DAY SO CO QUY LUAT

Khảo sát thực tiễn: Khi chưa thực hiện chuyên đề này, thì hầu hết các em làm các dạng bài tập tính tổng dãy số có quy luật rất lúng túng và mất rất nhiều thời gian, có khi không giải đượ[r]

A.Đặt vấn đề: Theo nghị Đảng mục tiêu giáo dục là: Nâng cao dân trí đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài, vấn đề bồi dưỡng nhân lực là vấn đề thiết thực đặt hoàn cảnh đất nước ta Nhóm giáo viên tổ Toán – Lí trường THCS Trần Phú, cùng nghiên cứu: Chương trình toán và xét thấy tất các em học sinh phải rèn luyện kĩ tính toán, tính nhanh, tính hợp lí… Tuy nhiên, gặp các bài toán tính tổng hữu hạn các số, lập thành dãy số có quy luật thì hầu hết các em, kể học sinh giỏi môn toán thường tỏ lúng túng Các em chưa có ý thức tìm tòi, phân tích, lựa chọn cách giải Do đó, nhiều kì thi học sinh giỏi môn toán, đặc biệt là môn toán 6, các em học sinh thường bị điểm loại bài tập này Để bổ sung kiến thức cho các em học sinh khá giỏi và nâng cao chất lượng học sinh, tổ Toán – Lí chúng tôi xin phép sâu và 02:42:28 mở rộng số bài tập sau 02:42:28 B.Giải vấn đề: Khảo sát thực tiễn: Khi chưa thực chuyên đề này, thì hầu hết các em làm các dạng bài tập tính tổng dãy số có quy luật lúng túng và nhiều thời gian, có không giải với dãy số phức tạp… Để thực chuyên đề này nhóm chúng tôi đã tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số bài kiểm tra 140 học sinh sau: Thông qua kết khảo sát nhóm chúng tôi xét thấy số học sinh khá giỏi còn thấp nên xét cần phải có biện phát thích hợp để giảng dạy truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu quá trình giải bài toán khó tính tổng dãy số viết theo quy luật 02:42:28 02:42:28 Nội dung vấn đề: Dạng 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU Bài 1.1 Hãy tính số phần tử các tập hợp sau A  10;11;12; ; 99 B  21; 23; 25; ; 99 C  32; 34; 36; ; 96 (Bài 21,23 SGK Toán 6T1.Trang 14) 02:42:28 02:42:28 Giải: *Tập hợp A là các số tự nhiên liên tiếp từ số 10 đến số 99 Nên ta có (99 – 10 ) + = 90( phần tử) *Tập hợp B là các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 21 đến 99 Nên ta có (99 – 21 ):2 + = 40( phần tử) *Tập hợp C là các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 32 đến 96 Nên ta có (96 – 32 ):2 + = 33( phần tử) 02:42:28 02:42:28 *Phương pháp giải: Để đếm các số tự nhiên từ a đến b(a<b), hai số cách d đơn vị, ta có công thức sau: b a  Nghĩa là d Số cuối – Số đầu + Khoảng cách hai số Bài 1.2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có chữ số? Giải: Các số tự nhiên lẻ có chữ số là: 10 001; 10 003; 10 005; ; 99 999 Áp dụng ta có số các số tự nhiên lẻ có chữ số là: 02:42:28 02:42:28 99999  10001  45000(số) Bài 1.3: Từ đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2, có bao nhiêu số chia hết cho ? Giải: *Từ đến 1000 có các số chia hết cho là : 2;4;6;8; ; 1000 1000   500 (số) Áp dụng công thức ta có : *Từ đến 1000 có các số chia hết cho là : 5;10;15; ; 1000 1000   200(số) Áp dụng công thức ta có : 02:42:28 02:42:28 Bài 1.4: Hãy tính tổng : + 12 + 16 + 20 + +100 (Bài 112 SBT Toán 6T1.Trang 16) Giải: Xét tổng + 12 + 16 + 20 + + 100 Ta có số các số hạng: (100-8):4 + = 24 (số) Do đó : + 12 + 16 + 20 + + 100 = ( 8+100) 24 : = 1296 02:42:28 02:42:28 Bài 1.5: TÝnh B = + + + + 98 + 99 NhËn xÐt: NÕu häc sinh nµo cã sù s¸ng t¹o sÏ thÊy tæng: + + + + 98 + 99 cã thÓ tÝnh hoµn toµn t¬ng tù nh bµi 1.4, cÆp sè ë gi÷a vÉn lµ 51 vµ 50, (v× tæng trªn chØ thiÕu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thÊy tæng ngoÆc gåm 98 sè h¹ng, nÕu chia thµnh c¸c cÆp ta cã 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, đó B = + 4949 = 4950 Ta cã thÓ tÝnh tæng B theo c¸ch kh¸c nh sau: C¸ch 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 +B =99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 02:42:28 02:42:28 Dạng 2: Bài 2.1: Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 8.9 Giải: A= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 8.9 A = + + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 = 240 Bài 2.2: Tính tổng: B= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 99.100 Giải: B= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 99.100 3B = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + + 99.100( 101 -98) = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + + + 99.100.101 – 98.99.100 3B= 99.100.101 99.100.101 B= 333300 02:42:28 02:42:28 10 Ta tổng quát thành bài toán sau: Bài 2.3:Tính tổng: C= 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) (Với n là số nguyên dương) Giải: Với cách làm tương tự ta có 3C=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) =n(n+1)(n+2) n(n  1)(n  2)  C 02:42:28 02:42:28 11 Áp dụng công thức tính tổng : Bài 2.4: Tính giá trị biểu thức: M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+ 212.213 N = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + …+ 48.49.50 P = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + …+ 211.212.213 ( Toán Volympic 2012-2013) Giải: Tính tổng M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+ 212.213 Áp dụng công thức: 1.2 +2.3 + 3.4 + …+ n(n+1) n(n  1)(n  2) = 212.213.214 M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+212.213= 3221128 02:42:28 02:42:28 12 *Tính tổng N = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + + 48.49.50 Áp dụng công thức: 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + + n(n+1)(n+2) n(n  1)(n  2)(n  3) = N = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + + 48.49.50 = 48.49.50.51 = 1499400 *Tính tổng P = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + + 211.212.213 = 02:42:28 02:42:28 211.212.213.214 = 509.743.506 13 Từ bài toán tính tổng quát này ta có thể đề xuất thêm hai bài tính tổng sau: Bài 2.5:Tính tổng: A = 12 + 22 + 32 + + n2 B = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + n(n+3) Giải: Ta nhận xét : n2 = n(n+1) – n A = 12+ 22 + 32 + + n2 = =1.2 – + 2.3 – + 3.4 – + + n(n+1) –n = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) – ( +2 +3 + +n) n(n  1)(2n  1) n(n  1)(n  2) n(n  1) = =  02:42:28 02:42:28 14 *B= 1.4 +2.5 +3.6 + + n(n+3) Giải: Ta nhận xét : n(n+3) = n(n+1) + 2n B=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3 + + n(n+1) +2n B={1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1)} + 2( +2 +3 +…+n) n(n  1)(n  2) n(n  1) B= + 2 n(n  1)(n  5) B= 02:42:28 02:42:28 15 Dạng 3: Bài 3.1: a) TÝnh tæng: A= + 22 + 23 + 24+ +220 Lêi gi¶i: Ta có A= + 22 + 23 + 24+ .+220  2A= 22 + 23 + 24+ +220 + 221 A = 2A – A = (22 + 23 + 24+ +220 + 221) – (2 + 22 + 23 + 24+ +220) A = 221 – =2097150 b) TÝnh tæng: G= + 32 + 33 + 34+ +32008 Lêi gi¶i: Ta có :G = +32 + 33 + 34 +35 + + 32008 3G = 32 + 33 + 34 +35+ +32009 2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35+ +32009) – (3 + 32 + 33 + 34+ +32009) 2G = 32009 – 3 2009  G= 02:42:28 02:42:28 16 Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 3.1 thµnh bµi to¸n sau: TÝnh tæng: M= a + a2 + a3 + a4 +…+an  (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d¬ng a 1) Lêi gi¶i: aM = a2 + a3 + a4 +a5+ +an (1) M= a + a2 + a3 + a4 + + an (2) Lấy (1) trừ (2) ta có: (a-1)M = aM – M = (a2 + a3 + a4 +a5 + + an+1) –( a + a2 + a3 + a4 + + an) (a-1)M = an+1 – a a n 1  a G= a 02:42:29 02:42:29 17 Bài 3.2: Tính tổng : A= + 22 + 23 + 24 + + 220 Giải : Ta có A= + 22 + 23 + 24 + + 220 (1) Xét 2A=2.( + 22 + 23 + 24 + + 220) 2A= + 23 + 24 + 25 + + 221 (2) Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có: A = + 221 – ( + 22) Vậy A = 221 02:42:29 02:42:29 18 Bài 3.3 Chứng minh B là lũy thừa số 2: B = + 22 + 23 + 24 + + 2100 Giải : Ta có B= + 22 + 23 + 24 + + 2100 (1) Xét 2B=2.( + 22 + 23 + 24 + + 2100) 2B= + 23 + 24 + 25 + + 2101 (2) Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có: B = + 2101 – ( + 22) Vậy B = 2101 02:42:29 02:42:29 19 Bài 3.4 Tính tổng C = + 22 + 23 + 24 + + 22013 Giải : Ta có C= + 22 + 23 + 24 + + 22013 (1) Xét 2C=2.( + 22 + 23 + 24 + + 22013) 2C= + 23 + 24 + 25 + + 22014 (2) Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có: C = + 22014 – ( + 22) Vậy C = 22014 02:42:29 02:42:29 20 Bài 3.5 Biết: 22 + 22 + 23 + 24 + + 22013 = 2n Với n là số nguyên dương Tính số n =? ( Đề Violympic 2012-2013) Giải : Vì 22 + 22 + 23 + 24 + + 22013 = 2n nên 22014 = 2n ( Theo bài 3.4) Vậy n = 2014 02:42:29 02:42:29 21 1 1     2008 5 5 Bài 3.6 Tính tổng: H = Giải : Ta có thể tính tổng H theo bài toán tổng quát , với a thì : H = a + a2 + a3 + a4 + + a2008 Tuy ta còn có cách khác thuận tiện hơn: 5.H = 1 1      2007 5 5 1 1 4H=5H –H = (      2007 ) 5 5 1 1     2008 ) –( 5 5 = 102:42:29 02:42:29 2008 2008  2008  = Vậy H = 2008 2008 5 22 Dạng 4:Thể loại phân số Bài 4.1 Tính giá trị biểu thức: 1 1    A= 1.2 2.3 3.4 4.5 Giải: 1 1 1 1 1 1   ;   ;   ;   Xét 1.2 2.3 3.4 4.5 Ta có: A = 1 1  1  1  1             1 2  3  4  5 sau bỏ dấu ngoặc ta có: 1 1 1 1 A=        = 2 3 4 02:42:29 02:42:29 1  = 5 23 Bài 4.2 Tính giá trị biểu thức: 1 1 B=     1.2 2.3 3.4 100.101 Giải:  1 1  1  1  Ta có: B =               100  101          sau bỏ dấu ngoặc ta có: 1 100 B=  = 101 101 02:42:29 02:42:29 24 Bài 4.3 Tính giá trị biểu thức: 1 1     C= 1.2 2.3 3.4 2012.2013 Giải:  1   1  1   Ta có: C =                1 2  3  4  2012 2013  sau bỏ dấu ngoặc ta có: 1 2012 C=  = 2013 2013 02:42:29 02:42:29 25 Bài 4.4 Tính giá trị biểu thức: 1 1     D= 1.2 2.3 3.4 ( n  1).n Lời giải 1 1 1  1  Ta có D =           n   n        sau bỏ dấu ngoặc ta có: n D = 1  n n 02:42:29 02:42:29 26 Nhận xét: Ta nhận thấy các giá trị tử không thai đổi và chúng đúng hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng m 1   có dạng :b(b  m) b b  m(Hiệu hai thừa số mẫu luân giá trị tử thì phân số đó luân viết dạng hiệu hai phân số khác với các mẫu tương ứng) Nếu ta có tổng với các đặc điểm: Các số hạng liên tiếp luôn đối ( số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau liên tiếp), các số hạng tổng khử liên tiếp, đến tổng còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực phép tính đơn giản 02:42:29 02:42:29 27 Bài 4.5 Tính giá trị biểu thức: 2 2 M = 3.5  5.8  7.9   97.99 (Bài 95 SBT Toán 6.Trang 28) Giải: N= 2 2     3.5 5.8 7.9 97.99 vận dụng cách làm phần nhận xét, ta có : - = 2( đúng tử) nên ta có: N= 1  1 1 1           5 7 97 99   02:42:29 02:42:29 1 32  =  99 99 28 2 2 Bài 4.6 Tính nhanh: N = 3.5  5.8  7.9   2011.2013 ( Đề Violympic 2012-2013) Giải: Ta có: 2     M= 3.5 5.8 7.9 2011.2013 vận dụng cách làm phần nhận xét, ta có : - = 2( đúng tử) nên ta có: 1  1 1 1 M =         2011  2013    1 670   = 2013 2013 02:42:29 02:42:29 29 Bài 4.7 Tính giá trị biểu thức: Giải: N= 72 72 72 72     N= 2.9 9.16 16.23 65.72 7   7       65.72   2.9 9.16 16.23 1  1 1 1 7           65 72   9 16 16 23 35 29 1  7      72 72 72   29 Vậy N = 72 02:42:29 02:42:29 30 Dạng 5: 1 1     Bài 5.1 Tính giá trị biểu thứcA= 15 35 63 99 143 Giải: 1 1     Vì A = 15 35 63 99 143 1 1     3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 Ta có :A= 2 1 1  A        3.5 5.7 7.9 9.11 11.13  1 2 2  A        3.5 5.7 7.9 9.11 11.13  11 1 1 1 1  A             5 7 9 11 11 13   1  10 A       13  39 39 02:42:29 02:42:29 Vậy A 39 31 Bài 5.2 Tính giá trị biểu thức: 1 1     B= 3.5 5.7 7.9 2011.2013 ( Đề Violympic 2012-2013) Giải: 1 1     Vì B= 3.5 Ta có : B = = B= 5.7 7.9 2011.2013 2 1 1         3.5 5.7 7.9 2011.2013  1 2 2         3.5 5.7 7.9 2011.2013  11 1 1 1            2 5 7 2011 2013  11  670 335  B=      2013  2013 2013 02:42:29 02:42:29 32 2 2 2    Bài 5.3 Tính nhanh:C=   1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19 Giải: 2 2 2      Vì C= 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19 Ta có : C = C= 2 3 3 3          1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19  21 1 1 1 1 1                4 7 10 10 13 13 16 16 19   1  18 12 C=        19  19 19 12 Vậy C = 19 02:42:29 02:42:29 33 Bài 5.4 Tính nhanh : D= 2 2     1.4 4.7 7.10 2010.2013 ( Đề Violympic 2012-2013) Giải: Vì D= Ta có : D = D= 2 2     1.4 4.7 7.10 2010.2013 2 3 3         1.4 4.7 7.10 2010.2013  21 1 1 1             4 7 10 2010 2013  21  2012 4024 D=   2013    2013  6039   4024 D= 6039 02:42:29 02:42:29 34 Dạng 6: Bài 6.1 Tính tổng A = 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12 (Bài 11.7 SBT Toán 6T2.Trang 28) Qua bài toán trên ta thấy mẫu số các phân số là tích nhiều số tự nhiên liên tiếp thì bài toán giải nào? Trong quá trình giảng dạy cho học sinh giải sau Ta xét:     1.2 2.3 1.2.3 1.2.3 1   2.3 3.4 2.3.4 …… 1   37.38 38.39 37.38.39 1 1 1 1 Suy A  (         2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 65 65 A  Vậy : 02:42:29 02:42:29 132 264 ) 10.11 11.12 35 Bài 6.2 Tính giá trị biểu thức 1 1     B = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n  1)( n  2) Giải: Ta có : B = =  1 2 2        1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.( n 1)( n  2)   1 1 1 1 1            1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.( n  1) (n 1)( n  2)  =  11     (n  1)(n  2)  Vậy B =  11     (n  1)(n  2)  02:42:29 02:42:29 36 Bài 6.3 Tính tổng C = 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 Giải : Áp dụng công thức tổng quát bài 6.2 Ta có C = 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1  4949 C      99.100  19800 Vậy C  4949 19800 02:42:29 02:42:29 37 Bài 6.4 Tính tổng C = 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 211.212.213 ( Đề Violympic 2012-2013) Giải : Áp dụng công thức tổng quát bài 6.2 1 1     Ta có C = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 211.212.213 1  22577 C      212.213  90312 22577 C 90312 02:42:29 02:42:29 38 Bài 6.5 Tính giá trị biểu thức Giải : Ta có 1    D= 1.2.3.4 2.3.4.5 (n  1).n(n  1)(n  2)   3     D=    1.2.3.4 2.3.4.5 ( n  1).n.(n  1).(n  2)   1 1 1 1       D=    1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n  1).n.( n 1) n.( n 1).( n  2)   1 1 D =   n(n  1)(n  2)     1 1  Vậy D =    n(n  1)(n  2)  02:42:29 02:42:29 39 Dạng 7: 10 2010  20 1 A  B  10 Bài 7.1: So sánh : và 10 20  20  (Bài 13.4 SBT Toán 6T2.Trang 34) Giải : (2010  1)  1  Xét A  10 20  10 20  (2010  3)  2 B 1  10 10 20  20  (1) (2) Từ (1) và (2) suy 2010   2010  Vậy A < B 02:42:29 02:42:29 40 Bài 7.2: So sánh : 1015  A  16 10  1016  và B 1017  Giải : 10.(1015  1) 1016  10  16 *Xét 10 A  16 hay 10 A 1  10  *Xét 10 10  10.(1016  1) 1017 10 B  17 17 10  10  10 A 1  hay 16 10  (3) 1017  (4) Từ (3) và (4) suy 10.A > 10.B Vậy A > B 02:42:29 02:42:29 41 10 2013  2000 10135  2000 Bài 7.3: So sánh : A  và B  201311  2000 2013  2000 ( Đề Violympic 2012-2013) Giải : 2013.(20135  2000) 20136  2013.2000  *Xét 2013 A  6 2013  2000 hay 2013 A 1  *Xét 2012.2000 20136  2000 2013  2000 (5) 10 11 2013.(2013  2000) 2013  2013.2000 2013 B   201311  2000 201311  2000 2012.200 hay 2013 A 1  (6) 11 2013  2000 Từ (5) và (6) suy 2013.A > 2013.B Vậy A > B 02:42:29 02:42:29 42 Bài 7.4: Biết:      2013.a      2013.b  a b Khi đó , so sánh a và b ta a …… b ( Điền dấu >;< + vào chỗ (… ) ) ( Đề Violympic 2012-2013) Giải:      2013.a      2013.b Xét :  a b      2012 2013.a      2012 2013.b     a a b b      2012      2012   a b Do đó a>b ( Vì hai phân số có cùng tử ) 02:42:29 02:42:29 43 C.KẾT LUẬN Với nội dung trình bày trên là phần kiến thức mà người giáo viên thực quá trình giảng dạy Nhưng đó là việc chúng tôi đã thường xuyên làm để giúp học sinh học tốt các nội dung toán trường THCS Trần Phú Qua thời gian thực chuyên đề cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng quát từ ví dụ cụ thể học sinh đã dễ dàng tiếp thu cách tích cực sáng tạo, gây hứng thu cho học sinh Với các định hướng trên giải số bài tập các buổi luyện tập, ôn tập và đặc biệt các kì thi thông tin học sinh giỏi toán và các vong thi giải toán violimpic chúng tôi thấy học sinh định dạng và giải các bài tập dạng này tốt Do khả có hạn nên người viết không tránh khỏi nhiều thiếu sai sót, mong các đồng chí, đồng nghiệp dạy toán cùng góp ý thêm để chuyên đề này hoàn thiện và áp dụng rộng rãi góp phần nâng cao chất lượng dạy học mũi nhọn môn toán trường trung học sở 02:42:29 02:42:29 44 02:42:29 02:42:29 45