Mô đun con h nguyên tố

Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Các định nghĩa liên quan Môđun H-nguyên tố 2.1 Định nghĩa, tính chất 2.2 Vành tự đồng cấu môđun H-nguyên tố 2.3 Môđun H-nguyên tố môđun nửa H-nguyên tố 2.4 Môđun đơn môđun nửa đơn 4 8 11 13 17 LỜI GIỚI THIỆU Môđun nguyên tố xuất nhiều lĩnh vực đại số giao hoán Trong vài năm gần đây, số tác giả xây dựng khái niệm môđun nguyên tố dựa vào vành tự đồng tự đồng cấu (xem [3], [5], [6]) Trong đề tài này, xây dựng khái niệm môđun nguyên tố dựa vào định nghĩa tích hai mơđun gọi "Môđun H-nguyên tố" Khái niệm tích hai mơđun Lomp đưa vào năm 2004 (xem [2]) Trước định nghĩa tích hai môđun môđun, xét lại tích iđêan vành R Cho I, K iđêan vành R Tích hai iđêan IK xác định sau: bi |ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗ } IK = { i≤k Bây với a ∈ I, xét ánh xạ : RR → I xác định (r) = ar với r ∈ R Khi đồng cấu ab = ha(b) với b ∈ K Đặt K = {h(K)|h ∈ Hom(RR , I)} Từ suy hai (bi )|ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗ } ≤ H IK = { i≤k Ngược lại, lấy phần tử h(b) ∈ h(K) với b ∈ K h : RR → I đồng cấu Khi đặt a = h(1) ∈ I Suy h(b) = h(1)b = ab ∈ IK Vậy ta có IK = {h(k)|h ∈ Hom(RR, I)} Rõ ràng IK ≤ I IK ≤ K Từ định nghĩa tích iđêan, Lomp xây dựng tích hai môđun con: Cho M R-môđun phải S = EndR (M) Chúng ta ký hiệu L(M) lớp tất môđun môđun M L(R) (tương ứng, L(S)) lớp tất iđêan phải R (tương ứng, S) Chúng ta xét ánh xạ sau: φ : L(M) → L(S) xác định φ(N ) = Hom(M, N ), với N ∈ L(M) ϕ : L(S) × L(M) → L(M) xác định ϕ(I, N ) = IN , với (I, N ) ∈ L(S) × L(M) Từ ánh xạ ta xét phép tốn hai ngơi tập L(M) sau: ϕ(φ × 1M ) : L(M) × L(M) φ×1M ✲ L(S) × L(M) ϕ ✲ L(M) Khi đó, Lomp định nghĩa: H K := ϕ(φ × 1M )(H, K) = ϕ(Hom(M, H), K) = Hom(M, H)K = {f (K)|f ∈ Hom(M, H)} Khi đó, H K gọi tích mơđun H K M Trong đề tài này, giới thiệu lớp môđun nguyên tố sử dụng thuật ngữ "Môđun H-nguyên tố" để gọi chúng Định nghĩa dựa khái niệm tích hai mơđun End(RR) đẳng cấu với R Đề tài chia thành phần sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm liên quan đến chương sau số kết sử dụng chứng minh cho chương sau Chương 2: Môđun H-nguyên tố Trong chương 2, xây dựng môđun H-nguyên tố cách sử dụng khái niệm tích hai mơđun Bên cạnh đó, chúng tơi đưa số tính chất mơđun H-ngun tố môđun nửa H-nguyên tố Mặt khác, cho M mơđun ngun tố S = End(M) vành nguyên tố, ngược lại M tự sinh S = End(M) M mơđun H-ngun tố (Định lý 2.3.2) Ở phần tiếp theo, nghiên cứu số tính chất mơđun nửa đơn đưa đặc trưng môđun nửa đơn thông qua môđun H-nguyên tố Chúng ta biết vành R nửa đơn R-mơđun trái (phải) nửa đơn, từ vành nửa đơn R vành Artin phải nửa nguyên tố (Bổ đề 2.4.5) Chúng rằng, với X môđun Hngun tố M, linh hóa tử mơđun thương M/X iđêan nguyên tố R (Định lý 2.4.2) Kết khác với kết [6, Theorem 3.1] với vành cho vành giao hoán mơđun M tự sinh Theo đó, chúng tơi suy linh hóa tử mơđun đơn iđêan nguyên tố (Hệ 2.4.3) Một số tính chất khác mơđun H-ngun tố nghiên cứu mở rộng Chương Kiến thức chuẩn bị Đề tài thực dựa kiến thức biết lý thuyết môđun lý thuyết vành Sau đây, xin nhắc lại số định nghĩa định lý sử dụng đề tài Vành R sử dụng đề tài vành kết hợp đơn vị = (khơng thiết vành giao hốn) 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa mơđun) Cho vành R Khi đó, M gọi R - môđun phải M là: (1) nhóm cộng aben với (2) ánh xạ: M × R → M (m, r) → mr gọi phép nhân môđun, thỏa mãn điều kiện sau: (i) Quy tắc kết hợp: m(rr ) = (mr)r (ii) Quy tắc phân phối: (m + m )r = mr + mr m(r + r ) = mr + mr (iii) Quy tắc Unita: m1 = M với m, m ∈ M với r, r ∈ R Một R-môđun phải thường ký hiệu MR Tương tự, có khái niệm R - môđun trái ký hiệu R M Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa môđun con) Cho MR A nhóm M phép cộng A gọi môđun M Nếu A R - mơđun phải với phép tốn cộng nhân hạn chế A Ký hiêu: A ≤ M Ngồi ra, ta viết A < M A hiểu môđun thực M Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa môđun xyclic) Môđun sinh phần tử x ∈ M môđun M có dạng xR = {xr|r ∈ R} Mơđun cịn gọi mơđun xyclic sinh phần tử x ∈ M Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa iđêan phải) Cho R vành ∅ = I ⊂ R + I gọi iđêan phải vành R nếu: i) Với x, y ∈ I suy x − y ∈ I ii) Với x ∈ I với r ∈ R suy xr ∈ I + I gọi iđêan trái vành R nếu: i) Với x, y ∈ I suy x − y ∈ I ii) Với x ∈ I với r ∈ R suy rx ∈ I + I gọi iđêan (hai phía) vành R I đồng thời iđêan phải iđêan trái R Định nghĩa 1.1.5 (Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại) + Cho R vành giao hoán I iđêan R (I = R) Khi đó: I gọi iđêan nguyên tố R ∀x, y ∈ R cho xy ∈ I suy x ∈ I y ∈ I + I iđêan cực đại R I không chứa iđêan R trừ I R Nói cách khác: Với H iđêan R cho I ⊂ H H = I H = R + I iđêan nguyên tố R vành thương R/I miền nguyên + I iđêan cực đại R R/I trường Định nghĩa 1.1.6 (Linh hóa tử môđun) Định nghĩa Cho M R-môđun Khi đó, r(M) = {x ∈ R | mx = 0, ∀m ∈ M} linh hóa tử M Định nghĩa Cho M R-môđun, N ≤ M Khi đó: Tập (N : M) = {r ∈ R : rM ≤ N } gọi linh hóa tử môđun thương M/N 1.2 Các định nghĩa liên quan Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa tích hai mơđun môđun) Cho H,K môđun M Khi H K gọi tích hai môđun H K ký hiệu HK f (K) Chú ý theo phần giới thiệu thì: HK = f∈Hom(M,H) Nếu M = R, tích hai iđêan R theo định nghĩa tích iđêan theo nghĩa thơng thường; nghĩa I,K iđêan vành R bi |ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗ } IK = { i≤k Định nghĩa 1.2.2 (Môđun tự sinh) Môđun M gọi tự sinh với A ≤ M, tồn I ⊂ Hom(M, M) cho A = f (M) f∈I Định nghĩa 1.2.3 (Môđun tự xạ ảnh) Cho M R-môđun phải Lúc đó, mơđun M gọi tự xạ ảnh với toàn cấu p : M → A đồng cấu f : M → A tồn tự đồng cấu f : M → M cho p.f = f , nghĩa giản đồ sau giao hoán: ♣♣ f ♣♣ f ♣♣ ♣ ✠ p ❄ ✲ M M A ✲ Định nghĩa 1.2.4 (Định nghĩa môđun bất biến hồn tồn) Cho M R-mơđun phải S = EndR (M) vành tự đồng cấu Một môđun X M gọi môđun bất biến hoàn toàn M với s ∈ S, ta có s(X) ≤ X Ký hiệu X ≤f M Từ định nghĩa có nhận xét sau: Cho ∅ = H ⊂ End(M) f (A) ∅ = A ⊂ M Chúng ta ký hiệu H(A) = f∈H Nếu A ≤ M H(A) ≤ M Hơn nữa, H iđêan trái End(M), H(A) ≤f M Bổ đề 1.2.5 (Bổ đề Zorn’s) Cho tập hợp S = ∅ Trên S người ta trang bị quan hệ thứ tự "≤" Nếu với ∅ = Γ ⊂ S thứ tự tồn phần (hai phần tử ln so sánh với nhau) có cận lớn nhất, S có phần tử cực đại Định nghĩa 1.2.6 (Định nghĩa dãy DCC) Tập J iđêan phải R gọi thỏa mãn điều kiện dãy giảm (descending chain condition, thường viết tắt DCC) với dãy L1 ⊇ L2 ⊇ ⊇ Ln ⊇ J , tồn n ∈ N Ln+i = Ln , (với i = 1, 2, ) Định nghĩa 1.2.7 (Vành Artin) Định nghĩa Vành R gọi vành Artin phải tập khác rỗng iđêan phải R có phần tử cực tiểu Định nghĩa Vành R gọi nửa đơn Artin R vành nửa đơn, nghĩa iđêan phải hạng tử trực tiếp RR Định lý 1.2.8 Cho vành R tùy ý Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) R Artin phải; (2) R thỏa mãn diều kiện DCC tập iđêan phải; (3) Trong tập {Ai , i ∈ I} iđêan phải R, tồn tập hữu hạn I0 ⊆ I cho Ai = Ai i∈I i∈I0 Chương Môđun H-nguyên tố Trong phần này, đưa khái niệm môđun H-nguyên tố nghiên cứu số tính chất chúng Đồng thời đưa số áp dụng chúng vào lớp vành mơđun biết 2.1 Định nghĩa, tính chất Trước hết, đưa khái niệm môđun H-nguyên tố Định nghĩa 2.1.1 Cho M R- môđun phải X < M môđun bất biến M Khi X gọi mơđun H-nguyên tố M môđun bất biến I U M cho IU ≤ X, suy I ≤ X U ≤ X Từ định nghĩa trên, suy số tính chất mơđun H-ngun tố sau: Định lý 2.1.2 Cho M R-môđun phải, X < M môđun bất biến đầy M Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) X môđun nguyên tố M; (2) Với môđun I bất biến đầy M U môđun M, IU ≤ X I ≤ X U ≤ X; (3)Với I môđun M A ⊂ M, (SI)[S(A)R] ≤ X I ≤ X A ⊂ X; Hơn nữa, cho M tự sinh điều kiện tương đương với: (4) Với ϕ ∈ S = EndR (M) U môđun bất biến đầy M, [Sϕ(M)].U ≤ X ϕ(M) ≤ X U ≤ X; (5) Với ϕ ∈ S = EndR (M) với m ∈ M, [Sϕ(M)].[S(m)R] ≤ X ϕ(M) ≤ X m ∈ X Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử I ≤f M, U ≤ M cho IU ≤ X Ta phải chứng minh: I ≤ X U ≤ X Vì I ≤f M nên S(I) = I Sử dụng tích hai mơđun ta có f (U ) = f (U ) = I.U ≤ X S(I).U = f∈Hom(M,SI) f∈Hom(M,I) Mặt khác, I.S(U ) = g(S(U )) S(U ) = s(U ) Lấy s ∈ S s∈S g∈Hom(M,I) g ∈ Hom(M, I), ta có gs ∈ Hom(M, I) đó: gs(U ) ≤ S(IU ) ≤ X Suy S(I).S(U ) ≤ X Vì S(I) ≤f M, S(U ) ≤f M theo (1) X mơđun ngun tố M nên ta có S(I) ≤ X S(U ) ≤ X Vậy, I ≤ X U ≤ X Như vậy, (2) chứng minh (2) ⇒ (3) Giả sử với I ≤ M, A ⊂ M cho S(I).[S(A)R] ≤ X, ta phải chứng minh: I ≤ X A ⊂ X Rõ ràng I ≤f M nên S(I) ≤f M S(A) ≤ M nên theo (2) ta suy S(I) ≤ X S(A) ≤ X Từ đó, ta có I ≤ X A ⊂ X Như vậy, (3) chứng minh (3) ⇒ (1) Giả sử với I ≤f M U ≤f M cho I.U ≤ X Ta phải chứng minh: I ≤ X U ≤ X Theo giả thiết I ≤f M U ≤f M suy S(I) = I S(U ) = U Vì I.U ≤ X nên S(I).S(U ) ≤ X Theo (4) ta I ≤ X U ≤ X Do X mơđun ngun tố M Như vậy, (1) chứng minh Giả sử M tự sinh (4) ⇒ (3) Cho I ≤ M A ⊂ M cho S(I).[S(A)] ≤ X Khi đó, ta có S(I).[S(A)R] ≤ X ϕ(M), với tập H ⊂ End(M) (nào đó) Vì M tự sinh, nên I = ϕ∈H Từ suy ra: S[ϕ(M)].[S(A)R] ≤ X, với ϕ ∈ H + Giả sử S(A)R ≤ X Khi theo (4), S[ϕ(M)] ≤ X, với ϕ ∈ H Suy ϕ ≤ X, với ϕ ∈ H Do I = ϕ(M) ≤ X ϕ∈H + Giả sử S[ϕ(M)] ≤ X hay ϕ(M) ≤ X Khi theo (4), S(A)R ≤ X Do A ⊂ X Vậy, (3) chứng minh (3) ⇒ (5) Giả sử với ϕ ∈ S với m ∈ M cho S[ϕ(M)].S(m) ≤ X Ta phải chứng minh: ϕ(M) ≤ X m ∈ X Theo giả thiết ϕ ∈ S = EndR (M) nên ϕ(M) ≤ M Chọn tập A = {m}, ta có S(A) = S(m) Theo (3) suy S[ϕ(M)] ≤ X S(m) ≤ X Hay viết ϕ(M) ≤ X m ∈ X Như vậy, (5) chứng minh (5) ⇒ (4) Giả sử với ϕ ∈ S U ≤f M cho S[ϕ(M)].U ≤ X Ta chứng minh: ϕ(M) ≤ X U ≤ X Ta có: S[ϕ(M)].U ≤ X suy S[ϕ(M)].SU ≤ X (do SU = U ) Giả sử ϕ(M) / X Dẫn đến S[ϕ(M)]S(m0 ) ≤ X U X Khi tồn m0 ∈ U cho m0 ∈ S[ϕ(M)]S(U ) ≤ X Theo (5) ta suy ϕ(M) ≤ X m0 ∈ X, điều vô lý / X Như ta suy ϕ(M) ≤ X U ≤ X m0 ∈ Từ định lý trên, rút hệ sau: Hệ 2.1.3 Cho M R-môđun phải hữu hạn sinh, tự xạ ảnh tự sinh, X = M môđun bất biến đầy M Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) X môđun nguyên tố M; (2) Với môđun I môđun M U mơđun M, IU ≤ X I ≤ X U ≤ X; (3)Với I môđun M A ⊂ M, I[S(A)] ≤ X I ≤ X A ⊂ X; (4) Với ϕ ∈ S = EndR (M) U môđun bất biến đầy M, ϕ(M)U ≤ X ϕ(M) ≤ X U ≤ X; (5) Với ϕ ∈ S = EndR (M) với m ∈ M, ϕ(M)S(m) ≤ X ϕ(M) ≤ X m ∈ X Hệ 2.1.4 Cho iđêan P vành R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) P iđêan nguyên tố; (2) Nếu I J hai iđêan phải R cho IJ ≤ P I ≤ P J ≤ P; (3) Với a ∈ R với I ≤ R cho aI ≤ P aR ≤ P I ≤ P; (4) Nếu I J hai iđêan trái R cho IJ ≤ P I ≤ P J ≤ P; (5) Nếu x, y ∈ R với xRy ⊂ P x ∈ P y ∈ P Mệnh đề 2.1.5 Cho M R - môđun phải, M tự sinh X môđun bất biến đầy M Nếu X < M môđun bất biến đầy cực đại, X mơđun H-ngun tố M Chứng minh Giả sử X môđun bất biến đầy cực đại nghĩa là, với Y ≤f M, X ≤ Y Y = X Y = M Gọi U ≤f M ϕ ∈ S = End(MR ) cho Sϕ(M)U ≤ X Giả sử U ⊂ X Chúng ta cần chứng minh ϕ(M) ≤ X (Định lý 2.1.2(3)) Ta có X ≤ U + X X môđun bất biến đầy cực đại, U ≤f M X ≤f M nên suy U + X = M (vì U ⊂ X) Khi có ϕ(M) = ϕ(U + X) = ϕ(U ) + ϕ(X) (do ϕ đồng cấu) Mặt khác Sϕ(M).U = ϕ(U ) ≤ X, nên ϕ(U ) ≤ X hay Sϕ(M) ≤ X (vì X ≤f M) Suy ϕ∈Hom(M,S(M )) 10 ϕ(U ) ≤ X Vậy, theo Định lý 2.1.2(3) ta kết luận X môđun H-nguyên tố M Định nghĩa 2.1.6 Cho M R - môđun phải Một môđun H-nguyên tố X M gọi mơđun H-ngun tố cực tiểu cực tiểu lớp môđun H-nguyên tố M Mệnh đề 2.1.7 Nếu P môđun H-nguyên tố M với M R - môđun phải M tự sinh Khi đó, P chứa môđun H-nguyên tố cực tiểu M Chứng minh Gọi F tập tất môđun H-nguyên tố M chứa P Khi P ∈ F hay F = ∅ Áp dụng Bổ đề Zorn’s, F có phần tử bé Thật vậy, F trang bị quan hệ thứ tự bao hàm Giả sử ∅ = T ⊂ F tập thứ tự toàn phần F Đặt Q= N N ∈T Khi đó, với ϕ ∈ End(M) ϕ(Q) = ϕ( N ∈T N) ≤ ϕ(N ) ≤ N ∈T N =Q N ∈T Vậy, Q ≤f M Chúng ta chứng minh: Q môđun H-nguyên tố M Q ≤ P + Giả sử ϕ ∈ S = End(MR) m ∈ M/Q cho: ϕ(M).S(m) ≤ Q ≤ N Do m ∈ M/Q nên m ∈ Q = ∩N ∈T N Suy tồn N ∈ T cho m ∈ N Do N nguyên tố nên theo Định lý 2.1.2(5) ta có: ϕ(M) ≤ N (1) + ∀U ∈ T , U ≤ N N ≤ U (T tập thứ tự tốt toàn phần) * Nếu U ≤ N m ∈ U suy ϕ(M) ≤ U (do U nguyên tố) * Nếu N ≤ U từ (1) ta có ϕ(M) ≤ N ≤ U Vậy ϕ(M) ≤ U , với U ∈ T suy ϕ(M) ≤ Q Như vậy, với m ∈ / Q ta có ϕ(M) ≤ Q nên theo Định lý 2.1.2 ta có Q môđun H-nguyên tố M Rõ ràng Q ≤ P hay Q ∈ F Suy Q cận T Vì vậy, theo Bổ đề Zorn’s, F có mơđun H-ngun tố cực tiểu P * P∗ ≤ P Vậy P chứa P *, với P * môđun H-nguyên tố cực tiểu M 2.2 Vành tự đồng cấu môđun H-nguyên tố Trong phần này, đưa mối liên hệ môđun H-nguyên tố vành tự đồng cấu 11 Bổ đề 2.2.1 Cho M R - môđun phải S = EndR (M) Giả sử X môđun bất biến M Khi đó, tập IX = {f ∈ S|f (M) ≤ X} iđêan hai phía S Chứng minh Giả sử X ≤f M +Với f , ϕ ∈ S ta có f − ϕ ∈ S ( S tự đồng cấu) Với f , ϕ ∈ IX ta có f (M) ≤ X, ϕ(M) ≤ X nên f (M) − ϕ(M) ≤ f (M) + ϕ(M) ≤ X Do đó, (f − ϕ)(M) ≤ X hay f − ϕ ∈ IX + Với ϕ ∈ S, f ∈ IX suy * f (M) ≤ X nên ϕf (M) ≤ ϕ(X) ≤ X ϕ ∈ IX * f ϕ(M) ≤ f (M) ≤ X (do ϕ(M) ≤ M) Như vậy, IX iđêan hai phía S Định lý 2.2.2 Cho M R-môđun phải, S = End(MR) X = M môđun bất biến đầy M Khi đó: (1) Nếu M tự xạ ảnh X mơđun H-ngun tố M, IX iđêan nguyên tố S (2) Ngược lại, M tự sinh IX iđêan nguyên tố S X mơđun H-ngun tố M Chứng minh (1) Giả sử M tự xạ ảnh, X = M môđun H-nguyên tố M, ta chứng minh IX iđêan nguyên tố S Vì X = M nên IX = S Gọi I, J iđêan hai phía S cho J K ≤ IX Khi theo Bổ đề 2.2.1 ta có: J K(M) ≤ IX (M) ≤ X suy J K(M) ≤ X Mặt khác có f (M) J K(M) = f∈JK / IX suy hK(M) ≤ X Giả sử J ≤ IX Khi tồn h ∈ J cho h ∈ Tiếp theo chứng minh h(M)K(M) ≤ X Thật vậy, với f ∈ Hom(M, h(M)) tồn u ∈ Hom(M, M) cho: f = hu (vì M tự xạ ảnh) ♣ ♣♣ ♣ u ♣♣ f ♣♣ ♣ ♣ ❄ ✠ h✲ h(M) M M ✲ Khi đó: f (K(M)) = (hu)K(M) ≤ hK(M) ≤ X f (K(M)) ≤ X Vì X mơđun HVì vậy, h(M)K(M) = f∈Hom(M,K(M ) nguyên tố M nên suy h(M) ≤ X (mâu thuẫn với h ∈ JX ) K(M) ≤ X hay K ≤ IX Vậy IX iđêan nguyên tố S 12 (2) Giả sử M tự sinh IX iđêan nguyên tố S, ta chứng minh X môđun H-nguyên tố M Với ϕ ∈ S, U ≤f M cho ϕ(M)U ≤ X f (M) cho tập Giả sử ϕ(M) X ϕ ∈ IX Do M tự sinh nên: U = f∈I I ⊂ S Khi đó: f (M) ≤ U , với f ∈ I Mặt khác, với ψ ∈ S với f ∈ I ta có ψf (M) ≤ ψ(U ) ≤ U ( U ≤f M) Suy Sf (M) ≤ U dẫn đến ϕ(Sf (M)) ≤ ϕ((U ) ≤ X Do ϕSf ⊂ IX với f ∈ I Vì ϕ ∈ / IX nên theo Hệ 2.1.4(5) ta có f ∈ IX (do IX iđêan nguyên tố S) Suy f (M) ≤ X với f ∈ I, hay U ≤ X Theo Định lý 2.1.2(3) ta có X môđun H-nguyên tố M 2.3 Môđun H-nguyên tố môđun nửa H-nguyên tố Định nghĩa 2.3.1 Cho M R- môđun phải, môđun bất biến đầy X MR gọi môđun nửa H-nguyên tố giao môđun H-nguyên tố M Một R-môđun phải M gọi môđun H-nguyên tố môđun H-nguyên tố M Rõ ràng, vành R gọi vành nguyên tố RR môđun H-nguyên tố Một R-môđun phải M gọi môđun nửa H-nguyên tố môđun nửa H-nguyên tố M Bởi vậy, vành R vành nửa nguyên tố RR môđun nửa H-nguyên tố Định lý 2.3.2 Cho M R-môđun phải Khi đó: (1) Nếu M mơđun ngun tố M tự xạ ảnh S = End(MR) vành nguyên tố (2) Nếu M tự sinh S vành ngun tố M mơđun ngun tố Chứng minh (1) Do M môđun nguyên tố nên theo Định nghĩa 2.3.1 có mơđun H-ngun tố M Theo Bổ đề 2.2.1 ta có: Tập I0 = {f ∈ S|f (M) ≤ 0} = iđêan nguyên tố S Mà iđêan phải xem mơđun SS Suy I0 môđun H-nguyên tố SS Theo định nghĩa ta có S vành nguyên tố (2) Do S vành nguyên tố nên theo định nghĩa ta có SS mơđun ngun tố Suy I0 = môđun H-nguyên tố (hay iđêan nguyên tố) S Theo Định lý 2.2.2(2), với M tự sinh, I0 = iđêan nguyên tố S, ta suy I0 = mơđun H-ngun tố M Do đó, MR môđun nguyên tố 13 Bổ đề 2.3.3 Cho M môđun tự xạ ảnh tự sinh, P môđun H-nguyên tố M, A ⊂ P mơđun bất biến đầy M Khi đó, P/A môđun H-nguyên tố M/A Chứng minh Vì M tự sinh nên M/A tự sinh Đặt S = EndR (M/A) Cho X/A ≤f M/A ϕ : M/A → M/A cho Sϕ(M/A)X/A ≤ P/A Ta chứng minh rằng: X ≤f M Thật vậy, với f ∈ End((MR), tồn f : M/A → M/A cho f v = vf f v✲ ✲ M M/A M v ❄ M/A Khi đó: vf (X) = f v(X) = f (X/A)f (A) ≤ (X/A)A ≤ X Suy f (X) ≤ X Do đó, X ≤f M Do M tự xạ ảnh nên tồn f ∈ S cho ϕv = vf M v ❄ M/A ϕ ❄ M v✲ ✲ M/A Do đó: ϕ(X/A) = ϕv(X) = vf (X) = (f (X)+A)/A ≤ P/A (do ϕ(M/A)(X/A) ≤ X/A) Suy f (X) ≤ P Chúng ta chứng minh: [Sf (M)]X ≤ P f (X/A) ≤ P/A Ta có: [Sϕ(M/A)](X/A) = f∈Hom(M/A,Sϕ(M/A)) f Lấy θ ∈ Hom(M, Sf (M)) Vì A ≤ M nên tồn θ : M/A → M/A cho θv = viθ, với i : Sf (M) → M đơn cấu tắc M θ✲ Sf (M) i✲ M v ✲ M/A v ❄ M/A Khi θ(M/A) = θv(M) = viθ(M) = v(θ(M)) ≤ v(Sf (M)) Mặt khác, 14 f (M) Cho g ∈ S bất kỳ, lại A ≤f M nên tồn g : M/A → Sf (M) = g∈S M/A cho gv = vg Ta có vgf (M) = gvf (M) = gϕv(M) = gϕ(m/A) ≤ Sϕ(M/A) Suy v(Sf (M)) ≤ Sϕ(M/A), điều có nghĩa θ ∈ Hom(M/A, Sϕ(M/A)) từ ta có θ(X/A) ≤ P/A Với x ∈ X, θ(x + A) ∈ P/A hay θ(x) + A ∈ P/A Vì A ≤ P nên dễ dàng suy θ(x) ∈ P Vì vậy, θ(X) ≤ P Tóm chứng minh [Sf (M)]X ≤ P Do P môđun H-nguyên tố M nên theo Định lý 2.1.2(3) ta có f (M) ≤ P X ≤ P , viết (f (M) + A)/A ≤ P/A X/A ≤ P/A Từ ϕ(M/A) = (f (M) + A)/A ≤ P/A X/A ≤ P/A Như vậy, theo Định lý 2.1.2(3) chứng minh P/A môđun nguyên tố M/A Bổ đề 2.3.4 Cho M môđun tự xạ ảnh A ≤f M Khi đó, P ≤ M/A môđun H-nguyên tố M/A v −1 (P ) mơđun H-ngun tố M Chứng minh Đặt M = M/A P = v −1 (P ) với v : M → M/A tồn cấu f (V ) ≤ P Bây giờ, tắc Lấy U ≤f M V ≤f M cho U.V = f∈Hom(M,U ) chứng minh v(U ) v(V ) môđun bất biến đầy M Lấy f : M → M Xét sơ đồ sau: M v ❄ M f M v✲ ❄ M ✲ Vì M tự xạ ảnh, nên tồn f : M → M cho vf = f v Khi đó, f v(U ) = vf (U ) ≤ v(U ) (vì U ≤f M ) f v(V ) = vf (V ) ≤ v(V ) (vì V ≤f M) Vậy, v((U ) ≤f M v(V ) ≤f M Tiếp theo chứng minh v(U ).v(V ) ≤ P Ta có gv(V ) v(U ).v(V ) = g∈Hom(M ,v(U )) Lấy g : M → v(U ) Vì M tự xạ ảnh, nên tồn g : M → U cho 15 gv = v |U g M v ❄ M g U v|U ✲ ❄ v(U ) ✲ Suy gv(V ) = v |U g(V ) ≤ v(P ∩ U ) ≤ v(P ) ≤ P (vì g(V ) ≤ P ∩ U ) Vậy v(U ).v(V ) ≤ P Vì P mơđun H-ngun tố, nên v(U ) ≤ P v(V ) ≤ P Từ suy U ≤ P V ≤ P Vậy, v −1 (P ) môđun H-nguyên tố M Định lý 2.3.5 Cho M R-môđun phải tự xạ ảnh Ký hiệu PH (M) giao tất môđun H-ngun tố M Khi đó, M/PH (M) mơđun nửa H-nguyên tố, nghĩa là: PH (M/P (M)) = Chứng minh Đặt M = M/P (M) X = X/P (M) Ta có: P (M) = X= X≤M X/P (X) = ( X≤M,X nguyên tố X)/P (M) = X≤M,X nguyên tố = P (M)/P (M) = Do M/P (M) môđun nửa H-nguyên tố Bổ đề 2.3.6 Cho M R- môđun phải, M tự sinh {Pi , i ∈ I} họ môđun bất biến đầy M Đặt P0 = ∩i∈I Pi Ký hiệu Ii = {f ∈ S|f (M) ≤ Pi }, với i = i ∈ I Khi đó, ∩i∈I Ii = I0 Chứng minh + Ta chứng minh ∩i∈I Ii ⊂ I0 Cho f ∈ ∩i∈I Ii Khi đó, f (M) ≤ Pi , với i ∈ I Suy f (M) ≤ Pi , với i ∈ I hay f (M) ≤ ∩i∈I Pi dẫn đến f (M) ≤ P0 nên f ∈ I0 + Ngược lại, với f ∈ I0 f (M) ≤ P0 = ∩i∈I Pi Suy f (M) ≤ Pi với i ∈ I, điều chứng tỏ f ∈ Ii với i ∈ I Vì f ∈ ∩i∈I Ii Vậy, I0 = ∩i∈Ii Định lý 2.3.7 Nếu M môđun nửa H-nguyên tố M tự xạ ảnh Khi đó, S vành nửa nguyên tố 16 Chứng minh Theo giả thiết M môđun nửa nguyên tố nên theo định nghĩa ta có: mơđun (nửa) nguyên tố M Suy = i∈I Pi với {Pi , i ∈ I} họ gồm môđun H-nguyên tố M Theo Định lý 2.2.2 ta có với i ∈ I, Ii = {f ∈ S|f (M) ≤ Pi } iđêan nguyên tố S Vì ∩i∈I Pi = U nên ∩i∈I Ii = theo Bổ đề 2.3.6 Từ suy S vành nửa nguyên tố 2.4 Môđun đơn môđun nửa đơn Định nghĩa 2.4.1 Cho R vành, M R-môđun Chúng ta nói M mơđun đơn M = khơng chứa mơđun ngồi mơđun Mơđun nửa đơn mơđun viết thành tổng trực tiếp môđun đơn Vành R gọi vành nửa đơn với R-môđun trái nửa đơn Từ định nghĩa, có: Bổ đề 2.4.2 Mọi mơđun đơn mơđun H-nguyên tố Chứng minh Cho M môđun đơn U, V ≤ M cho U V ≤ Vì M mơđun đơn U, V ≤ M nên U = U = M V = V = M.Tuy nhiên U V = nên U = V = Suy U = V = Do môđun nguyên tố M Vậy, theo định nghĩa M môđun H-nguyên tố Tiếp theo, có số kết quan trọng tính H-nguyên tố (X : M) Định lý 2.4.3 Cho M R-môđun, X môđun H-nguyên tố M Khi đó: Tập (X : M) = {r ∈ R|Mr ≤ X} iđêan nguyên tố R Chứng minh Đặt P = (X : M) S = End(M) Ta chứng minh P = (X : M) iđêan R Thật vậy, M.0 = ≤ X nên ∈ (X : M) suy P = ∅ Lại có: + Với r1 , r2 ∈ (X : M) ta có M(r1 − r2 ) ≤ Mr1 + Mr2 ≤ X Suy r1 − r2 ∈ (X : M) + Với x ∈ R, với r ∈ (X : M) ta có M(rx) = (Mr)x ≤ X.x ≤ X suy rx ∈ (X : M) M(xr) = (Mx)r ≤ M.r ≤ X suy xr ∈ (X : M) Vậy, P = (X : M) iđêan hai phía R Tiếp theo, ta chứng minh P iđêan nguyên tố R 17 Gọi I, J iđêan hai phía R cho J I ≤ P Khi đó, ta có: MJ I ≤ X g(M(I)) Hơn nữa, M(I) ≤f M M(J ) ≤f M M(J ).M(I) = g∈Hom(M,M (J)) Lấy g ∈ Hom(M, M(J )) Khi g(M(I)) = g(M).I ≤ M(J ).I = MJ I (vì g(M) ≤ M(J )) ≤ X Từ suy M(J ).M(I) ≤ X Theo giả thiết X môđun H-nguyên tố nên theo định nghĩa ta có M(J ) ≤ X M(I) ≤ X suy J ≤ P I ≤ P Vậy, P iđêan nguyên tố vành R Hệ 2.4.4 Cho M R-môđun nguyên tố Khi đó, linh hóa tử rR (M) = (0 : M) iđêan nguyên tố R Chứng minh Do MR môđun nguyên tố nên môđun nguyên tố M Theo Định lý 2.4.3, ta có (0 : M) iđêan nguyên tố R Hệ 2.4.5 Mọi linh hóa tử R-mơđun đơn iđêan nguyên tố Chứng minh Theo định nghĩa ta có mơđun đơn mơđun ngun tố, nên áp dụng Hệ 2.4.4, linh hóa tử môđun nguyên tố iđêan nguyên tố Bổ đề 2.4.6 Cho vành R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) R vành nửa đơn; (2) R vành Artin phải nửa nguyên tố; (3) R vành nửa nguyên tố thỏa mãn DCC iđêan phải Chứng minh Xem [4, Theorem 10.24] Định lý 2.4.7 Cho M R-môđun tự xạ ảnh, hữu hạn sinh tự sinh Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M nửa đơn; (2) M nửa nguyên tố Artin; (3) Mlà nửa H-nguyên tố thỏa mãn DCC môđun xyclic M Chứng minh (1) ⇒ (2) Rõ ràng (2) ⇒ (3) Rõ ràng (3) ⇒ (1) Theo Định lý 2.3.7, M môđun nửa H-nguyên tố nên S vành nửa nguyên tố Vì M hữu hạn sinh, tự xạ ảnh tự sinh nên theo [7], S thỏa mãn DCC iđêan phải Do đó, theo Bổ đề 2.4.6, vành S vành nửa đơn Từ suy M môđun nửa đơn 18 KẾT LUẬN Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp đại học, đề tài "Môđun H-nguyên tố" tập trung nghiên cứu định nghĩa, tính chất ngun tố mơđun vành R có đơn vị = thu số kết sau: Dựa vào tính chất iđêan nguyên tố, số tác giả giới thiệu môđun nguyên tố mơđun ngun tố Từ đó, chúng tơi xây dựng khái niệm mơđun H-ngun tố dựa vào tích hai môđun mà Lomp giới thiệu vào năm 2004 Đề tài đưa số định lý quan trọng môđun H-nguyên tố môđun đơn (Định lý 2.1.2, Định lý 2.2.2, Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.3, ) Còn nhiều đặc trưng mơđun H-ngun tố, chúng tơi hy vọng khảo sát thêm chúng tương lai Do phạm vi nghiên cứu thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong Q Thầy Cơ đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện 19 Tài liệu tham khảo [1] F W Anderson and K R Fuller, Ring and Categories of Modules, Graduate Text in Math, No 13, Springer-Verlag, New York- Heidelberg- Berlin, 1992 [2] Lomp, Christian, Prime elements in partially ordered groupoids applied to modules and Hopf algebra actions, J Algebrra Appl., 4(1) (2004), 77-97 [3] A Gaur and A Kumar Maloo, Minimal prime submodules, Int J Algebra 2(20) (2008) 953-956 [4] T.Y.Lam, A first course in noncommunitative rings, Springer-Verlag, New York, 1991 [5] C P Lu, Prime submodules of modules, Comment Mat St Univ St Pal33(1984) No 61-69 [6] N.V.Sanh, N.A.Vu, L.P.Thao, Primeness in module category, Asian-European Journal of Mathematics, No 1(2010) 145-154 [7] R Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991 20 ... tố RR mô? ?un H- nguyên tố Một R -mô? ?un phải M gọi mô? ?un nửa H- nguyên tố mô? ?un nửa H- nguyên tố M Bởi vậy, vành R vành nửa nguyên tố RR mô? ?un nửa H- nguyên tố Định lý 2.3.2 Cho M R-m? ?đun phải Khi đó:... mô? ?un) Cho H, K mô? ?un M Khi H K gọi tích hai m? ?đun H K ký hiệu HK f (K) Chú ý theo phần giới thiệu thì: HK = f∈Hom(M ,H) Nếu M = R, tích hai iđêan R theo định nghĩa tích iđêan theo nghĩa thơng thường;... 2.3.1 Cho M R- mô? ?un phải, mô? ?un bất biến đầy X MR gọi m? ?đun nửa H- ngun tố giao mô? ?un H- nguyên tố M Một R -mô? ?un phải M gọi mô? ?un H- nguyên tố mô? ?un H- nguyên tố M Rõ ràng, vành R gọi vành nguyên tố