Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 152 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP VŨ KHẮC BẢY (chủ biên) NGUYỄN TRUNG THÀNH, VŨ NGỌC TRÌU Giáo trình GIẢI TÍCH (GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN) NHÀ XUẤT BẢN NƠNG NGHIỆP HÀ NỘI - 2018 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích tốn học mơn học có hầu hết chương trình ngành kỹ thuật bậc đại học Đây môn học cần thiết cho sinh viên ngành kỹ thuật năm đầu đại học Trong nhiều năm qua, trường Đại học Lâm nghiệp có giảng mơn học này, giảng biên soạn sở yêu cầu nội dung tiên cần thiết để tiếp tục học môn sở, chuyên ngành thuộc ngành Khoa Cơ điện Cơng trình: Kỹ thuật xây dựng cơng trình, Cơng nghệ kỹ thuật Cơ điện tử, Kỹ thuật khí, Cơng nghệ kỹ thuật tơ Nội dung mơn Giải tích tốn học chia thành hai phần: Giải tích hàm biến (cịn gọi Giải tích 1) Giải tích hàm nhiều biến (cịn gọi Giải tích 2) Cho đến nay, trường Đại học Lâm nghiệp chưa có giáo trình "Giải tích hàm nhiều biến" phù hợp với nội dung chuyên ngành đào tạo khoa Cơ điện Cơng trình Vì vậy, cần có giáo trình thống cho nội dung giảng cần có tài liệu cho sinh viên học tập mơn học Giải tích 2, chúng tơi biên soạn cuốn: Giáo trình Giải tích (Giải tích hàm nhiều biến), nhằm phục vụ tất đối tượng giảng dạy học tập thuộc ngành kỹ thuật nêu Nội dung giáo trình Giải tích hàm nhiều biến gồm chương: - Chương 1: HÀM HAI BIẾN - Chương 2: HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG - Chương 3: TÍCH PHÂN KÉP - TÍCH PHÂN BỘI - Chương 4: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT - Chương 5: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA Mặc dù giáo trình biên soạn sở giảng sử dụng nhiều năm qua, khơng thể tránh sai sót cách hành văn, in ấn; mong góp ý độc giả Nhân đây, chúng tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn Trường Đại học Lâm nghiệp có nhiều đóng góp q báu để nhóm tác giả hồn thành giáo trình Nhóm tác giả MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương HÀM HAI BIẾN 1.1 Hàm hai biến 1.1.1 Tập hợp phẳng Các khái niệm tập phẳng 1.1.2 Khái niệm hàm hai biến 11 1.2 Giới hạn liên tục hàm hai biến 11 1.2.1 Giới hạn hàm hai biến 11 1.2.2 Sự liên tục hàm hai biến 13 1.3 Đạo hàm vi phân hàm hai biến 14 1.3.1 Đạo hàm riêng cấp 14 1.3.2 Đạo hàm riêng cấp 15 1.3.3 Vi phân toàn phần ứng dụng 17 1.3.4 Quy tắc dây chuyền cho đạo hàm riêng 20 1.3.5 Đạo hàm hàm ẩn 21 1.4 Cực trị hàm hai biến 22 1.4.1 Định nghĩa điểm cực trị 22 1.4.2 Định lý (Điều kiện cần cực trị) 22 1.4.3 Định lý (Điều kiện đủ cực trị) 23 1.4.4 Quy tắc tìm cực trị địa phương 23 1.5 Phương pháp bình phương bé (tối thiểu) 27 1.5.1 Bài toán 27 1.5.2 Phương pháp bình phương bé 28 1.5.3 Các trường hợp cụ thể 30 1.5.4 Phương pháp bình phương bé áp dụng cho hàm nhiều biến 34 1.5.5 Phương pháp thực hành sử dụng EXCEL 38 BÀI TẬP CHƯƠNG 41 Chương HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG 44 2.1 Hình vi phân mặt phẳng 44 2.1.1 Điểm quy 44 2.1.2 Tiếp tuyến đường cong 44 2.1.3 Độ cong đường cong 46 2.1.4 Đường trịn khúc - Khúc tâm 50 2.2 Hình vi phân khơng gian 59 2.2.1 Hàm véc tơ 59 2.2.2 Đường cong không gian 60 2.2.3 Mặt cong không gian 64 2.3 Mặt cong định hướng 66 2.4 Đạo hàm theo hướng Gradient 68 2.6 Toán tử Haminton 70 BÀI TẬP CHƯƠNG 75 Chương TÍCH PHÂN KÉP - TÍCH PHÂN BỘI 77 3.1 Tích phân kép 77 3.1.1 Định nghĩa tích phân kép 77 3.1.2 Các tính chất tích phân kép 78 3.1.3 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ Đề-các vng góc 79 3.1.4 Các ứng dụng tích phân kép 86 3.2 Tích phân bội ba 88 3.2.1 Định nghĩa tích phân bội ba 88 3.2.2 Cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ Đề-các 89 3.2.3 Đổi biến tích phân bội ba 90 3.2.4 Trọng tâm vật thể 92 3.2.5 Tính mơ men qn tính vật thể trục 92 BÀI TẬP CHƯƠNG 94 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT 96 4.1 Tích phân đường loại 96 4.1.1 Định nghĩa 96 4.1.2 Cách tính 96 4.1.3 Các ứng dụng tích phân đường loại 99 4.2 Tích phân đường loại 101 4.2.1 Bài tốn dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 101 4.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại 102 4.2.3 Cách tính tích phân đường loại 103 4.2.4 Công thức Green 106 4.2.5 Điều kiện tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân 108 4.3 Tích phân mặt loại 111 4.3.1 Định nghĩa 111 4.3.2 Cách tính tích phân mặt loại 111 4.4 Tích phân mặt loại 113 4.4.1 Định nghĩa 113 4.4.2 Cách tính tích phân mặt loại 113 4.5 Công thức Ostrogradsky - Gauss 121 4.6 Ý nghĩa đive trường véc tơ 122 BÀI TẬP CHƯƠNG 123 Chương CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA 125 5.1 Chuỗi số 125 5.1.1 Định nghĩa 125 5.1.2 Định lý (Điều kiện cần chuỗi hội tụ) 126 5.1.3 Các tính chất chuỗi số 126 5.1.4 Chuỗi số dương 127 5.1.5 Chuỗi đan dấu 132 5.1.6 Hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 132 5.2 Chuỗi lũy thừa 133 5.2.1 Định nghĩa 133 5.2.2 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa 134 5.2.3 Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa 134 5.2.4 Các bước tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 135 5.2.5 Chuỗi Tay-lo chuỗi Mac-lo-ranh 137 5.3 CHUỖI FOURIER 139 5.3.1 Chuỗi Fourier cho hàm số tuần hồn có chu kì 2π 139 5.3.2 Chuỗi Fourier cho hàm số tuần hồn có chu kì 142 5.3.3 Chuỗi Fourier cho hàm khả tích [a, b] 145 BÀI TẬP CHƯƠNG 149 TÀI LIỆU THAM KHẢO 151 Chương HÀM HAI BIẾN 1.1 HÀM HAI BIẾN 1.1.1 Tập hợp phẳng Các khái niệm tập phẳng 1.1.1.1 Tích Đề-các R2 Tích Đề - R2 (hay R R) tập hợp mà phần tử cặp có thứ tự hai giá trị số thực x y Kí hiệu: R2 = ( x, y ) : x, y R Nếu mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy ta đồng điểm M(x, y) với phần tử (x, y) R2 Khi R2 cịn gọi mặt phẳng tọa độ Oxy 1.1.1.2 Khái niệm tập hợp phẳng Mỗi tập hợp D R2 gọi tập hợp phẳng (hay miền phẳng) Tập hợp phẳng D thường biểu diễn qua hệ thức: D = ( x, y ) R : i ( x, y ) , i 1, n tức điểm M(x,y) D thỏa mãn bất đẳng thức dạng i ( x, y ) Ví dụ: 1) D = ( x, y ) R : x y 1 - miền đường tròn x2 + y2 = 2) D = ( x, y ) R : x y ; y 2x (hình 1.1) Hình 1.1 1.1.1.3 Các khái niệm liên quan Khoảng cách hai điểm: Cho điểm M(x1, y1), N(x2, y2) R2 Khoảng cách hai điểm M, N ký hiệu d(M,N) xác định công thức: d M , N ( x1 x ) ( y1 y ) - lân cận điểm: Giả sử số dương Ta gọi - lân cận điểm M0(x0, y0) tập tất điểm M(x, y) R2 thỏa mãn khoảng cách từ M đến điểm M0 nhỏ U ( M o ) = M R : d ( M ( x, y ), M ) Điểm trong: Điểm M0 D gọi điểm D tồn - lân cận M0 nằm hoàn toàn D Tập mở: Tập D R2 gọi tập mở điểm D điểm Ví dụ: D = ( x, y ) R : x y R ; D = ( x, y ) R : x y 3, x y 1 Nhận xét: Tập mở tập thỏa mãn hay nhiều bất đẳng thức dạng: φ(x, y) < (tức khơng có dấu “ = ”) Điểm biên: Điểm M0 gọi điểm biên D lân cận M0 chứa điểm thuộc D điểm không thuộc D Nhận xét: Nếu tập hợp phẳng D = ( x, y ) R : ( x, y ) 0 điểm biên D điểm thỏa mãn φ(x, y) = Ví dụ: D = ( x, y ) R : y x 0, x y 0 có điểm biên M(x, y) thỏa mãn: y2 - x = 0, ≤ x ≤ x - y = 0, ≤ x ≤ Hình 1.2 Tập đóng: Tập D chứa điểm biên gọi tập đóng Tập bị chặn: Tập D gọi bị chặn tồn hình trịn chứa 10 (0 1) (0 1)2 (0 1)3 Chẳng hạn x = ta được: = e 1 1! 2! 3! n 1 1 (1) ta kết quả: e 2! 3! ! 5! n! Nếu xét x = 2, ta kết quả: e 1 1 1 1! ! 3! ! 5! n! 5.2.5.2 Chuỗi Mac-lo-ranh (Maclaurin) Định nghĩa: Nếu hàm f(x) khai triển Tay-lo x0 = ta nhận chuỗi Mac f (k ) (0) k lo-ranh, tức chuỗi có dạng: f(x) f(0) x k! k 1 Các ví dụ: a) Khai triển f(x) = sinx thành chuỗi Mac-lo-ranh: tính (sinx)' = cosx; (sinx)" = - sinx; (sinx)(3) = - cosx; (sinx)(4) = sinx => (sinx)(2k-1) = (-1)k + 1cosx; (sinx)(2k) = (-1)k sinx có (sin0)(2k-1) = (-1)k + 1; (sin0)(2k) = 2k1 2k1 x x x x k1 x sinx (1)k1 (1) 1! 3! 5! (2k 1)! (2k 1)! k1 Chuỗi nhận hội tụ với x b) Khai triển f(x) = ex thành chuỗi Mac -lo-ranh Có (ex)(k) = ex với k, ta có: e x x x x x 1! ! 3! ! k x k! k 1 Chuỗi nhận hội tụ với x c) Khai triển f(x) = ln(1 + x) thành chuỗi Mac-lo-ranh ta có f (1) (x) 1 1.2 1.2.3 ( ) ( ) ( ) ; f (x) ; f (x) ; f (x) 1 x (1 x) (1 x) (1 x)4 => có f (k ) (x) (1)k 1 Kết ln(1 x) (k 1)! f (k ) (0) (1)k 1 (k 1)! ; với f(0) = ln(1 +x) = k (1 x) (1)k k 1 (k 1)! k x k! (1)k k 1 xk x x x x k Chuỗi nhận hội tụ với x ( 1, 1] Từ kết ta có được: ln 138 1 4 5.3 CHUỖI FOURIER 5.3.1 Chuỗi Fourier cho hàm số tuần hồn có chu kì 2π 5.3.1.1 Định nghĩa Với hàm ƒ(x) tuần hoàn chu kỳ 2π, khả tích đoạn [−π, π], chuỗi: a0 [an cos(nx ) bn sin( nx )] n 1 gọi chuỗi Fourier hàm f(x), đó: an f ( x ) cos( nx ) dx , n b f ( x )sin(nx ) dx, n n gọi hệ số Fourier ƒ Tổng phần chuỗi Fourier ƒ, kí hiệu ( SN )( x ) a0 N [an cos(nx ) bn sin(nx )], N n 1 xấp xỉ hàm số ƒ, xấp xỉ tốt dần lên N tiến vô hạn x x [0 , ] Ví dụ: Khai triển Fourier hàm f(x) , tuần hoàn chu kỳ 0 x ( , 0] ta có f ( x ) với: a0 [an cos(nx ) bn sin(nx )] n 1 a0 f ( x )dx xdx ; x.sin nx an f ( x ) cos nx.dx x.cos nx.dx n an => sin n x dx n 0 2 (1)n 1 => a2 k ; a2 k 1 n (2k 1)2 x cos nx bn f ( x )sin(nx ) dx x sin(nx ) dx n cos(nx ) dx n 139 (1) bn n (1)n1 => bn = n n 1 Vậy f ( x ) (1)n 1 n (1) 1 cos nx sin(nx ) n 1 n n 5.3.1.2 Các tính chất chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ a) Tính chất Chuỗi Fourier hàm tuần hồn f(x) hội tụ giá trị hàm f(x) điểm hàm liên tục hội tụ giá trị trung bình cộng giới hạn phải, giới hạn trái điểm hàm f(x) gián đoạn loại Như ví dụ trên, hàm f(x) gián đoạn điểm xk = (2k +1) Như Tại điểm liên tục f(x), chuỗi hội tụ giá trị hàm, chẳng hạn ta có f( ) = , nên: 2 điểm xk chuỗi Fourier nhận hội tụ giá trị n 1 (1) n f (1) 1 cos n sin n n n 1 n 2 hay k 1 (1)k 1 2k Áp dụng: Nhờ việc khai triển hàm thành chuỗi Fourier với tính chất ta tính tổng nhiều chuỗi số cách dễ dàng b) Tính chất 2: Nếu hàm f(x) hàm chẵn (tức f(x) = f(-x) với x) chuỗi Fourier có số hạng cosin (tức hệ số bn = với n) 2 Khi ta có a0 f ( x)dx ; an f ( x)cos(nx)dx 0 0 Nếu hàm f(x) hàm lẻ (tức f(x) = - f(-x) với x) chuỗi Fourier có số hạng sin (tức hệ số an = với n) Khi ta có bn f ( x) sin(nx)dx 0 Nhận xét: Từ tính chất trên, nhận thấy f(x) hàm chẵn ta có hệ số bn = 0; cịn f(x) hàm lẻ có an = với n Ví dụ Khai triển Fourier hàm f ( x ) x x ( , ] , tuần hoàn chu kỳ 2 Do f(x) hàm lẻ nên có an = với n Chuỗi Fourier f(x) có dạng: f (x) b n 1 140 n sin(nx ) với (1)n1 x cos nx bn x sin(nx ) dx x sin(nx ) dx cos(nx ) dx n n n Vậy f ( x ) 2 n 1 (1)n sin(nx ) n Ví dụ Khai triển Fourier hàm f ( x ) x x ( , ] , tuần hoàn chu kỳ 2 Do f(x) hàm chẵn nên có bn = với n Chuỗi Fourier f(x) có dạng: f (x) a0 a0 a cos(nx ) n 1 n 2 2 3 x dx x dx 0 3 2 x sin(nx ) an x cos(nx ) dx x sin(nx ) dx n n (1)n 4 x.cos(nx ) cos(nx ) dx n n n n2 2 (1)n Vậy f ( x ) 4 cos(nx ) n2 n 1 Nhận thấy hàm f(x) liên tục với x, chuỗi Fourier nhận hội tụ giá trị hàm điểm x Chẳng hạn: + x = , ta được: f () 2 2 (1)n 2 (1)2 n 4 c o s ( n ) 3 n2 n2 n 1 n 1 n 1 2 n2 141 + x = 0, ta được: f (0) 2 (1)n 4 cos(0) n2 n 1 n 1 (1)n 1 n2 2 12 5.3.2 Chuỗi Fourier cho hàm số tuần hồn có chu kì 5.3.2.1 Định nghĩa Với hàm ƒ(x) tuần hồn chu kỳ , khả tích đoạn [− , ], chuỗi: f(x) = a0 n n [a n cos x b n sin x ] n 1 gọi chuỗi Fourier hàm f(x), đó: an n n f ( x ) cos x dx, n bn f ( x )sin x dx, n Chú ý với hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ dùng phép đổi biến x t ta hàm f t tuần hồn với chu kỳ Do ta chuỗi Fourier: a f t n 1 với an , b f t sin(nt ) dt, n f t cos nt dt , n n thay biến: t với an n n an cos t bn sin t a x ta được: f ( x ) n 1 n n an cos x bn sin x n n f ( x ) cos x dx, n , bn f ( x )sin x dx, n 5.3.2.2 Tính chất Tương tự hàm tuần hoàn chu kỳ 2 + Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ hội tụ giá trị hàm điểm mà hàm liên tục hội tụ giá trị trung bình cộng giới hạn phải, trái điểm gián đoạn loại + Hàm f(x) tuần hoàn chu kỹ và: - hàm lẻ chuỗi có hàm sin, (tức an = n) nx bn f ( x) sin dx 0 142 - hàm chẵn chuỗi có hàm cos, (tức bn = n) 2 nx có a0 f ( x)dx ; an f ( x)cos dx 0 0 5.3.2.3 Các ví dụ Ví dụ Khai triển Fourier hàm f(x) = x3 x (-1, 1], tuần hoàn chu kỳ Ở ta có = hàm lẻ, chuỗi Fourier có dạng: f ( x) b n 1 n sin(nx) với 1 1 2 x3 bn f ( x) sin(nx)dx x sin(nx)dx cos(nx) x 2cos(nx)dx 10 n n 0 2.(1) n 1 x 12 2 sin(nx) 2 x sin(nx) dx n n n 0 2.(1) n 1 12 x cos(nx) 12 2.(1) n 1 12(1) n 3 cos(nx)dx n n n 3 n n 3 1 Vậy f ( x) 1 (1) n sin(nx) n 1 n n Đồ thị hàm y = f(x) với: f(x = x3 x (-1, 1] tuần hoàn chu kỳ T = Ví dụ x Khai triển Fourier hàm f ( x) x x [-1, 0] x 0,1 , tuần hoàn chu kỳ Ở ta có = hàm chẵn, chuỗi Fourier có dạng: f ( x) a0 a n 1 n cos(nx) 143 1 0 với a0 f ( x)dx ; an f ( x)cos nx dx => a0 x dx , 1 x an x.cos nx dx sin nx sin n x dx n 0 n 2 4 cos(nx) 2 (1) n 1 => a2k = 0; a2k-1 = 2 n n (2k 1) Vậy f ( x) 2 (2k 1) k 1 cos (2k 1)x Do hàm f(x) liên tục với x nên chuỗi nhận hội tụ giá trị hàm x Thay x = ta được: 0 2 2 , k 1 (2k 1) k 1 (2k 1) ta kết quả: tổng nghịch đảo bình phương số tự nhiên lẻ Do n 1 2 , nên n2 k 1 (2k)2 n 1 2 2 2 2 24 k 1 ( k 1) n2 Vậy: Tổng nghịch đảo bình phương số tự nhiên chẵn 2 24 Ví dụ (x 1)2 Khai triển Fourier hàm f ( x) x x (-1, 0] x 0,1 , tuần hồn chu kỳ Do f(x) khơng phải hàm chẵn hay lẻ , nên chuỗi Fourier hàm có dạng: f (x) a0 [an cos nx bn sin nx ] n 1 với an f ( x ) cos nx dx, n , bn f ( x )sin nx dx, n 1 1 1 Do vậy, có a0 f ( x ) dx 1 1 ( x 1)2 dx (1 x )dx 17 Với n > 0, có: a) an f ( x ) cos nx dx 1 144 1 ( x 1)2 cos nx dx (1 x ) cos nx dx Tính 0 2 I1 ( x 1) cos nx dx ( x 1) sin nx 2 ( x 1) cos nx 3 sin nx 1 n n n 1 1 1 => I1 2[ (1) n 1] n 2 Tính 1 1 (1)n 1 I ( x 1) cos nx dx ( x 1)sin nx 2 cos nx 2 n n n 0 => an I1 I (1) n n 2 b) bn f ( x )sin nx dx 1 1 ( x 1)2 sin nx dx (1 x )sin nx dx 0 2 có I3 ( x 1) sin nx dx ( x 1)2 cos nx 2 ( x 1)sin nx 3 cos nx 1 n n n 1 1 1 [(-1) n 1] 2[1 (1) n ] => I n n 3 1 1 ( x 1) cos nx 2 sin nx Tính I ( x 1)sin nx dx n n n 0 => bn I I [(-1) n 2] 2[1 (1) n ] n n 3 Vậy f (x) [(-1)n 2] 17 (1)n 2[1 (1)n ] cos n x sin nx 2 3 12 n 1 n n n 5.3.3 Chuỗi Fourier cho hàm khả tích [a, b] Như phần cho thấy, để khai triển thành chuỗi Fourier, hàm f(x) cần phải hàm tuần hồn khả tích đoạn chu kỳ Do vậy, để khai triển thành chuỗi Fourier cho hàm f(x) khả tích [a, b], ta đặt hàm F(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 F ( x) f ( x) x [a, b] Khi khai triển F(x) thành chuỗi Fourier Do tính chất hội tụ chuỗi Fourier, nên chuỗi nhận hội tụ giá trị hàm F ( x ) F ( x ) F(x) F(x) liên tục x [a, b] , hội tụ x gián đoạn loại F(x) Việc đặt hàm F(x) thỏa mãn điều kiện gọi thác triển f(x) thành F(x) 145 Chú ý rằng, với cách thác triển f(x) thành hàm F(x) khác nhau, ta nhận chuỗi khác nhau, chúng hội tụ giá trị hàm f(x) x [a, b] mà điểm x hàm f(x) liên tục x , x [0, 1] Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f ( x) , x [1, 2] Trong ví dụ này, ta đưa cách thác triển hàm f(x) thành F(x) a) Cách Thác triển hàm f(x) thành F(x) tuần hoàn với chu kỳ T = 1 , x [-2, 1] x , x [-1, 0] F ( x) x , x [0, 1] , x [1, 2] Như F(x) f(x) x [0, 2] , hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ T = hàm chẵn, có = chuỗi Fourier có dạng: a F ( x) nx an cos , với a0 f ( x)dx ; an n 1 2 Tính a0 f ( x)dx xdx dx 0 Tính an nx dx f ( x)cos 2 nx nx nx f ( x)cos dx x.cos dx cos dx 1 1 2x nx nx nx nx Có In x.cos sin dx sin dx 2 cos n 0 n n => I 2k 1 k 1 k 2 , I 2k 1 4 , k = 1, 2, 3, 2 (2k 1) 2 2.(1) k 1 nx nx dx sin Có J n cos => J = 0, J = , k = 1, 2, 3, 2k 2k-1 n (2k 1) Do an = In + Jn => a 2k 146 1 k 1 k 2 , a 2k 1 2 (1) k 1 (2k 1) (2k 1) , k = 1, 2, 3, Chuỗi nhận là: F ( x) 2 k (1) (2k 1) k 1 (2k 1) k (2k 1)x 1 cos cos k x 2 k Chú ý rằng, với cách thác triển trên, có F(x) liên tục x Do chuỗi nhận hội tụ giá trị f(x) với x [0, 2], chẳng hạn x =1 ta nhận được: 1 1 k 1 1 k 2 kết có k cos k k 1 1 k 2 k , dẫn đến: m 1 (2m 1) 2 m 1 (2m 1) b) Cách Thác triển hàm f(x) thành F(x) tuần hoàn với chu kỳ T = 1 , x (2, 1] F(x) x , x [ 1, 1] , x [1, 2] Như F(x) f(x) x [0, 2] , hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ T= hàm lẻ, có = chuỗi Fourier có dạng: nx F ( x) bn sin với bn n 1 nx dx f ( x) sin 147 Tính bn nx nx nx f ( x) sin dx x.sin dx sin dx 1 2 nx nx nx x cos 2 sin cos n 0 n n 1 = n sin cos n n n => a2 k 1 1 (1) k 1 a2 k (2k 1) (2k 1) 2 k Nhận chuỗi: (1) k 1 (2k 1)x sin sin k x 2 k k 1 (2k 1) (2k 1) F ( x) Với cách thác triển hàm F(x) trên, có hàm F(x) liên tục [0, 2) gián đoạn loại x = Do chuỗi nhận hội tụ hàm f(x) điểm F (2) F (2 ) x [0, 2) , x = chuỗi hội tụ Hàm F(x) liên tục x = 1, thay x =1 vào hai vế chuỗi trên, dẫn đến: 1 (1) k 1 (1) k 1 2 (2k 1) k 1 (2k 1) Do có kết => k 1 (2k 1) (1) k 1 k 1 (2k 1) (2k 1) k 1 (1) k 1 k 1 (2k 1) Nhận xét: + Việc thác triển hàm f(x) liên tục [a, b] thành hàm F(x) tuần hoàn với chu kỳ T (sao cho T > (b -a)) nhằm thay hàm f(x) chuỗi lượng giác ưa dùng giải toán biên học Trong trình thực hiện, việc thác triển thành hàm F(x) hàm chẵn hay hàm lẻ tùy thuộc vào yêu cầu toán, nói chung thường thác triển thành hàm F(x) hàm chẵn, đảm bảo tính liên tục F(x) nút a b, dẫn đến chuỗi nhận hội tụ f(x) x [a, b] + Nghiên cứu sâu chuỗi Fourier cho nhận xét: so với chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier hội tụ chậm hơn, tức chuỗi cần số số hạng nhiều chuỗi lũy thừa để đạt sai số nhỏ Chẳng hạn, với chuỗi lũy thừa cần đến số hạng chuỗi Fourier cần đến 12 15 số hạng 148 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Hãy chứng minh tính hội tụ phân kỳ chuỗi sau dựa vào tiêu chuẩn so sánh 1 2) 1) 3) n n n n 1 n n 1 (n 2) 4) 7) 2n 1 ln n n n 1 5) nln n 8) sin 6) 2n 5n n Bài Hãy xác định tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi sau: ln n 3n 4n n 2) 3) 4) 5) n n 2 n n 5n n2 Bài Sử dụng tiêu chuẩn tích phân để xác định chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ: 1) n cos n n 3) 4) n n 1 e n 1 n n 1 n n 1 n Bài Sử dụng tiêu chuẩn tỉ số để xác định tính chất chuỗi sau: n2 nn n! (n !) 1) n 2) n 3) n 4) n 2 (2n)! 1) n 5) 2) 22 n (2n 1)! 6) 23 n 3 7) 2n 5) ln n n 1 n (2n 2)! 3n ( n !) Bài Sử dụng tính hội tụ tuyệt đối định nghĩa hội tụ chuỗi, xét hội tụ hay phân kỳ chuỗi số: sin n sin(n 1) n n 1 1) sin( n 1) n n 1 2) Bài Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ? 1) 11 3) (2n 1)2 n 1 (n 1)! 2n n 1 2 23 2) 52 53 n 1 4) n 1 5) n 1 (2n 1)n 6) sin n 1 2n 7) n.tan n 1 n 1 149 1.3.5 (2n 1) 8) 2n n ! n 1 1 n 11) n 1 n 9) 12) n2 ( n 1) n n 1 3n.n n 2n 2n 10) n 1 5n n n 1 ln n n 1 13) n sin 2 n 1 n n Bài Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa sau: 1) (1) n 1 n 1 2) n 1 2n 4) ( x 2) n n 1 n 2n n x n 1 2n 7) ( x 3) n n n 1 xn n 16 20 3) x x10 x15 x 5) (nx)n 6) ( x 1) n n n 1 9) n 1 n 8) (5 x) n n! n 1 xn n n 1 n Bài Khai triển thành chuỗi Maclaurin hàm số sau tìm miền hội tụ: x2 2) f x sin 3x 3) f x e x 4) f x x 1 x2 Bài Khai triển thành chuỗi Tay-lo hàm số sau tìm miền hội tụ: 1) f(x) = lnx x0 = 1; 2) f(x) = cos 2x x0 = 1) f x 3) f(x) = tanx x0 = Bài 10 Khai triển hàm số f(x) sau thành chuỗi Fourier có cosin hội tụ f(x) x miền xác định cho: 1) f ( x) x với miền xác định [1, 2] x 2) f(x) = e với miền xác định [0, 1] Bài 11 Khai triển hàm số f(x) sau thành chuỗi Fourier có sin hội tụ f(x) x miền xác định cho: 1) f(x) = x - với miền xác định [1, 2] 2) f(x) = x2 với miền xác định [1, 2] 3) f(x) = x2 - 4x + với miền xác định [1, 3] Bài 12 Khai triển hàm số f(x) sau thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ T hội tụ f(x) x miền xác định cho: 1) f(x) = (x -1)2 + với miền xác định [-2, 1] 2) f(x) = x + với miền xác định [-1, 2] 150 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí nhiều tác giả (2001) Toán cao cấp tập I, II, III NXB ĐH THCN Vũ Khắc Bảy (2013) Giáo trình Tốn cao cấp NXB Nơng nghiệp Vũ Khắc Bảy (2013) Giáo trình Đại số tuyến tính Hình giải tích NXB Nơng nghiệp G.N.Phichtengon (1997) Cơ sở giải tích tốn học Tập I, II III NXB Giáo dục 151 GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Chịu trách nhiệm xuất Giám đốc - Tổng biên tập TS LÊ LÂN Biên tập sửa in CAO THỊ THANH HUYỀN Trình bày, bìa NGUYỄN THỊ ÁNH TUYẾT NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP 167/6 Phương Mai - Đống Đa - Hà Nội ĐT: (024) 38523887, (024) 38521940 - Fax: 024.35760748 Website: http://www.nxbnongnghiep.com.vn E-mail: nxbnn1@gmail.com CHI NHÁNH NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP 58 Nguyễn Bỉnh Khiêm - Q.I - Tp Hồ Chí Minh ĐT: (028) 38299521, 38297157 - Fax: (028) 39101036 In 200 khổ 1927cm Xưởng in NXB Nông nghiệp Địa chỉ: Số 6, ngõ 167 Phương Mai, Đống Đa, Hà Nội Đăng ký KHXB số 999-2018/CXBIPH/6-79/NN ngày 26/3/2018 Quyết định XB số: 27/QĐ-NXBNN ngày 30/7/2018 ISBN: 978-604-60-2742-3 In xong nộp lưu chiểu quý III/2018 152 ... 160 320 800 -6350 30 40 900 1600 60 80 120 0 -3900 30 40 64 900 1600 24 0 320 120 0 -3950 25 25 25 625 625 125 125 625 -300 25 25 81 625 625 22 5 22 5 625 -24 0 1,5 25 25 2, 25 625 625 37,5 37,5 625 -450... xt yt 1 x1 y1 t1 x 12 y 12 t 12 x1y1 x1t1 y1t1 U1 x2 y2 t2 x 22 y 22 t 22 x2y2 x2t2 y2t2 U2 n xn yn tn xn2 yn2 tn2 xnyn xntn yntn Un x1 y1 x2 y2 xn yn x1t1 x2t2 xntn Điểm Mi Cột... 2, 25 625 625 37,5 37,5 625 -450 32 25 25 1 024 625 160 125 800 1300 18 25 25 324 625 90 125 450 -1600 25 42 25 625 1764 125 21 0 1050 -5900 25 25 625 64 125 40 20 0 24 00 Ma trận B = FT.F C = FT.U