De thi thu DH lan 4 khoi A

[r]

TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC  KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 2011­2012  Mơn: Tốn 12. Khối A. 

Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề)  A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y=x3-3x2 +  có đồ thị là1

( ) 

C    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 

2) Với giá trị nào của  m  thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với  đường trịn

( ) (

G : x-m

) (

2+ y-m -1

) 

2 = 5 

Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình :

(

1 tan- x

)(

1 sin 2+ x

) 

= +1 tan   x

2) Giải hệ phương trình:

(

) 

3  4 

2 27  1 

x y x 

x y

ì - - - = -

ï í

- + =

ù ợ

( ,x yẻR ) CõuIII(1,0im)Tớnh tích phân :

(

)

 

1 

4 2 

1  3 

ln ln  I = é x +x - x dx ù

ë û

ị

 

Câu IV. (1,0 điểm) Cho  lăng trụ tam giác đều ABC A B C. 1 1 1   có  chín  cạnh đều  bằng 5 .Tính góc  và  khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1  và   BC1    

Câu V. (1,0 điểm)  Cho  , ,a b c  là các số thực dương thoả mãn  ab bc+ +ca= 7 abc.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 

4 6 

2 2 

8a 108b 16c  1  S 

a b c

+ + +

= + +   

B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)  1.Theo chương trình Chuẩn 

Câu VIa. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trịn

( ) (

C : x-4

) 

2 +y 2 = 4 và  điểm E 

( ) 

4;1 .Tìm  toạ  độ  điểm  M trên  trục  tung  sao  cho  từ  điểm  M  kẻ  được  hai  tiếp  tuyến 

, 

MA MBđến đường tròn

( )

C 

 

với  ,A B    là các tiếp điểm sao cho đường thẳng ABđi qua E . 

2)Trong không gian  với  hệ toạ độ  Oxyz  cho mặt phẳng

( )

P :x-2y+2z- =1  0 và các đường thẳng 

1 

1 3  : 

2 2 

x y z 

d - = - =

-  và  2 

5 5 

: 

6 5 

x y z 

d - = = +

-  Tìm các  điểm MỴd N1,  Ỵ d 2  sao cho MN  song song 

với

( )

P 

 

và cách

( )

P 

 

một khoảng bằng 2. 

Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Giải phương trình:

(

)

(

)

 

3 

3 x 12 x  2 x+

- + + = 

2. Theo chương trình Nâng cao 

Câu VIb. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng

( )

d :x-3y-4= 0 và  đường trịn

( ) 

C :x2+y2 -4y= 0. Tìm điểm MỴ 

( )

d

 

và điểm NỴ 

( )

C

 

sao cho chúng đối xứng nhau  qua điểm A 

( ) 

3;1 . 

2) Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ  Oxyz,  cho  đường  thẳng  :  4  2 

x- y z-

D = =

-  và  hai  điểm

(

1; 2; ,

) 

 

A - B

(

7; 2;3-   

) 

.Tìm  D  những  điểm M sao  cho  khoảng  cách  từ M  đến  đường  thẳng  chứa AB là nhỏ nhất . 

Câu VIIb.(1,0điểm) Giải phương trình: log

(

2  1

)

log

(

1

)

2 1 log

(

2 

) 

2  2 

x - = x+ + x- 

ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A  ( 5 Trang) 

Câu  Ý  Nội dung  Điểm 

I  2,00 

1  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  2 

y=x -3x + 1 1,00

·  Tập xác định: Hàm số  có tập xác định D=¡ .

·

 

Sự biến thiên: 

v 

Chiều biến thiên :  2 

3 6 

y' = x -  x Ta có  0  2  0  x  y' 

x = é = Û ê

= ë

v 

, 

y >0Ûx< Ú0 x>2Ûh/số đồng biến trên các khoảng

(

-¥; & 2;

) (

+¥

) 

v 

, 

y <0Û0<x<2Û  hàm số nghịch biến trên khoảng

(

0; 2 

) 

v

yCD = y

( )

0 =1; yCT = y

( ) 

2 = - 3 

v 

Giới hạn  3  3 

x  x 

3 1  lim y lim x

x x

đƠ đƠ

ổ

= ỗ - + ữ = Ơ

ố ø 

0,25 

0,25 

v  Bảng biến thiên: 

x -¥  0  +¥ 

y' +  -  + 

y 

1 +¥

-¥  ­3 

0,25

·  Đồ thị:    cắt trục Oy tại điểm (0;1) 

0,25 

2  Với giá trị nào của  m  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị   1,00  Đồ  thị  hàm  số  có  điểm  cực  đại A 

( ) 

0;1 ,điểm  cực  tiểu B

(

2; 3- 

) 

 suy  ra  phương  trình 

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị  ,A B 

( )

d 2x+y- =1  0  0,25 

đường tròn

( ) (

G : x-m

) (

2+ y-m -1

) 

2 =  có tâm5  I m m

(

; + 1

) 

 bán kính R=  5 điều  0,25  2 

1 

O  x 

­3 

y 

3 2 

kiện

( )

d 

 

tiếp xúc với

( )

(

( )

)

 

2 2 

2 1  5 

, 5 

3  1 

m m 

d I d R + + - m m

G Û = Û = Û = Û = ±

+  Đáp số :  5 

3 

m= ± 

0,25 

0,25 

II  2,00 

1  Giải phương trình :

(

1 tan- x

)(

1 sin 2+ x

) 

= +1 tan   x (1)  1,00  Đặt  tan sin 2  2 2 

1  t 

t x x 

t

= Þ =

+  Phương trình  (1) trở thành

(

)

(

)(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

 

2  2 

2  2 

1  2 

1 1 1 1 

1  1 1 

t  t 

t t t t t t 

t  t t t

= - é

ỉ

- ỗ + ữ = + - + = + + Û ê

+ - + = +

è ø ê ë

(

) 

tan tan 0 

4 

t = - Ú =t Û x= - Ú x= Û x= -p + p k x= pk kẻÂ

0,25 0,25 

0,25  0,25 

2  Giải hệ phương trình:  1,00 

ĐK  2  1  x  y

³ ì í

³ ỵ 

từ  phương  trình  (2)  ta  có

(

x-2

)

4 = y- Þ1 y- =1

(

x - 2 

) 

2  thay  vào  phương trình

( ) 

1 ta được  x-2 =27-x3+x2 -4x + Û4    x-2+x3-x2 +4x -31 0=  

( ) 

* 

Xét hàm số f x

( ) 

= x-2+x3-x2 +4x - 31, với mọi x³ 2 

( ) 

' 1  2 

3 2 

2 2 

f x x x x 

x

Þ = + - + > " > - 

hmsngbintrờnkhong

(

2+Ơ

)

mtkhỏc f

( )

3 =0ị x=3lnghimduynht ca(*)thayvophngtrỡnh(2)ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là 

3; 2  x= y = 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

III  Tính tích phân  …  1,00 

Ta có

(

)

 

1 

4 2 

1  3 

ln ln  I = é x +x - x dx ù

ë û

ò

(

)

 

1 1 

2 2 2 

1 1 

3 3 

ln(3x 1) lnx lnx ln 3x 1 dx

é ù

=

ò

ë + + - û =

ò

 

+

Đặt

(

)

 

2 

2 

6  ln 1 

3 1  xdx 

u x  du 

x 

dv dx  v x

ì

ì = + =

ï ï

Þ +

í í

=

ï ï

ỵ ỵ =

(

)

 

1  2 

2 1 

1  2 

1  3 

3 

6 ln ln 3  ln | 

3 3 

x dx 

I x x J 

x

+

= + - = -

+

ò

 

Với 

1 1 

2 2 

1 1 

3 3 

2 4 

2 2 

3 3 3  3 

dx 

J dx 

x x

p

ổ

= ỗ - ÷ = - = -

+ +

è ø

ò

ò

 

( đặt  3x= tan t với  ;

2 2 t ẻ - ổỗ p p ữ

è ø

(

2 

)

 

1 

1 tan  3 

dx= +  t dt đổi  cận  1  ; 1 

3 3 

x= Þ =t p x= Þ =t  p từ  đó  tính  được 

0,25 

0,25 

0,25 

4 ln ln 3 

3 3 9 

J p I + p

Þ = - Þ = - + 

IV   Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1  và   BC1     1,00  Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vng cạnh bằng 5 

1 1  2 

AB BC

Þ = =  Dựng hình bình hành 

1 1 , 1  5 

BDB C Þ DB =BC = BD=C B =  , AD=CD .sin 600 = 5 3 

(do DACD  vng tại A vì BA=BC= BD ) Þ a =

(

AB BC1; 1

) (

= AB DB1;  1 

) 

·

(

) (

) ( )

 

2 2 

2 2 

1 1 

1 

1 2 

5 5 3  1  cos 

2 2.5 2.5 2  4 

AB DB AD 

AB D 

AB DB

+ -

+ -

= = = Þ ·AB D 1   nhọn từ đó 

· 

1 

1  cos 

4  AB D

a = Û a =   Ta thấy BC1/ /mp AB D

(

1

)

, AB1Ì mp AB D

(

1 

) 

từ đó

(

1, 1

)

(

1,

(

)

)

(

, 

(

1 

)

)

 

d BC AB =d BC mp AB D =d B mp AB D =  1 

. 

3 B AB D 

AB D 

V  dtD 

1 . 

1 1 

3  1 

.sin  2 

B ABC 

V  AB DB =

a 

1 

1 1 

25 3  5. 

4  5 

1  1 15 

sin  .5 2.5 2. 

2  2 4 

ABC 

BB dt  AB AD

D

= = =

a 

.Đáp số

(

(

)

)

(

) 

1 1 

1 1 

1 

cos ; 

4

, 5  AB BC 

d AB BC

ì

a = a =

ï í

ï =

ỵ 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

V  Cho  , ,a b c  là các số thực dương thoả mãn  ab bc+ +ca= 7abc  Tìm giá trị nhỏ nhất…  1,00  giả thiết tương đương với 1 1  7 

a+b+c =  áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta 

có:  12 54 54 3  22 22 2 2 

2 9 9 

S a b b 

a b b b

ỉ ỉ

=ỗ + ữ ỗ+ + + + + ÷ +

è ø è ø 

4 

2 2 

1 1  16 

4 4  c 

c c

ỉ

+ +

ỗ ữ

ố ứ

2

2

2 2 

1 1 1 1 1 

4 10 17 24 

2a 3b 2c a b c 7

ổ ổ

+ỗ + + ữ + + + ỗ + + ữ = + =

+ +

è ø è ø 

dấu bằng xẩy 

ra khi  1, 1  3 

a=c= b=  Vậy  giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi  1, 1  3 

a=c= b= 

0,25  0,25 

0,25  0,25 

VIa  2,00 

1  …Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M  kẻ được hai tiếp tuyến…  1,00  Đường  trịn

( ) (

C : x-4

) 

2 +y 2 = 4  có  tâm I 

(

4;0 

) 

bán  kính  R = 2 .Gọi  toạ  độ  điểm

(

0; 

) 

M a  Tiếp điểm A x y

(

1; 1

) (

;B x y2;  2  

) 

.Do MA là tiếp tuyến của

( )

C 

 

và AỴ

( )

C

 

( ) 

(*)  MA I A  A C ì ^ ï

ẻ ù ợ

uuur ur

mà

(

)

(

) 

1 1 

1 1 

;  4; 

MA x y a 

IA x y

ì = -

ï í

= -

ï ỵ

uuur

uur  từ đó

( )

( ) 

0  *  MA IA 

A C

ì =

ï Û í

Ỵ ï î

uuur uur

(

) (

)

( )

(

)

( ) 

1 1 1 

2  2 

1 1 

4 1 

4 2 

x x y a y 

x y

ì - + - =

ï Û í

- + =

ï ỵ 

,lấy (1) trừ (2) theo vế ta được 

1 1 

4x -ay -12= 0 tương  tự  cho  điểm B x y

(

2;  2  

) 

ta  được 4x2 -ay 2 -12= 0 từ  đó ta  có  phương  trình  đường  thẳng  chứa  dây  AB 

( )

d ; 4x-ay-12= 0  mà  điểm 

0,25 

0,25 

( ) ( ) 

4;1 

E Ỵ d Û4.4-a.1 12- =0Û a=4Û M

(

0; 4 

) 

.Đáp số M 

(

0; 4 

) 

0,25 

2  … 

1,  2 

MỴd NỴ d sao cho MN song song với

( )

P 

 

và cách

( )

P 

 

một khoảng bằng 2.  1,00  PT tham số của  1 2 

1 6  : 3 & : 4 

2 5 

x t x s 

d y t d y s 

z t z s

= + = +

ì ì

ï ï

= - =

í í

ï = ï = - -

ỵ ỵ 

Vậy

(

)

(

) 

1  2 

1 ;3 ; 2  ; ; 5 

M t t t d 

N s s s d

ì + - Ỵ

ï í

+ - - ẻ

ù ợ

(

6 4 3; 5 

) 

MN s t s t s t

Þuuuur = - + + - - - -

mặt phẳng

( )

P 

 

có 1 vtpt nr=

(

1; 2; ,-

)

MN/ /

( ) 

P ÞMNuuuur^nrÛuuuur MN n .r= 0 

(

)

(

)

(

) 

1 6s 2t 4s 3t 5s 2t 0  t s

Û - + - + - + - - - = Û = -  Vì MN/ / 

( ) 

P

( )

(

,

)

(

,

( )

)

2 3

(

)

2

( ) 

1  2  4 

t t t 

d MN P =d M P = + - - + - =

+ + 

1  12 6 

0  t  t 

t = é - + = Û ê

= ë · t= Þ1 s= - Þ1 M1

(

3;0; ,

)

N1 

(

- - 1; 4; 0 

) 

· t=0Þs=0ÞM2

(

1;3; ,

)

N2 

(

5;0; 5- 

) 

 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25  7a 

Giải phương trình:

(

3- 5

)

x+12 3

(

+ 5

)

 

x = 2 x+ 3  1,00  Chia hai vế của phương trình cho  2x >  ta được : 0  12 5  8 

2 2 

x x

æ - ỉ +

+ =

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø 

(1) do 

3 5 

1 

2 2 

x x

ỉ - ỉ + =

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø 

đặt  &  1 

2 2 

x x 

t t 

t

ỉ - ổ +

=ỗỗ ữữ ị > ỗỗ ÷ ÷ =

è ø è ø 

khi đó pt  (1) trở 

thành  12  2  2 

8 12 0 

6  t 

t t t 

t  t

= é

+ = Û - + = Û ê

= ë 

( thoả mãn)

·  3 5 

2 

3 5 

2 log 2 

2 

x 

t = ịổỗỗ - ữ ữ = x = -

è ø

·  3 5 

2 

3 5 

6 log 6 

2

x

t = ịổỗỗ - ÷ ÷ = Ûx = -

è ø 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

VIb  2,00 

1  Tìm điểm MỴ 

( )

d

 

và điểm NỴ 

( )

C

 

sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A 

( ) 

3;1 .  1,00  Gọi M

(

3a+4; a

) ( ) 

Ỵ d mà N đối xứng với M qua A

( )

3;1 Þ N

(

2 ; 2- a  - a

) 

theo gt

( )

2 

(

) (

2

)

2 

(

) 

: 4 0 

NỴ C x +y - y= Û - a + -a - -a =

(

) 

6 

2 0 

5 

a a a a

Û - = Û = Ú =

· a=0Þ M1

(

4;0 ,

)

N1 

(

2; 2 

) 

·  2 38 6; , 2  4 ; 

5 5 5

a= ịM ổỗ ửữ N ổỗ- ữ

ố ứ ố ø 

0,25 

0,25 

hình  chiếu  của  A  D.Gọi

( )

P 

 

là  mặt  phẳng  qua A

(

1; 2; 1- 

) 

 

và

( )

P ^ D

 

Þ

( )

P : 3x-2y+2z+ =3  0 .

{ }

H = D Ç 

( )

P

 

nên  toạ  độ  điểm  H  là  nghiệm 

của  hệ  pt  :

(

) 

1  2 0 

2 1; 2; 2 

2 4 

2  2 

x 

x y z 

y H 

x y z 

z

= - ì

- + + =

ì

ï ï

Û = Û -

- -

í í

= =

ï - ï =

ỵ ợ

.GiA'i xng viA qua

D ị A'

(

-3; 2;5 

) 

  ( do H là trung điểm của  AA' ) Ta có   A A B D, ' , ,  cùng nằm trong một  mặt phẳng

( )

P 

 

.Pt đường thẳng A B'    là  5 

7 2 5 1 

x+ y- z- x+ y- z-

= = Û = =

+ - - - - - 

Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa A B'    D Þ  toạ độ M là nghiệm hpt

(

) 

3 5  2 

5 1 

0 2; 0; 4 

2 4 

4 

3 2 

x y z  x 

y M 

x y z 

z

+ - -

ì ì =

= =

ï

ï - - ï

Û = Û

í í

- -

ï = = ï =

ỵ

ï -

ỵ 

. Đáp số M 

(

2; 0; 4 

) 

0,25 

0,25 

0,25 

7b 

Giải phương trình: log

(

2  1

)

log

(

1

)

2 1 log

(

2 

) 

2  2 

x - = x+ + x-  1,00 

Đ/k: 

2 

2 1  0 

1  0; 0 

x  x 

x 

x x

¹ >

ì - > ì

Û

í

< -

+ - ợ

ỵ 

. 

Khi đó phương trình Ûlog

(

x2 -1

)

=log

(

x+1

) 

2 +log x - 2 

(

)

(

)

2 2 

(

) 

2 

log x logé x x 2ù x x x 2 

Û - = + - Û - = + -

ë û

(

)

(

)(

)

(

)(

) 

2 

2 

2  2 

1 2  0  2 

1 2 

1 1  1  3 

1 2  3 

x  x 

x x x  x x  x 

x x x 

x x  x x  x 

x x x  x

é ì ï > é ì >

êí êí

- = + - - - = é = +

ï

êỵ ê î

Û - = + - Ûê Ûê Û ê

< < Ú < - < < Ú < -

ì ì ê = ±

ï ë

ê ê

í í

ê ï ỵ - = + - + ê ë ỵ = ë 

Phương trình có 3 nghiệm .: x= +1 ,x= ±  3 

0,25 

0,25 

0,25  0,25 

Lưu ý khi chấm bài: 

­ Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi  chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì khơng cho điểm bước đó. 

­ Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. 

­ Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó khơng được  điểm. 

­ Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. 

­ Trong lời giải câu IV,  nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai hình khơng cho điểm.  ­ Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.