a2 + b2 + c2 + d2 4

√abcd

3/ Cho a + b =1 Chøng minh r»ng: a4 + b4

8

4/

22 +

32 + +

n2 < n+1

n

3 Phơng phỏp bin i tng ng.

3.1 Cơ sở toán häc.

- Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào tính chất bất đẳng thức) A B ⇔ C D Và cuối đạt dợc bất đẳng thức hiển nhiên C D

Vì phép biến đổi tơng đơng nên A B

- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần ý đẳng thức sau: (A ± B¿2=A2±2 AB+B2

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA.

3.2 Các ví dụ minh hoạ.

VD 1: Chứng minh rằng:

a2+b2+c2 ab+ac+bc

 

     

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

1

0

2 2 2

2 2

0

2 2

0

2 2

a b c ab bc ac

a b c ab ac bc

a b c a c b

ab ac bc

a ab b c ac a c cb b

a b c a c b

    

      

     

        

     

     

     

   

  

   

CM:

VD 2: Chứng minh 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với a, b, c

2 2

2 2

2

2 2

2

0

( )

( ) ( )

( ) ( )

a b c a ab ac a ab b a ac c a b a c

      

      

    

HiÓnnhiên với a,b,c dấu “=” xảy a=b=c 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với a,b,c

VD 3: chứng minh a a2 2 a1 a>0

cm: a a2 2 a1 a>0

 2

2

2

2 4

2 2

2

2

( )

a+2 ( )

2 ( )

( )

a a a

a a a a

a a a a a a a a a a

    

     

   

   

    

hiển nhiên a a2 2 a1 a>0

VD 4: chứng minh :

1

x,y>0, x+y<1

x y x y  Từ suy 2

1

4

x y  xy 

CM:

2 2

1 4

4 0

x y (x y) xy x xy y (x y)

x y x y xy x y



             

 

hiển nhiên

1

x,y>0

xy x y 

đặt x2+y2=X; 2xy=Y

theo chứng minh trên, ta có

1 4

= (1)

( )

X Y X Y x y

2

2

4

1

x,y>0

( ) (2)

x+y<1 x y (x y)



    



 

từ (1) (2) suy

1

X Y 4 hay 2

1

4

x y  xy 

VD 5: chứng minh rằng: 2

1

1a 1b 1ab với ab>1

nhân hai vế BĐT với (1+a2).(1+b2).(1+ab)

2

1

1a 1b 1ab  (1+a2).(1+ab)+(1+b2) (1+ab)2(1+a2)(1+b2)

 (1+a)(2+a2+b2)-2(1+a2)(1+b2) 0

 2+a2+b2+2ab+ab.a2+ab.b2-2-2b2-2a2-2a2b20

 ab.a2+ab.b2-a2-b2+2ab-2a2b20

 (ab.b2 –b2)+(ab.a2-a2)+(2ab-2a2b2) 0

 b2(ab-1) + a2(ab-1)-2ab(ab-1) 0

 (b-a)2(ab-1) 0 hiển nhiên ab>1

vậy 2

1

1a 1b 1ab với ab>1

VD : Chøng minnh x2 + x + > víi ∀x . Gi¶i

Ta cã: x2 + x + = (x2 + 2.x.1 +

4¿+

4 = (x +

2 )2 +

4 > với

x (Điều phải chứng minh)

VD : Chøng minh r»ng: Víi mäi a, b, c, d, e R th×:

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) (1) Gi¶i

Nhân hai vế bất đẳng thức (1) với ta đợc: 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 4a(b + c + d + e).

⇔ (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0 ⇔ (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 (2)

V× (a - 2b)2 ∀a ;b∈R .

(a - 2c)2 ∀a ;c∈R

(a - 2d)2 ∀a ;d∈R .

(a - 2e)2 ∀a ;e∈R .

⇒ Bất đẳng thức (2) với ∀a ;b ;c ; d ;e∈R Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh

VD : Chøng minh r»ng víi sè bÊt k× a; b; x; y ta cã: (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 (1)

DÊu “=” x¶y vµ chØ a

x= b y

Gi¶i

Ta cã: (1) ⇔ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2abxy + b2y2.

⇔ a2y2 - 2abxy + b2x2 ⇔ (ay - bx)2 (2).

Ta thấy bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) 3.3 Chú ý.

- SÏ mắc sai lầm lời giải thay dÊu “ ⇔ ” b»ng c¸c dÊu “ ⇒ ”

Thật vậy, (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) khơng cha thể kết luận đợc bất đẳng thức (1) có hay khơng

- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ qua phép biến đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến khơng chặt chẽ Vì cần lu ý phép biến đổi tơng đơng có điều kiện

Chứng minh rằng:

bài 1: a2 + b2 +c2+d2 + e2 a(b+c+d+e) a b c d, , ,

bài 2:

2

p,q>0

p q

pq p q



 



bài 3:

2

a,b>0

a b a b

b a

   

bài 4: a3+b3  a4+b4 với a+b 2

bài 5:

1 1

a b c a b c     a b c  với a,b,c>0

bài 6:a b   1 ab với a 1;b 1

4 Phơng pháp dùng bất đẳng thức dã biết.

4.1 Cơ sở toán học.

Trong nhiu bi toánđể việc chứng minh bất đẳng thức đợc gọn ta sử dụng bất đẳng thức đợc chứng minh, bất đẳng thức: Cô si, Bunhia - Côpxki,

DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Lý thuyÕt:

Bất đẳng thức cauchy cho số

Với a, b0 ta có a b 2 a b dấu “=” a=b Bất đẳng thức cauchy cho n số

Với a a a1, , , ,2 an 0 ta có

1

1

n n

n

a a a a

a a a a n

    

Ta viết

0

, , , , n

a a a a  ta có a1a2 a3 an n a a a an 3 n

VD1: Chứng minh (a+b) (1+ab) 4ab với a,b>0

Phân tích: ta khơng thể áp dụng BĐT sy trường hợp vế trái tích để áp dụng bất đẳng thức cô sy ta phải viết vế trái thành tổng

CM:

ta có (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2 a,b>0 nên a,ab2,b,a2b>0

Theo bất đẳng thức cô sy, ta có a+a2b+b+ab244a a b ab b. . 2. 44a b4 4ab Dấu “=” xảy a=b=1

Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với a,b>0.

VD 2 : Chứng minh (a b )(

1

) a,b>0

CM: (a b )(

1

)

a b 1+ a b

b a  Vì a,b>0 nên , a b b a

Áp dụng BĐT sy, ta có (a b )(

1

)

a b 1+ a b

b a  . 14 .1

a b b a

 

dấu “=” xảy

a b

a b b a

   

vậy (a b )(

1

) a,b>0

a b  

VD 3: Chứng minh a+b+1 ab a b a,b 0 

phân tích: khác với hai ví dụ giải trên, B ĐT hai vế tổng ba hạng tử bất đẳng thức BĐT cô sy chiều nhỏ n

1 2 n

a a a

n

hạng tử ab, a, b vế nhỏ ba bất đẳng thức cô sy khác Căn vào điều ta chứng minh tốn sau:

CM:

với a,b>0 ta có:

1

2 ; ;

a b a b

ab a b

  

  

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có

1

1

2 2

a b a b

ab a b a b ab a b

  

          

dấu “=” xảy a=b=1

VD 4:chứng minh

1

2 a,b 0

a b   a b  

Phân tích: Trong BĐT vế trái có ba hạng tử, vế phải có hai hạng tử chứng minh bất đẳng thức cần khéo léo tách hạng tử vế trái cách hợp lí, nhiên để ý vế trái thơi việc phân tích gặp khó khăn, mà để làm điều ta cần để ý vế phải để có cách phân tích phù hợp

CM:

vì a,b0 nên 2a,2b0.Áp dụng bất đẳng thức sy, ta có

1

1 2

2 2

2 .2

a

a a a



   

1

1 2

2 2

2 .2

b

b b b



   

(2)

cộng vế với vế (1) (2) ta

2

a

+

2

b

a b

 

1

2

a

+

2

b

a b

   a+

1 4+b+

1

4  a b  a+b+

1

2  a b

dấu”=” xảy 2a=2b=

2  a=b=

1 Bài tập tự giải:chứng minh rằng:

bài 1:

1 a b c 8; a,b,c>0

b c a

     

    

     

     

bài 2: (ax+by)(ay+bx)4abxy; a,b,x.y>0

bài 3:

a b c 1 9 a,b,c>0

a b c

 

      

 

bài 4: a+b+c ab bc ac a,b,c>0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh bất đẳng thức

Với hai số (x1, x2,… ,xn); (y1,y2,…,yn), ta có

2 2 2 2

1 2 2

(x y x y   x yn n) (x x   x yn)( y   yn) Dấu “=” xảy

và

3 2

n n

x x

x x

y y y  y

Ví dụ :

VD 1: Chứng minh uxvy 1 với x2+y2=u2+v2=1

cm:

Ta có      

2 2 2 2 2

uxvy ux vy  uxvy  u v x y 1

 uxvy2 1 uxvy 1 (ĐPCM)

Dấu “=” xảy

u v

VD 2: Chứng minh rằng 2x3y 5 với

2

2x 3y 5

Cm:

      

 

2

2 2 2

2

2 2 3 2 3

2 2 3 3

2 5.5 25

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

    

      

      

dấu “=” xảy khi

2 2

3

2

1

2

2

y x y

x y x

x

x y

x y



 

  



 

  



  

 

 

 VD 3: Cho a2 +b2 +c2 =1

Chứng minh : a2b3c  14 CM

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số 1,2,3,a,b,c ta được:

1 2 12 22 32  2 2 14

2 14

a b c a b c

a b c

       

   

VD : Cho số x,y,z thỏa mãn :

 1  1  1

3

x x y y z z 

Chứng minh :

4

x y z   CM Từ giả thiết suy

2 2 ( )

3

x y z  x y z   (1) Áp dụng BĐT Bunhia cho số 1,1,1,x,y,z Ta có:

x y z  2 1.x1.y1.z2 121212 x2y2z2 3x2y2z2

(2) Từ (1)và(2) ta :

 2  

1

3 x y z   x y z  3

Hay S2- 3S -4 0 với S = x + y + z

(S +1 )( S- ) 0 -1S 

Bµi 1:chøng minh r»ng 1x 1y 2 1a

x y a

  

Bµi 2:    

2

3 1 , , 0

x y x y x y

x y

 

       

 

Bài 3:



 

2

Gi¶ sư x, y tho¶ m·n : x + y =

a) Chøng minh r»ng x + y

b) Tính giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thøc : P = + 2x + + 2y

bất đẳng thức Svacso

Với a a a1, , , ,2 an 0, ta có

 2

2 2

1

1

1 3

n n n n

b b b

b b

b b

a a a a a a a a

  

    

   

Chứng minh:

Với a a a1, , , ,2 an 0 theo bất đẳng thức Bunhia ta cú

   

2 2

2

1 2

1

n

n n

n

b

b b

a a a b b b

a a a

                2 2 n n b b b

a a a

 

   

 

 

 2

1

n n

b b b

a a a

  

  

 dấu “=” xảy

1 2 n n b b b

a a  a

VD 1: chứng minh rằng:

Với a, b, c>0, a+b+c=1

1 1

a b c  

CM

Vì a,b,c>0 nên áp dụng bất đẳng thức svacxo ta có

1 1

a b c  a b c 

Mà a+b+c=1 (gt) nên

1 1

a b c   Dấu “=” xảy a=b=c=

1 1 1

3 3

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

Phân tích: Nếu dung bất đẳng thức “svacxo” cho số vế trái, ta khơng thể chứng minh tốn này.khi thực phép nhân vế phải ta thấy vế phải tổng ta suy nghĩ đến việc dùng ba bất đảng thức “svacxo” sau cộng vế với vế ba bất đẳng thức Ta giải tốn sau: Ta có

2

1 1 1

(1)

a a a b c    a a a b c   

2

2

1 1 1

(2)

1 1 1

(3)

a b b b c a b b b c

a b c c c a b c c c

    

   

    

   

cộng vế với vế (1),(2) (3) ta có

2

5 5 1

5

3 3

1 1 1

5

3 3

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

 

       

     

 

Dấu “=” xảy a = b = c

VD 3: cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng:

2 1 1

9

a b c d a b c a b d

 

      

   

 

Phân tích: Nếu viết vế trái thành

1 1 1

a a b b c d     áp dụng bất đẳng thức

“svacxo” ta không ý muốn thực phép nhân vế phải ta biểu thức có tử 32 mẫu biểu thức gồm ba số hạng Do đó ta nghĩ đén việc chứng minh hai bất đẳng thức cách áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu cộng vế với vế hai bất đẳng thức Ta chứng minh sau:

Ta có

1 1 1

(1); (2)

a b c  a b c  a b d  a b d  cộng vế với vế hai bất

đẳng thức (1) (2) ta

2 1 1

9

a b c d a b c a b d

 

      

   

  Dấu “=” xảy

ra a=b=c=d

Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho a,b>0, a+b=12 Chứng minh rằng:

1

2a2b a b  3

Bài 2: Với a,b>0, a+b=1 Chứng minh 2

1

6

ab a b 

Bài 3: với a,b,c>0 chứng minh : 2 2 16

a b c a abc b a b c   a c b c ab  bc

Bài 4: cho a,b,c>0và a+b+c=

4.Chứng minh a+b+c+

1 1 51

a b c  

5.1 Cơ sở toán học.

Gi mnh cần chứng minh luận đề “A ⇒ B” Phép toán mệnh đề cho ta:

A⇒B=A∪B=A ∩ B=A B

Nh muốn phủ định mệnh đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận

Ta thờng dùng hình thức chứng minh phản chứng nh sau: 1/ Dùng mệnh đề phản đảo: B⇒A

2/ Phủ định luận đề suy điều trái với giả thiết 3/ Phủ định luận đề suy điều trái

4/ Phủ định luận đề suy điều trái với điều 5/ Phủ định luận đề suy kết luận B⇒B

5.2 VÝ dô. VÝ dô 1:Cho a2

+b2≤2 Chøng minh r»ng: a + b

Gi¶i

Gi¶ sư a + b >

Vì hai vế dơng nên bình phơng hai vế ta đợc: (a + b)2 > ⇔ a2 + 2ab + b2 > (1)

Mặt khác ta cã: 2ab < a2 + b2 ⇒ a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2).

Mµ a2

+b2≤2 (gt) ⇒ 2(a2 + b2) Do a2 + 2ab + b2 < (2)

Ta thÊy (2) m©u thn víi (1) VËy a + b

VÝ dô 2: Cho sè thùc a; b; c thoả mÃn điều kiện:

a+b+c>0

ab+bc+ca>0

abc>0

¿{ {

¿ Chứng minh số a; b; c số dơng

Giải

Vỡ abc > nờn số a; b; c phải có số dơng Giả sử ngợc lại số âm abc < Vơ lí Khơng tính tổng quát ta giả sử a >

Mµ abc > nªn bc >

NÕu b < 0; c < th× b + c < Tõ a + b + c >

⇒b+c>− a⇒(b+c)2<−a(b+c)⇒b2+2 bc+c2<−ab−ac⇔ab+ac<− b2−2 bc− c2

⇔ab+bc+ac<−b2−bc− c2⇔ab+ac+bc<0

§iỊu trái với giả thiết: ab + ac + bc >

⇒ b > 0; c >

Vậy số a; b; c số d¬ng 5.3 Chó ý.

Với tốn chứng minh bất đẳng thức có dạng nh ta nên sử dụng phơng pháp phản chứng Tuy nhiên để sử dụng phơng pháp cần nắm vững cách chứng minh tính chất bất đẳng thức để bin i, lp lun

5.4 Bài tập tự giải.

1/ Cho a > b > vµ 1+ab

a+b <1 Chøng minh r»ng kh«ng thĨ cã a < 1; b <

2/ Cho hai số dơng a; b thoả mÃn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3

Chøng minh r»ng: a2

+b2≤1+ab

6 Phơng pháp đổi biến.

6.1 C¬ së toán học.

B1: Đặt biến dựa theo bến cò

B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến

B3: Kết luận trả lời theo biến cũ 6.2 VÝ dơ minh ho¹.

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abc≥(a+b − c)(a+b − c) (b+c − a) (1)

Với a; b; c độ dài ba cạnh tam giác

Giải

Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta cã x; y; z >

⇒a=y+z

2 ;b=

x+z

2 ;c=

x+y

2

Ta ph¶i chøng minh: y+x

2

x+z

2

x+y

2 ≥xyz

⇔(y+z) (x+z) (x+y)≥8 xyz (2)

⇔(y+z)2(x+z)2(x+y)2≥64x2y2z2

Ta cã:

(x+y)2≥4 xy (y+z)2≥4 xz (x+z)2≥4 xz

Vì hai vế bất đẳng thức khơng âm nên ta nhân vế bất đẳng thức ta đợc: (y+z)2(x+z)2(x+y)2≥64x2y2z2

⇔[(y+z) (x+z) (x+y)]2≥(8 xyz)2

⇒ (2) đợc chứng minh Dấu “=” xảy x = y = z Vậy (1) đợc chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c

VÝ dô 2: Cho a + b+ c = Chøng minh rằng: a2+b2+c21

3

Giải

Đặt a=1

3+x ;b=

3+y ; c=

3+z Do a + b + c = nªn x + y + z =

Ta cã: a2

+b2+c2=(1

3+x)

2

(13+y)

2

(13+z)

2

=(1

9+ 3x+x

2

)(19+ 3y+y

2

)(19+ z+z

2

)

¿1

3+

3(x+y+z)+x

2

+y2+z2=1

3+x

2

+y2+z2≥1

3

Xảy dấu đẳng thức x=y=z=0⇔a=b=c=1

3

VÝ dô 3: Cho a ≥ −1

2;b ≥− 2;c ≥ −

1

2 vµ a + b + c = CMR:

2a+1+2b+1+2c+1<4

Giải

Đặt x = 2a + 1, y = 2b + 1, z = 2c + DÔ thÊy: x ≥0, y ≥0, z ≥0

Ta cã: x + y + z = 2(a + b + c) + = Ta ph¶i chøng minh:

√x+√y+√z<4 (1)

⇔x+y+z+2(√xy+√xz+√yz)<16

xy+xz+yz<5,5 (2)

Mặt khác ta lại cã: x+y

2 ≥√xy;

x+z

2 ≥√xz;

y+z

2 ≥√yz

Bëi vËy √xy+√xz+√yz≤ x+y+z=5

Chửng tỏ (2) Suy (1) Vậy: √2a+1+√2b+1+√2c+1<4

6.3 Chú ý: Khi dùng phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chỳ ý:

* Đặt biến theo hệ biến cị, kÌm theo ®iỊu kiƯn cđa biÕn míi

* Nắm đợc phép biến đổi, bất đẳng thức để áp dụng * Đổi biến c

6.4 Bài tập tự giải.

1/ Cho a; b; c ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng:

a b+c − a+

b a+c −b+

c

a+b − c≥3

2/Cho a; b; c Chøng minh r»ng: a

4

b2

+c2+ b4 a2

+c2+ c4 a2

+b2≥

a2+b2+c2

2

7. Phương pháp làm trội :

Để chứng minh A ≥ B nhiều ta phải chứng minh A ≥ C với C biểu thức lớn B, từ ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D biểu thức nhỏ A, từ ta có A ≥ B

VÝ dô:

VÝ dô Chøng minh r»ng: n+1+

1

n+2+ +

1 2n >

1

2 (Víi n∈N , n > ).

Gi¶i:

Ta cã:

n+1 >

1

n+n=

1 2n

T¬ng tù:

n+2 >

1 2n

2n≥

1 2n

Cộng tất bất đẳng thức theo vế (lu ý từ số hạng n + đến số hạng thứ n + n = 2n, có tất n số), ta đợc đpcm

VÝ dô 2 Chøng minh r»ng: 1+1

22+

1 32+ +

1

n2 >

n

n+1;(n∈N ,n ≥1) Gi¶i:

Ta cã: 1+

22+ 32+ +

1

n2 >

1 2+

1 3+

1 4+ .+

1

n(n+1) =

1 1− 2+ 2− 3+ 3− 4+ +

1

n−

1

n+1 = 1−

1

n+1= n

n >0 ta cã

1 1

9 25  (2n1) 4

CM:

Ta cã (2n+1)2=4n2+4n+1>4n2+4n=4n(n+1) suy

2

2

1

4 ( 1) (2 1)

1 1 1 1

9 25 (2 1) 4.1.2 4.2.3 4.3.4 ( 1)

1 1 1 1 1

(1 )

4 1.2 2.3 3.4 ( 1) 4 4

n n n

n n n

n n

n n n n n

 

 

       

 

 

          

  

 

VÝ dô 4: Chøng minh

1 1 1

2

5 13 25   2008 2009  2

CM

2 2 2

2

1

: (x-y) 2

2

x y x xy y x y xy

xy

x y

           



2

2

2

1

2.1.2

1

2.2.3

2

1

2.2008.2009 2008 2009



 



 

 

 

   



 

2 2 2 2

1 1 1 1

2.1.2 2.2.3 2.3.4 2.2008.2009

1 2 3 2008 2009

1 1 1

=

2 1.2 2.3 3.4 2008.2009

      

   

 

   

 

 

1 1 2008 2008

=

2 2009 2009 2008

 

   

 



Ta có đpcm

Bài 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n> 0:

2 2

1 1

3 4  n 

Bµi 2 : cho n lµ sè tù nhiªn , chøng minh r»ng:

1 1

/

1.2 2.3 ( 1)

a

n n

   



 

2 2

1 1

/

1

b n

n n

     

2 2

1 1

/

1

c

n

   

III Một số ứng dụng bất đẳng thức. A Một số định lí, bất đẳng thức cần dùng.

1.Mệnh đề 1: Nếu tổng số thực dơng x1; x2; xn số cho trớc

tÝch cđa chóng lín nhÊt khi: x1= x2= = xn

*Định lí 1: Nếu có n số dơng x1; x2; xn có tổng S khơng đổi tích

P = x1 x2 .xn có giá trị lín nhÊt khi:

x1 m1=

x2

m2= .= xn mn

Trong mi số hữu tỉ dơng

2 Mệnh đề 2: Nếu tích số dơng x1; x2; xn số cho trớc

tỉng cđa chóng bÐ nhÊt x1= x2= = xn

*Định lí 2: Nếu n số thực dơng x1; x2; xn có tích P = x1 x2 .xn khơng đổi

tỉng S = x1 + x2 + + xn có giá trị bé x1 m1

=x2 m2

= .=xn mn

Trong mi (i = 1; 2; ; n) số hữu tỉ dơng cho trớc

3 Mệnh đề 3: Cho x1; x2; xn R ta có: |x1|+|x2|+ +|xn|≥|x1+x2+ +xn| (1) Dấu “=” xảy xi dấu Đặc biệt: |x1− x2|≥|x1|−|x2|

B ¸p dơng

1 Tìm cực trị hàm số Biểu thức đại số.

Bµi 1: Tìm GTNN hàm số: y=(x 1993)2+(x 1994)2 Gi¶i

Dễ thấy hàm số xác định với ∀x∈R Ta có:

y=|x −1993|+|x −1994|=|x −1993|+|1994− x|

áp dụng bất đẳng thức: |a1|+|a2|≥|a1+a2| ta đợc:

y ≥|x −1993+1994− x|=1⇒y ≥1

DÊu “=” x¶y ⇔(x −1993) (x −1994)≥0⇔1993≤ x ≤1994

Do ymin =

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè: y=√x+2√x −1+√x −2√x −1

Gi¶i

Điều kiện để hàm số xác định là: x ≥1

Khi đó: y=√(√x −1+1)2+√(√x −1−1)2=|√x −1+1||√x −1−1|.

DÊu b»ng x¶y

⇔

(√x −1+1) (√x −1−1)≥0

x ≥1 ⇔1≤ x ≤2

¿{

VËy ymin =

2 Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình v h phng trỡnh.

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 3x212x

+16+y24y+13=5 Giải

Ta thÊy: √3x2

−12x+16=√3(x −2)2+4≥2

√y2

−4y+13=√(y −2)2+9≥3

⇒ √3x2−12x+16+√y2−4y+13=5

DÊu “=” x¶y

¿

√3x2−12x+16=2

√y2−4y+13=3

⇔

¿3x2−12x+16=4 y2−4y

+13=9

⇔

¿x=2 y=2

¿{

¿

Vậy nghiệm phơng trình cho (x = 2; y = 2) Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

¿

x3+2y2−4y+3=0 (1) x2

+x2y2−2y=0 (2)

¿{

¿

Gi¶i

Tõ (1) suy ra: x3

=−1−2(y −1)2≤ −1⇒x3≤ −1⇔x ≤ −1 (*)

Tõ (2) suy ra: x2(1+y2)=2x2= 2y

1+y2

Mặt khác ta l¹i cã: y2+1≥2⇒x2= 2y

1+y2≤1⇒x

2≤1⇔−1≤ x ≤1.

(**)

Tõ (*) vµ (**) ⇒ x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã: y2 – 2y + = ⇒ y =

1

Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt (x = -1; y = 1)

Ch ơng III : Thực Nghiệm s phạm

1.Mục đích thực nghiệm:

-Kiểm tra hiệu đề tài nghiên cứu

-Muốn hoàn thiện đề tài để áp dụng rộng rãi

So¹n: 15/12/2010

Giảng : 20/12/2010 Chứng minh bất đẳng thức cáchGiáo án

dùng định nghĩa tính chất bất đẳng thức

I Mơc tiêu giảng: - Kiến thức:

+ Hs nm đợc định nghĩa tính chất bất đẳng thức

+Hs nắm đợc số tính chất bất đẳng thức sách giáo khoa

- Kü năng: Hs biết vận dụng lý thuyết vào làm bµi tËp

- Thái độ: rèn t logic cho học sinh

II Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn :.

- GV: Bài soạn

- HS: ôn tập lý thuyết

III Cách thức tiến hành:

Thầy tổ chức + trò hoạt động

IV TiÕn trình dạy A- Tổ chức:

B- Kiểm tra cũ:

- Nêu tính chất liên hệ thứ tự phép nhân? Viết dạng tổng quát?

C- Bài mới:

Hot ng cu giáo viên –học sinh

Ghi b¶ng

-Gv: Yêu cầu học sinh nêu định nghĩa tính chất bất đẳng thức học

-Hs : suy nghĩ trả lời tính chất

-GV nhËn xÐt bỉ xung mét sè tÝnh chÊt vµ ghi b¶ng

A/ Một số kiến thức bất đẳng thức. 1 Định nghĩa:

Cho sè a b ta nói:

a lớn b, kÝ hiÖu: a > b ⇔ a - b > a nhá h¬n b, kÝ hiƯu: a < b ⇔ a - b <

2 Các tính chất bất đẳng thức:

2.1 a > b b < a

2.2 Tính chất bắc cầu: a > b, b > c ⇒ a > c 2.3 TÝnh chÊt cña phÐp céng: a > b ⇒

a + c > b + c

2.4 a > b, c > d ⇒ a + c > b + d

Chú ý: không đợc trừ vế hai bất đẳng thức chiều

2.5 Trừ vế hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ Nếu a > b, c < d a - c > b - d

Yêu cầu học sinh làm ví dụ

-giáo viên yêu cầu hs quan sát nhận xét vế trái BĐT -yc hs biến đổi vế trái BĐT xét hiệu vế

-Giáo viên hớng dẫn hs đặt ẩn phụ

-Gäi hs lên bảng trình bày

Yêu cầu làm tập ví dụ

-gọi hs trình bày bảng -yêu càu nhận xét -giáo viên chữa củng cố

Yêu cầu hs làm ví dụ

_yêu cầu tìm mối quan hệ a2 b2 a+ b

-yêu cầu tìm lời giải Gọi hs trình bày Giáo viên nhận xét

b)a > b, c < ⇒ a.c < b.c

2.7 Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm

NÕu a > b 0, c > d th× ac > bd

2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế bất đẳng thức

a > b > ⇒ an > bn.

a > b ⇒ an > bn víi n = 2k ( k Z).

2.9 So sánh hai luỹ thừa số với số mũ nguyên dơng.Với m > n > 0:

- NÕu a > th× am > an.

- NÕu a = th× am = an.

- NÕu < a < th× am < an.

2.10 Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu

NÕu a > b > hc a < b < th×

a<¿

1

b 3 Các bất đẳng thức cần nhớ.

3.1 a2 0, -a2 Xảy dấu đẳng thức a =

0

3.2 |a| Xảy dấu đẳng thức a = 3.3 - |a| a |a| Dấu đẳng thức xảy a =

3.4 |a+b| |a| + |b| Xảy dấu đẳng thức ab

3.5 |a − b| |a| - |b| Xảy dấu dẳng thức khhi ab 0; |a| |b| (Các điều kiện cịn diễn đạt lại a b a b 0)

B.Bµi tËp

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1

Gi¶i

XÐt hiƯu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-4)].[(x-2)(x-3)] = (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1.

Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức đợc viết lại

nh sau:

(y-1)(y+1) + = y2-1+1 = y2 0.

⇒ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) hay (x-1)(x-2) (x-3)(x-4) -1

VÝ dô 2: Chøng minh: 2(x2 + y2) (x + y)2. Gi¶i

XÐt hiƯu vÕ:

2(x2 + y2) - (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2

= x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 0.

VËy 2(x2 + y2) (x + y)2.

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu a2

+b2≤2 th×

a+b ≤2

Giải

Yêu cầu hs thực -giáo viên gợi ý tìm mối liên hệ vế -gọi hs trình bày bảng

Giáo viên yc hs làm

-yc hs nêu cách làm -gọi hs lên bảng thực

-giáo viên kiểm tra làm hs dới lớp

-Giáo viên nhận xét Giáo viên yc hs làm

-yc hs nêu cách làm (Gợi ý cách làm dấu căn)

-gọi hs lên bảng thực

-giáo viên kiểm tra làm hs dới lớp

-Giáo viên nhận xét

Từ a2

+b22a2b2 −2

Suy ab−2≤0 hay 2ab

Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)

ab≤2 (2) a2

+b2≤2 (3)

Tõ (1), (2), (3) suy (a+b)2≤4 hay |a+b|≤2

Nhng |a+b|≥ a+b nªn a+b ≤2

VÝ du 4 : Chứng minh rằng:

a2+b2+c2 ab+ac+bc

 

     

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

1

0

2 2 2

2 2

0

2 2

0

2 2

a b c ab bc ac

a b c ab ac bc

a b c a c b

ab ac bc

a ab b c ac a c cb b

a b c a c b

                                                        CM:

Bất đẳng thức (2) hiển nhiên suy (1) Dấu “=” x ảy a=b=c

VD 5: Chứng minh 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi

a, b, c

2 2

2 2

2

2 2

2

0

( )

( ) ( )

( ) ( )

a b c a ab ac a ab b a ac c a b a c

      

      

    

HiÓnnhiên với a,b,c dấu “=” xảy a=b=c

vậy 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với a,b,c

VD 6: chứng minh a a2 2 a1 a>0

cm: a a2 2 a1 a>0

 2

2

2

2 4

2 2

2

2

( )

a+2 ( )

2 ( )

( )

a a a

a a a a

a a a a a a a a a a

    

     

   

   

hiển nhiên a a2 2 a1 a>0

D.Cñng cè:

Giáo viên tổng kết học

E.Hớng dẫn học nhà:Yêu cầu làm tập:

Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/ a

2

+b2

2 ≥(

a+b

2 )

2

2/ x3 + 4x + > 3x2 víi x 3.

3/ Cho a + b = c + d Chøng minh r»ng: c2 + d2 + cd 3ab.

4/ Víi a ≥ b ≥1 th×

1+a2+

1 1+b2≥

2 1+ab

So¹n: 15/12/2010

Giảng : 25/12/2010 Giáo ánChứng minh bất đẳng thức cách

dùng số bất đẳng thức quen thuộc I Mục tiêu giảng:

- KiÕn thøc:

+Hs nhớ lại BĐT đợc nhắc SGK SBT + Hs nắm số bất đẳng thức quen thuộc

+Hs nắm đợc cách chứng minh cỏc bt ng thc ú

- Kỹ năng: Hs biết vận dụng lý thuyết vào làm tập

- Thái độ: rèn t logic cho học sinh

II Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn :.

- GV: Bài soạn

- HS: ôn tập lý thuyÕt

Thầy tổ chức + trò hot ng

IV Tiến trình dạy A- Tổ chức:

B- Kiểm tra cũ:

Viết BĐT cosi trờng hợp số

C- Bài mới:

Hot ng cu

giáo viên học sinh Ghi b¶ng

-Gv: Yêu cầu học sinh nêu bất đẳng thức cauchy

-Hs : suy nghĩ trả lời

-GV nhn xột b xung bt ng thc v ghi bng

Yêu cầu học sinh làm ví dụ

-giáo viên yêu cầu hs quan sát nhận xét vế trái BĐT -Gợi ý Hs sử dụng BĐT cosi

-Gọi hs lên bảng trình bày

Yêu cầu làm tập vÝ dơ

-Gỵi ý HS sư dơng

A/ Một số kiến thức 1 Bất đẳng thức Cauchy :

Bất đẳng thức cauchy cho số

Víi a, b0 ta cã a b 2 a b dÊu “=” vµ chØ a=b

Bất đẳng thức cauchy cho n số

Với a a a1, , , ,2 an 0 ta có

1

1

n n

n

a a a a

a a a a n

    

Ta viết

0

, , , , n

a a a a  ta có

1 n n 3 n

a a a  a n a a a a 2 Bất đẳng thức Svacso

Vớia a a1, , , ,2 an 0,tacó

 2

2 2

1

1

1 3

n n n n

b b b

b b

b b

a a a a a a a a

  

    

   

 dấu “=” xảy

1 2 n n b b b

a a  a 3 Bất đẳng thức Bunhiacopski

Với hai số (x1, x2,… ,xn); (y1,y2,…,yn), ta có

2 2 2 2

1 2 2

(x y x y   x yn n) (x x   x yn)( y   yn)

Dấu “=” xảy khi

3 2

n n

x x

x x

y y y  y

B.Bµi tËp

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a

b+ b

a≥2 víi mäi ab >

0

Giải

Vì a

b; b

a dơng nên áp dụng bất đẳng thức Cô si

BĐT Bunhia

-gọi hs trình bày bảng -yêu cầu nhận xét -giáo viên chữa củng cố

Yêu cầu hs làm ví dụ

- GV gỵi ý ta khơng thể áp dụng BĐT cô sy trường hợp vế trái tích để áp dụng bất đẳng thức cô sy ta phải viết vế trỏi thnh tng

yêu cầu tìm lời giải Gọi hs trình bày Giáo viên nhận xét Yêu cầu hs thực -Giáo viên yc hs làm

-yc hs nêu cách làm -gọi hs lên bảng thực

-giáo viên kiểm tra làm hs dới lớp

-Giáo viên nhận xét

Giáo viên yc hs làm

-yc hs nêu cách làm (Gợi ý dùng BĐT Svacxo)

-gọi hs lên bảng thực

-giáo viên kiểm tra làm hs dới lớp

-Giáo viên nhận xét Giáo viên yc hs làm

(ab+ b a ) ≥a b b a=1⇒

a b+

b a

2 ≥1 Hay :

a b+

b a≥2

DÊu “=” x¶y vµ chØ a

b= b

a⇔a=b

VÝ dơ 2: Cho a; b tho¶ m·n 3a - 4b = Chøng minh r»ng 3a2 + 4b2 7.

Gi¶i

Cã 3a - 4b = √3.√3 a - 2.2.b =

áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số

√3;√3 a ; -2; 2b ta đợc: 72 = (3a - 4b)2=(

√3.√3 a - 2.2.b)2 (3 + 4)(3a2 +

4b2) ⇔7≤ 3a2 + 4b2.

DÊu “=” x¶y  a√3

√3 = 2b

−2⇔ a = 1; b = -1

VÝ dô 3: Chứng minh (a+b) (1+ab) 4ab với

mọi a,b>0

CM:

ta có (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2 a,b>0 nên a,ab2,b,a2b>0

Theo bất đẳng thức sy, ta có a+a2b+b+ab2

2 4

4

4 a a b ab b. . . a b 4ab

  

Dấu “=” xảy a=b=1

Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với a,b>0.

VÝ dô 4:Chứng minh (a b )(

1

) a,b>0

a b  

CM: (a b )(

1

)

a b 1+ a b

b a  Vì a,b>0 nên , a b b a 

Áp dụng BĐT sy, ta có (a b )(

1

)

a b 1+ a b b a  .

4

4 1 .a b

b a

 

dấu “=” xảy

a b

a b b a

-Gv gỵi ý Nếu dung bất đẳng thức “svacxo” cho số vế trái, ta chứng minh toán này.khi thực phép nhân vế phải ta thấy vế phải tổng ta suy nghĩ đến việc dùng ba bất đảng thức “svacxo” sau cộng vế với vế ba bất ng thc ú

-gọi hs lên bảng thực

-giáo viên kiểm tra làm hs dới lớp

-Giáo viên nhận xét

vy (a b )( 1

4

) a,b>0

a b  

VÝ dô 5: chứng minh rằng:

Với a, b, c>0, a+b+c=1

1 1

a b c  

CM

Vì a,b,c>0 nên áp dụng bất đẳng thức svacxo ta có

1 1

a b c  a b c 

Mà a+b+c=1 (gt) nên

1 1

a b c   Dấu “=” xảy

a=b=c=

VÝ dô 6: cho a,b,c >0 chứng minh

1 1 1

5

3 3

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

Cm

Ta có

2

1 1 1

(1)

a a a b c    a a a b c   

2

2

1 1 1

(2)

1 1 1

(3)

a b b b c a b b b c

a b c c c a b c c c

    

   

    

   

cộng vế với vế (1),(2) (3) ta có

2

5 5 1

5

3 3

1 1 1

5

3 3

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

 

       

     

 

Dấu “=” xảy a = b = c

D.Cđng cè:

Gi¸o viên tổng kết học

E.Hớng dẫn học nhà:Yêu cầu làm tập:

Chng minh bất đẳng thức sau:

1/ Chøng minh r»ng số dơnng a; b; c có tổng a + b + c = th×:

1

a+

1

b+

1

c≥9

1

√2≤ x

3

+y3≤1

3/ Cho a ≥1;b ≥1 Chøng minh r»ng: a√b −1+b√a −1≤ab

3.KÕt qu¶ thùc nghiƯm

Bµi tËp kiĨm tra

(Thêi gian : 60’)

Bµi 1: Chøng minh r»ng: Víi x, y > Ta cã : ( + x) (1 + y) (1 + √xy )2 Bµi 2 : Cho a b,   vµ 3a + = Chøng minh r»ng a2 b2 1

Bµi 3 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã :

2

5x 2y  2xy 4x 6y 10

Bµi 4: a) Cho hai số thực dơng a b Chứng minh r»ng :

1

a b a b

b) Cho < x < vµ x  Chøng minh r»ng :

   

2

1

4

1 x x x

x    

KÕt kiểm tra

STT Họ tên Lớp Điểm

1. Ngun Tn Vị 9A2

2 Ph¹m TiÕn DÜnh 9A2

3 Ngun ThÕ C¶nh 9A1

4 Ngun ViƯt Dịng 9A1

5 Hoàng Thu Hiền 9A2

6 Nguyễn Thị Thu Hơng 9A1

7 Trơng Khánh Ly 9A1

8 Nguyễn Thị Hải Huế 9A1

9 Lê Văn Dũng 9A1

10 Nguyễn Quốc Triệu 9A2

-§iĨm giái em/10( tỉ lệ 10% ) -Điểm khá: em

-Điểm TB : em/ 10 ( tØ lƯ 50%) -§iĨm yÕu : 4em/ 10 ( tØ lÖ 40% )

Duyệt kế hoạch dạy học kết thực nghiệm Dut cđa tỉ cm dut cđa bgh

PhÇn III : kÕt luËn

Việc phát triển lực, t học sinh THCS thông qua việc giải tốn bất đẳng thức đại số nội dung tơi trình bày cịn hạn hẹp so với toàn chuyên đề bất đẳng thức Việc áp dụng số phơng pháp giải toán bất đẳng thức vào chơng trình tốn THCS vấn đề rộng, nội dung phong phú đa dạng Nhng tơi trình bày đợc số phơng pháp, số tập chơng trình tốn THCS Với thời lượng chương trỡnh

có hạn truyền đạt hết kinh nghiệm mà tích lũy cho học sinh tiết học.Vì để học sinh học tốt chuyên đề đề nghị nhà trường cần phải có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; giáo viên phải không ngừng tự học, phải thương yêu học sinh,tận tâm với nghề có chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn tăng lên

Chắc chắn t liệu giúp tơi hiểu cách sâu sắc hơn, việc giải toán bất đẳng thức Qua việc làm đề tài tơi thấy giải tốn bất đẳng thức hoạt động trí tuệ cao gian khổ Nhng đồng thời thêm sáng tỏ nhiều vấn đề bổ ích, ứng dụng sáng tạo, vững tin việc giải toán cấp THCS

góp ý kiến thầy giáo để đề tài hồn thiện hơn.

Tài liệu tham khảo

Trong trình viết đề tài tơi tham khảo số tài liệu sau: 1) Sách toán tập (Phan Đức Chính tổng chủ biên)

2) Tốn nâng cao chọn lọc đại số (Nguyễn Vĩnh Cận –Lê Khắc Bảo-vũ Thế Hựu-Lê Đình Phi-Phan Thanh Quang-Phạm Đan Quế) 3) Tài liệu ôn thi vào lớp 10 chuyên Lê hồng phong (2003-2004) mơn

tốn

4) Bất đẳng thức chọn lọc cấp (Nguyễn Vũ Thanh)

5) Toán nâng cao chuyên đề đại số 8- Vũ Dương Thụy 6) Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên

Phú Thọ ,ngày 30/12/2010

Người viết