Xác suất cơ sở qua các ví dụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH THỊ KIM PHƯỢNG XÁC SUẤT CƠ SỞ QUA CÁC VÍ DỤ Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ng i hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Gia Định Đà Nẵng – Năm 2014 LỜI M ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác T n Hu nh Th Kim Ph ng LỤ M U MỞ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên c u Đối t Ph ng ph m vi nghiên c u ng pháp nghiên c ngh a khoa h c th c tiễn c a đề tài ấu trúc luận văn ƯƠNG 1: K T QU 1.1 PHÂN PH I ỨC Ừ 1.4 BIẾN NGẪU NHI I G S S P P TH ĐỘ LẬP ÀI TOÁN LÁ PHIẾU 12 ĐI I C VÀ HÌNH H O SU T HÀM SINH MOM J NH LÝ B KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌ I 1.6 B T C U 1.2 XÁ SU T ĐI U KI N C I VÀ HÀM NG TH BYS LU T S L N VÀ HÀM SINH XÁ TR NG 25 VÀ MARKOV B T NH LÝ DE MOIVR -LAPLA NG TH 35 1.7 QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH 42 K T QU LI N TỤC 47 CHƯƠNG 2: 2.1 PHÂN PH I U HÀM M T ĐỘ XÁ SUẤT BIẾN NGẪU NHI ĐỘ LẬP 47 2.2 KỲ VỌNG, KỲ VỌ HÀM ĐI PHÂN PHỐI Q ÀM SINH TR NG 56 2.3 PHÂN PH I HU N S T I I HỘI TỤ ỦA BIẾN NGẪU NHI VÀ NH LÝ GI I H N TRUNG TÂM THAM 78 T ĐỊNH GI O ĐỀ T I LUẬN ĂN (BẢN AO) U MỞ L Khoa học nghiên c u xác suất m t phát triển th i k cận đại Việc ch i c b c gambling có t tr g ta thấy r ng ý ni m v xác suất c ây hàng nghìn n m nhiên ý ni m ó c mơ t b i to n h c s d ng th c tế có mu n h n nhiều Ảnh h ng c a lý thuy t xác suất cu c s ng h ng ngày ó vi c xác nh r i ro bn bán hàng hóa hính ph c ng áp d ng ph i u ti t môi tr ng pháp xác suất ng hay g i phân tích đường lối Lý thuy t trị ch i c ng d a n n t ng xác su t M t ng d ng khác xác c y Nhi u s n ph m tiêu dùng nh xe h i cậ y thi t k s n ph m nh tin i n t s d ng lý thuy t tin gi m thi u xác su t h ng hóc Xác su t h h ng c ng g n li n v i s b o hành c a s n ph m Hai nhà to n h c Pierre de F mat Blaise Pascal nh ng ng tiên i u t n n móng cho h c thuy t v xác su t vào n m 1654 C Huygens 1657 n nh ng xác su t thành m t v n i n u tiên có cơng vi c a nghiên c u khoa h c Ngày lý thuy t xác su t tr thành m t ngành vô quan tr ng c a to n h c ngành khoa h c khác ùng v i s phát tri n c a lí thuy t xác su t th ng kê to n h c ngu n t v n su t ã có nh ng b ib t th c ti n d a nh ng thành t u c a lý thuy t xác c ti n nhanh v i s óng góp c a nhà to n h c nh Fran is Galton, Karl Pearson, Ronald Fish , Von Neuman Th ng kê to n h c có ng d ng hi u qu nhi u l nh v c nh vậ t lý hóa h c c h c sinh vậ t y h c d báo, khí t h c xã h i h c ng th y vă n vô n i nt ngơn ng ó thể nói xác suất thống kê đóng vai trị quan trọng h u h t m i l nh v c c a th gi i hi n tr n s c kh e môi tr bi t xác su t c s i t khoa h c công ngh n kinh t ng v.v Vì th lý thuy t xác su t th ng kê c nh ng ki n th c c b n không th thi u t t c ngành Hi n xác su t c s thông trung h c tr c a vào gi ng d y tr ng trung c p ca ng i h c n ng ph c c ng nh th gi i V i s phát tri n c a khoa h c công ngh h to n v n xác su t th ng kê ngày tr nên d dàng m t ã có s li u úng n mơ hình h p lý Th nh ng b n thân máy tính khơng bi t mơ hình h p lý ph i hi u ngày máy tính giúp c y v n c a ng i s d ng: c n c b n ch t c a khái ni m mơ hình xác su t th ng kê m i có th dùng c chúng Xu t phát t nhu c u phát tri n tính th i s c a vi c nghiên c u xác su t c s quy t nh ch n tài v i tên g i Xác suất sở qua n hành nghiên c u húng tơi hy v ng t ví dụ nh ng ng i mu n tìm hi u v k t qu r i r c liên t c c a lý thuy t xác su t v i ng d ng chúng nhi u l nh v c khác M M c tiêu c a tài nh m giúp ng nh ng khái ni m ph có th áp d ng i c hi u úng b n ch t c a ng pháp c b n nh t c a xác su t c s c chúng i sâu tìm hi u c ph qua ó ng pháp thích h p ch nh ng tình hu ng c th Đố ượ it ứ ng nghiên c u c a vi nghiên c u c a tài lý thuy t xác su t th ng kê Ph m tài xác su t c s ng d ng ươ : Thu thập báo khoa học tài liệu tác gi nghiên c u liên quan n Xác su t s vấn đề quan trọng lý thuyết xác suất thống kê Tham gia bu i seminar th y h ng d n tra ng nghiên c u Tra n gia v ng d ng c a lý thuy t xác suất thống kê T ng quan k t qu c a tác gi ã nghiên c u liên quan n xác suất c s ng d ng th c t qua ví d minh h a nh m xây d ng m t tài li u tham kh o cho nh ng mu n nghiên c u v Lý thuy t xác suất ứng d ng ng minh chi ti t làm rõ m t s m nh ví d minh ho nh m làm cho ng i c ng nh a m t s c d dàng ti p cận vấn đề đ c c p ă N i dung c a lu n v n c chia thành ch ng ng gi i thi u khái ni m k t qu v xác suất c s liên quan n ph n r i r c nh : phân ph i u cơng th c tính xác suất m t s ki n khái ni m v bi n ng u nhiên tham s c tr ng phân ph i nh th c Poisson, hình h c c a bi n r i r c d ng hàm c a bi n ng u nhiên bất ng th c hebyshev Marko , Jensen nh lý D Moi Laplace trình nhánh ng trình bày khái ni m k t qu v xác suất c s liên quan n ph n liên t c nh : phân ph i hàm sinh hàm tham s c tr ng u hàm m t phân ph i xác suất c tr ng khái ni m v bi n ng u nhiên tính c l p phân ph i chu n m r ng cho nhi u bi n Trong m i ph n s a vào ví d minh h a v i m c khác ƯƠNG I ẠC K T QU khái niệm kết ch ng có th tìm thấy tài liệu [2] [3] [4] [ ] [7] 1.1 PH PH I ĐỀU Trong ph n s d ng mơ hình xác suất n gi n Định nghĩa 1.1.1 Phân phối Uniform distribution Có m kết đồng khả xảy thường gọi kết kết có xác suất 1/m Mỗi kết gọi biến cố sơ cấp hay kiện sơ cấp Một tập hợp A gồm k kết xảy ra, với k ≤ m gọi biến cố (hay kiện) xác suất ℙ(A) tính k/m: ℙ( ) = Số kết xảy kiện A (1.1) Tổng s k t xảy ng có xác suất b ng khơng t p g m tất tr x y có xác suất b ng S trơng có v ng h p n gi n nh ng th c t vi c tính to n s k t qu x y c a m t s ki n nh t nh ho t ng s k t n qu V dụ 1.1.1 Gi s m t gia ình có Khi ó xác suất gia ình ó có trai gái Lời giải: C ng ta có th l p mơ hình xác suất v i s ki n thành ph n: trai trai gái trai gái gái Th nh ng s ki n thành ph n ó khơng cân b ng v i b i không kết luận đ c r ng xác suất trai gái 1/4 Để có khơng gian xác suất v i phân b u ta có th l p mơ hình xác suất v i s ki n thành ph n m = nh sau TTT TTG TGT TGG GTT GTG GGT GGG ng hạn GGT ngh a th gái th hai gái, th ba trai) S ki n “2 trai m t gái” h p c a s ki n thành ph n mơ hình xác su t này: TTG, TGT,GTT (t ng ng k = 3) Nh xác suất b ng 3/8 11 B n tơi ch i trị ch i tung m t c m t i m, n u m t sấp bạn đ m t ng a ng xu: n u c m t i m Ban ng xu r i u, t s s khơng Tính xác suất mà : (1) Sau 2n l n ném i m s c a b ng nhau; (2) Sau 2n +1 l n ném s i m c a nhi u h n c a b n ba Lời giải: (1) Tất chu i NNN…N, SNN…N, …, SSS…S hình thành b i 2n ch N ho c S (v i N (Ng a), S (Sấp)) T ng s k t qu x y m = , m i k t qu có xác suất 1/2 Ta c n tìm s k t qu có s l c a k t qu ó (2 )!/ ! ! (s cách ng N b ng S S k l a ch n v trí cho n ch N 2n v trí có s n trình t ) Xác su t c n tìm (2 )!/ ! ! × (2) M i k t qu m t chu i có Xác su t s dài + 1, có i m c a nhi u h n c a b n ba b ng: (2 + 1)!/( + 2)! ( − 1)! × t ng s k t qu T ĐIỀ Ệ ĐỊNH L B P P THỬ ĐỘ LẬP Xác su t c a m t s ki n có th ph thu c vào nhi u y u t , i u ki n khác ch m t cách c th h n v vi c xác su t c a m t s ki n A ó ph thu c vào m t i u ki n B ó sao, ng ni m xác su t i u ki n Đi u ki n B “có B” i ta a khái c hi u m t s ki n, t c s ki n Đị ĩ 12 Xác su t điều kiện Với hai kiện A B với ℙ( ) > 0, xác suất điều kiện ℙ( | ) A B xảy định nghĩa : ℙ( | ) = T 1.2 ℙ( ∩ ) ℙ( ) (1.2) ng th c tích sau ây ℙ( ∩ ) = ℙ( | ) ℙ( ) Tấ nhi n, ta c ng có th coi B s ki n A i u ki n n u ℙ( ) > ó ta có ℙ( ∩ ) = ℙ( | ) ℙ( ) Hai s ki n A B c g i xung kh c n u G i A tập h p tất biến c ∩ = ∅ W tập tất biến cố s cấp xảy ℙ xác suất A Khi b ba (W, A, ℙ) c g i m t không gian xác suất đề Công thức xác suất đầy đủ Mệ Nếu B1, …, Bn phân hoạch W, tức có Bi ∩ Bj = ∅ với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = W, ℙ(Bi) > cho ≤ i ≤ n, với kiện A, ta có : ℙ( ) = ℙ( | * ) + ℙ( | )ℙ ( ) + ⋯ + ℙ( | )ℙ ( 1.4 ) ng minh ℙ( ) = ℙ( ∩ 12 = )ℙ ( v i1 i )= ℙ( ∩ ) ℙ( ) = ℙ( ) ℙ ( | ) ℙ ( ) n B1, …, Bn xung kh c t ng ôi m t Bi ∩ Bj j n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = W nh g i h y bi n c Mệ đề 2 Định lý Bayes Nếu B1, …, Bn phân hoạch W, tức có Bi ∩ Bj = ∅ với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = W, A kiện ngẫu nhiên, với ℙ( ) > 0, xác su t điều kiện : ℙ ( | ) ℙ ( ) ℙ( | ) = ℙ C ng th c 1.5 | (1.5) ℙ ng th c Bayes ng minh : B ng cách ng d ng tr c ti p xác suất y nh ngh a công th c ta c ℙ( | ) = 12 ℙ ( ∩ ) ℙ ( | ) ℙ ( ) = = ℙ( ) ℙ( ) C n bình k ch a k -1 bi màu ℙ ( | ) ℙ ( ) ℙ | ℙ ng bi hình th c bên ngo i gi ng bình th n - k bi màu xanh k = n ng u nhiên n m t bình h ó mà khơng c n thay th Tìm xác su t hai bi b nha Lời giải : T ng s bi màu xanh màu G i Bk : s ki n bình k kh c t ng B1 ong tr B2 tất bình c ch n k = ··· ng h p bi màu ng b ng n s ki n Bk xung Bn = W A s ki n bi màu xanh Ta có ℙ( ) = ℙ( ) = ⋯ = ℙ( p d ng công th c xác su t ℙ ℙ ℙ − − − − )= − − ℙ y − − − − − − − − − − − − 64 | ( ) ( )| ≤ ( ) = =1 2.2.2 M t s tính ch t hàm sinh moment M đặc trưng ( ) ( ) = Nếu Y = cX + b ( ) hàm ( ) Giá trị trung bình X, phương sai Var X xác định đạo hàm = ( ) = ( )+ = − ( ) ( )≡ = (2.45) ( ) ( )− = Hàm t = 0: ( ) ( ) (2.46) ( ) xác định hàm mật độ fX (x): ( ) ( ) ( )= Đối với BNN độc lập X Y ( )≡ ( ) Hàm đặc trưng số phân phối : ế ( )= , ế − = ( )= ) ế G , ) ( )= 1− = i (2.47) (2.48) ( )= ế − i ( − ) −i (2.49) (2.50) ~ ế ( , ) ( )= 2.2 | | , (2.51) n ph i C gi ng có hàm sinh moment ấ q ( ) giả s r ng N n không âm v i hàm sinh xác suất ng chu i i ( ( )) ng t r ng Z = X1 + X2 + · · · + Xn có hàm sinh moment S ti n yêu c u b i th ng kích th n c a m t công ty b o hi m t o thành m t chu i phân ph i gi ng ( ) = m t cl pv i ≥ S l , phân ph i Poisson v i tham s ng c l p có chung hàm n m t n m nh có ng t hàm sinh moment t ng s ti n T u n i n m ( )= /( Suy lu n r ng T có k v ng ) với < ph ng sai ( ) Lời giải : Hàm sinh moment ( )= = = ℙ( theo yêu c u ng t T ó X1 ℙ( ( )= = iv iT: ( ) = Xn bi u di n cho kích th ( > 0) )= Bây gi = ) ⋯ = = + ( ) + , c c a u ki n v i hàm mật c l p N s l ng u n i v i / ! hàm sinh xác suất N moment Xi ( )= ( ) hàm sinh ( ) = 1/(1 − ) Thì hàm sinh moment T ( ) = exp 1− −1 = exp 1− , theo yêu c u = i 2.3 PH (0) = , PH I CHU N S , Var (0) = + = H I TỤ C A = N NG U NHI N V PH I ĐỊNH L GI I HẠN T UNG T PH Phân ph i chu n ho phân ph i Ga s g m t vai trò c b n tr ấ T ậ ấ ấ đ đ Ở Định nghĩa 2.3.1 M t bi n ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn (hoặc phân phối Gauss) với hai tham số µ σ2, kí hiệu X ~ N(µ, σ2), hàm mật độ có dạng : ( )= µ C σ ( ) (2.52) ~ (0, 1) , 2.3.1 , ∈ℝ , ∈ℝ m V dụ 2.3.1 − − 2(1 − ậ ) ( −2 r r Lời giải : ấ ủ đ + ), ℙ( < ) = n bên ∫ ( , T − 1− − 2(1 − ( , ) b ng − ) − − ) − mà ch rõ s phân b c a X ℙ ngh a X N ng t nh Y N D đ = ( , 1− ) − 2(1 − ) − − T D đ C M 2.3.1 M t s tính ch t phân ph i chuẩn BNN X có phân ph i chuẩn N( , : - Hàm phân ph i xác su t : − ∈ℝ 53) - Hàm sinh moment hàm đặc trưng : ( )= = ( )= (2.54) , , ∈ℝ = (2.55) - Kỳ vọng phương sai X : = , = Hai BNN X Y phân phối chuẩn độc lập ( , )= ( , ) = , Tổng X + Y hai BNN phân phối chuẩn X ~ N( , ~ N( ) với +2 phương sai + N( , ~ N( , + ( , )= + phân phối chuẩn, với kỳ vọng BNN u tiên ~ (∑ ,∑ ) c ánh dấu định lý giới hạn trung nh lý D Moi Laplace c a t i m c nh lý gi i h n trung tâm c m r ng chung cho tr c l p phân ph i gi ng nh lý sau ây ã nh to n h c Nga AM Lyapuno M ) Nói chung, cho BNN độc lập X1, X2, …, Xi n phối chu n xuất đ + Đặc biệt, X, Y độc lập, X + Y ~ ), tổ hợp tuyến tính ∑ tâm ác phiên ) Y 1857 ng h p c ch ng minh 2.3.2 Định lý giới hạn trung tâm chuỗi BNN độc lập phân phối Giả sử X1, X2, … chuỗi BNN độc lập phân phối giống nhau, với trung bình hữu hạn Xj = a phương sai Var Xj =s2 Nếu Sn = X1 + · · · + Xn, với Sn = na, Var Sn = ns2 ∀ y ∈ ℝ : lim ℙ → T ng th c t − Var h i t ph < = ( ) ng trình 2.57 (2.57) ng y lim sup ∈ℝ → M < Var ( ) = − c ch ng minh d a hàm Mệnh đề 2.3.2 đ d ng k t qu sau − ℙ (2.58) c tr ng ây ta s ch ng minh : 2.3.3 Cho Y, Y1, Y2, … m t chu i BNN với hàm phân ph i , , , hàm đặc trưng ( )→ n →¥, hàm đặc trưng , Giả sử rằng, ∈ ℝ Thì ( ), ( )→ tất điểm y ∈ ℝ hàm phân phối FY liên tục ng minh m nh =F 2.3.2: Trong tr kh p m i n i ℝ nt c − = ph i ki m tra xem hàm Đi u c th c hi n d l u ý BNN ( – s c a có khai tri n Tay ( )= (0) + – )/ ( )→ c tr ng ∈ ℝ / − ậ s n phối giống Thì ( )= / ph ng sai ng ng g n (0) + (0) + ( )=1− Ở s =1− ng ó , = ng N t i ây Kí hi u − BNN ng h p Y ( ) + + ( ) n c = 1− M t ch ng minh ng n c a ph )=1− (= − ( − )+ = | nv n , (= → / kho ng [ ti n < Ti p theo , | − | nh lý gi i h n trung tâm cho BNN th c BNN 1] Tính k v ng ph 0≤ Gi s , , ( − ) +⋯+( − ) lập phân phối giống v i k v ng nh r ng (2.59) ¥ 2.3.2 Phát bi u Gi )=1− | ≤ (max 1, , ]) − ng trình + nh n thấy r ng rõ ràng ⟶ + ph ng sai c l p có phân ph i ng sai c a u / ) ng t r ng ℙ ( / ∈ n m t gi i h n tìm m t bi u th c cho Lời giải : G i Var Phát bi u = nn a ln T ng t c l p có phân ph i v i −∞≤ nh lý gi i h n trung tâm r ng lim ℙ → BNN < + ⋯+ − < = u ~U [0, 1] giá tr trung bình (ln =− = (− giá tr trung bình (ln )| + ) b ng c ≤∞ < / ) b ng = −1 71 (ln ) ( = ) = − (−1) = Var (ln )=( )| − = ối ta c ℙ ( ) ∈ =ℙ ⟶ Đị Vectơ , = ⋮ + ln ∈ ln , ln ] giới hạn trung t , → ∞ có dạng et Σ) , n ∑ ận cấp det ∑ xp − 〈 − , Σ ( − )〉 , / = ⋮ , = ⋮ đối x ng xác = (det ∑) 〈 − , Σ ( − )〉 = ∑ (2.60) ∈ℝ , nh d ng ma tr n t ng ng ℝ , ( − )Σ − V dụ 2.3.3 Xét vect chu n hai chi u g m BNN X, Y Hàm m t d ng (2.60) v i n = Ở ây, ma tr n xác vi t ∎ gọi có phân phối chuẩn n chiều, ~ T ng đ 〈, 〉 nh ∈ ln , ln ] + ĩ 2.3.2 Vectơ phân ph i chuẩn n chi u hàm mật độ quan ln ℙ nh d ng Σ Σ có th cho c 72 Σ= ,Σ , Trong = ( , )= i − /( ) 1/ , ) >0 ng √1 − ( − ) xp −2 Ki m tra xem r ng X hàm mật 1/ − /( số th c khác không ng trình , 1− xác suất biên −1 2(1 − ) ( − )( − N( , ) ) Y + ( − N( , ) ), ngh a tính to n Lời giải : c a BNN X Hàm mật ( )= = = √1 − ( − ) (1 − ( ong √2 T c X −2 −1 2(1 − ) ( − ) )( − ) / − + √2 = )( − − ) −1 2(1 − ) xp √1 − xp , + ( − = ) − − exp − √1 − ( − ( − ) (1 − ) ) g dấu ngo c { } b ng ta có ( , ( )= ) T √2 ng t Y ( ( ) , , ) c r ng 73 M 2.3.4 M t s tính ch t vectơ phân ph i chuẩn n chiều ~ ( , ∑) có hàm mật độ N u , Mỗi Xi ~ N cơng thức (2.60), : , i = 1, …, n, với kỳ vọng phương sai = ∑ phần tử đường chéo ma trận )=( ( )=( ) vectơ trung bình X ( ) Ma trận tương quan X : ∑ = (∑ ), ∑ = ∑ = Cov , ,1 ≤ ≤ , Các BNN chuẩn X1, …, Xn độc lập Cov 0, 1≤ < ≤ Tức là, ma trận đường chéo hàm mật độ ( ) phân tích thành tích Cov < ≤ có dạng Tổ hợp tuyến tính ∑ ( ) = exp 〈, =∑ ∑ , − = 0, 1≤ ~ ( , ∑) , BNN phân phối chuẩn, với ~ ( , ∑) chuẩn, với trung bình ,∑ , ( ) vectơ phân phối chuẩn Hàm đặc trưng = , =∑ phương sai n ph i gi ng V d 2.3.4 C có phân ph i chu n t c v i hàm m t ( )= Tìm hàm m t hàm m t c a xác suất = + √2 ng th i c a Lời giải : Hàm m t , ∈ ℝ ng th i c a X Y = + = 74 , Kí hiệu ( , ) = ( , )= c ( , )= D , ngh a , ( , )= c l p 2 − + , 2 ( ng th i ( , ) ( , ) ( , ) , ) / , với ( )/ ( ( , ) Hàm mật , nh x ng ( , )= ) / ( , ) =− ( , ) 1 = ( ) , Ta có hàm phân ph i xác suất Z ( )= = 2 d đ + ( ≤ ) / = , / ậ ( )= 2.3 i v i i = X1 X2 ó ≤ ) ( ∈ ℝ , / ( ≥ 0) n ph i chu n v i k v ng c l p Tìm phân ph i c a = exp ó th gi s r ng + ph = + /2 Lời giải : T nh moment c a Z ( )= = ( ) = = ( ) ( ng sai ), ( ) ( ) = exp ( = exp T ng ( ~ hàm mật ( + + )+ ( + + + 2 ) = ( ), v i m t hàm sinh moment cho tr c + ), ( + )~ ( + + ), ( ) Theo quan điểm tính + ) LUẬN Qua m t th i gian tìm hi u ti p c n nghiên c u v Xác suất c s qua ví d lu n v n ã ho n thành t c m c tiêu nghiên c u c a tài v i nh ng k t qu c th sau: - T ng quan h th ng m t cách m t s ki n khái ni m v phân ph i nh tham s y cơng th c tính xác suất u nh ngh a công th c xác c tr ng d ng hàm sinh c a bi n ng u nhiên liên quan n ph n r i r c c ng nh liên t c c a xác suất c s húng c ng a n v n d ng phân ph i xác suất biến ng u nhiên tr ng h p khác m r ng h n khơng gian n chi u - Trình bày rõ ràng chi ti t v công th c ý ngh a v n d ng c a bất ng th c hebyshev bất ng th c Mark , bất ng th c Jensen nh lý D Moi Laplace lý thuy t xác suất húng c ng ã m r ng tìm hi u a vào to n v trình phân nhánh nghiên c u vấn đề mang tính di truyền kế th a - Và c bi t nhi u ví d có tính t ng qt ho c th h n so v i to n tài li u tham kh ng lu n v n nh m làm sáng t vấn đề nghiên c u V i nh ng ã kh o sát c lu n v n s m t tài li u tham kh n thân ti p t c i sâu nghiên c u sau hy v ng c ng ngu n t li u t t cho nh ng quan tâm nghiên c u v k t qu r i r c liên t c c a lý thuy t xác suất v i ng d ng chúng nhi u l nh v c khác Trong i u ki n th i gian khuôn kh c a luận văn nên ch a i sâu nghiên c u ng d ng th c ti n c a phân ph i liên t c Đó nh h ng phát tri n c a luận văn T ng trình làm luận văn m c dù ã có nhiều cố g ng song n khách quan n ng l c có h n c a b n thân nên luận văn khó tránh kh i nh ng thi u sót tác gi mong nhận đ quý th y cô b n lu n v n sau c c nh ng góp ý chân thành c a có th ti p t c tìm hi u nghiên c u phát tri n T I ễn Văn H THAM O ấ Xác su t th ng kê ản Gi o Dụ Văn Kiều Giáo trình Xác Su t Th ng kê ấ ản Gi o Dụ Văn Nuôi 12 Lý thuy t độ đo Xác suất G Tr [4] ng i h c S ph m - i h c N ng c Thái Nguyễn Tiến D ng Thống kê T nh sau đại học Nhập môn đại Xác suất g tâm To n Tài ơng nghi p Hà N i Hà N i – A nn Statistics Basic Concepts of Probability and Industrial and Applied Mathematics Philadelphia [ ] Robert B Ash Basic Probability Theory D [7] Yuri Suho , Mark Kelbert V Press I ns Inc Probability and Statistics by Example nd Statistics mbridge University ... n phân ph i chu n t c N ng h t s c quan tr ng lý thuy t xác suất thống kê có liên quan n xác suất 16 nh lý D Mo r – Laplace bên d Ánh x : xác ∈ℝ⟼ ph i xác suất c ng ( ) = 0, N ( ) c g i hàm phân... p Xác suất m t r p qua m t ngày yên n q mà rệp có m t = ⟼ ( ) nh c a hàm = ( ) Trong th c t gi i h n xác su t b t ch ng (1.59) ho r ng m t ngày khơng bình n xác suất a r xác suất có hai s t xác. .. u liên quan n Xác su t s vấn đề quan trọng lý thuyết xác suất thống kê Tham gia bu i seminar th y h ng d n tra ng nghiên c u Tra n gia v ng d ng c a lý thuy t xác suất thống kê T ng quan k t