TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S... Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ MN.[r]
(1)Tr−êng THPT Tr−êng THPT Tr−êng THPT
Tr−êng THPT triƯu s¬n 4triƯu s¬n 4triƯu s¬n triƯu sơn
Tổ Toán - tin
khảo sát chất l−ợng thi đại học, cao đẳng lần Nm hc: 2011-2012
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát )
Phần chung CHO TấT Cả CáC THí SINH (7 điểm)
Câu I: (2 im) Cho hàm s
f
( )
x
=
x
3−
3
(
m
+
1
)
x
2+
3
m
(
m
+
2
)
x
−
2
+
m
(1) (m lµ tham sè)1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=−2
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số (1) tới trục Ox khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số (1) tới trục Oy
C©u II: (2 điểm)
1 Giải phơng trình:
(cos
x
+
sin
x
)
3=
3
cos
x
+
sin
x
Giải hệ phơng trình:
= − +
− = −
1
1 17
16 2
y x xy
y y
x
C©u III: (2 điểm)
1 Giải bất phơng trình: 2x2+8x+ +6 x2 1 2x+2
2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy
ABCD
hình vng cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy góc60 Mặt phẳng (P) chứa AB tạo với mặt đáy góc 300 cắt SC, SD lần l−ợt M N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
C©u IV: (1 im)
Cho số thực dơng x,y,z thoả mÃn: (x+y)(y+z)(z+x)=8 HÃy tìm giá trị lớn
biểu thức P= xy+yz+zx
Phần RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh đợc làm hai phần A phầnB Phần A
Câu Va: (3 im)
1 Giải phơng trình:
2
2x22x+3+
2
=
2
x2+x+1+
2
x2−3x+32 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 5, lập đ−ợc số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác phải có mặt chữ số 3?
3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm đ−ờng thẳng d: x+7y−31=0, điểm N(7;7) thuộc đ−ờng thẳng AC, điểm M(2;−3) thuộc ng thng AB
Phần B
Câu Vb: (3 im)
1 Giải phơng trình:
log
3xx
2+
log
9x3
x
2=
2
log
3x
2 Tìm hệ số số hạng chứa
x
5trong khai triển nhị thức Niu-tơn(
2
+
x)
n, biết: + + + + 2n−1 = (2)3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đ−ờng cao kẻ từ A đ−ờng phân giác góc B lần l−ợt có ph−ơng trình là: x−2y−2=0 x−y−1=0 Tìm toạ độ đỉnh tam giácABC, biết M(0;2) thuộc đ−ờng thẳng AB AB=2BC
-HÕt -
Thí sinh không đ−ợc sử dụng tài liệu, cán coi thi khơng đ−ợc giải thích thêm đáp án đề thi khảo sát chất l−ợng đại học, cao đẳng ln
Năm học 2011-2012 Môn thi : Toán
Câu Nội dung Điểm
1) TXĐ: R 2) Sự biến thiên: a) Giới hạn vô cực: Ta có =
→ y
xlim , xlim→+∞y=+∞
0,25 b) Bảng biến thiên: Ta có y'=3x2+6x=3x x
(
+2)
x=0 hc x= −2+
x
'
y y
2
−
−∞ +∞
0
−
0
0
0
+
4
−
+∞ −∞
+
x
'
y y
2
−
−∞ +∞
0
−
0
0
0
+
4
−
+∞ −∞
Hàm số đồng biến (-∞;-2) (0;+∞),àm số nghịch biến (−2; 0)
Hàm số đạt cực đại x=-2 với giá trị cực đại y(-2)=0 đạt cực tiểu x=0 với giá trị cực tiểu y(0)=-4
0,25
C©u I.1 (1 điểm)
3) Đồ thị:
+) Đồ thị cắt trục tung (0;-4), giao với trục hoành (-2;0) (1;0) +) Đồ thị nhận điểm uốn I(-1;-2) làm tâm đối xứng
O x
y
I
1
−
2
−
3
−
4
−
1
−
O x
y
I
1
−
2
−
3
−
4
−
1
−
0,5
(
1
)
3
(
2
)
6
3
,
=
+
+
+
+
⇒
y
x
m
x
m
m
; y, =0⇔ x=m hc x=m+2Hàm số có cực trị với m Hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là:
(
; +3 + −2)
m m m m
A ,
(
+2; +3 + −6)
m m m m
B ; A điểm cực đại, B điểm cực tiu
0,5
Câu I.2 (1 điểm)
Ta cã
(
;)
= +3 + −2m m m Ox A
(3)Theo gi¶ thiÕt ta cã: = = − = − = ⇔ + = − + + 1 2 3 m m m m m m m m
Ta cã
pt
⇔
(cos
x
+
sin
x
)
3=
cos
x
+
sin
x
+
2
cos
x
[
x x]
xx
x sin )(cos sin ) 2cos
(cos + + − =
⇔ ) sin sin (cos cos cos cos sin ) sin
(cos + = ⇔ + − =
⇔ x x x x x x x x x
0,5 C©u II.1 (1 ®iĨm) ) sin (cos
cos2 − =
⇔ x x x
+ = + = ⇔ = = ⇔
π
π
π
π
k x k x x x tan cos(k) 0,5
Dễ thấy y=0 nghiệm phơng trình Chia vế pt cho
y , c¶ hai vÕ pt cho y ta đợc:
= + + = − + ⇔ = + + = + ) ( 17 ) ( 17
16 2
y x y x y x y x y x y x y x
Đặt (*) = = + v y x u y x
Hệ cho trở thành (**) 17 = + = − v u v u 0,5 Câu II.2 (1 điểm)
Gi¶i hƯ (**) ta đợc
= = v u hc = − = v u Víi = = v u
ta đợc
= = = = ⇔ = − = − / 1 y x y x y x y xy Víi = − = v u ta ®−ỵc = − = + y x y xy (v« nghiƯm)
Vậy hệ cho có hai nghiệm
( )
x;y =(1;1)( )
x;y =(1/4;1/4)
0,5
§iỊu kiÖn: x x ≤ − ≥ 0.25
Biến đổi t−ơng đ−ơng bất ph−ơng trình:
(
)(
) (
)(
) (
)
2 x+1 x+ +3 x−1 x+ ≤1 x+1
Nhận thấy với x bất phơng trình vô nghiệm 0.25
CâuIII.1 (1 điểm)
(4)NhËn thÊy
(
)
(
)
(
) (
)
2 2
2 2
1
x
x x
x
+ ≥
⇒ + + − ≥ >
− ≥
Do bất ph−ơng trình khơng có nghiệm x≥1 Kết luận: bất ph−ơng trình vơ nghim
0.25
Gọi H ,K lần lợt trung điểm AB CD I giao ®iĨm cđa SK vµ MN
0
60
= ∠
⇒ SHK ,
30
=
∠IHK
Ta cã ⇒ ⇒
⊂
CD AB MN CD
AB P AB
// // //
) (
tứ giác ABMN hình thang cân Tính SABMN, ta có IH đờng cao
Vỡ tam giác SKH tam giác cạnh a nên
2
a IH =
0,5
CâuIII.2 (1 điểm)
Ta có
2
a AB MN = =
2
8 3
3 ) ( )
(
a a
a a IH
MN AB
SABMN = + = + =
⇒
V× SI
(
ABMN)
SI đờng cao khối chóp S.ABMN2
a SK SI = = VËy
16
8 3
3
1
a a a
S SI
VSABMN = ABMN = =
H K
I N
M
A
B D
C
S 0,5
Câu IV (1 điểm)
Đặt a=x+ y+x
Ta có
(
ax)(
ay)(
ax)
=83 ( ) 2( ) 8
a a xy yz zx a x y x xyz
⇔ + + + − + + − =
x y x
xyz P
+ +
+ =
⇒
Ta cã
3 ) )( )( ( ) ( ) ( ) (
1 3
= + + + ≥
+ + + + + = +
+y z x y y z z x x y y z z x
x (1)
Vµ
2
2 =
+ + + ≤
= xy yz zx x y y z z x
xyz (2)
1
= + ≤
⇒
(5)Câu Va.1
(1 điểm) 3 3
2 2
2
2
.
2
2
2
.
2
x − x+ x +x+
=
x +x+
x − x+(
2 1) (
22 1)
2 3 − = −
⇔ x − x+ x +x x +x
(
)
= = ⇔ = − − ⇔ + + − + + − 2 2 ) 2 ( 2 2 3 3 x x x x x x x x = − = = = ⇔ = + = + − ⇔ , , 0 2 x x x x x x x xVËy tËp nghiƯm cđa pt lµ S =
{
−1;0;1;2}
0,5
0,5
Câu Va.2
(1 điểm)
Lp s tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác từ số cho Gọi số cần lập abcd (a≠0)
Ta cã 3.4.A42 =144 sè
Lập số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác khơng có mặt chữ số Gọi số cần lập abcd (a≠0)
Ta cã 2.3.A32 =36 sè
VËy cã 144-36=108 sè
0,5
0,5
C©u Va.3
(1 điểm) Đờng thẳng AB có pt a(x2)+b(y+3)=0 ( 0)
2
2 + ≠
b
a
Do
45
=
∠ABC nªn ta cã:
− = = ⇔ = − − ⇔ + + = = b a b a ab b a b a b a 4 12 12 50 45 cos
1 2
2
*Víi 3a=4b chän a=4, b=3, ta có pt AB: 4x+3y+1=0
Vì AC AB nên pt cua AC lµ: 3x-4y+7=0
Toạ độ A nghiệm hpt: ( 1;1) 3 − ⇔ = + − = + + A y x y x Toạ độ B nghiệm hpt: ( 4;5)
0 31 − ⇔ = + + = − + B y x y x Toạ độ C nghiệm hpt: (3;4)
0 31 7 C y x y x ⇔ = − + = + − *Víi 4a=-3b chän a=3, b=-4, ta cã pt AB: 3x-4y-18=0 V× AC⊥ AB nên pt AC là: 4x-3y-49=0
To A nghiệm hpt: (10;3) 18 49 A y x y x ⇔ = − − = − +
Toạ độ B nghiệm hpt: B A B y x y x ≡ ⇒ ⇔ = − − = − + ) ; 10 ( 18 31 (vơ lý)
VËy, A(-1:1), B(-4:5) vµ C(3;4)
0,25
0,25
0,25
(6)d A
C N M
B
C©u Vb.1 (1 điểm)
Điều kiện
9 , ,
0 ≠ ≠
> x x
x x
x x x
x
Pt 3
3 3
3
log log
2 log log
log
= +
+ + +
Đặt t =log3x, ta ®−ỵc 2
2 1
2 = ⇔ + − − =
+ + +
+ t t t t t
t t
t
( )
(
)
= = ⇔
± − = = ⇔ = + + −
⇔ − ±
2 2
3
2
1
x x t
t t
t
t
VËy tËp nghiƯm cđa pt lµ
= − ±2
2
3 ;
S
0,5
0,5
C©u Vb.2 (1 ®iĨm)
Ta cã
(
1
+
x
)
2n=
n n nn
n C x C x C
C20 + 12 + 22 + + 22
Thay x=-1 ta đợc + + + −1 =
2
2
n n n
n C C
C C20n +C22n+ +C22nn = A
Thay x=1 ta đợc
C20n +C21n + +C22nn =22n ⇒2A=22n ⇔524288=22n−1 ⇔n=10
Theo công thức Niu tơn ta có: k k
k k
x
C
x
−=
∑
=
+
1010
0 10 10
2
)
2
(
VËy hƯ sè cđa sè h¹ng chøa
x lµ C105 25
0,5
0,5
Câu Vb.3 (1 điểm)
Gi N l điểm đối xứng M qua phân giác góc B
Suy pt cđa MN lµ x+y-2=0 Gäi I giao điểm BD MN
Suy toạ độ I nghiệm hpt: ) (3; 1)
1 ; (
0
−
⇒
⇔
= − −
= − +
N A
y x
y x
Vì N thuộc BC BC AH ⇒ pt BC: 2x+y-5=0
Toạ độ B nghiệm hpt: (2;1)
1
B y
x y x
⇔
= − −
= − +
Ta cã pt AB: x-2y+4=0
Suy toạ độ A nghiệm hpt: ) ; ( 2
0
A y
x y x
⇔
= − −
= − +
0,25
0,25
(7)V× BK =BC⇒CK ⊥BDsuy pt CK: 13
= − +y
x
D
N I M
H C K
B
A
Suy toạ độ C nghiệm hpt: ) ; (
0 13
C y
x y x
⇔
= − +
= − +
VËy )
2 ; ( ), ; ( ), ;
( B C
A
0,25