Đề này trích từ cuốn: “Cấu trúc đề thi môn TOÁN, VẬT LÍ, HÓA HỌC, SINH HỌC dùng để ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009” của Nhà xuất bản giáo dục Tôi gửi lên [r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
ĐỀ THAM KHẢO Mơn thi : TỐN, khối B, D
Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
2x y
x
.
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến (C) hai điểm song song với
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: (1 + 2cos3x)sinx + sin2x = 2sin2 2x
4
2 Giải phương trình: 2 12
log x log x log 0
Câu III (1,0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =
2
2
x ln (x 1)
x
, trục hoành, trục tung đường thẳng
x = e 1 Câu VI (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, AA = 2a đường thẳng AA tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối tứ diện ACAB theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Tìm tất giá trị tham số a để bất phương trình
3
x 3x 1 a x x 1
có nghiệm II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chọn làm hai phần (phần phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình :
x y z
2
mặt phẳng (P) có phương trình : 3x – 2y – z + =
1 Tính khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P)
2 Kí hiệu l hình chiếu vng góc d (P) Viết phương trình tham số đường thẳng l Câu VIIa (1,0 điểm)
Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức : x(3 + 5i) + y(1 – 2i)3 = + 14i
2 Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình :
x y z
2
mặt phẳng (P) có phương trình : 3x – 2y – z + =
1 Tính khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P)
2 Kí hiệu l giao tuyến (P) mặt phẳng chứa d vng góc với (P) Viết phương trình tắc đường thẳng l
Câu VIIb (1,0 điểm)
Cho số phức z = + 3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z5.
(2)Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm.
(3)ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
I (2,0 điểm)
1. (1,25 điểm)
Với m = 0, ta có hàm số y = – x3 – 3x2 + 4
Tập xác định: D =
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = – 3x2 – 6x, y’ =
x
x
y’ <
x
x
y’ > – < x <
Do đó: + Hàm số nghịch biến khoảng ( ; 2) (0 ; + ) + Hàm số đồng biến khoảng ( ; 0)
0,50
Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu x = – yCT = y(–2) = 0;
+ Hàm số y đạt cực đại x = yCĐ = y(0) =
Giới hạn: xlim , xlim
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị:
Đổ thị cắt trục tung điểm (0 ; 4), cắt trục hoành điểm (1 ; 0) tiếp xúc với trục hoành điểm ( ; 0)
0,25
2. (0,75 điểm)
Hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + ) y’ = – 3x2 – 6x + m 0, x >
3x2 + 6x m, x > (*) 0,25 Ta có bảng biến thiên hàm số y = 3x2 + 6x (0 ; + )
Từ ta : (*) m
0,50
II (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Phương trình cho tương đương với phương trình :
3 sin x
2sin x 3 sin x cos x
3 sin x cos x
0,50
n
x ( 1) n , n
3
x k , k
6
0,50
Câu Đáp án Điểm
x y' y
2
0
0
0
4
4
3
2 O
y
x
x
y
0
(4)2. (1,0 điểm)
Điều kiện: x > – x (*)
Với điều kiện đó, ta có phương trình cho tương đương với phương trình:
2
2
log (x 2) x 5 log (x 2) x 8 (x 3x 18)(x 3x 2) 0
0,50
2
2
x 3x 18 17
x 3; x 6; x
2
x 3x
Đối chiếu với điều kiện (*), ta tất nghiệm phương trình cho là:
x 6 và
3 17 x 0,50 III (1,0 điểm)
Kí hiệu S diện tích cần tính
Vì
ln
x x
ln
e 1 x [ln ; ln8] nên S e 1dx 0,25
Đặt ex1 = t, ta có
2tdt dx
t
Khi x = ln3 t = 2, x = ln8 t =
0,25
Vì vậy:
3 3 3
3
2 2 2
2 2 2
2t dt dt dt dt
S dt 2 ln t ln t ln
t t t t
0,50
IV (1,0 điểm)
Do SA = SB = AB (= a) nên SAB tam giác
Gọi G I tương ứng tâm tam giác SAB tâm hình vng ABCD Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD
Ta có OG (SAB) OI (ABCD)
0,50
Suy ra: + OG = IH =
a
2, H trung điểm AB.
+ Tam giác OGA vng G
0,25
Kí hiệu R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD, ta có:
2
2 a 3a a 21
R OA OG GA
4
0,25
V (1,0
điểm) Ta có :
2 2 2
x x y y z z
P
y z z x x y
(*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y
Do : x3 + y3 xy(x + y) x, y > hay
2
x y
x y
y x
x, y >
0,50
Tương tự, ta có :
2
y z
y z
z y y, z >
2
z x
z x
x z x, z >
Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P 2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z =
Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z =
1
3 Vì vậy, minP =
0,50
VI.a (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Viết lại phương trình (C) dạng: (x – 3)2 + y2 = 4.
Từ đó, (C) có tâm I(3 ; 0) bán kính R = 0,25
Suy trục tung khơng có điểm chung với đường trịn (C) Vì vậy, qua điểm tục tung
luôn kẻ hai tiếp tuyến (C) 0,25
A
BHGOICD
(5)Xét điểm M(0 ; m) tùy ý thuộc trục tung
Qua M, kẻ tiếp tuyến MA MB (C) (A, B tiếp điểm) Ta có:
Góc đường thẳng MA MB 600
0
0
AMB 60 (1)
AMB 120 (2)
0,25
Vì MI phân giác AMB nên :
(1)
0
IA
AMI 30 MI MI 2R m m
sin 30
(2)
0
IA 2R
AMI 60 MI MI m
sin 60 3
(*) Dễ thấy, khơng có m thỏa mãn (*)
Vậy có tất hai điểm cần tìm là: (0 ; 7) (0 ; 7)
0,25
2 (1,0 điểm)
Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc
với d 0,25
Vì H d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ; + t ; t) Suy : MH = (2t ; + t ; t)
Vì MH d d có vectơ phương u = (2 ; ; 1), nên :
2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) = t =
2
3 Vì thế, MH =
1
; ;
3 3
0,50
Suy ra, phương trình tham số đường thẳng MH là:
x t y 4t
z 2t 0,25 VII.a (1,0 điểm)
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
P = C (x 1)60 6C x (x 1)16 5C x (x 1)6k 2k k C x (x 1) C x5 106 66 12
0,25
Suy ra, khai triển P thành đa thức, x2 xuất khai triển C (x 1)06 6và C x (x 1)16 5. 0,25
Hệ số x2 khai triển C (x 1)06 6là : C C06 26
Hệ số x2 khai triển C x (x 1)16 5là : C C16 05
0,25
Vì vậy, hệ số x2 khai triển P thành đa thức : C C06 26 C C16 50 = 9. 0,25
VI.b (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm) Xem phần Câu VI.a
2 (1,0 điểm)
Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc
với d 0,25
d có phương trình tham số là:
x 2t
y t
z t
Vì H d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ; + t ; t) Suy : MH = (2t ; + t ; t)
Vì MH d d có vectơ phương u = (2 ; ; 1), nên :
2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) = t =
2
3 Vì thế, MH =
1
; ;
3 3
0,50
Suy ra, phương trình tắc đường thẳng MH là:
x y z
1
0,25
(6)VII.b (1,0 điểm)
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
P = C (x 1)05 C x (x 1)15 C x (x 1)5k 2k k C x (x 1) C x54 55 10
0,25
Suy ra, khai triển P thành đa thức, x3 xuất khai triển C (x 1)50 5và C x (x 1)15 4. 0,25
Hệ số x3 khai triển C (x 1)05 5là : C C05 35
Hệ số x3 khai triển C x (x 1)15 4là : C C15 14
0,25
Vì vậy, hệ số x3 khai triển P thành đa thức : C C05 35C C15 14= 10. 0,25