Với các góc α , β bằng bao nhiêu thì hình thang ABCD có diện tích nhỏ nhất và tính S nhỏ nhất theo r.. ( S là diện tích của hình thang ABCD ).[r]
(1)UBND HUYỆN PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Năm học: 2011- 2012 - Mơn: Tốn
Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC: Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: ( 3,0 điểm )
Chứng minh với x, y nguyên
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh :
2 2
1
1 1
a b c
b a c b a c
Câu 3: ( 3,0 điểm)
a Với x, y khơng âm, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x - xy3y x 2008,5
b Cho a; b; c > và:
1 1
1a1b1c = Tìm giá trị lớn abc.
Câu 4: (3,0 điểm) :
Giải phương trình :
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Câu : (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống cạnh BC , CA AB tương ứng ha , hb , hc Gọi O là một điểm tam giác khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC, CA và AB tương ứng x , y z
Tính a b hc
z h
y h
x
M
Câu 6: (4,0 điểm)
Cho đường trịn (O,r) Xét hình thang ABCD ngoại tiếp đường trịn nói trên
BC //AD ; BAD = α ; ADC = β với α 900 , β 900 . a Chứng tỏ:
OA2+
1
OB2=
1
OC2+
1
OD2
(2)UBND HUYỆN PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2011– 2012 - Mơn : Tốn
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 3,0 đ
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z
A số phương
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Câu 2
3,0 đ
Từ giả thiết suy a , b , c thuộc (0 ; 1)
2
2 2
2
2
1 1 1
1
1 1
a b a a b a b a
a
a b a
b a b a b a
Tương tự :
2
2 1 ; 1
1
b c
b c b c a c
c b a c
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta :
2 2
3 3 2
1
1 1
a b c
a b c a b b c c a b a c b a c
(1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận : 3 3 ; 3 3 ; 3 3
a a b a b b b c b c c c a c a (2) Từ (1) (2)
2 2
1
1 1
a b c
b a c b a c
Đẳng thức xảy
3
a b c
0,5 0,5
1,0 0,5
(3)Câu 3 3,0 đ a
2 2
2
2 2
2
2 2
Đặt x a; y b với a, b 0, ta cã:
P = a 2ab 3b 2a 2008,5 = a 2a b 3b 2008,5
= a 2a b b 2b 2b 2007,5 = a - b -1 b b 2007,5
1 1
a - b -1 b b 2007,5 a - b -1 b 2007
4 2
2 2007 a b a
1 2
V× a - b -1 b a, b.Nên P = 2007 1
2 b
b 2 x x
Vậy P đạt GTNN 2007
1 y y 0,5 0,5 0,5 b
+ Tính được:
1
2
1 1 1
b c bc
a b c b c
(1)
+ Tượng tự ta có:
1
1 1
ac
b a c
(2)
1
1 1
ab
c a b
(3)
+ Chỉ vế BĐT (1); (2); (3) dương nên nhân vế BĐT (1); (2); (3) suy được: abc
1
+ Kết luận max abc =
1
8 a = b = c =
1 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu 4 3,0 đ
Điều kiện : x0
Ta có :
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
2 2 2
1 1
8 x x x x x
x x x x
2 2 1
8 x x x
x x
x 42 16
8
x x
0 ( )
8 x loai x
Vậy phương trình có nghiệm : x = -8
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
(4)Câu 5
4,0 đ Xét hai tam giác ABC OBC ta có : SABC =
a
h BC
(1) SOBC =
x BC
(2)
Từ (1)và (2) ta suy : ABC OBC
a S
S h
x
Tương tự ta có : ABC AOB
c
ABC COA
b
S S h
z S S h
y
Từ tính : ABC
ABC
ABC
AOB COA
BOC
S S S
S S S
M
=1
0,5
1,0 0,5 0,5 1,0
câu 6
4,0 đ
a. -Từ O hạ OI , OM, OT,.ON vng góc với AB ,BC,CD,DA -Chứng minh Δ AOB Δ COD vuông O
-Chứng minh
OA2+
1
OB2=
1 OI2
OC2+
1
OD2=
1
OT2
Mà OI = OT Nên
OC2+
1
OD2=¿
1
OA2+
1
OB2
0,5
0,5 b. Ta có : AI = AN = OI cot α2 = r cot α2
BI =BM = OI tan α2 = r tan α2 Ta có: S ABMN = BM+AN
2 MN
= rtan α
2+rcot
α
2
2r = r ( tanα
2+cot
α
2 )
Tương tự :S MCDN == r ( tan β
2+cot
β
2 )
Suy ra: S ABCD = r ( tanα2+cotα2 + tan β2+cot β2 )
0,25 0,25
0,5
(5)Ta có : tanα
2+cot
α
2 √tanα2 cotα2 =
tan β
2+cot
β
2 √tanβ2 cot
β
2 =
Suy ra: SABCD 4r2
Vậy Min SABCD = 4r2 ⇔ α=β = 900
0,5
0,5 0,5