TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC vµ thÓ tich h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp S.ABC C©u V.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.[r]
(1)Trờng THPT đông sơn i đề thi thử đại học lần i năm học 2012 – 2013 m«n to¸n (Thêi gian lµm bµi 180 phót ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) C©u I (2,0 ®iÓm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số: y=x − x2 m |x − x| BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x = C©u II (2,0 ®iÓm) Giải bÊt phương trình: Giải phương trình: ( √ x+3 − √ x −1)(1+ √ x +2 x −3) ≥ (1+sin x) π =(1+ tan x) √ 2sin ( − x) cos x Câu III (1,0 điểm) Tìm tất các giá trị m để hàm số y = √ | log x +2 x+2 x +2 mx+1 | xác định ∀ x ∈ R Câu IV (1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC là tam giác có AB = 9; AC = 12 BC = 15 C¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp b»ng vµ b»ng 10 TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC vµ thÓ tich h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp S.ABC C©u V (1,0 ®iÓm) Cho a, b,c dương và a2 +b 2+ c 2=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3 b2 b3 c2 c3 a2 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)Thí sinh làm hai c©u (VIa VIb) Câu VIa (3,0 điểm) 1a.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cỏc đường thẳng d1 : 3x y 0 ; d : 5x y 0 A 2;5 Viết phương trình đường tròn có tâm I d và tiếp xúc với d1 điểm 2a Giải hệ phương trình: { x =0 1− y x (1 − y )+ y +1=0 2x − 21 − y +log 3a Một tổ học sinh có em Nữ và em Nam đợc xếp thành hàng dọc Tính xác suất để không có hai em Nữ nào đứng cạnh Câu VIb (2,0 điểm) 1b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C) : x2 + y2 - 6x - 2y + = Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M (0;2) và cắt (C) theo dây cung có độ dài x+1 ¿3 n 2b.T×m hÖ sè cña x 13 khai triÓn Niu t¬n ®a thøc víi n lµ sè tù nhiªn tháa m·n: 3b Giải hệ phương trình : + x + x ¿3 ¿ f ( x )=¿ n −2 A n +C n =14 n x −3 xy+ x + y =1 − y ¿3 −1 ¿ ¿ ¿{ log √ √ x +1=log ¿ Hä vµ tªn thÝ sinh : ; Sè b¸o danh: - (2) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm C©u C©u 1) y = x3 - 3x2 * Tập xác định : D = R I * Sù biÕn thiªn : §¸p ¸n §iÓm 0.25 lim y lim y x Giíi h¹n: x ChiÒu biÕn thiªn : y, = 3x2 - 6x = 3x(x -2) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - ; 0) và (2; + ), nghịch biến trên kho¶ng (0;2) - Đồ thị có điểm cực đại (0;0), điểm cực tiểu (2; -4) Bảng biến thiên đúng * §å thÞ : y'' = 6x - = ⇔ x = §iÓm uèn U(1;-2) §å thÞ ®i qua c¸c ®iÓm (-1;4), (3; 0) vµ nhËn ®iÓm U(1;-2) làm tâm đối xứng vẽ đúng đồ thị 2) +) x = m |x − x| điểm đồ thị y = x 0, x 3 x x 3x m x x 3x Sè nghiÖm cña pt b»ng sè giao ( x 0 và x 3) với đồ thị y = m x x x hoac x x x x x 3x x +) Ta có y = +) bảng biến thiờn vẽ đồ thị hàm số , ta cã KQ: m < m > thì pt có nghiệm m = pt vô nghiệm < m < pt có nghiệm m = pt có nghiệm C©u 1.(1®) II x x x 2x-3 4 Giải bpt: Điều kiện x 1 Nhân hai vế bpt với x x , ta (1) x 2x-3 4 x x x 2x-3 x x 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x -2 x 2x-2 x 2x-3 2x+2 x 2x-3 x - 0 x 2 Kết hợp với điều kiện x 1 ta x 2 0,25 2(1®) 0.25 Giải pt: sin x 4 sin 2x 1 tan x cos x 0,25 (3) π Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ; k ∈ R Ta có (1) 0,25 cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 1 0 cos x sin x cos 2x 1 0 cos x sin x 0 cos 2x 0 tan x cos 2x 1 0,25 x m , m x m Dễ thấy họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện π x=− + kπ ; x =kπ ; k ∈ Z 3x x 3x2 x x R log 2 0 1 x R x 2mx x 2mx KQ: C©u III Hµm số xác định (*) m x 2mx 3 x x x Vì 3x2 + 2x + > x , nên (*) ¿ ' x 2(1 m) x 0 Δ ≤0 Δ' ≤ x 2(m 1) x 0 , x R ⇔ −1<m<1 m ¿{{ ¿ Giải ta có với : - m thì hàm số xác định với x R 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 C©u +) Ta thÊy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A IV +) Gọi H là chân đờng cao hình chóp, ta c/m đợc: HA = HB = HC = R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy H là trung điểm cạnh BC nên h=SH=√ SA − HB❑ = √ 175 Tính đợc diện tích đáy S = 54 suy 0,25 V = √ 175 +) Tính đợc diện tích hình chóp là: S=312+9 √319+15 √ 175 Suy b¸n kÝnh hingf cÇu néi tiÕp lµ r= V =108 √175 S 312+9 √ 319+15 √ 175 108 √175 ¿3 312+9 319+ 15 175 √ √ +) ThÓ tÝch h×nh cÇu néi tiÕp lµ V = π r =¿ π¿ C©u V a3 Ta có: b2 a 3a 3 16 64 (1) b2 b2 0,25 a3 b3 c2 c3 0,25 b3 c2 c2 c 3c 3 16 64 (2) a2 c 3c 3 16 64 (3) a2 a2 a b2 c P a b2 c2 16 Lấy (1)+(2)+(3) ta được: (4) 3 P P giá trị nhỏ a=b=c=1 Vì a2+b2+c2=3 Từ (4) c3 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) 1a.(1®) C©u Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d1 điểm A nên IA d1 VIa Vậy phương trình IA là: 0,25 x y 0 x y 19 0 0,25 5 x y 0 x 1 I 1;7 I d x y 19 y Kết hợp nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ Bán kính đường tròn R IA 13 0,25 0,25 Vậy phương trình đường tròn là: x 1 2 y 13 0,25 x 2a.(1®) §K: − y >0 TH1: x > vµ y < (1) ta cã: 2x −21 − y =log2 (1 − y )− log x suy x = - y, thay vào (2) ta đợc: x −5 x +6=0 ⇒ x=2 ; x=3 TH2: x <0 vµ y > Tõ (2) ta cã x(1-y) = -1 - 5y > suy y <− (lo¹i) KQ: nghiÖm x = 2; y = - vµ x = 3, y = - 3a.(1®) +) Kh«ng gian mÈu: P 13 = 13 ! c¸ch xÕp hµng däc +) Sè c¸ch xÕp b¹n Nam lµ : P = ! c¸ch xÕp +) Sè c¸ch xÕp b¹n N÷: A 59= 9! 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4! ! ! 14 = ! 13! 143 +) KQ : P = C©u 1b ( C ) cã t©m I ( 3:1) , b¸n kÝnh R = VIb PT ( d) Ax + By - 2B = ( ( A2 + B2 >0) |3 A − B| =√ §K: d ( I ,d )=√ hay 2 0,25 A=− , A=2 B=1 −1 x+ y − 2=0 0,25 √ A +B Gi¶i ta cã KQ (d) : { 2b +) Tõ A 3n +C nn −2=14 n tìm đợc n = 3n +) x+1 ¿ + x + x ¿3 ¿ f ( x )=¿ +) KQ : a13= = 0,25 0,25 x + y −2=0 ; suy n2 − n− 25=0 0,25 0,25 0,25 x +1 ¿3 n+ ¿ 64 13 13 C 64 21 3b Giải hệ phương trình: hay = x +1 ¿21 ¿ 64 a13=C 13 21 0,25 0,25 0,25 (5) Đk − √ 2< y < √ ⇔ ⇔ (3 x −1)(2 x+1 − y )=0 x −3 xy+ x + y =1 Hệ 2 x2 + y 2=1 x + y =1 ¿{ ¿{ ¿ x= 2 x + y =1 ¿ ¿ ¿ y=2 x+ ⇔ ¿ x 2+ y =1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 Nghiệm hệ là ( ; √ ) ; ( ; − √ ) ; (− ; − ) ; (0;1) 3 3 0,25 0,25 (6)