đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau.[r]
(1)wWw.VipLam.Info TTBDVH KHAI TRÍ
ĐỀ SỚ 10
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
2 x y
x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.
2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho A B đối xứng qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3=
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
sin
2 os
sin cos 2.tan
x
c x
x x x .
2 Giải hệ phương trình: 2 2
2
1
x y x y
x y x y
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:
cos
0
(e x s inx).sin x dx
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp hình trụ có bán kính đáy r; góc BC’ trục hình trụ 300; đáy ABC tam giác cân đỉnh B có ABC1200. Gọi E, F, K trung điểm BC, A’C AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c =
3 4
Chứng minh rằng: 3
1 1
3
3 3
a b b c c a Câu VI: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) đường thẳng : x – y + = Viết phương trình đường trịn qua M cắt điểm A, B phân biệt cho MAB vng M có diện tích
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2
1 1
x y z
mặt phẳng
(P) : ax + by + cz – = (a2 b2 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua
đường thẳng d tạo với trục Oy, Oz góc Câu VII: (1,0 điểm)
Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z 3i 1, tìm giá trị nhỏ z
(2)wWw.VipLam.Info
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MƠN: TỐN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I-1 (1 điểm)
TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên:
6
' x D
( 1)
y x
Hs đồng biến khoảng ( ; 1) ( 1; ), hs khơng có cực trị
0,25
Giới hạn: xlim y 2, limx 1 y , limx 1 y
=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 0,25 BBT
x - -1 + y’ + +
y
+ 2 -
0,25
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành điểm 2;0, trục tung điểm (0;-4) Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
I-2
(1 điểm) Đường thẳng d cần tìm vng góc với
: x + 2y +3= nên có phương trình y = 2x +m 0,25
D cắt (C) điểm A, B phân biệt
2
x
x m x
có nghiệm phân biệt
2
2x mx m
có nghiệm phân biệt khác - 1 m2 8m 32 (1)
(3)wWw.VipLam.Info
Gọi I trung điểm AB có
2
2
2
A B I
I I
x x m
x
m
y x m
Do AB vng góc với nên A, B đối xứng qua đường thẳng : x + 2y +3= 0
4
I m
0,25
m = - thỏa mãn (1) đường thẳng d có phương trình y = 2x - 0,25
II-1 (1 điểm)
§iỊu kiƯn: sinx0, cosx0,sinxcosx0 0,25
Pt cho trở thành cosx
√2 sinx+
2sinxcosx
sinx+cosx −2 cosx=0
⇔cosx √2 sinx−
2cos2x
sinx+cosx=0
⇔cosx(sin(x+π
4)−sin 2x)=0
0,25
+) cosx=0⇔x=π
2+kπ , k∈Z
+)
sin 2x=sin(x+π
4)⇔ 2x=x+π
4+m2π
¿
2x=π − x −π
4+n2π
¿
x=π
4+m2π
¿
x=π
4+
n2π
3
¿
m, n∈Z
¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
⇔x=π
4+
t2π
3 , t∈Z
0,25
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm pt lµ
x=π
2+kπ ; x=
π
4+
t2π
3 , k ,t∈Z 0,25
II-2
(1 điểm) Điều kiện: x+y
0, x-y0
Đặt:
u x y v x y
ta có hệ:
(4)wWw.VipLam.Info
2 2
2 ( )
2
3
2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
0,25
2
2 (1)
( ) 2
3 (2)
u v uv
u v uv
uv
Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 (3 )
uv uv uv uv uv uv uv .
0,25
Kết hợp (1) ta có:
0
4,
4
uv
u v
u v
(vì u>v) Từ ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm hệ là: (x; y)=(2; 2)
0,25
III (1 điểm)
2 2
cos cos
0 0
(e x s inx).sin x dx 2 e x.cos sin x x dx s inx.sin x dx
0,25
2 cos
0
.cos sin
x
I e x x dx
Đặt t = cosx có I =
1
1
0
.t t t
t e dt t e e dt
0,25
2 2
0
0
1 1
sinx.sin (cos os3 ) (sinx sin )
2 3
K x dx x c x dx x
0,25
2 cos
0
2
( sinx).sin
3
x
e x dx
0,25
IV
(1 điểm) Từ giả thiết suy
' 300 BC C
BA = BC = r
' cot 30
CC BC r
(5)wWw.VipLam.Info ' EF EF EC '
1 1 .AA'.1
.sin120
8 32
A K C K F K A ABC
r
V V V V BA BC 0,25
Gọi H trung điểm AC ta có FH // AA’ suy FH(ABC)
r HKHB HE
Gọi J trung điểm KF, mp (FKH) đường trung trực FK cắt FH I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
0,25
2 2
FK FH KH r
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE 2
2 3
FJ FK FK r r
R FI
FH FH r
0,25
V (1 điểm)
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho ba số dương ta có
z y x z y x xyz xyz z y x ) z y x ( 3 (*)
áp dụng (*) ta có 3 3 a 3b b 3c c 3a
9 a c c b b a P 0,25
áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho ba số dương ta có
3
a 3b 1
a 3b 1.1 a 3b
3
b 3c 1
b 3c 1.1 b 3c
3
c 3a 1
c 3a 1.1 c 3a
3 0,25
Suy
3a 3b b 3c 3c 3a 4 a b c 6
3
134.346 3
0,25
Do P3; Dấu = xảy
3
a b c 4 a b c
4 a 3b b 3c c 3a
0,25 VI.-1
(1 điểm) Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có
phương trình (x a )2(y b )2 R2
MAB vuông M nên AB đường kính suy qua I đó:
a - b + = (1)
(6)wWw.VipLam.Info
Hạ MH AB có ( , )
2 1 2
M
MH d
1
2 2
2
MAB
S MH AB R R
0,25
Vì đường trịn qua M nên (2 a)2(1 b)2 2 (2)
Ta có hệ 2
1 (1)
(2 ) (1 ) (2)
a b
a b
0,25
Giải hệ a = 1; b = Vậy (C) có phương trình (x1)2(y 2)2 2 0,25
VI -2 (1 điểm)
Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP u(1, 1, 1)
(P) có VTPT n a b c( , , )
( ) 0
d P n v a b c a b c
0,25
( ,( )) ( , ( )) os( , ) os( , )
0
b c
Oy P Oz P c j n c k n b c
b c
0,25 Nếu b = c = a = suy ( )P1 : 2x + y + z - = (loại M( )P1 0,25 Nếu b = - c = - a = suy ( )P2 : y - z - = (thỏa mãn)
Vậy (P) có phương trình y - z - = 0,25
VII (1 điểm)
Đặt z = x + iy ta có
2
3 ( 3)
z i x y 0,25
Từ x2(y 3)2 1 ta có (y 3)2 1 2 y 0,25
Do z x2y2 2 2 0,25