Định lý lefschetz cho các anr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU TRANG ĐỊNH LÝ LEFSCHETZ CHO CÁC ANR Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng, Năm 2012 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Trang MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phức đơn hình đa diện 1.2 Thứ phân trọng tâm .14 1.3 Đồng luân 17 1.4 Ánh xạ đơn hình xấp xỉ đơn hình 175 1.5 Phạm trù, hàm tử .21 1.6 Nhóm abel tự do, module tự 24 1.7 Định nghĩa ANR tính chất ANR 26 1.7.1 Định nghĩa ANR .26 1.7.2 Các tính chất ANR .31 CHƯƠNG ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ VÀ SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 40 2.1 Đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình 40 2.2 Tính nhóm đồng điều số không gian topo đơn giản 44 2.3 Sự đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị 50 CHƯƠNG ĐỊNH LÍ LEFSCHETZ CHO CÁC ANR 58 3.1 Định lý Lefschetz tính chất điểm bất động cho phức đơn hình 58 3.2 Định lý Lefschetz cho ANR .67 3.2.1.Vết Leray 67 3.2.2 Số Lefschetz tổng quát .90 3.2.3 Ánh xạ Lefschetz không gian Lefschetz .97 3.2.4 Định lý Lefschetz cho ánh xạ compact ANR 103 KẾT LUẬN .113 TÀI LIỆU THAM KHẢO .114 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong topo có định lý phát biểu đơn giản để chứng minh phức tạp, ví dụ định lý điểm bất động Brouwer, định lý Ulam Borsuk,… Phần lớn chứng minh dùng đến topo đại số Mục đích topo đại số xây dựng hàm tử từ phạm trù không gian topo (hoặc phạm trù không gian topo) vào phạm trù đại số ( chẳng hạn nhóm, vành, module …) biến ánh xạ liên tục thành đồng cấu Đồng điều kì dị hàm tử từ phạm trù không gian topo vào phạm trù nhóm Abel vào module Bằng việc khảo sát hàm tử này, người ta mở rộng định lý điểm bất động Lefschetz cho phức đơn hình sang cho ANR Vì vậy, đề tài “Định lý Lefschetz cho ANR” mục đích để tìm hiểu hàm tử đồng điều kì dị định lý Lefschetz cho ANR chứng minh Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đồng điều đơn hình, đồng điều kì dị, định lý Lefschetz định lý Lefschetz cho ANR Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học, giảng tác giả liên quan đến Lí thuyết đồng điều đơn hình, đồng điều kì dị, định lý Lefschetz định lý Lefschetz cho ANR Tham gia buổi thảo luận để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lí thuyết, hi vọng tạo mọt tài liệu tham khảo tốt cho hững người tìm hiểu Lí thuyết đồng điều đơn hình, Lí thuyết đồng điều kì dị định lý Lefschetz Cấu trúc luận văn Nội dung khóa luận ngồi phần mở đầu kết luận gồm có chương: Chương 1: Những kiến thức Chương trình bày phức đơn hình đa diện, thứ phân trọng tâm, đồng luân, ánh xạ đơn hinh xấp xỉ đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự module tự do, định nghĩa ANR tính chất ANR Chương 2: Sự đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị Chương trình bày đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, tính nhóm đồng điều số khơng gian topo đơn giản, đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị Chương 3: Định lý Lefschetz cho ANR Chương mở rộng từ định lý Lefschetz tính chất điểm bất động cho phức đơn hình sang cho ANR Trong chứng minh sử dụng đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị định lý Lefschetz từ phức đơn hình CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phức đơn hình đa diện Định nghĩa 1.1 Đơn hình Trong khơng gian ¡ n , cho tập hợp điểm  p0 , p1, , pk  độc lập affine Tập hợp tất điểm  x  ¡  n k k  x   i pi , i 0;1,  i  1 i 0 i 0  Được gọi phức đơn hình k-chiều hay k-đơn hình Ta kí hiệu    p0 , p1, , pk  ; đó: p0 , p1, , pk đỉnh đơn hình, dim  k chiều đơn hình  Nhận xét 1.1 Mỗi đơn hình tập đóng, compact Với x    p0 , p1, , pk  ,  p0 , p1, , pk  độc lập affine nên x biểu diễn k cách dạng: x   i  xi  pi i 0 k Trong đó: x   i  xi   1, i  xi  0;1 , với i  0; k i 0 Định nghĩa 1.2 Mặt đơn hình, Phức đơn hình Trong khơng gian ¡ n , cho tập hợp điểm  p0 , p1, , pk  độc lập affine Mặt đơn hình bao đóng đỉnh  p0 , p1, , pk  sau bỏ từ đến k thành phần Một phức đơn hình họ hữu hạn K    gồm đơn hình khơng gian ¡ n thỏa tính chất sau:  Nếu  K mặt  thuộc K  Nếu  , K        mặt chung   Đặt: K  U  K Cặp (K , K ) gọi đa diện Khi đó: K  SdK gọi phân tích đơn hình đa diện, K  K gọi giá K Chiều đa diện (K , K ) , kí hiệu dim(K , K ) định nghĩa sau: dim(K , K )  max dim   K  Đường kính K , kí hiệu mesh K định nghĩa mesh K  max      K  Định nghĩa 1.3 Đa diện Cho đa diện ( K , K ) , L  K Nếu L phức đơn hình L gọi phức đơn hình K Khi đó, (L, L ) gọi đa diện đa diện ( K , K ) , với L giá L Nhận xét 1.2 Cho K phức đơn hình   L  K Khi đó, L phức đơn hình K với đơn hình  L , mặt  thuộc L Nhận xét 1.3 Với mọi, r  , ta đặt K r   K dim  r Khi đó, K r phức đơn hình K Nhận xét 1.4 Nếu ( K , K ) đa diện K phức đơn hình K gọi tập hợp đỉnh đa diện ( K , K ) Với đơn hình  K , đặt F   tập hợp tất mặt  Khi đó:  ,F    đa diện ( K , K ) Định nghĩa 1.4 Cho (K, K ) đa diện,  K Hợp tất mặt thật    kí hiệu  Khi đó:   F  \   Định nghĩa 1.5 Cho (K , K ) đa diện, x  K Khi đó:  K gọi giá x , kí hiệu  ( x) ,  đơn hình có chiều nhỏ chứa x  ( x) biểu diễn dạng:  ( x )  I  K , x   Nhận xét 1.5 Cho  K , với (K , K ) đa diện, x  K Khi đó:      x  x  \  Chứng minh:  Cho     x  , ta chứng minh x  \   Do     x  nên x  Giả sử x  suy x  p , với p mặt thật  Do đó: dim p  dim , từ suy  khơng phải đơn hình có   chiều nhỏ chứa x ( Vơ lí  giá x ) Vậy: x  hay x  \   Ngược lại, cho x  \  , ta chứng minh     x  Đặt k  dim Nếu dim  x   k suy     x  Nếu dim  x   k , kí hiệu 1    x  Vì x   đơn hình có chiều nhỏ chứa x nên 1   Mặt khác dim  x   k  dim nên    mặt thật  hay    Do x 1 nên x  ( vô lí) Vậy:     x Nhận xét 1.6 Cho  K , với (K , K ) đa diện, x  K Khi đó: x    x  mặt  Chứng minh:  Nếu   x  mặt  hiển nhiên x   Ngược lại: x  Do   x  đơn hình chứa x có số chiều nhỏ nên   x   Ta có  ,  x  K nên  I   x  mặt chung  ,  x  Do đó:   x  mặt  Nhận xét 1.7 Với không gian topo Y , ánh xạ f : K  Y liên tục f  :   Y liên tục, với  K Chứng minh: Giả sử f liên tục, với  K , f  liên tục Ngược lại, f  liên tục, ta chứng minh f liên tục Với V mở Y , f  liên tục nên ( f  )1 (V ) mở  , với  K Ta chứng minh f 1 (V ) I    f   (V ) , với  K 1 Thật vậy, với  K , với x  f 1 (V ) I  , suy x  f 1 (V ) x  Do x  f 1 (V ) nên f  x  V , mà x  nên  f    x   f  x  V Từ ta có, x   f   1 V  Ngược lại, với x   f   1 V  , suy x  f 1 (V ) Mặt khác, x  nên x  f 1 (V ) I  Vậy, f 1 (V ) I    f   (V ) , với   K 1 Do  f   V  1 mở  nên f 1 (V ) I  mở  , với  K , suy f 1 (V ) mở K Ta có, với V mở Y, ta chứng minh f 1 (V ) mở K nên f liên tục Định nghĩa 1.6 Cho ( K , K ) đa diện Với đỉnh p K , tập hợp K \ U K , p   , gọi hình p, kí hiệu Stp Nhận xét 1.8 Stp tập mở chứa p khơng chứa đỉnh khác đa diện (K, K ) Chứng minh: Do K hữu hạn,  tập compact nên  đóng Do đó, U  K , p   tập đóng, suy K \ U K , p   tập mở hay Stp mở Với p0 đỉnh K mà p0  p , ta chứng minh p0  Stp Ta có p0 đơn hình K , mà p0  p nên p  p0  Do đó:  X liên tục,  i o f o r  X   K  i o f or Ta có ánh xạ i o f o r : X  ánh xạ compact Do X không gian Lefschetz  i o f or ánh xạ Lefschetz mạnh i  X i o f or ánh xạ Lefschetz mạnh theo bổ đề 3.3 Ta có: A  f or   f o r  oi ánh xạ Lefschetz mạnh mà r oi  id A  f ánh xạ Lefschetz mạnh Định lý 3.10 Cho K không gian compact thỏa mãn ánh xạ liên  K thơng qua khơng gian Lefschetz X K tục f : K  không gian Lefschetz  K liên tục, K compact  f ánh xạ Chứng minh: f : K  compact Theo bổ đề 3.4 ta có f ánh xạ Lefschetz mạnh  K không gian Lefschetz 3.2.4 Định lý Lefschetz cho ánh xạ compact ANR Định lý Lefschetz cho ánh xạ compact ANR thiết lập phần bao gồm vài kết biết lí thuyết điểm bất động không gian topo giải tích khơng tuyến tính Trước tiên ta tìm hiểu định lý Lefschetz – Hopf cho đa diện định lý xấp xỉ Schauder Định nghĩa 3.8 Cho X khơng gian Hausdorft, Y khơng gian topo tuyến tính Một ánh xạ compact F : X  Y gọi ánh xạ có chiều hữu hạn F  X  chứa không gian tuyến tính Y Bây tìm cách xấp xỉ ánh xạ compact lên không gian định chuẩn ánh xạ chiều hữu hạn Định nghĩa 3.9 Cho N  c1, c2 , , cn  tập hữu hạn khơng gian tuyến tính định chuẩn,   0, n  N ,  @UB  ci ,  i 1 i 1,2, , n , đặt: i :  N ,    ¡ x max 0,   x  ci  Rõ ràng i liên tục i  0, x   N ,   p :  N ,     convN xác định công thức p  x   n    x n  i  x  ci i 1 i i 1 p gọi phép chiếu Schauder Ta lưu ý p định nghĩa tốt Điều có nghĩa x   N ,   n   x  i 1 i Thật vậy: x   N ,    i0 1,2, , n cho   n x  B ci0 ,   x  ci0      x  ci0   i0  x     i  x   i 1 Mệnh đề 3.10 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn C  E tập lồi khác rỗng; c1, c2 , , cn C , p gọi phép chiếu Schauder thì: (1) p ánh xạ compact  N ,   lên convN  C (2) x  p  x    , x   N ,   (3) Nếu N  C đối xứng tương ứng với (có nghĩa N  c1, c2 , , ck , c1, c2 , , ck   N ,      N ,   p   x    p  x  , x   N ,   ) Chứng minh: Chứng minh (1): Rõ ràng p  N ,    convN ta cần chứng minh convN tập compact x p   N , x p  1pc1  2pc2   npcn n  ip  1, i  1, n , ip  i 1 0,1 compact, ta rút dãy 1 k1 1pk mà 1 k1  1 0,1 p pk1 Tương tự ta rút dãy  k2 pk1 Tương tự ta rút dãy  n pk1 n k2 k n p pk1  k1 mà 2 k2 kn p k2  2 0,1 pk1  n k2 kn 1 mà p  n1 0,1  convN tập compact Vậy ta suy p ánh xạ compact  N ,   lên convN  C Chứng minh (2) n x   N ,   ta có: x  p  x   x  n    x i 1  n   x i 1 n  i  x ci  i n  i  x  x  c1   i 1 i i 1 n   x i Do x   N ,    i 1,2, , n cho x  B  xi ,   Ta đặt Vx  i 1,2, , n / x  B  xi ,  Khi đó, i Vx i  x   i 1 i i n    x i 1 i 1    x x  c  i n  i  x  x  c1 i 1 (1) i Vx x  ci   Vậy bất đẳng thức (1)     x iVx  1  x  x  c1   iVx Chứng minh (3) Ta có: N  c1, c2 , , ck , c1, c2 , , ck  Ta đặt: c1 @c1, c2 @c2 , , ck @ck  N  c1, c2 , , ck , c1, c2 , , ck  x   N ,     U i k , ,1,1, ,k B  ci ,    i0 k ,   k  1 , , 1,1,2, , k   c cho: x  B xi0 ,   x  ci0     x  ci0   x  ci0 i0  x    x   N ,    x   N ,     N ,      N ,   Chứng minh tương tự   N ,     N ,   Vậy:  N ,      N ,   Bởi i  x   i   x   p   x    p  x  , x   N ,   Từ mệnh đề 3.10 ta thu kết xấp xỉ sau đây: Định lý 3.11 (Định lý xấp xỉ Schauder): Cho X không gian topo, cho C tập lồi khơng gian tuyến tính định chuẩn E cho F : X  C ánh xạ compact, thi với   , có tập hữu hạn N  c1, c2 , , cn   F  X   C tồn ánh xạ hữu hạn chiều F : X  C thỏa mãn: (1) F  x   F  x    , x  X (2) F  X   convN  C Chứng minh: F : X  C ánh xạ compact  K  C , K tập compact mà FX  K  F  X  tập compact tương đối, F  X  tập hoàn toàn bị chặn E Do với   , luôn tồn hữu hạn chiều c1, c2 , , cn  F  X  n cho F  X   UB  ci ,   i 1 Đặt N  c1, c2 , , cn   F  X    N ,   C sau F  x   P  F  x   Ở Bây ta xác định ánh xạ F : X  p :  N ,     convN phép chiếu Schauder Với ánh xạ F thì: x  X , F  x   F  x   F  x   p  F  x  Vì F  x    N ,   , nên theo mệnh đề (bổ sung 1) p  F  x   F  x    x  X , F  x    N ,    F  x   p  F  x    convN  C Vậy F  X   convN  C Từ định lý xấp xỉ Schauder ta thu kết sau: Nhận xét 3.2 Cho X không gian topo, U tập mở khơng gian U ánh xạ compact Khi có   tuyến tính E , f : X  U cho tồn polytope K  U ánh xạ hữu hạn chiều f : X  thỏa mãn: (1) f  x   f  x    , x  X (2) f  X   K (3) f ; f Định nghĩa 3.10 (   điểm bất động) Cho  X , d  không gian metric A  X , F : A   X ,   0, a  A mà d  a, F  a     a gọi   điểm bất động Mệnh đề 3.12 Cho A tập đóng khác rỗng khơng gian metric  X , d  F : A   X ánh xạ compact F có điểm bất động có   điểm bất động   Chứng minh: "  " hiển nhiên Vì F có điểm bất động  x0  A mà F  x0   x0 Khi đó:   0, d  x0 , F  x0     "  "  0, a   điểm bất động ta phải chứng minh F có điểm bất động Chọn   1  an  điểm bất động  d  an , F  an    n n n Do F ánh xạ compact  K  X , K tập compact mà F  A  K  F  A  K  F  A tập compact    dãy F a  mà Ta có F  an   F  A   F amn n   F amn   y  F  A     m1 Do d amn , F amn   F  y F liên tục nên ta có F amn  n  F  y   y  y điểm bất động F Định lý 3.12 Bất kì tập mở khơng gian tuyến tính định chuẩn khơng gian Lefschetz Chứng minh: U Cho U tập mở không gian tuyến tính định chuẩn E f : U  ánh xạ compact Ta phải chứng minh: f : ánh xạ Lefschetz mạnh K compact U  K compact E f U   K  f U   K  f U  tập compact K  U  K  E \ U    K  U  K  E \ U      f U   U    d f U , U    U thỏa mãn tính chất: Chọn    d f U , U f : U  f  x   f  x    , x U K polytope hữu hạn cho: f U   K  U f ; f U xác định i  x   x phép nhúng Xét i : K  f ' : K   K x f  x  g : U   K x  g oi  f ' ; f  x  i o g  f Thật vậy: x  K   g oi  x   g  i  x    g  x   f  x   f '  x   g oi  f ' x U   i o g  x   i  g  x    g  x   f  x   i o g  f Xét sơ đồ giao hoán: i K  U g f f i K  U Do K polytope hữu hạn  H*  K  kiểu hữu hạn  f ' ánh xạ Lefschetz   f '     f '  Theo định lý 3.8 ta có   f     f '     f '  Bây ta chứng minh nếu:   f   f có điểm bất động Do f ; f    f     f  Thật nếu:   f      f   Theo định lý Lefschetz – Hopft, cho f '  x0   x0 Vì f '  x0   f  x0   x0  f  x0   f  x0   x0  f  x0   f  x0     x0   điểm bất động  f ánh xạ Lefschetz mạnh  K Định lý 3.13 Cho K không gian metric compact, f : K  ánh xạ thỏa mãn: X ANR, tồn  : K   X liên tục,  : X   K liên tục mà f   o Khi f ánh xạ Lefschetz mạnh Chứng minh: Theo định lý Arens – Eells tồn khơng gian tuyến tính định chuẩn E cho h : K  E phép nhúng đồng phôi h  K  đóng  h  K  xác định s  x   h  x  E Điều có nghĩa là: s : K  phép đồng phôi °  h  K   s : K  ° phép đồng phơi K ° đóng E K Đặt K °    o s1 : K  X liên tục ° E Vì X ANR nên tồn lân cận mở U K   :U   X liên tục mà  °   o s1 K Theo định lý 3.12 vừa chứng minh U mở khơng gian tuyến tính định chuẩn E  U không gian Lefschetz Xét sơ đồ giao hoán sau: K j o f °  U phép nhúng với j : K  o U  K  K không gian metric compact Theo bổ đề 3.4 f ánh xạ Lefschetz mạnh Hệ 3.3 Cho X ANR, F : X   X Nếu K không gian metric compact,  : X   K liên tục  : K   X liên tục mà  o   F F ánh xạ Lefschetz mạnh Chứng minh:  K ánh xạ Lefschetz mạnh Thật theo định lý 3.13  o : K   X ánh xạ Lefschetz mạnh Theo bổ đề 3.3  o  : X  Mà  o   F  F ánh xạ Lefschetz mạnh Định lý 3.14 (Định lý Lefschetz) Cho X ANR X không gian Lefschetz Chứng minh: F : X   X ánh xạ compact ta phải chứng minh F ánh xạ Lefschetz mạnh Thật vậy: F ánh xạ compact  K  X , K tập compact cho FX  K Xét:  : X  K x F  x  : K  X x x   o   F : X  X Theo hệ 3.3 chứng minh ta có F ánh xạ Lefschetz mạnh KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu đọc hiểu làm rõ số nội dung sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm, định nghĩa phức đơn hình đa diện, thứ phân trọng tâm, đồng luân, ánh xạ đơn hinh xấp xỉ đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự module tự do, định nghĩa ANR tính chất ANR Trình bày đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, tính nhóm đồng điều số không gian topo đơn giản, chứng minh đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị Trình bày lại việc chứng minh Định lý Lefschetz tính chất điểm bất động cho phức đơn hình mối liên hệ số Lefschetz điểm bất động Trình bày việc chứng minh Định lý Lefschetz cho ANR chứng minh sử dụng đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị định lý Lefschetz từ phức đơn hình TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [2] Đỗ Hồng Tân, Các định lý điểm bất động, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [3] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 TIẾNG ANH [4] Albrecht Dold, Lecture on Algebraic Topology, Heidelberg, 1980 [5] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, University of Warmia and Mazury, Poland, 1982 [6] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Heidelberg, 1980 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Trang MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phức đơn hình đa diện 1.2 Thứ phân trọng tâm .14 1.3 Đồng luân 17 1.4 Ánh xạ đơn hình xấp xỉ đơn hình 175 1.5 Phạm trù, hàm tử .21 1.6 Nhóm abel tự do, module tự 24 1.7 Định nghĩa ANR tính chất ANR 26 1.7.1 Định nghĩa ANR .26 1.7.2 Các tính chất ANR .31 CHƯƠNG ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ VÀ SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 40 2.1 Đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình 40 2.2 Tính nhóm đồng điều số không gian topo đơn giản 44 2.3 Sự đẳng cấu đồng điều đơn hình đồng điều kì dị 50 CHƯƠNG ĐỊNH LÍ LEFSCHETZ CHO CÁC ANR 58 3.1 Định lý Lefschetz tính chất điểm bất động cho phức đơn hình 58 3.2 Định lý Lefschetz cho ANR .67 3.2.1.Vết Leray 67 3.2.2 Số Lefschetz tổng quát .90 3.2.3 Ánh xạ Lefschetz không gian Lefschetz .97 3.2.4 Định lý Lefschetz cho ánh xạ compact ANR 103 KẾT LUẬN .113 TÀI LIỆU THAM KHẢO .114 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao) ... ta mở rộng định lý điểm bất động Lefschetz cho phức đơn hình sang cho ANR Vì vậy, đề tài ? ?Định lý Lefschetz cho ANR? ?? mục đích để tìm hiểu hàm tử đồng điều kì dị định lý Lefschetz cho ANR chứng... CHƯƠNG ĐỊNH LÍ LEFSCHETZ CHO CÁC ANR 58 3.1 Định lý Lefschetz tính chất điểm bất động cho phức đơn hình 58 3.2 Định lý Lefschetz cho ANR .67 3.2.1.Vết Leray 67 3.2.2 Số Lefschetz. .. dị, định lý Lefschetz định lý Lefschetz cho ANR Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học, giảng tác giả liên quan đến Lí thuyết đồng điều đơn hình, đồng điều kì dị, định lý Lefschetz định lý