Chuyen de giai PT bac hai on thi L10 nam 2012Le Hoa

Bµi tËp ¸p dông.[r]

A.Lý thuyÕt

1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = (a 0) (1) a, b, c hệ số bit, x l n

2 Cách giải công thức nghiệm :

Tổng quát( Nếu b số lẻ ) Thu gọn (Nếu b số ch½n )

Δ = b2 – 4ac

Δ < phơng trình vô nghiệm

= phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = - b

2a

Δ > p/tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 ¿− b+√Δ

2a ; x2 ¿

− b −√Δ

2a

Δ ’ = b’2 – ac ( b'

=b/2 )

< phơng trình vô nghiệm

= phơng trình có nghiệm kÐp: x1= x2 = - b'

a

Δ > p/trình có hai nghiệm phân biệt: x1=− b

'

+√Δ'

a ; x2 ¿

− b ' −√Δ'

a

3 Điều kiện để PT ax2 + bx + c = có : a Nghiệm kép:

/

0 ( ) a

ìï ¹ ïí

ï D D =

ïỵ b NghiƯm pb: /

0 ( ) a

ìï ¹ ïí

ï D D > ïỵ

c V« nghiƯm:

/

0 ( ) a

ìï ¹ ïí

ï D D <

ïỵ d PT cã nghiƯm: /

0 ( ) a

ìï ¹ ïí

ï D D ³ ïỵ

e VSNghiệm

a b c      

  

4 HÖ thøc Vi-Ðt: * HÖ thøc vi – Ðt:

NÕu x1, x2 hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) th×

¿

x1+x2=−b a x1.x2=c

a

¿{

¿

*øng dơng : + NhÈm nghiƯm:

- NÕu a + b + c = th× (1) cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = c

a

- NÕu a - b + c = th× (1) cã hai nghiƯm x1 = - 1; x2 = − c

a

+ Tìm hai số biết tổng tích chúng: Hai số có tổng S tích P - Nếu S2 4P hai số hai nghiệm phơng trình x2 – S.x + P =

- NÕu S2 < 4P phơng trình vô nghiệm, không tồn hai số ma tỉng lµ S, tÝch lµ P 5 XÐt dấu nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0)

Cho phương trình ax2bx c 0(2)  Đặt 2

b c

S x x ;P x x

a a

    

x ;x1 2là nghiệm phương trình (2)

b) Pt(2) có nghiệm dương

1

0

0 x x P

S            

c) Pt(2) có nghiệm âm

1

0

x x P

S            

d) Pt(2) có nghiệm dương

1

1

1

a

a 0; x>0 a 0 0

x x c S 0

x

x x b

P P

x x

S                                                      

e) Pt(2) có nghiệm âm

1

1

1

a

a 0; x<0 a 0 0

x x c S 0

x

x x b

P P

x x

S                                                      

g) Pt(2) có nghiệm dương

1

1

a a 0

a 0; x>0 x c 0 0

x x b

S P

x x

P S                                           

h) Pt(2) có nghiệm kép

a 0       

k) Pt(2) có nghiệm âm

1

1

a a 0

a 0; x>0 x c 0 0

x x b

S P

x x

P S                                           

6 NÕu Pt (1) cã hai nghiÖm x1, x2 th× tam thøc ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)

7.Một số toán øng dơng hƯ thøc Vi- Ðt: a)

x1

+

x2

=x1+x2

x1.x2

=S

P ;

b) x12+x

22=x

12+2x1.x2+x

22−2x1.x2=(x1+x2)

2

−2x1.x2=S2−2P ; c)

x1.x2¿

¿ ¿

1

x12

+ x22

=x12+x22

¿

;

e) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

f) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

g) x1

x2+ x2

x1=

x12+x22

x1x2 =

S2−2p p

h) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

k)

x1−a

+ x2−a

= x1+x2−2a (x1− a)(x2−a)=

S −2a p −aS+a2

(Chó ý : c¸c giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn điều kiện 0 )

8) Ph ơng pháp giải số dạng PT :

a) Phơng trình bậc nhất

- Phơng trình bậc phơng trình có dạng ax + b = (a0) - Phơng trình có nghiệm nhất: x =

b a

b) Phơng trình tích

- Phơng trình tích phơng trình có dạng: A(x).B(x) = - Cách giải: A(x).B(x) = <=> A(x) = hc B(x) =

- Trình bày gọn: A(x).B(x) = <=>

A( x ) B( x )  



 

- Më réng: A(x).B(x).C(x) = <=>

A( x ) B( x ) C( x )  





c) Phơng trình chứa ẩn mẫu

- Giải phơng trình chứa Èn ë mÉu ta thùc hiƯn theo bíc:

Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình

Bớc 2: Quy đồng mẫu hai vế phơng trình khử mẫu  Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc

 Bíc 4: (kÕt luËn)

Trong giá trị ẩn tìm đợc bớc 3, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phơng trình cho, giá trị x khơng thuộc ĐKXĐ nghiệm ngoại lai (loại đi)

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 3x 5x x

 

 



Giải Điều kiện: x 3 x 0

2

Pt (2x 5)x (3x 2)(x 3) 4x(x 3) x 6(nhan)

x

x 6(nhan)

      

 

   

  

Nghiệm phương trình x

Bài tập: Giải phương trình

1/

2x x 3x x x x 5x

  

 

    2/

2x x 5x x x x 5x

  

 

   

d) Ph¬ng trình trùng phơng

Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng:

4

Đặt x2 = t (t0), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai ẩn t

2

at bt c 0 (*)

Giải phơng trình (*), lấy giá trị thích hợp thỏa mÃn t0

 Thay vào đẳng thức: x2 = t v tỡm x = ?

9) Các dạng phơng trình chứa tham số

Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số

Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng tr×nh

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm

 Trêng hỵp 2: a 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiƯm <=>  0 ' 0

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghim phõn bit

Phơng trình bậc hai ẩn cã hai nghiƯm ph©n biƯt : <=>

0

0( ' ) a

 

    

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - ) = có hai nghiệm phân biệt Giải

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  

41

25 4 41

4    m    m  m

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép

Phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm kép <=>

0

0( ' 0) a

 

    

Ví dụ 1:Tìm m để pt x2  3mx(2m2  m 1) 0 có nghiệm kép tìm nghiƯm kép

Giải Phương trình có nghiệm kép  0

 

2 2 2

9 4 ( 2)

 m  m  m  m  m  m  m

=0  m2 Nghiệm kép

3

3

2

m

x x   

Bài tập: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép

2

2

2

) 2( 2)

)( 4) 2

)( 1) ( 1)

)( 3)

a mx m

b m x mx m

c m x m x m m

d m x mx m

   

    

    

   

Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vơ nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vơ nghim

Trờng hợp 2: a # 0, phơng trình bậc hai ẩn vô nghiệm <=> 0 ' 0

Dạng 6: Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt

 C¸ch 1: Chøng minh: 0 a ac     

 C¸ch 2: Chøng minh:

      0 a

Chó ý: Cho tam thøc bËc hai  = am2 bmc

§Ĩ chøng minh  0, m ta cÇn chøng minh

2 m a

b 4ac

          Ví dụ : Cho phương trình x2 -2( m + )x +4m = 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn điều kiện

1

2

5

x x

x  x 

Giải

a) Ta có:    

2 2

1 1

  m  m m  m  m  "m

VËy phương trình ln có nghiệm với giá trị m

b) V× phương trình ln có nghiệm với giá trị m

Theo vi ét ta có x x1 2(m1);x1x2 4m

 22

1

2 1

2 2 5 2

4 2.2( 1)

4 2.2( 1) 5( 1);

2( 1)

4 9 0; 81 144 225, 15

                          

x x x x

x x

x x x x

m m

m m m m

m

m m

1

9 15 24 3;

8

m 

    2 15

8

m   

Dạng 7: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc đó.

a) Phơng trình có hai nghiệm hai số đối nhau:

<=>

0

0 a

b

S x x

a              

b) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo nhau:

<=>

0

1 a

c

P x x

c) phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn biểu thức liên hệ hai nghiệm đó:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

 Bíc 2: TÝnh x1 + x2 =

b

a vµ x1.x2 = c a

 Bớc 3: Biểu thị đợc biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x1 + x2

x1.x2 vào để tính giá trị biểu thức

Chú ý: Sử dụng đẳng thức để biến đổi biểu thức cho trớc dạng có chức tổng tích các nghiệm (nếu cần).

Dạng 8: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm cịn lại

Bớc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta cã:

2

1 ?

ax bx c m

Bớc 2: Để tìm nghiệm lại x2 ta thực theo hai cách:

Cách 1: Thay giá trị m vào phơng trình ban đầu Từ có phơng trình bậc hai giải phơng trình ta tìm đợc x2

Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi-ét: x2 S x1 x = P : x2

D¹ng 9: Tìm phơng trình bậc hai biết trớc hai nghiƯm sè

 Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 Ta có phơng trình với ẩn x lµ :

 

1 2

(x x ) x x  0 x  (x x )xx x 0

 Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng

Bớc 1: Tìm S = x1 x2 P = x x1

Bớc 2: Phơng trình với ẩn x x2 SxP Phơng trình có nghiệm <=> S2 4P

Dạng 10: Tìm hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng

NÕu hai số u v thoả mÃn

 

 

u v S

u.v P (S2 4P) Thì u v nghiệm phơng trình

x2 - Sx + P = 0 (*)

- Nếu phơng trình (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x , x1 2 Do u, v có vai trò nh nên có hai

cặp số thỏa mÃn

1

u x v x    

 

 hc

2

u x v x    

- Nếu phơng trình (*) có nghiÖp kÐp x1 x2 a => u = v = a

- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa yờu cu bi

Dạng 11: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình 1/ Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) cã mét nghiÖm x = x

Cách giải:

Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số

2/ Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x

1; x = x2

C¸ch 1:

 Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:



 

  

 

2

1

2

2

ax bx c

Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham sè

C¸ch 2:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

 Bíc 2: Theo Vi-Ðt

 

 

  

 

 

1

1

b

x x

a c x x

a

 Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số

B Bài tập áp dụng. Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH TT PTBH

1 x2 - 11x + 30 = 0 13 x2 - 16x + 84 = 0 x2 - 10x + 21 = 0 14 x2 + 2x - = 0 x2 - 12x + 27 = 0 15 5x2 + 8x + = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 16

x2 – 2(

√3+√¿ ¿ x + √6

=

5 3x2 - 19x - 22 = 0 17 11x2 + 13x - 24 = 0 x2 - (1+

√2 )x + √2 = 18 x2 - 11x + 30 = 0 x2 - 14x + 33 = 0 19 x2 - 13x + 42 = 0 6x2 - 13x - 48 = 0 20 x4 - 13x2 + 36 = 0 3x2 + 5x + 61 = 0 21 9x4 + 6x2 + = 0 10 x2 -

√3 x - - √6 = 22 2x4 + 5x2 + = 0 11 x2 - 24x + 70 = 0 23 2x4 - 7x2 - = 0 12 x2 - 6x - 16 = 0 24 x4 - 5x2 + = 0

Bài tập Tìm x, y tr ờng hợp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30 b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40 c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66 d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

Bài tập 3.Không giải phơng trình,hÃy tính tổng tích nghiệm phơng trình sau a) x2 + 6x + = 0 e) x2 + 13x + 42 = 0

b) 11x2 + 13x - 24 = 0 f) 11x2 - 13x - 24 = 0 II/ Dạng: Giải biện luận phương trình:

Ví dụ: Giải biện luận phương trình (m 2)x 2 2(m 1)x m 0    Giải

*

1 m m : Pt 6x x

2

         

* m 0   m : ' (m 1)    2 (m 2)(m 5) 9m 9(m 1)      +  ' 0 9(m 1) 0   m 1 : Phương trình vơ nghiệm.

+   ' 9(m 1) 0   m 1 : Phương trình có nghiệm kép

m

x

m 

 

 .

m m x

m m m x

m

   

 

 



   

 

 

Kết luận:

+ m < 1: Phương trình vơ nghiệm

+ m = 1: phương trình có nghiệm x = -2 + m = 2: phương trình có nghiệm

1 x

2 

+ m :  phương trình có nghiệm phân biệt

m m x

m m m x

m

   

 

 

   

 

Bài tập 4.a)Tìm phơng trình bËc hai cã hai nghiƯm lµ: √3+√2 vµ

32

6

b)Không giải phơng trình, hÃy tìm tổng lập phơng nghiệm phơng tr×nh sau: 3x2 - 5x - = 0.

Bài tập 5.Với giá trị b phơng tr×nh: a) 2x2 + bx - 10 = cã mét nghiÖm b»ng 5. b) bx2 - 15x - = cã mét nghiÖm b»ng 7.

c) ( b - )x2 - ( b + )x - 72 = cã mét nghiƯm b»ng 3, t×m nghiệm lại. Bài tập 6.Chứng minh với giá trị k phơng trình:

a) 7x2 + kx - 23 = cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.

b) 12x2 + 70x + k2 + = có hai nghiệm dơng. c) x2 - ( k + )x + k = cã mét nghiƯm b»ng 1.

Bµi tËp 7.Chøng tỏ phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m:

a) x2 - 4x – m2 = d) x2 + ( m + )x + m + = b) 2x2 - 3x + m - = e) x2 - ( + 2m )x + m =

c) x2 + 2( m - )x + m2 = f) ( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + )x + =

Bài tập 8.Tìm điều kiện m để ph ơng trình sau có nghiệm,vơ nghiệm

a) x2 + x - m = d) x2 - ( m - )x + = b) 2x2 - 3x + m - = e) x2 + 2x + m2 =

c) x2 + 2( m - )x + m2 = f) ( m2 +1 )x2 - 2( m + )x + = Bµi tập 9.Với giá trị m phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biÖt, cã nghiÖm kÐp

a) 3x2 - 2x + m = c) 4x2 + mx + m2 = b) 5x2 + 18x + m = d) 4x2 + mx - = Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - )x2 - 2( a - )x + a - 15 =

a)Giải phơng trình a = 13 b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + )x + m =

a)Chứng minh phơng trình có nghiệm

Bài tập 12.Cho phơng trình: x2 - 2( m + )x + 2m + 10 = a)Giải biện luận số nghiệm phơng trình theo m

b)Tỡm m cho 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 =

a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm m để phơng trình có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + )x + 2k - =

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

b) Chứng minh tổng tích hai nghiệm có liên hệ khơng phụ thuộc vào k c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức x1

1

+ x2+

3

x1x2=2

Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - )x2 - 2( m + )x + 5m + = a)Xác định m để phơng trình có nghiệm

b)Trong trêng hỵp cã nghiƯm h·y tÝnh theo m tỉng S vµ tÝch P cđa nghiệm c)Tìm hệ thức liên hệ tổng S tích P

Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + )x + m - =

a) Chứng minh với m phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có hai nghim i

Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - )x + m - =

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm 3, tìm nghiệm lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm

Bµi tËp 19.Cho phơng trình: x2 - 2(m + )x + m - = a)Giải phơng trình m =

b) Chøng minh r»ng phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình, chứng minh biểu thức

A=x1(1 x2)+x2(1 x1) không phụ thuộc vào giá trị m Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - =

a)Giải phơng trình m =

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với giá trị m

c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình, tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x12+x22

Bài tập 21.Cho phơng trình: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0.

a)Với giá trị m phơng trình cho có nghiệm?

b)Xác định m để hiệu tổng hai nghiệm tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất? Bài tập 22 Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0

a)Giải phơng trình m=3 vµ n=2/3

b) Xác định m n để phơng trình có hai nghiệm -2 c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng? Bài tập 23 Cho phơng trình: x2 – 2(m-1)x +2m – = 0 a) Chứng minh với với m phơng trình ln có nghiệm

Bài tập 24 Cho phơng trình : x2 2(m+1)x +m2 + =0

a)Với giá trị m phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b)Tìm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4

Bµi tËp 25 Cho phơng trình : x2 - 4x +m =0 (1) a)Tính phơng trình (1) theo m

b)Với giá trị m phơng trình (1) cã nghiƯm ?

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn x12+x22=12

d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 , tìm giá trị m để biểu thức A=x12 + x22 đạt giá tr nh nht

Bài tập 26 Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1) a)Giải phơng trình (1) m = 12

b)Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm kép ?

c)Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2 Bài tập 27 Cho phơng trình : x2 – 2(a-1)x + 2a – = 0.

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm với a

b) a phơng trình cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < < x2 Bài tập 28 Cho phơng trình : x2 + mx + m-2 =0.

a)Giải phơng tr×nh (1) víi m=3

b)Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình (1) thoả mãn x12 + x22 = 4. Bài tập 29 Cho phơng trình: x2+ ( m + )x + m - = (1)

a Chøng minh ph¬ng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m

b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x22 + x1 x2 đạt giá trị lớn

Bài tập 30 Cho phơng trình x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1) a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 2 +x22 - x1x2 = 15 Bài tập 31 Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = (1) ( ẩn x, tham số k).

a Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm víi mäi k ?

b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1) Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ?

Bài tập 32 Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x2 + 4x – 2m = (1) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

b)Gi¶i phơng trình với m =

Bài tập 33 Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - =0 (1)

b) Chøng minh phơng trình (1) có nghiệm với m

c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm gấp đơi nghiệm

Bµi 1: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0

Gi¶i.

Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình cho có

nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

+ NÕu Δ❑ = ⇔ m = 3

- Với m =3 phơng trình cã nghiƯm lµ x1.2 =

- Víi m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2

+ NÕu Δ❑ < -3 < m < phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = phơng trình có nghiệm x =

Với m = - phơng trình cã nghiƯm x = -2

 Víi m < - m > phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

Với -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phơng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0

Híng dÉn

 Nếu m – = ⇔ m = phơng trình cho có dạng - 6x – = ⇔ x = -

2

* Nếu m – ⇔ m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số

Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = m = phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = - b

❑ a =

2

2−3 = -

- NÕu Δ❑ > ⇔ m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x

1,2 = m±3√m −2

m −3

- NÕu Δ❑ < ⇔ m < Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = -

2

Với m = phơng trình cã nghiƯm x1 = x2 = -2

Víi m > m phơng trình có nghiệm x1,2 = m±3√m −2

m −3

Víi m < phơng trình vô nghiệm

Bài 4 : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =

Suy : x1 = 1; x2 = m+1

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)

* m – ⇔ m (*)

⇔

x1=−1

¿

x2=2m−2 m −3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Bµi 5: Gäi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x – =

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = |x1− x2|

C= x

1−1

+

x2−1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc có nghiệm x

11

x

21

Giải ;

Phơng trình b©c hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có hai

nghiệm phân biệt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| = √S2−4p=√37

+ C = x

1−1

+

x2−1 =

(x1+x2)−2

(x1−1)(x2−1)=

S −2

p − S+1=−

1

9

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = -

b)Ta cã : S = x

1−1

+ x2−1=−

1

9 (theo c©u a)

p =

(x1−1)(x2−1)

=

p − S+1=−

1

VËy x

1−1

vµ x

2−1

nghiệm hơng trình : X2 SX + p = ⇔ X2 +

9 X -

9 = ⇔ 9X2 + X - =

Bµi 6 : Cho phơng trình : x2 ( k 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >

Giải Phơng trình (1) phơng tr×nh bËc hai cã:

Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k +

9 )

= 5(k2 – 2. k +

9 25 +

36

25 ) = 5(k - ) +

36

5 > víi giá trị k

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2.

2 k + +

7

⇔ -(k -

2 )2 -

4 < với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân

biƯt tr¸i dÊu víi mäi k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 +

k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)=(k – 1)[(2k - )2 +

87 16 ]

Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k - )2 +

87

16 ] >

⇔ k – > ( v× (2k -

4 )2 + 87

16 > víi mäi k) ⇔ k >

VËy k > giá trị cần tìm

Bài 7: Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phơng trình (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m

3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phng trỡnh (1) núi

trong phần 2.)

Giải

1 Với m = - phơng trình (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x

1 = , x2 =

-

2 Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

= m2 + 2.m. +

1 +

19

4 = (m + )2 +

19

4 > víi mäi m

Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 +

19 ]

=> |x1− x2| =

m+1

2¿

+19

4

¿

√¿

2√19

4 = √19 m +

2 = ⇔ m = -

Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ √19 m = -

2

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m tham số)

1) Giải phơng trình m = -

2

2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm vi mi m

3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Gi¶i:

1) Thay m = -

2 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 =

phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – = ⇔ x =

+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 >

x1 = 2m−1

+5

2(m+2) =

2m+4

2m+4=1 x2 =

2m−1−5 2(m+2) =

2(m−3)

2(m+2)=

m−3

m+2 Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ = m−3

m+2 giải ta đợc m = -

9

2 (đã giải câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= m−3

m+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m =

11

2 (thoả

mÃn điều kiện m - 2) KiĨm tra l¹i: Thay m = 11

2 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình :

15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

x1 = , x2 = 15 =

1

3 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè

1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = thay vào (1) ta cã : 4x – = ⇔ x =

4

+ NÕu m LËp biÖt sè Δ❑

= (m – 2)2 – m(m-3)= m2- 4m + – m2 + 3m = - m

+

Δ❑ < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiÖm Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - b

❑ a =

m−2

m =

4−2 =

1

Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m

Vậy : m > : phơng trình (1) v« nghiƯm

m = : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

2

m < : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m

m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

4

2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ c

a < ⇔

m−3

⇔

¿m−3>0 m<0

¿ ¿ ¿

m −3<0

¿

m>0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

¿m>3

m<0

¿ ¿ ¿

m<3

¿

m>0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Trêng hỵp

¿

m>3 m<0

{

không thoả mÃn

Trêng hỵp ¿

m<3 m>0

¿{

¿

⇔ < m <

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

Δ❑ ⇔ m (*) (ở câu a cú)

- Thay x = vào phơng trình (1) ta cã :

9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = -

4

- §èi chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

4 tho¶ m·n

*) Cách 2: Khơng cần lập điều kiện Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc m =

-9

4 Sau thay m = -9

4 vào phơng trình (1) :

-

4 x2 – 2(-9

4 - 2)x -

4 - = ⇔ -9x2 +34x – 21 =

cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > =>

x1=3

¿

x2=7

¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi m = -

4 phơng trình (1) có nghiệm x=

*)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

C¸ch 1: Thay m = -

4 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9

(Nh phần làm)

C¸ch 2: Thay m = -

4 vào công thức tính tổng nghiệm:

x1 + x2 =

2(m−2) m =

2(−9

4−2)

−9

=34

 x2 = 34

9 - x1 = 34

9 - =

C¸ch 3: Thay m = -

4 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 = m−3

m = −9

4−3

−9

4

=21

9 => x2 = 21

9 : x1 = 21

9 : =

9

Bµi 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 5k = (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ❑ = ⇔ k2 – (2 – 5k) =

⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > )  k1 = −5−√33

2 ; k2 =

−5+√33

VËy cã giá trị k1 = 533

2 k2 =

5+33

2 phơng trình (1) Có nghiệm

kép

2.Có cách giải

Cỏch 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

Δ❑ ⇔ k2 + 5k – (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi Ðt: x1 + x2 = - b

a=¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = 0

(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k –

+ k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n

+ k2 = -

2 => Δ

❑ = 49

4 − 35

2 −2=

49−70−8

4 =−

29

8 không thoả mÃn

Vậy k = giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện Cách giải là:

T điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -

2 (cách tìm nh trên)

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =

+ Víi k2 = -

2 (1) => x2- 7x + 39

2 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng trình vô

nghiệm