CD DAY SO CO QUY LUAT

Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có.[r]

DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT (Đại số 9) ******************* * Chú ý: Có năm cách thông thường để làm loại toán này - Cách 1: Truy toán - Cách 2: Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3: Dùng quy nạp toán học - Cách 4: Đưa tính ngiệm phương trình - Cách 5: Vận dụng tổng hợp các cách đã học Ví dụ 1: Cho A      có 100 dấu Chứng minh A không phải là số tự nhiên Giải: Dễ thấy A > Sau đây ta chứng minh A < Thật 2  2 2 <   2   2 A      <   2 Do ta có < A < , chứng tỏ A  N ( dpcm ) (Cách giải này gọi là truy toán) Ví dụ 2: Rút gọn dãy tính sau  1  2   3 Với n là số tự nhiên lớn 1 n 1 n Giải Xét số hạng tổng quát: 1 n  n    n  n n  n  n 1 n n  n 1   Vậy : =  2   3 n 1 n (  1)  (  2)  (  3)   ( n  n  1) n1 = Như cho n giá trị cụ thể ta lại bài toán (Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát) Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n ta có     ( n  1) n < Giải Xét số hạng tổng quát ta có: n  1   1    n   n       (n  1) n (n 1)n  n n 1   n n 1   n n 1  <    n    n n n        n  n 1  n n Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức B   13   13   13     n 1  = n n 1 Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp lặp lại cách viết thức có chứa và 13 cách vô hạn lần Giải - Nhận xét B > Ta thấy : B 5  13   13   13   ( B2 – )2 = 13 + B  B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B  B4 – 10 B2 – B + 12 =  B4 – B2 – B2 + – B + =  B2 ( B – )( B + ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) =  ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – ] =  ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – ) – ] = Vì B > nên B2 – > và B + > nên ( B + 3)( B2 – 1) – > 11 đó B – d= Vậy B = (Cách giải này gọi là đưa tính ngiệm phương trình) Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức C  1 1 1 1 1            12 22 22 32 32 42 992 1002 Giải 1 Xét số hạng tổng quát: 1  k (k  1) với k là số nguyên dương 2 1   1 1          k ( k  1) k k      Ta có: 2 1    1 1            k   k 1   k    2     k   k 1   1     k Vì 1  2   k k 1   k 1   k    2 1 2   0 k ( k  1)  k 1     1 1  1       k ( k  1) k ( k  1)   Vậy 1 Nên   2 1  k 1  1 1 1        k (k  1) k (k  1) k k 1 - Áp dụng vào bài ta có: 1   1  1  1  C                      2  3  4  99 100  1 1 1 1 1 99           100  99,99 2 3 4 99 100 100 Ví dụ 6: Chứng minh với số nguyên dương n ta có 4 4   < Giải Ta chứng minh quy nạp toán học 2 < Đúng Với n = ta có D1 = Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có: Bk               k Ta c/m bài toán đúng với n = k + < là đúng Bk 1               = k 1 Vì B < ( Giả thiết quy nạp), nên Bk+1 =  Bk  Bk < 3 < Vậy bài toán đúng với n = k + Do đó bài toán đúng với n A Ví dụ 7: Cho biểu thức 2     2     (trong đó trên tử có 100 dấu căn, mẫu có 99 dấu căn) Chứng minh rằng: A > Giải Đặt: an      2 n a 2  an Ta có: A Vậy:  n an  a  và A  a100  a99  a100  a100  a100    2  (a100  2)  a100   a100    a100   a100 Sau đây ta chứng minh Ta có có biểu thức có n dấu a1  a100 < truy toán < đúng a2     a1 a3      a2 a100   a99 < 2   2 < <   2 1 a 2  a100 > Vậy 100 < + = 4, nên Từ đó A > ( đpcm ) (Bài toán trên đã giải vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học) Ví dụ 8: Chứng minh rằng: 2003 2004 < Giải - Đặt ak  k (k  1) (k  2) (n  1) n Với n > k và n; k là số nguyên dương - Ta chứng minh: + Giả sử ak  k  phản chứng: ak k  thì theo cách đặt trên ta có: k ak  k ak 1  a k ak 1  ak 1 nên n ak 1 ak2  2 k mà ak ( k  1) ak2 (k  1) k  2k  k  2k     k  k k k k với số nguyên dương k, tức là 203 phải đúng Điều này vô lý Vậy ak k  Do đó là sai Vậy a2  ak  k  là đúng Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 9: Tìm ngiệm tự nhiên phương trình x  x  x  x   x  3x  x (1) Giải Dễ thấy x = là ngiệm phương trình (1) Nếu x = , ta có:      3.1     Vậy x = không phải là ngiệm phương trình (1) Nếu x = , ta có:  2  2  2   2    2 Vậy x = không phải là ngiệm phương trình (1) Nếu x = 3, xét cùng ta có : x  x x = nên x  3x 2  3.3 2 6 Căn là : x  x  3x 2   3.3 2  6 và quá trình lặp lại ngoài cùng, ta có:  2.3 3 - Đúng Vậy x = là ngiệm phương trình (1) Nếu x > , thì x  x  x  x   x  x  x  x x  x  x  x   x  x  x2 = x + 2x  x2 – 3x =  x = x = Nhưng x > nên trường hợp này phương trình (1) vô ngiệm Vậy phương trình (1) có hai ngiệm là và Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài : Tính giá trị các biểu thức sau a) b) A      B      vô hạn dấu vô hạn dấu Bài 2: Chứng minh rằng: a) C                n b) D                n Bài tập 3: Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng: Tn  a  a  a   a  a             n ; Với n  Z+ Bài tập 4: Chứng minh 1 1     1 1   ( n 1) n  n n 1 với số nguyên dương n Bài 5: Chứng minh với n nguyên dương và n > , ta có n  3 1 1     2 n 2 n Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau 1 1 A     1 4 7  10 97  100 a) B b)  2 1    3 4 100  101 Bài 7: Chứng minh S 1  1 1      100 không phải là số tự nhiên Bài 8: Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng: 1 1       n n , với n  Z+ Bài 9: Cho 100 số: cho a1 , a2 , a3 , a4 , , a100 1 1      a1 a2 a3 a4 là 100 số tự nhiên 20 a100 Chứng minh tồn ít hai số Bài 10: Chứng minh bất đẳng thức 1 1 2001      3(1  2) 5(  3) 7(  4) 4003( 2001  2002) 2003 Bài 11: Chứng minh : 1 1      12  22 22  32 32  42 20022  20032 Bài 12: Chứng minh : 15 n2  M      16 n ,  n  N và n > không phải là số nguyên Bài 13: a ) Chứng minh  n  Z+ ta có  n 1 n 1 1 n n(n  1) b) Áp dụng chứng minh 2007   3 44 55 2008     2008  2008 2007 Bài 14: Tìm ngiệm nguyên phương trình x  x  x  x   x  z             y (Vế trái có y dấu căn)