DE 12 TOAN CO DAP ON THI DH 2012

đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau.[r]

wWw.VipLam.Info

TTBDVH KHAI TRÍ

ĐỀ SỚ 10

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011 Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số

2 x y

x  



1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.

2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho A B đối xứng qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3=

Câu II: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình:

sin

2 os

sin cos 2.tan

x

c x

x x  x  .

2 Giải hệ phương trình: 2 2

2

1

x y x y

x y x y

     



     



Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:

cos

0

(e x s inx).sin x dx 





Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp hình trụ có bán kính đáy r; góc BC’ trục hình trụ 300; đáy ABC tam giác cân đỉnh B có ABC1200. Gọi E, F, K trung điểm BC, A’C AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE

Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c =

3 4

Chứng minh rằng: 3

1 1

3

3 3

a b b c  c a  Câu VI: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) đường thẳng  : x – y + = Viết phương trình đường trịn qua M cắt  điểm A, B phân biệt cho MAB vng M có diện tích

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

2

1 1

x y z  

  mặt phẳng

(P) : ax + by + cz – = (a2 b2 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua

đường thẳng d tạo với trục Oy, Oz góc Câu VII: (1,0 điểm)

Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z 3i 1, tìm giá trị nhỏ z

wWw.VipLam.Info

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011

ĐỀ THI MƠN: TỐN

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

I-1 (1 điểm)

TXĐ: D = R\{-1}

Chiều biến thiên:

6

' x D

( 1)

y x

    

Hs đồng biến khoảng (  ; 1) ( 1; ), hs khơng có cực trị

0,25

Giới hạn: xlim y 2, limx 1 y , limx 1 y

   

   

=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 0,25 BBT

x - -1 + y’ + +

y

+ 2 -

0,25

+ Đồ thị (C):

Đồ thị cắt trục hoành điểm



2;0



, trục tung điểm (0;-4) Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng

0,25

I-2

(1 điểm) Đường thẳng d cần tìm vng góc với

: x + 2y +3= nên có phương trình y = 2x +m 0,25

D cắt (C) điểm A, B phân biệt

2

x

x m x



  

 có nghiệm phân biệt

2

2x mx m

     có nghiệm phân biệt khác - 1 m2 8m 32 (1)

wWw.VipLam.Info

Gọi I trung điểm AB có

2

2

2

A B I

I I

x x m

x

m

y x m

  

  

 

    



Do AB vng góc với  nên A, B đối xứng qua đường thẳng : x + 2y +3= 0

4

I m

    

0,25

m = - thỏa mãn (1) đường thẳng d có phương trình y = 2x - 0,25

II-1 (1 điểm)

§iỊu kiƯn: sinx0, cosx0,sinxcosx0 0,25

Pt cho trở thành cosx

√

2 sinx+

2sinxcosx

sinx+cosx −2 cosx=0

⇔cosx

√

2 sinx−

2cos2x

sinx+cosx=0

⇔cosx

(

sin(x+π

4)−sin 2x

)

=0

0,25

+) cosx=0⇔x=π

2+kπ , k∈Z

+)

sin 2x=sin(x+π

4)⇔ 2x=x+π

4+m2π

¿

2x=π − x −π

4+n2π

¿

x=π

4+m2π

¿

x=π

4+

n2π

3

¿

m, n∈Z

¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

⇔x=π

4+

t2π

3 , t∈Z

0,25

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm pt lµ

x=π

2+kπ ; x=

π

4+

t2π

3 , k ,t∈Z 0,25

II-2

(1 điểm) Điều kiện: x+y

0, x-y0

Đặt:

u x y v x y

  

  

 ta có hệ:

wWw.VipLam.Info

2 2

2 ( )

2

3

2

u v u v u v uv

u v u v

uv uv

       

 



     

   

 

 

0,25

2

2 (1)

( ) 2

3 (2)

u v uv

u v uv

uv

    

    

  

 Thế (1) vào (2) ta có:

2

8 9 (3 )

uv uv  uv   uv uv   uv  uv .

0,25

Kết hợp (1) ta có:

0

4,

4

uv

u v

u v

 

   

 

 (vì u>v) Từ ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)

KL: Vậy nghiệm hệ là: (x; y)=(2; 2)

0,25

III (1 điểm)

2 2

cos cos

0 0

(

e

x

s inx).sin

x dx

2

e

x

.cos sin

x

x dx

s inx.sin

x dx

  













0,25

2 cos

0

.cos sin

x

I e x x dx







Đặt t = cosx có I =

1

1

0

.t t t

t e dt t e  e dt





0,25

2 2

0

0

1 1

sinx.sin (cos os3 ) (sinx sin )

2 3

K x dx x c x dx x

  









    0,25

2 cos

0

2

( sinx).sin

3

x

e x dx



   



0,25

IV

(1 điểm) Từ giả thiết suy

 ' 300 BC C

BA = BC = r

' cot 30

CC BC r

wWw.VipLam.Info

' EF EF EC '

1 1 .AA'.1

.sin120

8 32

A K C K F K A ABC

r

V V V  V  BA BC  0,25

Gọi H trung điểm AC ta có FH // AA’ suy FH(ABC)

r HKHB HE 

Gọi J trung điểm KF, mp (FKH) đường trung trực FK cắt FH I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE

0,25

2 2

FK FH KH r

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE 2

2 3

FJ FK FK r r

R FI

FH FH r

    

0,25

V (1 điểm)

Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho ba số dương ta có

z y x z y x xyz xyz z y x ) z y x ( 3                   (*)

áp dụng (*) ta có 3 3 a 3b b 3c c 3a

9 a c c b b a P             0,25

áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho ba số dương ta có

























3

a 3b 1

a 3b 1.1 a 3b

3

b 3c 1

b 3c 1.1 b 3c

3

c 3a 1

c 3a 1.1 c 3a

3                         0,25

Suy





3a 3b b 3c 3c 3a 4 a b c 6

3

           134.346 3

  0,25

Do P3; Dấu = xảy

3

a b c 4 a b c

4 a 3b b 3c c 3a

                   0,25 VI.-1

(1 điểm) Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có

phương trình (x a )2(y b )2 R2

MAB vuông M nên AB đường kính suy  qua I đó:

a - b + = (1)

wWw.VipLam.Info

Hạ MH AB có ( , )

2 1 2

M

MH d 

 

  

1

2 2

2

MAB

S  MH AB  R  R

0,25

Vì đường trịn qua M nên (2 a)2(1 b)2 2 (2)

Ta có hệ 2

1 (1)

(2 ) (1 ) (2)

a b

a b

   



    

0,25

Giải hệ a = 1; b = Vậy (C) có phương trình (x1)2(y 2)2 2 0,25

VI -2 (1 điểm)

Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP u(1, 1, 1) 



(P) có VTPT n a b c( , , )



( ) 0

d  P  n v   a b c    a b c 

0,25

 

( ,( )) ( , ( )) os( , ) os( , )

0

b c

Oy P Oz P c j n c k n b c

b c

  

      

  

   

0,25 Nếu b = c = a = suy ( )P1 : 2x + y + z - = (loại M( )P1 0,25 Nếu b = - c = - a = suy ( )P2 : y - z - = (thỏa mãn)

Vậy (P) có phương trình y - z - = 0,25

VII (1 điểm)

Đặt z = x + iy ta có

2

3 ( 3)

z i   x  y  0,25

Từ x2(y 3)2 1 ta có (y 3)2  1 2 y 0,25

Do z  x2y2  2 2 0,25