Hiện nay ngành Giáo dục và Đào tạo đang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính sáng tạo, chủ động của học sinh trong hoạt động học tập (Phương pháp dạy học tích cực)[r]
(1)S¸ng kiÕn kinh nghiƯm
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN
I PHẦN MỞ ĐẦU
(2)phát minh" (G.Pôlya) Mun vy ngi giáo viên phải tạo môi trờng
thun li cho ngời học thực hoạt động với t cách chủ thể hoạt động Tiêu chí giảng dạy giáo viên là: Hãy làm dễ đi, đừng làm khó
Một số tốn giải ta cần tính tốn theo thứ tự từ cuối lên Ta tìm số cha biết cách thực liên tiếp phép tính ngợc với phép tính cho toán Khi giải toán theo phơng pháp này, ta thờng phải suy luận ngợc từ tình huống, kết cuối cùng; tính ngợc từ cuối (hoặc từ dới lên) q trình tính tốn Khi đó, kết phép tính (phép suy luận) trở thành phần biết phép tính liền sau đó, tiếp tục nh tìm đợc số phải tìm; với số toỏn chứng minh hỡnh học ta cú cỏch làm tương tự
Trên sở thực tiễn nh đầu t suy nghĩ tiết lên lớp mình, đặc biệt tiết luyện tập cố gắng l m tìm mộtà giải pháp đắn, phơng pháp hay lời giải ngắn gọn, hớng để từ đú học sinh tự tìm lời giải (mà khơng mang tính áp đặt) thực việc làm không dễ vấn đề đổi phương phỏp dạy học giáo viên Trong khn khổ viết tơi xin trình bày số ví dụ việc tìm hớng giải số toán cấp THCS ph-ơng pháp phân tích lên để giúp học sinh tự tìm sơ đồ chứng minh tự biết trình bày lời giải toán theo sơ đồ
II NỘI DUNG Mơc tiªu:
- Học sinh nắm phương phỏp giải toán phơng pháp phân tích lên Từ có khả vận dụng chúng vào hoạt động giải toán
- Làm cho học sinh thấy đợc cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, phải suy luận hợp lơ gíc v chớnh xỏc
- Phát triển lực suy luận, chứng minh toán học, kỹ trình bày lời giải toán
BiƯn ph¸p thùc hiƯn
Để tìm lời giải cho toán giáo viên phải hớng dẫn học sinh làm theo bớc sau:
Bớc Tìm hiểu nội dung tốn (Đọc, tìm hiểu đề bài, hiểu đợc kiện đề bài)
(3)+ Để chứng minh câu (kết luận) ta thờng sử dụng phơng pháp ? Sau giỏo viờn hớng cho học sinh loại trừ phơng pháp khơng phù hợp
KL
C¸ch A Cách B Cách C
(Loại) (Lo¹i)
B1
B2
B3
GT
+ áp dụng phơng pháp chứng minh câu ta phải chứng minh điều kiện ?
+ Muốn chứng minh điều kiện ta cần có điều kiện ? nh
Bằng hệ thống câu hỏi nh giáo viên hình thành đợc suy nghĩ học sinh đờng từ cỏi chưa biết đến cỏi biết, cuối giáo viên yêu cầu học sinh tự thiết lập sơ đồ chứng minh giải toán sau trình bày lời giải
Bớc Thực chơng trình giải.
Bíc 4: KiĨm tra lêi gi¶i.
Sau số ví dụ hớng dẫn học sinh giải số toán phơng pháp phân tích lên:
* Mt s bi toỏn số học, đại số. Ví dụ 1: Tính - +
1 1+
2+1
2
(4)a
c b
c ' b '
A
B C
Cách giải: - +
1 1+
2+1
2
= - +
1 1+
5
= - +
1
5 =
5 1
+ (-2) = −79
(Với tốn tầng dài cách làm thuận tiện tính tốn so với cách sử dụng dấu ngoặc)
VÝ dô 2: TÝnh x, biÕt:
x=
1 4+
1 13
Hỏi: Để tìm x ta thực phép tính trớc ? (Công hai phân số không mẫu vế phải)
Hi: Để cộng hai phân số không mẫu ta làm ? Sau tính xong vế phải ta sử dụng kiến thức để tìm x ? (sử dụng tính chất tỉ lệ thức) Cỏch giải x= 4+
13 x= 13 52+ 52
1x=17
52 x = 52 17 = 3
1 17
* Một số toán chøng minh. VÝ dô 1:
Chøng minh hÖ thøc b2 = ab', h2 = b’c’ trong bµi: "Mét sè hƯ thøc vỊ
cạnh đờng cao tam giác vuông" Sách giáo khoa toán tập
- Giáo viên: vẽ hình trang 64 bảng giới thiệu kí hiệu hình vẽ
- HS: vẽ hình vào h
GV hướng dẫn điều cần chøng minh: §ể chøng minh
đẳng thức b2 = ab' ta cần chøng minh ? H
HS: Ta chøng minh AC2 = BC.HC H×nh
GV hỏi tiếp để chứng minh AC2 = BC.HC ta dựng kiến thức ? chng
(5)Tóm lại cách phân tích đeồ chứng minh b2 = ab' nh sau:
b2 = ab' AC2 = BC.HC ⇐
AC HC
BC = AC ⇐ Δ AHC Δ BAC
- GV: Haõy chøng minh AHC BAC suy hƯ thøc cÇn chøng minh
Chứng minh: Xét hai tam giác vuông AHC BAC Hai tam giác vuông có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với Do
AC HC BC = AC
suy AC2 = BC.HC
, tøc lµb2 = a.b' => điều phải chứng minh.
T¬ng tù nh vËy chøng minh hƯ thøc h2 = b’c’
GV híng dÉn phân tích từ kÕt luËn lên cho häc sinh tìm hướng chøng minh
PT: Để chøng minh h2 = b’c’ ⇔ AH2 = HB.HC ⇐
AH CH
BH =AH ⇐ Δ
AHB Δ CHA
Trình b c¸chchøng minh phương pháp tổng hợp sau:
Chøng minh:
Ta có ∆ AHB ∆ CHA BAH^=^ACH (Cùng phụ với góc
ABH)
Do CHAH=HB
HA => AH2 = HB.HC hay h2 = bc=> điều phải chứng
minh
VÝ dô 2: Bài 34 trang 80 SGK toán tập 2
Cho đờng tròn (O) điểm M nằm bên ngồi đờng trịn Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB Chứng minh MT2 = MA MB
GV yêu cầu HS c , lên bảng vẽ hình, viết giả thiết, kết luận toán GT: M (O), tip tuyến MT, cát tuyến MAB KL: MT2 = MA MB
GV: Muèn chøng minh MT2 = MA.MB ta làm nh th no ? HÃy phân
tích tìm sơ đồ chứng minh?
Hỏi: Đẳng thức MT2 = MA.MB đợc suy từ tỉ lệ thức nào? Để viết đợc tỉ
lệ thức ta cần chứng minh hai tam giác đồng dạng ? HS nêu: MT2 = MA MB B
S
S
S
(6)
MT MB
MA MT A
TAM TBM (g.g) T
M
GV: Dựa vào sơ đồ chứng minh TAM TBM
rồi suy ®iỊu ph¶i chøng minh
Chøng minh
Xét hai tam giác BMT TMA Ta có: ^M chung,
^ABT = ^ATM (cùng chắn cung nhỏ AT).
Vậy ∆ BMT ∆ TMA Suy MTMA=MB MT
hay MT2 = MA MB
VÝ dơ 3: To¸n tËp B Cho hình vẽ bên
Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng I D GV: Bài toán yêu cầu ta chứng minh điều ?
HS: Chng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng A K C GV: Để chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng ta phải làm ? (GV gợi ý học sinh không trả lời đợc) B
HS: BDA^+ ^ADC = 1800 hay BDC^ = 1800
GV: Ta cã thĨ tÝnh gãc BDC nh thÕ nµo ?
A K C Bằng câu hỏi tơng tự nh Xuất phát từ mệnh đề cần chứng minh ta phân tích lập luận nh sau:
Ba điểm B, C, D thẳng hàng BDC^ = 1800 <= BDA^ + CDA^ = 1800
<=
B ^A
1+ ^¿ ¿ ¿
^
BDA=1800−¿ ¿
<= {^A^1= ^B
A2=^C <= {
∆ DABc © n
∆ DAC c â n <= D thuộc đờng
trung trùc cña AB, AC
GV: Hãy chứng minh hai tam giác DAB DAC cân từ suy điều cần chứng minh
Chứng minh
Điểm D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AB nờn DA = DB =>
∆ DABc © n
=> ^A
(7)Điểm D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AC nờn DA = DC =>
∆ DAC c © n
=> ^A
2= ^C , CDA^ = 1800 - ^A2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy BDA^ + CDA^ = 3600 - 2( ^A
1+ ^A2 ) = 3600 - 2.900
= 1800
Hay BDC^ = 1800 Vậy ba điểm B, D, C thẳng hµng.
VÝ dơ 4:
Cho đờng tròn (O) điểm A cố định nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AP, AQ với đờng tròn (O); P Q tiếp điểm Đờng thẳng vng góc với OP O cắt AQ M
Chứng minh: MO = MA
Sau học sinh nghiên cứu đề vẽ hình ghi GT – KL giáo viên đa câu hỏi sau:
? Chng minh hai đoạn thẳng MA = MB ta dùng phơng pháp ? - Sau học sinh phát biểu, nêu phơng pháp giáo viên hớng cho học sinh theo híng tam giác c©n
? Cần có điều kiện để chứng minh AMO cõn ? (A1 = Ô1)
P A
M
Q
? Chứng minh Â1 = Ô1 dựa vào đơn vị kiến thức nào? Những đơn vị kiến
thức đề cho cha ? câu hỏi nh giáo viên hình thành đợc suy nghĩ học sinh hớng để giải toán Cuối giáo viên yêu cầu học sinh tự lập sơ đồ chứng minh
MA = MO AMO cân
Â1 = Ô1
O
(8)¢1 = ¢2 Â2 = Ô1 AP; AQ tiếp tuyÕn (gt) AP // OM
AP OP; OM OP AP lµ tiÕp tuyÕn GT
VÝ dô 5:
Cho nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Trên nửa đờng tròn lấy điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lợt C D Chứng minh: CD = AC + BD
* GT: M nửa đờng trịn (O) đờng kính AB
TiÕp tuyÕn Ax, By, CD KL: CD = AC + BD
C
M
D
A B
GV: Hãy nêu hớng chứng minh CD= AC + BD ? Gợi ý học sinh không trả lời đợc (CD tổng hai đoạn thẳng nào?)
HS: CM + MD = CD
GV: Tìm mối quan hệ đoạn th¼ng AC, Cm, MB, BD ?
* Từ câu hỏi gợi ý học sinh phát hớng chứng minh GV: Yêu cầu học sinh lập sơ đồ trớc chứng minh
CD = CM + MD
CD = Cm + MD vµ CM = CA ; MD = BD
(9)(1) Chøng minh: CM = CA DM = BD
(2) Từ CD = CM + MD biến đổi CD = CA + BD
* Một điều đặc biệt lu ý để học sinh định hớng phơng pháp chứng minh phù hợp ta cần cho học sinh khai thác kỹ giả thiết kết luận toán
III KÕT LUËN
Phơng pháp phân tích lên phần nhỏ phơng pháp dạy học mơn tốn Để giảng dạy thành cơng giáo viên cần kết hợp nhiều phơng pháp khác cho phù hợp với đối tợng mà dạy nhng đảm bảo mục tiêu chung phát huy tính tích cực học sinh Khi giảng dạy tốn, đặc biệt chứng minh hình học, việc vạch cho học sinh thấy đờng lối suy luận, phân tích để học sinh nhớ dàn ý học quan trọng
Tuy nhiên dạy tập tốn nói chung khơng phải cung cấp đờng lối giải, chứng minh cho học sinh xong mà cần ý số điều sau đây:
a Hớng dẫn học sinh phân tích đề để học sinh phân biệt rõ giả thiết, kết luận áp dụng kiến thức để giải
b Khi giảng cần khắc sâu kiến thức, khắc sâu phơng pháp, cho học sinh thấy dạng khác vấn đề
c Quan t©m tíi viƯc cung cÊp vèn suy luËn cho häc sinh:
+ Tập cho học sinh thói quen tự đặt câu hỏi “ Phải chứng minh ?”, “Muốn phải chứng minh nh ?”
+ TËp cho häc sinh thãi quen kiĨm tra kÕt qu¶ + Phân tích sai lầm học sinh lời gi¶i
+ Trong tiết học, nên có nhiều dạng câu hỏi để học sinh đỡ nhàm chán cuối chứng minh học sinh phải đạt đợc yêu cầu sau đây:
- Lêi giải sai lầm;
- Lp lun phải có xác, chặt chẽ - Lời giải phải đầy đủ;
(10)vậy tơi thờng dùng phơng pháp phân tích tiến hành tìm lời giải sau trình bày lời giải phơng pháp tổng hợp
Trên viết xuất phát từ kinh nghiệm giảng dạy thân Nội dung viết chắn nhiều hạn chế khiếm khuyết nhng phơng pháp giảng dạy cần thiết mơn tốn Rất mong đồng nghiệp lãnh đạo cấp góp ý, bổ sung để tơi ngày hoàn thiện kỹ kết hợp phơng pháp dạy học đáp ứng đợc phơng pháp dạy học tích cực Tơi xin chân thành cảm ơn !
Cêng lỵi, ngày 28 tháng năm 2011 Xác nhận cña BGH Ngêi viÕt
Hiệu trưởng