www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam. www.MATHVN.com.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERRDAM TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn: Tốn lớp 12
Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2,5 điểm)
Cho hàm số: y= x3 +3x2 -4 ( )C
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số
b) Tìm tọa độ cặp điểm nằm đồ thị ( )C hàm số biết chúng đối xứng qua gốc tọa độ
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Tính tích phân:
1
2
0
1
I =ịx -x dx
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng ( )d1 :x+ =y 0; ( )d2 :y=8 đường cong ( )
3
:
C y= x
Bài 3: (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ( )1 :
1
x y z
d = - =
- ( )2
1
:
2
x y z
d - = - =
-a) Chứng minh ( )d1 , ( )d2 chéo vng góc với b) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa ( )d1 song song với ( )d2
c) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính đoạn vng góc chung ( )d1 ( )d2
Bài : (2 điểm)
a) Giải bất phương trình: 5 1( ) 1
5
1
log log 144 2log 4
x x
æ + +ử + + >
ỗ ữ
ố ứ
b) Tìm số phức z biết z thỏa mãn điều kiện z- - =i 10 z z=25 - Hết -
Nguồn tài liệu: http://hn-ams.edu.vn www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
(2)Nguồn tài liệu: http://hn-ams.edu.vn
1 TRƯỜNG HÀ NỘI - AMSTERDAM
TỔ TOÁN – TIN
-
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn Tốn; Lớp 12
- Bài 1: (2,5 điểm)
a) y = x3 +3x2 -4 * Tập xác định: R * Sự biến thiên
- Giới hạn: lim
xđƠy= Ơ
- Chiu bin thiờn: ' 0
2
x y
y x x
x y
= Þ = -é
= + = Û ê
= - Þ = ë
- Bảng biến thiên:
x -¥ -2 +¥ '
y + - +
y 0 +¥ -4
-¥
- Hàm số đồng biến khoảng (-¥ -; , 0;) ( +¥); hàm số nghịch biến khoảng ( 2;0).- Hàm số có điểm đại (-2;0 ,) cực tiểu (0; - )
* Đồ thị:
- Nhận xét: đồ thị nhận điểm uốn I(- -1; 2) làm tâm đối xứng
b) Gọi A x y( 0; 0) ( )ẻ C ị y0 = x03+3x02 -4 ( )
Gọi B đối xứng với A qua O B(-x0;-y0) với x0 ¹0 Ta có BỴ( )C Û - = - +y0 x03 3x02 -4 ( )
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
(3)Nguồn tài liệu: http://hn-ams.edu.vn
2 Từ (1) (2) suy ra: 02 0
3
x - = Ûx = ± Với 0 0
3
x = ± Þ y = ±
Vậy hai cặp điểm 3;
3
ổ
ỗ ữ
è ø
2
;
3
ổ
-
-ỗ ÷
è ø đối xứng qua gốc tọa độ Bài 2: (2,5 điểm)
a)Đặt x=sin t Vì xỴ[ ]0;1 nên 0; tỴ êé p ùú
ë û Ta có dx=costdt
Đổi cận : Với x= Þ =0 t 0, với
x = Þ =t p
Ta có : 2 2 2 2 2( )
0 0
1
sin sin cos sin cos sin cos
4
I t t tdt t tdt tdt t dt
p p p p
= ò - = ò = ò = ò
-2
0
1 sin
8 16
t t
p
p
ổ
= ỗ - ữ =
è ø
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng ( )d1 :x+ =y 0; ( )d2 :y=8
đường cong ( )
:
C y= x
Ta có
+ ( )d1 cắt ( )d2 A(-8;8 ) + ( )d1 cắt ( )C O( )0;0 + ( )d2 cắt ( )C B( )2;8 Vậy diện tích hình phẳng :
( )
( )
2
3
0
1
.8.8 32
2
32 12 44
x
S x dx x
dvdt
ỉ
= + - = +ỗ - ữ
ố ứ
= + =
ò
Bài 3: (3 điểm)
a) * Ta có ( )d1 qua M(0;2;0) có VTCP uur1 =(1; 2;1 - )
( )d2 qua N(1; 2;1) có VTCP u2 = -( 2;1; )
uur
Ta có MNuuuur=(1;0;1) éëu uur uur1; 2ûù= - - - Þ( 9; 6; 3) uuuur ur uurMN u u.éë 1; 2ùû= - ¹12
Do ( )d1 , ( )d2 chéo
* Ta có u uur uur1 2 = Þ0 ( ) ( )d1 , d2 vng góc
b) Ta có mặt phẳng ( )P qua M nhận ëéu uur uur1; 2ù = - - - = -û ( 9; 6; 3) 3; 2;1( ) làm VTPT
Do đó, phương trình mặt phẳng ( )P :
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
(4)Nguồn tài liệu: http://hn-ams.edu.vn
3
( ) ( ) ( )
3 x-0 +2 y-2 + z-0 =0 hay 3x+2y+ - =z
c) Gọi A a( ; 2- a+2;a) ( )Ỵ d1 B(- +2b 1;b+2;4b+ Ỵ1) ( )d2 từ suy
( 1; ; )
AB = - -a b+ a+ - +b a b+
uuur
AB nhỏ đoạn vng góc chung ( ) ( )d1 , d2 Khi đó:
( )
( )
1
2
2 2
2( 1) 4( 1)
a b a b a b
AB u
a b a b a b
AB u
ì = ì- - + - + - + + =
ï Ûï
í í
- - - + + + + - + + =
= ï
ï ỵ
ỵ uuur ur uuur uur
1
; ;
6 3 3
21 2 25 40 13
; ;
21 21 21 21
a A
a b
b B
ỡ = ị ỗổ
ữ ù
- + =
ì ï è ø
Ûí Ûí
+ = ỉ ư
ỵ ï = - ị ỗ
ữ
ù ố ứ
ợ
Gọi I là trung điểm AB
2 2
16 34 10 126
; ; ,
21 21 21 21 21
Iỉ R + +
Þ ỗ ữ = =
ố ứ
Vy phng trình mặt cầu ( )
2 2
16 34 10 126
:
21 21 21 441
S ỗổx- ữử +ỗổy- ửữ +ổỗz- ửữ =
è ø è ø è ø
Bài : (2 điểm)
a) Ta có
( )
( )
5 1
5
5 5
1
log log 144 2log
4
log log 16 log log 144
4
80 144 20.2 64 16
4
x x
x x
x x x x x
x
ỉ + +ư + + >
ỗ ữ
ố ứ
ổ
ỗ + +ữ + > +
ố ứ
ổ
ỗ + >÷ + Û - + < Û < < Û < <
è ø
b) Gọi z = +x yi. Ta có : z- - =i 10 Û(x-2) (2 + y-1)2 =10 ( )
Ta có z z =25Û x2 + y2 =25 ( )2 Từ (1) (2) suy ( ) ( )x y; = 3;4 ( )5;0 Vậy z = +3 4i z = +5 i
- Hết -
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam