1. Trang chủ
  2. » Kinh Tế - Quản Lý

Ung dung cua da thuc doi xung

4 8 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 24,07 KB

Nội dung

Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán.. Ron Larson and Robert P.Hosterler, Houghton Mifflin Company Boston New York..[r]

(1)

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

Ths Cao Ngọc Châu

Phòng GD&ĐT Can Lộc, Hà Tĩnh

Trong chương trình tốn THCS khái niệm đa thức trình bày Nhưng thực chưa vận dụng nhiều vào giải số tốn Trong tơi xin giới thiệu số ứng dụng đa thức đối xứng vào việc giải số toán đại số sơ cấp cách đơn giản

I/ Cơ sở lý thuyết

1/ Định nghĩa: Một đa thức ẩn x,y,z gọi đa thức đối xứng khơng thay đổi giá trị ta thay cách tuỳ ý ẩn x,y,z cho

Ví dụ 1: a, Các đa thức sau đa thức đối xứng

x+y, x.y, x2y+xy2, x2+y2, x5+y5, x2+y2+z2, x3+y3+z3-3xyz,

b, Các đa thức sau đa thức đối xứng: x-y, x2-y2,x3-3y2+2xy,

2/ Đa thức đối xứng

a, Với đa thức hai ẩn có hai đa thức đối xứng bản:

δ1=x+y , δ2=xy

b, Với đa thức ba ẩn có ba đa thức đối xứng

δ1=x+y+z , δ2=xy+xz+yz, δ3=xyz

3/ Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng a, Đối với đa thức hai ẩn việc biễu diễn tương đối đơn giản,

Ví dụ 2: x2y + xy2=xy(x+y)= δ

1δ2 , x2+y2=(x+y)2-2xy = δ122δ2 ,

x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) = δ

1

3δ1δ2 ,

b, Đối với đa thức ba ẩn việc biểu diễn phức tạp hơn, ta dùng phương pháp hệ số bất định

+, Đa thức ẩn viết dạng đầy đủ

f(x , y , z)=t1xa1yb1zc1

+t2xa2yb2zc2

+ +tmxamyb1mzcm , hạng tử

tixaiyb1izci có số mũ (a

i, bi, ci) với i=1, m

Ví dụ3: f(x , y , z)=x3+y3+z33 xyz=x3y0z0+x0y3z0x0y0z33 xyz

+, Phương pháp biểu diễn:

Chọn hạng tử cao giả sử tixaiyb1izci có số mũ (a

i, bi, ci)

Viết tất số mũ (di, mi, ni) thoã mãn di+mi+ni=ai+bi+ci

di≥ mi≥ ni

- Giả sử f(x , y , z) có dạng

¿

1

δd2−m❑.δ

1

m2− n2δ

n21

+ +ktδdt− m❑.δ

2

mt− ntδ

3

nt

f(x , y , z)=k1δd1−m11.δ

m1−n1δ

n1 +k2

(2)

Cho x,y,z tuỳ ý ta tìm k1, k2, , kt

Ví dụ 4: Biểu diễn đa thức sau: f(x , y , z)=x3+y3+z3 qua đa thức đối

xứng

- Hạng tử cao x3 có số mũ (3,0,0)

- Viết tất số mũ: (3,0,0),(2,1,0),(1,1,1) Giả sử có:

x3

+y3+z3=k1δ130δ200δ30+k2δ211δ210δ30+k3δ111δ211δ31=k1δ13+k2δ1δ2+k3δ3

Cho x=1, y=-2, z=1 ta δ=0, δ2=3, δ3=2⇒k3=3

Cho x=1, y=1, z=0 ta δ1=2, δ2=1, δ3=08k1+2k2=2

Cho x=1, y=1, z=1 ta được: δ1=3, δ2=33=127k1+9k2+3=3

Từ suy ra: k1=1, k2=3

Vậy x3+y3+z3=δ133δ1δ2+3δ3

II/ Một số ứng dụng

1 Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 5: Cho x+y=1, x3+y3=a , x5+y5=b

Chứng minh rằng: 5a(a+1)=9b+1

Giải: Ta có x+y¿

3

3 xy(x+y)=δ133δ1δ2

x3

+y3=¿

⇒δ2=1− a

3 (1)

Mặt khác b=x5+y5+x2y3+x3 y2− x2y3− x3 y2

¿x2(x3+y3)+y2(x3+y3)− x2y2(x+y)

¿(x2+y2)(x3+y3)− x2y2(x+y) (δ122δ2)(δ133δ1δ2)− δ1δ22

(12δ2)(13δ2)− δ22 1+5δ225δ2=5a

2

+5a −1

9 theo(1)

Vậy: 9b=5a2+5a −1 hay 9b+1=5a(a+1) Đpcm

2 Chứng minh bất đẳng thức

Từ bất đẳng thức

z − x¿20 ¿

2(x2+y2+z2)2(xy+xz+yz)0

y − z¿2+¿

x − y¿2+¿ ¿ ¿

Từ BĐT ta vận dụng chứng minh BĐT khác

Ví dụ 6: Chứng minh BĐT

a, ( ab+ac +bc¿23 abc(a+b+c) với a , b , c∈R

(3)

a, Từ δ1

3δ2 hay x+y+z¿ 23

(xy+xz+yz)

¿

đặt x=ab, y=ac, z=bc

ta ab+ac +bc¿23(a2bc+ab2c+abc2)=3 abc(a+b+c)

¿

b, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với δ1δ29δ3 .

Do a , b , c dương nên δ1, δ2, δ3>0 Từ BĐT δ123δ2

δ223δ1δ3 ta có

δ1

δ2

9δ1δ2δ3 Suy δ1

9δ2δ3

3.Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Ví dụ 7: Phân tích đa thức

f(x , y)=x3+3x3y+2x2y+3x2 y2+2 xy2+3 xy3+y3 thành nhân tử

Giải: Ta có: f(x , y)=x3+y3+3 xy(x2+y2)+2xy(x+y)+3x2y2

¿δ133δ1δ2+3δ2(δ122δ2)+2δ1δ2+3δ22

¿δ1

− δ1δ2+3δ1

δ23δ2

¿δ1

2

(δ1+3δ2)−δ2(δ1+3δ2)=(δ1+3δ2)(δ1

− δ2)

¿(x+y+3y)(x2+y2+xy)

4 Giải phương trình hệ phương trình

Ví dụ 8: Giải phương trình

4

x −2+√3− x=1

Giải: Đặt

x −2=u ,4√3− x=v Ta có: u , v ≥0

Khi ta có hệ:

u+v=1 u4

+v4=1

¿

¿δ1=1

δ122δ 2¿

22δ 2

=1

¿

¿{

¿

Từ suy ra: δ2=0 δ2=2 Vì u=v=1 khơng xảy ra, nên

δ22

Vậy:

¿

δ1=1

δ2=0

¿{

¿

ta có

¿

u=1 v=0

¿{

¿

¿

u=0 v=1

¿{

¿

Nếu: u=1, v=0 phương trình có nghiệm x=3

Nếu: u=0, v=1 phương trình có nghiệm x=2

(4)

Gi¶i hƯ:

4

3 17

x y

x y

 

 

 

Giải:

Ta đặt t1= x + y t2= x y ta có hệ :

1

4 2

1 2

3

4 17

t

t t t t

  

  

 t1 =

3 ta có :

2

2 2;1 2;2

2t  36t 64 0  t 16;t 2

do x; y nghiệm pt: u2  3u16 0

2 3 2 0

uu 

từ ta có:

1

x y

  

2

x y

  

 

Tài liệu tham khảo

[1] Tạp chí tốn học tuổi trẻ Quyển 2, NXB Giáo dục, 2006 [2] Đậu Thế Cấp, Đai số sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục, 2004

Ngày đăng: 22/05/2021, 08:57

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w