Tuy nhiªn, do thêi gian c«ng t¸c cha nhiÒu, vèn kinh nghiÖm cßn Ýt, t«i rÊt mong ®îc häc hái thËt nhiÒu, nhÊt lµ tõ phÝa c¸c ®ång nghiÖp ®· cã nhiÒu n¨m kinh nghiÖm trong nghÒ, bæ sung t[r]
(1)Kinh nghiệm dạy học trong dạy học toán THCS
Một vài phơng pháp tính tổng số tạo thành d y số có quy luËt·
A/ đặt vấn đề
Trong nhà trờng THCS , tất em học sinh đợc rèn kỹ tính giá trị biểu thức, thờng xuyên bồi dỡng kỹ tính nhanh , tính hợp lý Tuy nhiên gặp tốn tính tổng hữu hạn số lập thành dãy số có quy luật , hầu hết em , kể học sinh giỏi , có khiếu mơn toán thờng tỏ lúng túng , bối rối , lẽ em cha có phơng pháp giải loại tốn điều dễ hiểu chơng trình THCS tài liệu đề cập đến vấn đề , em học sinh cha có ý thức tìm tịi , phân tích , lựa chọn cách giải Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi mơn tốn , tìm tịi , phân tích , lựa chọn cách giải Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi mơn , đặc biệt mơn tốn , em học sinh thờng để điểm toán loại Để bổ xung kiến thức cho em học sinh giỏi , nâng cao chất lợng học sinh giỏi ,tôi sâu tìm hiểu kỹ số phơng pháp để tính tổng hữu hạn
B/ Giải vấn đề : I > Phơng pháp dự đoán quy nạp :
Trong mét số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu h¹n Sn = a1 + a2 + an (1)
Bằng cách ta biết đợc kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp hầu nh chứng minh đợc
VÝ dơ 1 : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 + + (2n -1 )
Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 =
S2 = + =22
S3 = 1+ 3+ = = 32
Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết
gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k (2)
ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3)
ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)
v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức S
(2)theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2
T¬ng tù ta cã thể chứng minh kết sau phơng pháp quy nạp toán học
1, + 2+3 + + n = n(n+1)
2
2, 12 + 2 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1)
6
3, 13+23 + + n3 =
[n(n+1)
2 ]
2
4, 15 + 25 + + n5 =
12 n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n – )
II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biĨu diƠn , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai
số hạng liên tiếp dÃy số khác , xác , giả sử : a1 = b1 - b2
a2 = b2 - b3
an = bn – bn+
khi ta có :
Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + )
= b1 – bn +
VÝ dô : tÝnh tæng : S = 10 111 +
11.12+
12 13 + + 99 100
Ta cã :
10 11= 10−
1
11 , 11.12=
1 11 −
1
12 , 99 100=
1 99 −
1 100
Do : S =
10 − 11+ 11 −
12+ .+ 99 − 100= 10 − 100= 100
D¹ng tỉng qu¸t Sn =
1 2+
1
2 3+ .+
n(n+1) ( n > )
= 1-
n+1=
n n+1
VÝ dô : tÝnh tæng Sn =
1 3+
1 4+
1
3 5+ +
1
n(n+1)(n+2)
Ta cã Sn =
1 2(
1 2−
1 3)+
1 2(
1 3−
1
3 4)+ + 2(
1
n(n+1)−
1
(3)Sn =
1 2(
1 2−
1 3+
1 3−
1
3 4+ +
n(n+1)−
1
(n+1)(n+2))
Sn =
2( 1 2−
1
(n+1)(n+2))=
n(n+3)
4(n+1)(n+2)
VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n )
Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3!
n.n! = (n + 1) –n!
VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn =
1 2¿2 ¿
2 3¿2 ¿ ¿ ¿
3
¿
Ta cã :
i+1¿2 ¿ ¿ 2i+1
[i(i+1)]2=
1
i2−
1 ¿
i = ; ; 3; ; n
Do Sn = ( 1-
n+1¿2
(¿¿)
1
n2−
1
¿
1 22¿+(
1 22−
1
32)+ +¿
= 1-
n+1¿2 ¿
n+1¿2 ¿ ¿
1
¿
(4)S = 1+2+22 + + 2100 ( 4)
ta viÕt l¹i S nh sau :
S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )
S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 )
=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)
Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1
VÝ dô : tÝnh tæng
Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1)
Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :
Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 )
Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn )
Sn = +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 Sn = P
n+1
−1
p −1
VÝ dô : TÝnh tæng
Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p 1)
Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1
= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1)
pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 )
pn+1
p.Sn=Sn- P
n+1−1
P −1 +(n+1)P
n+1 ( theo VD )
L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - p
n+1
−1
P −1
Sn =
P −1¿2 ¿
(n+1)Pn+1 p −1 −
pn+1−1 ¿
IV > Ph ơng pháp tính qua tổng biết
C¸c kÝ hiƯu : ∑ i=1 n
ai=a1+a2+a3+ .+an
(5)1, ∑ i=1 n
(ai+bi)=∑
i=1 n
ai+∑
i=1 n
bi
2, ∑ i=1 n
a.ai=a∑
i=1 n
ai
VÝ dô : TÝnh tæng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)
Ta cã : Sn = ∑
i=1 n
i(i+1)=∑
i=1 n
(i2+i)=∑
i=1 n
i2+∑
i=1 n
i
V× :
∑i=1 n
i=1+2+3+ +n=n(n+1)
2 ∑
i=1 n
i2=n(n+1)(2n+1)
6
(Theo I )
cho nªn : Sn = n(n+1)
2 +
n(n+1)(2n+1)
6 =
n(n+1)(n+2)
3
VÝ dô 10 : TÝnh tæng :
Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)
ta cã : Sn = ∑
i=1 n
i(3i−1)=∑
i=1 n
(3i2− i)
= 3∑
i=1 n
i2−
∑
i== n
i
Theo (I) ta cã : Sn = 3n(n+1)(2n+1)
6 −
n(n+1)
2 =n
2
(n+1)
VÝ dô 11 TÝnh tæng
Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3
ta cã :
Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3]
= [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )
Sn =
2n+2¿2 ¿
n+1¿2 ¿
8n2¿
2n+1¿2¿ ¿ ¿
( theo (I) – )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2
(6)V/ Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng số hạng dãy số cách ( Học sinh lớp )
C¬ së lý thuyÕt :
+ để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng cơng thức:
Sè sè h¹ng = ( số cuối số đầu : ( khoảng cách ) +
+ Để tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng cơng thức:
Tỉng = ( sè đầu số cuối ) ( số số hạng ) :2 VÝ dơ 12 :
TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 + + 132
Sè sè h¹ng cđa A lµ : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607
VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng
B = +5 +9 + + 2005 +2009
số số hạng B ( 2009 ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515
VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm tốn
Ví dụ 14 : Chứng minh : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [(k+2)−(k −1)]
= k (k+1) = 3k(k+1)
C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) (k+2)−(k −1)
3
= k(k+1)(k+2)
3 −
k(k+1)(k −1)
3 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2 =
1.2.3 0.1.2
3
2.3.4 1.2.3 2.3
3
( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)
3
n n n n n n
n n
(7)S =
1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3
n n n n n n
VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :
k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(k+3)−(k −1)]
= k( k+1) ( k +2 ) Rót : k(k+1) (k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4 −
(k −1)k(k+1)(k+2)
4
¸p dơng : 1.2.3 =
4 −
0
2.3.4 =
4 −
1 4
n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)
4 −
(n −1)n(n+1)(n+2)
4
Cộng vế với vế ta đợc S = n(n+1)(n+2)(n+3)
4
* Bài tập đề nghị : Tính tổng sau
1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2
b, S = + 52 + 53 + + 5 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S =
1 2+ 3+
1
3 4+ .+ 99 100
6, S =
5 7+
7 9+ + 59 61
7, A =
11.16+ 16 21+
5
21 26+ + 61 66
8, M =
30+
1 31+
1
32+ .+
1 32005 9, Sn =
1 +
1
2 4+ +
1
n(n+1)(n+2)
10, Sn =
1 3+
(8)11, Sn =
1 4+
1
2 5+ .+
1
n(n+1)(n+2)(n+3)
12, M = + 99 + 999 + + 99
50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
TÝnh S100 =?
Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi , tơi kết hợp dạng tốn có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng tốn tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, + + + + + x = 820 c, + 13+1
6+
10+ .+
x(x+1)=1
1989 1991
Hay toán chứng minh chia hết liên quan
15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña
b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60 ⋮ ; 7; 15
c, C = + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41
d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮
C/ Kết thúc vấn đề:
Sau lĩnh hội đợc phơng pháp trên, em học sinh tự tin gặp tốn tính tổng Tuy nhiên, thời gian công tác cha nhiều, vốn kinh nghiệm cịn ít, tơi mong đợc học hỏi thật nhiều, từ phía đồng nghiệp có nhiều năm kinh nghiệm nghề, bổ sung thêm phơng pháp tính tổng khác, để tơi hồn thiện ni dung ny
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Thụy Duyên ngày 27 tháng năm 2007
Ngời viết:
Trần Thị Tuyết