Luận văn thạc sĩ toán học: Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng
Trang 1Chuong 2
Dinh ly KKM-Fan va cac két qua tuong
duong
2.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 2.1.1 Cho Y là một tập con lỗi của không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh xạ F: X ~ Y được gọi là ánh xạ KKM nếu V{zi,zs, ,#„} C X,
n
co{zi,#s, #n} C F(ø) =1
Định nghĩa 2.1.2 Cho Y là một tập con lồi của không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh xạ F : X ~> Y được gọi là ánh xạ KKM-mở rộng nếu, V{z,zs, , Gi} ie Ä,d10iT5ị múa Un} GY sao cho V{Đi,1i, „} C {010a,- ,9n},1 < k < m ta CÓ: c0{Uiy, Yigs + +s Yat C U F(ai;)
Nhận xét 2.1.1 Nếu F la ánh xạ KKM thì F là ánh xạ KKM-mở rộng Chiều ngược lại không đúng
Thật vậy, với bất kỳ {z, #›, , z„} C X, ta lấy {\,9a, , 1ø} C Y thỏa tị = j,i = 1 2 ,r, Khi đó, V{Đu;u:;:‹:› Yas œ _ <k <n, do F la ánh xạ KKM nén co {yi,, Yin, - Yin} C U F(a;,) Vay F la Anh xa KKM-mé rong Sau day, ta chỉ ra một phản ví dụ để chỉ ra chiêu ngược lại không đúng
Lấy Y = (—oo, +00) ,X = [—2,2],F: X ~ Y xác định bởi
nó: +8)0*9)
Trang 2Chương 2 Định lý KKM-Ean và các kết quả tương đương 10
U Ga) -(- 33): r¢Gta)vre [-2.-2) u (2.3)
eX
Nên F khéng phai la 4nh xa KKM Khi đó,
Với bất kỳ {z\,za, , #n} C X, ta lấy {1, 9a, , 0a} C [—1, 1] thì V {0u; tạ, - 0á} C
{0103 Ua},1 < & < m, ta có
k
COLY iss Yaar + +s Yin} C [—1,1] = () F@) CU F(@,)
xzcX =
Điều này có nghĩa Ƒ là ánh xạ KKM-mở rộng
Mệnh đề 2.1.1 Cho AC Y,g: X x 4A => R Khi đó, hai điều sau là tương đương
() G: A ~ X xác định bởi G() = {z € X, ø(z,) < y}(G(w) = {z € X,g(z.) > +}) là ánh xạ KKM-mổ rộng
() ø(z,.) là ánh xạ +-tựa lõm (lỗi) mở rộng
Chứng minh
(() = ()) Do G là ánh xạ KKM-mở rộng nên V{\, ,1a} CA, 3{zl, ,#n} CX
so cho Vu ) C (trys Ba} VA a" = ep(2u, ,zu} CÚ 0u), nga là 3m € {1, , k} sao cho #* € G(w„) Do đó g(2*,„) < + Suy tạ trút gÏ52 ie " Vậy ø là ánh xạ +-tựa lõm mở rộng theo biến g ie
(() & (#)) Do ø là ánh xạ +-tựa lõm mở rộng theo nên V{, ,„} C A, =[igauaytÐu° G,ÁC sao Cho VẬT/ uy Uy J € {8jus‹ađ0n} VAG! Si COA anf Die} Ta có min L0 (7, 1¡„) < +, nghĩa là 3m € {1, ,k} sao cho g(z”,„) < + Do đó,
j=1k
k
x” € G(y;,,) Suy ra z* € U G(yi,) Vay G là ánh xạ KKM-mở rộng j=l
Dinh nghia 2.1.3 Cho Y là tập con lỗi của không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh xạ F : X ~ Y được gọi là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với J{, ở đây Ú AK CY, nếu với bất kỳ {z, ,#„} C X; có {gi, ,na} C K sao cho V{yi,, -, Yi} C {ta, Uu},1 < k < n, ta có: c0{Đi, , ịy} C U Fla)
lệ
Trang 3Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va cac két quả tương đương 1I Định nghĩa 2.1.4 Cho Y là tập con lôi của không gian vector tôpô Ánh xạ F':Y ~ Y duge goi la SS-16i néu x ¢ coF (x), Va € Y
Định nghĩa 2.1.5 Cho Y là tập con lồi của không gian vector tôpô và J # X C Y Ánh xạ F': X ~> Y được gọi là SS-lổi mở rộng nếu V{zi,zas, ,#m} C X và #o € c0{#1,#a, , #m}, 37 € {1,2, ,Tmn},z; £ P(&‹)
Nhận xét 2.1.3 Nếu Ƒ là SS-lồi thì ' cũng SS-lồi mở rộng Chiều ngược lại đúng khi X =Y
Định nghĩa 2.1.6 Cho X và Y là hai không gian vector tôpô, ánh xạ `: X ~ Y (2) _Ƒ được gọi là có giá trị đóng truyền trên X nếu Vz€ X, £ F(z) thì 3z'€ X
sao cho y ¢ clF(z’)
() F' được gọi là có giá trị mở truyền trên X néu Vaz € X,y € F(x) thi dz’ e X sao cho y € intF(2’)
Nhận xét 2.1.4 Nếu Ƒ có giá trị đóng (mở) thì Ƒ có giá trị đóng (mở) truyền có giá trị mở truyền trên X nếu và chỉ nếu Vz € X, G(z) = Y\F(z) có giá trị đóng truyền trên X
Ménh dé 2.1.2 Cho F: X ~ Y
(i) F cé gid trị đóng truyền nếu và chỉ nếu ƒ1 F(z) = ) clF (2)
zeX zeX
(ii) F cé gid trị mé truyén néu va chi néu U F(z) = U imF(z)
„cXx rEX
Chứng minh Ta chứng minh (2), chứng minh (22) tương tự
(=>) Hiển nhiên ta có: ƒẬ F(z) C [1 đlF(z) Ta cần chứng minh ƒ1 clƑ(z) C
zeX xeX zeX
(1) F(z) Lấy y< ƒ clF(x) Giả sử £ í\ F(z), nghĩa là 3z; € X để cho
2eX ~eX zeX
y € F(ao) Do F' là ánh xạ có giá trị đóng truyền nên Jz’ € X sao cho y £ elF(z'), nghĩa là £ ƒ1 elƑ(z) (mâu thuẩn)
zeX
(<=) Lay bat ky ô X,y  F(x) Khi đó, „ £ ƒ F(z) = Ñ đlF(z) Do đó
xeX xeX
Trang 4Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 12 Định nghĩa 2.1.7 Cho > là quan hệ hai ngôi yếu và > là quan hệ hai ngôi chặt trên
Y
(i) Ta ky hiéu:
Uv(t) = {ye Y:y ea}, Ly(z)={yeY: ary}, U(x) = {ye Y:y>a},L.(z)={yeY: cry}
(2) Quan hệ hai ngôi yếu > được gọi là có phần tử lớn nhất (greatest element) trén X CY nếu 3z* € X sao cho z* >z z,Vz€ X, nghĩa là ƒ U„() # Ú
z„ecXx
(2) Quan hệ hai ngôi chặt > được gọi là có phần tử cực đại (maximal element) trên X CY nếu 3z* € X sao cho ¬z > #*,Vz € X, nghĩa là U;(œ*) =
Định nghĩa 2.1.8 Cho X và Y là hai không gian vector tôpô Hàm ở: X x Y — RU{+00} dude goi là +-nửa liên tục dưới truyền ( +-lsc truyền) theo nếu V+ € X, Vụ € Y,ð(z,) > + thì tổn tại z' € X và lân cận (0) của g sao cho $(2',z) > 7, Vz € N(y) Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề KKM) Xét ø tập đóng # của một đơn hình
wr {eert Sona i}
i=1
thỏa Vz€ AM",zc€ (|J Fj Khi do, đ lì # 0
(iz.>0)
Chứng minh Xem [15]
Hệ quả 2.1.1 Nếu {Œ;},r„ là họ các tập đóng của R" sao cho V{ii, , in} C
k
Tyrese n}, ta có co{e,, ,e„} C U Ci, voi {ee};—rx là cơ sở trực giao chuẩn tắc
âm n
của R" Khi đó, {1 Œ¡ # 0 ¡=1
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Bổ đề KKM ở trên
2.2 Dinh ly KKM-Fan
Trang 5Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va cdc két quả tương đương 13 Định lý 2.2.1 (Định lý KKM-Fan) Cho Y là tập con lồi khác rỗng của một không gian vector topo, 04 X CY Anh xa F: X ~ Y thỏa:
(i) Va € X, F(x) đóng; (ii) F la 4nh xa KKM
Khi dé, véi méi tap Xo, 0 A Xo C X thda Xo C Œ, với C là một tập con lôi compact của Y, ta có (] F(x) 4 0 Hon nita, néu 3X9 C X sao cho f) F(x) compact thi
+cXo zcXo
() F(t) 40
zeX
Trước khi chứng minh định lý này ta xét bổ đề sau
Bổ để 2.2.1 Cho Y là không gian vector tôpô, Ú # X C Y Ánh xạ F': X ~ Y thỏa:
(i) Vz € X, F(x) déng; (it) F la 4nh xa KKM;
(2) tổn tại zo € X sao cho F(a) compact Khi đó, (1 F(+z) z 0
EX
Chứng minh Giả sử {e¡, c›, , e„} là cơ sở chuẩn tắc của R“ Lấy bất kỳ {zì, #›, #„} C X Lập ánh xạ ƒ : co{et,€a, ,en} — €0{#1,#a, ,#n„} C X xác định bởi
Vi = (h, ,fn) € cof{er,€2, -,en} f(t) = D> tia i=l
Dat F = f-'(F(xi)) = {x € cofer, ,en} : f(z) € F(xi)} Khi đó, do F có giá
k
trị đóng nên lu 1a là họ các tập đóng Ta cũng được co{e,, ,e„} C F;,
j=1
k
Thật vậy, giả sử 3z = SA, ¢ UR, (s 20,Vj= LE = = -1), nghia la x ¢
Rigsa'— Ts Be Khi đó z £ ƒ"1(F (a,,)), 4) < TE sc ea ki Vi vay f(x) ¢ Ũ F(z,) Nói cách khác ƒ(Ax, ,À, = Fists ¢ Ủ F(z¡,), tức là
jal j=l
Trang 6Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va các kết quả tương đương 14 giao hitu han Ma F(x) compact va () F(x) C F(xo) nén suy ra, () F(x) #0 O
EX Ex
Chứng minh Định lý 2.2.1 Xét bất kỳ {zi,za¿ ,z„} C X Đặt Xị = XạU {]yBtassa #„} và K = co(CU{zi,za, ,#„}), khi đó K là tập con lỗi compact của Y Lập ánh xạ G : Xị — 3Ÿ xác định bởi G(z) = F(z)nK Khi đó, G có giá trị compact và G là ánh xạ KKM Thật vậy, với {z\, ,z„} C Xi, giả sử
3z = 3À, ¢ Uae ( >0.Vi =Tyn DAS = 3) Suy ra z ý F(z,)n1#, Ví = 1,n Do dé z € F(x), Wi = In (vì z€ K), tức là z # U F(z;) (mau thudn voi gid thiét F
t=1 la Anh xa KKM)
Như vậy, theo Bổ đề 2.2.1 ta được ƒ\ G(z) # 0 Mặt khác,
EX,
() Gla) (n re) n (ñ») -ñữ wa( Ar F(a )) c< ƒ] Fứ)
eX, zeXo i=1 i=l œeXo zeXo
Vì vậy
() F@) 40
2EXo
Hơn nữa, nếu 3X C X sao cho ƒ1_ Ƒ(z) compact, thi F(2;) nÍ đ 7 (2) compact
“Sản xcXo
Vi € {1,2, ,n} va theo trên thì Ẫ (r =)n( đ F(x )) # 0 Do đó nó có tính
i=l EX G
giao hữu hạn trên X Ta suy ra () (re na ( ñ F(x))) #0 Vậy
xeX ø€Xo
() F(x) 40
EX
n
Năm 1992, Tian đã mở rộng định lý trên bằng cánh giảm nhẹ điều kiện đóng và KKM của ánh xạ Ƒ, thay vào đó bằng điều kiện đóng truyền và liên lục truyền Định lý 2.2.2 Cho Y là tập lỗi trong không gian vector tôpô, Ú # X C Y Giả sử ánh xạ F': X ~ Y thỏa:
Trang 7Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 16 Chứng minh Từ (), ta được ƒ] clƑ(z) C Xo That vậy, lấy y€ ƒ\ elF(z), giả sử
z€Xo =€Xo
y € Xo, ttc lA y € Y\Xo Theo (#2) thi dz € Xo: y ¢ clF (x) Suy ray ¢ f) clF(x) z€Xo
(mâu thuẩn) Do Xạ chứa trong tập con lỗi compact của Y nên ƒ1 clƑ(z) compact
zcXo
Như vậy áp dụng Định lý 2.2.2 ta được
() Fla) 40
„cXx
Khi đó
ay € () F(z) = (} ad) C (1 eF@) € Xe C X
xEA rex œeXo
Do do € X0 (1 Fữ)) bay x0 (1) Fe) #0 n
+cX „cX
Sau đây là một số kết quả liên quan đến ánh xạ KKM-mở rộng
Bổ đề 2.2.2 Cho Y là một không gian vector top6 va 0 # X CY Giả sử ánh xạ F:X ~Y co anh đóng hữu hạn (nghĩa là với 7 là không gian con hữu hạn chiều trong Y thì (+z)f\L đóng trong L) Khi đó, {F(z): z X} có tính giao hữu hạn (nghĩa là giao của bất kỳ hữu hạn tập trong họ là khác rỗng) nếu và chỉ nếu # là ánh xạ KKM-mở rộng
Chứng minh Xem [7]
Định lý 2.2.4 Cho Y là không gian vector tôpô và # X C Y Giả sử ánh xạ F: X ~ Y có ảnh đóng và tổn tai zo € X sao cho Ƒ(zo) compact Khi đó,
đ\ fŒ) # 0 nếu và chỉ nếu #' là ánh xạ KKM-mở rộng rex
Chứng minh Định lý 2.2.4
(=) Vz € X, do F(x) đóng nên Ƒ'(z) đóng hữu hạn Vì ƒ1 Ƒ(z) # nên {Ƒ(z):z€ X} có tính giao hữu hạn Theo Bổ đề 2.2.2 thì #' là ánh xe KKM-mỗ rộng
(<) Do F la ánh xạ KKM-mở rộng nên theo Bổ đề 2.2.2 thì {F(+): € X} có tính giao hữu hạn Do đó {F(z)n F(øo) : z€ X} cũng có tính giao hữu hạn Mà Ƒ(zo) compact nên {Ƒ(z)1 P(o) : z € X} là họ các tập compact trong Ƒ'(zo) Theo tính chất của các tập compact thì Ø # ƒ1 {F(z)n FŒœa)} = F(o)ñ ( ñ F(a) =
A Fla), xeX seX A
Trang 8Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 1 Định lý 2.2.5 Cho Y là không gian vector tôpô và # X C Y Giả sử ánh xa F:X ~Y có giá trị đóng truyền và clƑ': X ~ Y xác định bởi clF(x) = el(F(z)) sao cho Sx € X để elƑ(zo) compact Khi đó, elƑ' là ánh xạ KKM-mở rộng nếu và chỉ nếu 1) F(z) 490
zcX
Chứng minh Theo giả thiết ta được cÙƑ' có ảnh đóng và có ít nhất một ảnh compact nên theo Định lý 2.2.4 thì : elƑ' là ánh xạ KKM-mở rộng nếu và chỉ nếu ƒẬ clF(z) 4
xeX
Ú Do F cé giá trị đóng truyền nên theo Mệnh đề 2.1.2 :
(f0) = {1 F(a)
rex nex
Nhu vay, clF la anh xa KKM-mé rong néu va chi néu () F(x) 40 ao
rex
Nhận xét 2.2.1 Trong [4], Ansari - Lin - Yao đã phát biểu và chứng minh điều kiện đủ của định lý trên bằng cách sử dụng Bổ đề 2.2.2 Ở đây, ta phát biểu lại Định lý 2.2.5 với điều kiện cần và đủ, đồng thời sử dụng trực tiếp Định lý 2.2.4 để chứng minh Do vậy, Định lý 2.2.5 có thể xem là hệ quả của Định lý 2.2.4
Định lý 2.2.6 Cho Y là không gian vector tôpô và # X C Y Giả sử ánh xạ `: X ~¬ Y có giá trị đóng truyền sao cho # : X ~ Y là ánh xạ KKM-mởổ rộng ứng với K Nếu £øK là compact thi () F(x) £0 O day, @K = cok = cl(coK) và
zcX
F(a) = F(a) = clF(z)
Chứng minh Ta định nghĩa hàm G(z) := cK N F(z), Vz € X Ta xét {a1, , i X Do Ƒ là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với K nén cé {y1, ,yn} C K sao cho
k
VY Yaad C {yee Yah l Sk <n, co{yi,, ,¥i} C U F(ai,) Ta cũng thấy
j=l rằng: co{0,, ,„} C èK Do đó k 60{Ui Ya COOK N U (G5): j=l Vi vay k
Cola Vi, + C U Ga)
Trang 9Chương 2 Định lý KKM-Ean và các kết quả tương đương 18 Vậy ỚŒ : X ~> Y là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với K Do đó G cũng là ánh xạ KKM-nmở rộng Hơn nữa G(z) đóng, Vz € X Do vậy, theo Bổ đề 2.2.2 ta được họ {G(z):z € X} có tính giao hữu hạn Hơn nữa, G(z) compact, Vz € X Ta suy ra
aK N() F(a) = () @K F(a) =) Gla) 40
zeX rex zcX
Do đó
n7øz
z„cX
Do Ƒ có giá trị đóng truyền nên suy ra ñ F(t) #0 Q
ze
2.3 Các kết quả tương đương
Năm 1987, Tarafdar đã phát biểu và chứng minh định lý điểm bất động một cách độc lập và chỉ ra mối quan hệ tương đương giữa định lý này với Định lý KKM-Fan Định lý 2.3.1 Cho X là tập con lồi khác rỗng của không gian vector tôpô Giả sử ánh xạ ƒ: X ~» X thỏa:
(i) Va € X, f(x) là lôi, khác rỗng;
() Vụ € X,ƒ }(u) = {+ € X :€ ƒ(z)} chứa một tập con mở Ó„ của X (Ĩ, có thể rỗng);
(iti) UY O, = X;
z„cX
(tv) tổn tại tập con X: lỗi compact của X va ton tai tap Xp sao cho # Xạ C Xị C X
và D= ƒẬ OS compact ( D có thể rỗng)
seXo
Khi đó, tồn tại zọ € X sao cho #o € ƒ(#o) Để chứng minh định lý này ta dùng bổ đề sau
Trang 10Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 19 (i) Va € X, ƒ(z) lôi, khác rỗng;
() Vụ X, ƒ-!{(u) = {z € X :€ ƒ(z)} chứa một tập con mở ÓØ, của X (Ở, có thể rỗng),
(iit) U Oy =X yex
Khi đó, tồn tai xo € X sao cho zo € f (zo) Chứng minh Xem [28]
Chứng minh Định lý 2.3.1
Trudng hop D = Ú Khi d6, Vz € Xi, f(z) X1 # Ú Thật vậy, giả sử 3zo € Xi,ƒf(zo)nXị = 0 Khi đó, Vz € Xi,# ¢ f(xo) Suy ra zo ¢ fo'(z) D Oz Do do, zoe f) OFC f] OF = D (mau thuén véi D # 0) Tà sa ~ ni
rEX, zeXo
xác định bởi ø(z) = ƒ() Xi thì ø(z) lỗi, khác rỗng Ta được, Vụ € Ấn,
Øø }{(u) ={z€ Xi:0€ g(z)} = {z€ Xì:u€ ƒ() JAX} = fF Y)NX DO,NX, = O} mở trong Xị Do ƒ1 Ó$ = nên UYU O, = X Suy ra U Ox = X Do vay,
z€Xo ~eXo xeX
U Ø}= U (O¿nX;) = Xi Áp dụng Bổ đề 2.3.1 cho X; và ø(z), tồn tại vo € X sao cho og ông C ƒ()
Trường hợp D # 0 Giả sử phản chứng ƒ khơng có điểm bất động Khi đó,
(1) Of A 0 That vay, néu OF = @ thi ¢ OS Suy raz € O, C ƒ *!{z), tức là x € f(x) (mau thuan)
(2) V6i {X15 9) 05 te POX thitgetoa, ra yt, pe N82 Thật vậy, giả sử tổn tai
mi = km ¢ Ủ Œ (A 20 Wi=Tn, A= 1) Suy tax € Oz, C f(a), Vi =
In Vi vay a © f(a st <i ro) (mâu thuẩn)
(3) Dat F(z) = OS Khi đó, a CX, K = co(X, U {x4, 22, ,2n}) thi a F(x) # Ú Thật vậy, giả sử a F(x) =@ Ta " rõ ràng K lồi va compact Ta định nghĩa ánh xạ h: K ~ K St _M bởi h(u) = {z€ K: # F(z)} Khi đó,
h(u) # ,Vụ € K Với z € K,
Trang 11Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan và các kết quả tương đương 20 mở trong K Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạ j : K ~» K xác định bởi 7(z) = co(h(z)),Vz € K Khi đó, A(x) C 7(z),Vz e K Do đó Ơ, C h~}(z) C j"'(),V+ € K “Ta cũng có dãy suy luận kéo theo sau đây
Đ\F&)›=0>|JØ;=x> |JơƠ;= J (@nK) = K
rek reK zeKk „cK
Áp dụng Bổ dé 2.3.1 cho K và 7, ta được 3zọ € #X : zo € j(zo) = co(h(zo)): Suy ra 3 {y1,ya, -, Yn} C Ks a = SA ( >0,W:=1,n, XA= = 1), VỚI 1J¡ €
=1
h(zo),V¿ = 1n Tức là ze € h~!{(,), vi =n Do dé 2» ¢ Fly), ),V¿ = Lm Suy ra
Lo = oA ¢ U F(y;) (mâu thuẩn)
Vì Xol Ủ {x1, a .„#„} C nên ta có dãy suy luận kéo theo sau đây
( 8Ì %)a(Ä 5) 5ƒ1:> z(Ä rie) 5ƒ] œ) > ( (PN Fa) # 9
2€Xo i=l zeK ¿=1 xeK i=l
Ma D compact va F(a) déng nén DN F(x) compact Do dé,
(\ (F(2) ND) 40> () Fla) = [03 #0
vex 2eX zeX
(trái với giả thiết ()) Vậy ƒ có điểm bất động a
Ménh dé 2.3.1 Dinh lý 2.2.1 tương đương với Định lý 2.3.1
Chứng minh
(<=) Gia st An F(x) = @ Ta định nghĩa ánh xạ ƒ : Y ~ Y xác định bởi ƒ(/) = {z€X: y ¢ Fle )} Ro rang f(y) #O,Vy € Y va Va € Y, f-4(x) = (F(z))” = O„ mở trong Y Ta định nghĩa ánh xạ g: Y ~» Y xác định bởi ø(w) = co(ƒ(u)) Rõ ràng Vụ € Y,ø(0) lôi, khác rỗng và Vz € Y,g"!(z) 5 ƒ~!(z) = Óz Do ƒẬ F(z) = Ú nên
EX
U 0, =Y, suy ra U O =Y Tacting duge (] OS = [1 F(x) = D compact Ap
zeX xeY š 2€Xo ~€Xo
dụng Định lý 2.3.1 cho Y và gø, tồn tại xo € X sao cho zo € Ø(zo) = co(ƒ(zo)) Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.3.1, ta cũng chỉ ra được điều trái với giả thiết co{đ1,2, nu} C U F(z;) của Định lý 2.2.1
i=l
(=) Trường hợp D = Ú Lấy Y = X, theo Định lý 2.2.1 thì tổn tại {z1,›, ,#„} C X sao cho co{zi,zs, ,#n} # U F(a) (nếu khơng thì D # 0), nghia 1a tén tai
Trang 12Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 21
to = Dm ý P() = O$,Vi = T (0i >0, = 1m È =1), Do đó zọ € i=l i=l
Ox, C f(a), Wi = In Tite la 2; € f(x), Vi = 1n Suy ra zọ € ƒ(#o)
Trường hợp D # Ú Nếu co{zi,›, ,#n} C Ủ F(a;), theo Định lý 2.2.1 thì
1
1) F(z) #0 Suy ra 1) OF AO (trai gid thiét (ii) cha Dinh ly 2.3.1)
zeX zeX
Vậy, tồn tại {zi,#s, ,#„} C X sao cho co{#a,#a, ,#n} ¢ U F(ai) Chứng mỉnh
t=1 :
tương tự trường hợp D = Ú ta cũng được 3zọo € X : zo € ƒ(zo) n Năm 1992, Tian cũng chứng minh được rằng định lý mà ông đã mở rộng từ Định lý KKM-Ean tương đương với các định lý về bất đẳng thức minimax, về sự tồn tại phần tử lớn nhất, về sự tồn tại phần tử cực đại trên một tập
Sau đây là định lý về bất đẳng thức minimax
Định lý 2.3.2 Cho Y là một tập con lỗi, khác rỗng của không gian vector tôpô, 0# XCY,+y€R Giả sử hàm ó: X xY 4 RU {+00} théa:
(i) ø là hàm +-nửa liên tục dưới truyền theo y;
() V{zl,#a, ,#m} C X, c0{t,#s, ,#m} C U cl{u€ Y : ð(;,9) <S 3]: j=l
() tổn tại tập CÚ # Œ C X saocho Vụ € Y\Œ, 3z € Œ, € int{z € Y : d(a,z) > 7} và Ở chứa trong tập con lồi compact của Y
Khi đó, tổn tại ø* € X sao cho j(z,*) < +,V+ € X
Chứng minh Việc chứng minh định lý này được trình bày trong chứng minh Mệnh đề 2.3.2 sau đây bằng cách sử dụng Định lý 2.2.3
Mệnh đề 2.3.2 Định lý 2.2.3 tương đương với Định lý 2.3.2
Chứng minh
Trang 13Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 22 KKM Theo gia thiét (#ii) thi Vy € Y\C, 3x € C,y € int {z € Y : ó(z,z) > +}, do đó yd¢cl{z€Y : o(x,z) < +}, nghĩa là y ¢ clF(x) Ap dụng Định lý 2.2.3 ta được
xn (n re) #0
zcX
Nghĩa là 3” € X,w* € F(z),V+z € X, tức là 3ụ' € X,ở(z,w*) < +,Vw € X Như vậy, ta ln có * € X sao cho ở(z,*) < +,V+z € X
(©) Ta chỉ cần lấy hàm ý: X x Y —= RU{+o©} xác định bởi ^ nếu (z,1) € G
0Â, ) =
+oc_ ngược lại
trong đó + €IR,G = {(z,)€ X xY :u€ F(z)} Khi đó, ó thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.3.2 Do đó tổn tại * € X sao cho ó(z,*) < +y,Vz € X Khi đó (z, ') € GŒ,V+z € X, ttc la y* € Ƒ(z),Vz € X Suy ra * € ƒ F(x) Nhu vay,
zeX
ay exn (n Fe) tức là X\ (n F(a) #0 n
Sau đây là định lý về sự tồn tại phần tử lớn nhất (greatest element)
Định lý 2.3.3 Cho Y là tập con lỗi của một không gian vector tops, 0 4 X CY va > là quan hệ hai ngôi yếu trên Y thỏa:
(i) Uy c6 giá trị đóng truyền trên X; (ii) clyUy la 4nh xa KKM;
(iit) tn tai C, 04 CCX sao cho Vy € Y\C, Su € C,y ¢ clUy(x) va C chứa trong một tập con lỗi compact của Y
Khi đó, > có phần tử lớn nhất trên X
Chứng minh Việc chứng minh định lý này được trình bày trong chứng minh Mệnh đề 2.3.3 sau đây bằng cách sử dụng Định lý 2.2.3
Trang 14Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 23 Chứng minh
(=) Với z € X, ta đặt F(z) = U„(z) Khi đó F(z) thỏa tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.3, ta được
xn (n unt) #0
eX
Vay dy* Ee XN ( ñ 0(z) ) Nghĩa là * > z,V+ € X Tức là > có phần tử lớn nhất
rcX trên X
(<) Ta chỉ cần định nghĩa quan hệ hai ngôi > trên Y nh sau: VzX,U>zzâđuwece F(z)
Do U„(z) = {u€Y :> z} nên U„(z) = F(z) Khi đó, U„ thỏa các giả thiết của Định lý 2.3.3 nên > có phần tử lớn nhất, nghĩa là ƒ1 U„(z) # 0 Suy ra ƒ\ F(z) # Ú
eX rex
“Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.3 ta được
xn (n re) #0
xcX
Sau đây là định lý về sự tồn tại phần tử cực đại (maximal element)
Định lý 2.3.4 Cho Y là tập con lỗi của một không gian vector tôpô, Ú 4 X CY va > là quan hệ hai ngôi chặt trên Y thỏa:
(i) Ly có giá trị mở truyền trên X;
(it) intU, la ánh xạ SS-lỗi mở rộng trên X;
(wii) tén tai C, 04 C CX sao cho Vy € Y\C, Ju € C,y € intL,(x) va C chita trong một tập con lồi compact của Y
Khi đó, > có phần tử cực đại trên X
Chứng minh Việc chứng minh định lý này được trình bày trong chứng minh Mệnh đề 2.3.4 sau đây bằng cách sử dụng Định lý 2.2.3
Trang 15Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va cac két quả tương đương 24 Chứng minh
(=) Dat F(x) = Y\L,(z) Khi d6, do L, c6 gid trị mở truyền nên Ƒ` có giá trị dong truyén clF la anh xa KKM That vay, gia svt phan chting clF không là ánh xạ KKM, nghĩa là 3zo € c0{#1,#s, ,#m} : #o £ Ũ clF(x;), nghia la xo ¢ clF(x;) =
cl(Y\Le(x;)) = Y\intL.(«;),Vj = Tm Tite Ii tp € intL,(x;),Vj = Tm Suy ra
x; € intU,(z0), Vj = 1,m (mâu thuẩn với giả thiết intU, 1A Anh xa SS-lỗi mở rộng) Theo gid thiét (iti), y € intL,(x) Suy ray ¢ Y\intL,(x) = cl (Y\L,(x)) = clF(z) Như vậy, ta thấy các giả thiết của Định lý 2.2.3 thỏa mãn nên
(1 F(x) #90 xeX
Khi đó, 3z* € F(z),V+ € X, nghĩa là z* ý L;(z),V+z € X Tức là z £ U,(z*),V+w € X Suy ra U;(z*) = 0 Vậy, tổn tại z* € X sao cho U,(x*) = 0 Tức là > có phần tử cực đại trên X
(<) Do Định lý 2.2.3 tương đương với Định lý 2.3.3 nên ta chỉ cần chứng minh Định lý 2.3.4 kéo theo Dinh lý 2.3.3 là xong Thật vậy, ta định nghĩa quan hệ > trên Y như sau:
#>U© wey
Khi dé, do L, = Y\Uw nén theo giả thiết (2) ta được Ly mở truyền Theo giả thiết (), Vzo € c0{Zzi, ,#a},3z; : zo € clUu(+;) Tức là, z; € clL„(zo) = cl{x €Y : 2% #} = cL{+ € Y : z > ¬zo} Suy ra, zj ¢ int {x € Y : x > xo} = intU, (29) Do vay, intU, la anh xa SS-l6i mé rong Theo gid thiét (iii) cha Dinh ly 2.3.3 thì giả thiết (222) của Định lý 2.3.4 thỏa mãn Như vậy theo Định lý 2.3.4, quan hệ > cé phan tử cực đại Tức là, 3z* € X : ¬z > #ø*,Vz € X Suy ra, 3z" € X :z” > +,Vz€ X Điều này có nghĩa z* là phần tử lớn nhất oO Nhan xét 2.3.1 Cac dinh ly 2.2.3, 2.3.2, 2.3.3 va 2.3.4 là tương đương
Nam 2004, Lin va Chen đã lập mối quan hệ tương đương giữa định lý điểm trùng và định lý KKM trong không gian lỗi Sau đây là một số kết quả
Trang 16Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 25
Định nghĩa 2.3.2 Cho X là một không gian lồi, Y là một không gian tôpô Nếu các ánh xạ 9,7: X —› 9Ý thỏa: VN € (X),7(eoN) C S(N) thì Š được gọi là ánh xạ KKM-mở rộng ứng với 7 Lúc này, 7 được gọi là ánh xạ có tính chất KKM nếu họ {5œ) sp € x} có tính giao hữu hạn Ký hiệu KK M(X,Y) là tập các ánh xạ đa trị từ X vào Y có tính chất KKM
Bổ dé 2.3.2 Cho X là không gian lỗi, Y là không gian tôpô, 7,8 : X ~» Y và các ánh xạ LH :Y ~› X xác định bởi
F(y) = X\T"\(y), A(y) = X\S"1(y)
Khi đó, hai điều sau là tương đương
(i) Voi mdi y € Y, A € (F(y)) thi coA C H(y)
() Với mỗi A € (X), S(eoA) C T(4)
Chứng minh
(0) = ()) Lay A € (X) va y € S(coA) Khi dé, tồn tai x € coA sao cho € S(z), tic IA x € coANS“1(y) = coAN(X\H(y)) Do d6, coAM (X\H(y)) # 0 Suy ra, coA ¢ H(y) Theo (i) taduge A ¢ F(y), do dé AN(X\F(y)) 4 0, thc la ANT"! (y) #0 Nhu vay, dz € ANT™1(y), suy ray € T(z) C T(A) Vay S(coA) C T(A)
((i) = (tt)) Vy € Y, A € (F(y)), ta có dãy suy luận sau
AC X\I-My) 3 ANT (y) =0 3 y ETIA)
Két hop voi gid thiét (ii) ta duge y ¢ S(coA) Suy ra, coAN S~'(y) = 0 Do vay,
eoA C X\S*!(u) = Aly) n
Bổ đề 2.3.3 Cho X và Y là hai không gian tôpô, P : X ~ Y Hai khẳng định sau là
tương đương
(0) Pˆ1 có giá trị mở truyền và P(z) # Ú,Vz € X (¿) X = U mtP"1(0)
Trang 17Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 26 Chứng mỉnh
(0) = ()) P—` có giá trị mở truyền nên theo Mệnh đề 2.1.2, ta được
UP *0ø)= LJmtPˆ10)
yeY yeY
Vi P(a) 4 0,Va € X nén X = LU P(y) Do vậy,
yey
X= U intP~'(y) yeY
((i) = (i)) Vi X = U intP(y) nén Po! c6 gid trị mở truyền Ta lấy z € X =
yeY
U intP-(y) Khi do, ton tai y € Y sao cho x € intP"(y) C Poy) Tie là,
yey
Va € X, dy €Y : y € P(x) Do vay, P(x) 40,Vz € X n Bổ đề 2.3.4 Cho X là tập con lỗi của một không gian vector, Y là không gian tôpô,
0# AC X, A lỗi và Te KKM(X,V) Khi đó, TA € KKM(A,Y)
Chứng minh Xem [20]
Định lý 2.3.5 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian lỗ, 7€ KKM(Y,X) compact, ánh xạ P: X ~> Y thỏa Vz € X,P(z) lỗi và X = VU intP-'(y) Khi do,
yeY
tồn tai (7,9) € X x Y sao cho E T(g) và ÿ € P(z) Chting minh Xem [22]
Dinh lý 2.3.6 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian lỗi, 7€ KKM(Y,X) và ánh xạ P: X ~— Y thỏa:
(i) Vx € X, P(z) 16i, X = U intP1(p);
yeY
(ii) WA CY, néu A compact thi T(A) compact;
(i) tồn tại tap D compact, @ # D C X sao cho VN € (Y),3L lỗi compact, NCLNCY so cho 7(E@)\DC U {intP!(y)}
€LN
Trang 18Chuong 2 Dinh ly KKM-Fan va cac két quả tương đương 27 Chứng minh Theo giả thiết (¿) và (2), ta được
DCX = (jint{P(y)}
yeY
Do D compact nén tén tai N = {y1, ,Yn} € (Y) sao cho DC VU intP@!(y;) Do do,
i=l
T(Ly) Dc LJintP“(y,) c | Jim{P ')}c (J m{P"'0)}
wl ew €LN
Theo (iit), c6 Ly 16i compact, N C Ly C Y sao cho T(Ly)\D C WU int {P71(y)}
yeLn
Tw day suy ra
T(Ln) = U intryzy) {P*(y)}-
yeLn
Do 04 Ly CY va Ly Idi nén theo B6 dé 2.3.4, T|4 € KK M(Lw, X) Hon nita, do Y là không gian lỗi và /„ là tap con Idi compact cia Y nên /„ là không gian lôi
Từ giả thiết () suy ra T(Ly) compact Do đó 7'|„„ compact Áp dụng Định lý 2.3.5 cho Y = Ly, X = T(Ly),T =T |xy, tén tai Z € T(Ly) C X,ÿ€ Lụ C Y sao cho
z€T|„ (9) =T(W) vag € PCD) 0
Định lý 2.3.7 Cho 7€ KKM(X,Y) và P.Q:Y ~ X thỏa: (i) Vy EY, néu A € (P(ø)) thì coA C Q0);
(ii) P-!: X ~ Y là ánh xạ có giá trị mở truyền và Vụ € Y, P(w) # Ũ; (iti) VA C X, n€u A compact thi T(A) compact;
(iv) tén tai K compact, #4 K CY sao cho VN € (X), SLy léi compact, N C Ly C
X théa T(Ly)\K C U {intP"!(z)} zeLy
Khi đó, tổn tại (#,ÿ) € X x Y sao cho ÿ € 7(#) và # e Q(0)
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Định lý 2.3.6 và Bổ đề 2.3.3
Định lý 2.3.8 Cho 7€ KKM(X,Y) và S,Œ: X — Y thỏa:
Trang 19Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 28 (iii) G: X ~ Y c6 gid tri đóng truyền;
(iv) VA CX, nếu A compact thi T(A) compact;
(v) tén tai tập K compact, 0 4 K C Y sao cho VN € (X), 3L lỗi compact,
NC Ly CX théa T(Ly)A f\ {elG(ø)}C K
2eLy
Khi đó, () G(x) 40
rEeX
Chứng minh Việc chứng minh định lý này được trình bày trong chứng minh Mệnh đề 2.3.5 sau đây bằng cách sử dụng định lý 2.3.7
Mệnh dé 2.3.5 Định lý 2.3.7 tương đương với Định lý 2.3.8 Chứng minh
(=) Ta định nghĩa các ánh xạ P',Q': Y ~» X như sau: P) =X\Œ *0),
Q0) = X\5}(g)
Giả sử phản chứng (| G(x) = 0, nghia là Vụ € Y, 3z € X : # G(z), tức là z € P/(w) xeX
Từ giả thiết () và Bổ dé 2.3.2, ta được
VụcY,Ae€ (P!()) > coA C Qf(9)
Từ giả thiết () ta suy ra (P)~!: X — 2Y có giá trị mở truyền Từ giả thiết (0) ta
suy ra
T(Ly)\K Cc |) {intP'(2)}
z€LN
Thật vậy, lấy € 7(Lx)\K, nghĩa là y € T(L„) và ý K Từ giả thiết (0) suy ra # f) {elG(z)}, tức là 3z € Ly : y ¢ clG(z) Do d6, x € X\clG"(y) =
€LN
int(X\G"!(y)) = intP’(y) Tite la, y € intP’"1(x) Như vậy,€ (J {imvP}(z)}
weLy
Ta thấy 7, P',Q' thỏa các giả thiết của Định lý 2.3.7 nên tổn tại (#,ÿ) € X x Y sao cho 7 € T(z) va & € Q’(g) Khi dd, 9 ¢ S(z) Diéu này trái với giả thiết (/)
Trang 20Chương 2 Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương 29 Giả sử phản chứng, V(z,) € X xY, y ý T(z) hoặc z # Q() Nghĩa là, Vz € X, T()nQ“1(z) = 0 Suy ra T(z) C Y\QT!(z) = S(z) Từ giả thiết (¿) và Bổ dé 2.3.2, ta được VA € (X),S(coA) C H(A) Từ giả thiết (2) suy ra ánh xạ H có giá trị đóng truyền Từ giả thiết (20), ta suy ra
Tữứx)n () {clH(a)} cK
reLy
Thật vậy, lay ye€ T(Lw)N ƒẬ\ {elH()}, tức là € T(LN) và y € clH (x), Va € Ln
2€Ln
Giả sử ý K, khi dé tw gia thiét (tv) suy ray € U {intPo1(2)}, tic la Se € Ly:
2eLy
y ¢ Y\intP"(x) = cl(Y\P>'(x)) = clH(x) (mau thuan)
Ta thấy 7, S, H thỏa các giả thiết của Định lý 2.3.8 nên ta được
() A(x) 40
zeX