Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 38 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO Sinh viên thực hiện: Lương Thị Hường Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng, tháng 5/2013 SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo MỞ ĐẦU Cho G nhóm, Z(G) [ G, G ] nhóm tâm nhóm giao hoán tử G Năm 1904, I Schur chứng minh rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, nhóm [ G, G ] hữu hạn Kết có nhiều ứng dụng lý thuyết nhóm gọi Định lý Schur Phần đảo Định lý Schur nói chung khơng đúng, chẳng hạn p – nhóm q đặc biệt vơ hạn, với p số nguyên tố lẻ Năm 1951, B H Neumann [4] chứng minh được: Nếu nhóm G hữu hạn sinh Z2(G) hữu hạn nhóm G/Z(G) hữu hạn Trong năm gần đây, việc nghiên cứu phần đảo Định lý Schur quan tâm nhiều nhà toán học, chẳng hạn năm 2010, P Niroomand [5] chứng minh: Nếu [ G, G ] hữu hạn G/Z(G) hữu hạn sinh nhóm G/Z(G) hữu hạn Kết P Niroomand tổng quát B Sury [7] ( năm 2010 ) M K Yadav [11] ( năm 2011 ) Nhằm tìm hiểu Định lý Schur phần đảo nó, tơi chọn đề tài khóa l ̣n tớ t nghiê ̣p là: “ Định lý Schur phần đảo ” Xin cám ơn Thầy, Cơ giáo Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng, giảng dạy tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành đề tài Đặc biệt Thầy Nguyễn Ngọc Châu, người nhắc nhở tận tình hướng dẫn suốt q trình tơi thực luận văn SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo CHƯƠNG I: NHÓM VÀ p - NHĨM Chương trình bày số kiến thức cấu trúc nhóm nhằm làm tiền đề cho chương sau 1.1 CẤU TRÚC NHĨM 1.1.1 Nhóm, nhóm 1.1.1.1 Định nghĩa: Cho tập không rỗng G phép tốn hai ngơi G kí hiệu ·, (G, ·)được gọi nhóm nếu: (i) Với x, y, z ∈ 𝐺, (x·y)·z = x·(y·z) (ii) Tồn phần tử đơn vị ( thường kí hiệu ) ∈ 𝐺, tức x·1 = 1·x với x ∈ 𝐺 (iii) Mỗi x ∈ 𝐺 có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử x-1 ∈ 𝐺 cho x·x-1 = x-1·x = Nếu G tập hợp vơ hạn, ta nói G nhóm vơ hạn, G tập hợp hữu hạn, ta nói G nhóm hữu hạn Số phần tử G kí hiệu |𝐺 | gọi cấp nhóm G Nếu phép tốn hai ngơi nhóm G có tính giao hốn ta nói G nhóm giao hốn hay nhóm aben 1.1.1.2 Định nghĩa: Cho (G,·)là nhóm với phép tốn hai ngơi · cho H tập không rỗng G Khi ta nói H nhóm G H với phép toán G làm thành nhóm Ký hiệu: H ≤ G SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo 1.1.1.3 Mệnh đề: Cho (G,·)là nhóm Khi tập H G nhóm G nếu: (i) H ≠ ∅, (ii) Với x, y ∈ 𝐻, 𝑥𝑦 ∈ 𝐻, (iii) Với x ∈ 𝐻, x-1 ∈ 𝐻 1.1.1.4 Mệnh đề: Cho (G,·)là nhóm Khi tập H G nhóm G nếu: (i) H ≠ ∅, (ii) Với x, y ∈ 𝐻, xy-1 ∈ 𝐻 1.1.1.5 Mệnh đề: Giao họ nhóm nhóm G nhóm nhóm G 1.1.1.6 Định nghĩa: Cho (G,·)là nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G có chứa X Ký hiệu: < X > 𝜀 𝜀 𝜀 Mô tả: < X > = { 𝑥1 𝑥22 … 𝑥𝑛𝑛 | 𝑥𝑖 𝜖 𝑋, 𝜀𝑖 = ± 1, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ } 1.1.1.7 Nhận xét: < X > nhóm nhỏ nhóm G có chứa X Nếu < X > = G ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G 1.1.1.8 Định nghĩa: Cho (G, ·)là nhóm phần tử a ∈ 𝐺 Nhóm cyclic G sinh phần tử a nhóm G sinh phận X = {a} Ký hiệu: < a > Mô tả: < a > = { am / m ∈ 𝑍 } 1.1.1.9 Định nghĩa: Cấp phần tử a nhóm G cấp nhóm cyclic < a > số nguyên dương m nhỏ cho am = SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Ký hiệu: |a| 1.1.1.10 Định nghĩa: Một nhóm G gọi nhóm cyclic G sinh phần tử a ∈ 𝐺 Phần tử a gọi phần tử sinh G Nhận xét: Nếu G = < x > G nhóm hữu hạn cấp r, s số nguyên tố với r, < xr > = G 1.1.2 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.1.2.1 Định nghĩa: Cho G nhóm H nhóm G Khi đó, lớp trái H G tập có dạng xH = { y | y = xh, h ∈ 𝐻 } với x ∈ 𝐺 Chúng ta định nghĩa lớp phải H G tập có dạng Hx = { y | y = hx, h ∈ 𝐻 } 1.1.2.2 Nhận xét: Hai lớp ghép trái (phải) trùng giao rỗng 1.1.2.3 Định lý: Cấp nhóm H nhóm hữu hạn G chia hết cấp G Mô tả : |𝐻 | | |𝐺 | 1.1.2.4 Hệ quả: Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G 1.1.2.5 Định nghĩa: Số lớp ghép trái (phải) H G gọi số H G Ký hiệu: [ G : H ] 1.1.2.6 Nhận xét: Nếu G nhóm hữu hạn | G | = | H | [ G : H ] 1.1.2.7 Định nghĩa: Cho (G,·)là nhóm nhân, nhóm H G gọi nhóm chuẩn tắc xH = Hx với x ∈ 𝐺 Ký hiệu: H G SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo 1.1.2.8 Mệnh đề: Ắt có đủ để nhóm H G nhóm chuẩn tắc G xhx-1 ∈ 𝐻 với x ∈ 𝐺 h ∈ 𝐺 1.1.2.9 Định nghĩa: Cho G nhóm H G Tập thương G H tập hợp tất lớp kề trái H G Ký hiệu: G/H Mô tả: G/H = { xH , h ∈ 𝐺 } 1.1.2.10 Định lý: Nếu H G (i) Quy tắc cho tương ứng cặp ( xH, yH ) với lớp trái xyH ánh xạ từ : G/H × G/H đến G/H; (ii) G/H với phép tốn hai ngơi ( xH, yH ) ↦ xyH nhóm, gọi nhóm thương G H 1.1.2.11 Định nghĩa: Tâm nhóm G định nghĩa Z(G) = { z ∈ 𝐺 | zg = gz, ∀𝑔 ∈ 𝐺 } 1.1.2.12 Tính chất: Ta có Z(G) G 1.1.2.13 Định nghĩa: Giả sử G nhóm Hai phần tử a b G gọi liên hợp với tồn g G cho: gag-1 = b 1.1.2.14 Định nghĩa: Cho a phần tử nhóm G Tâm hóa a (trong G) định nghĩa CG(a) = { c ∈ 𝐺 / ca = ac } 1.1.2.15 Định nghĩa: Cho A tập nhóm G Tâm hóa A (trong G) định nghĩa CG(A) = { g ∈ 𝐺 / ga = ag,∀ 𝑎 ∈ 𝐴 } SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo 1.1.2.16 Tính chất: Ta có CG(A) nhóm G 1.1.2.17 Định nghĩa: Cho A tập nhóm G Chuẩn hóa A (trong G) định nghĩa NA(G) = { g ∈ 𝐺 / gA = Ag } 1.1.2.18 Tính chất: NA(G) nhóm G 1.1.2.19 Định nghĩa: Một nhóm G gọi meta cyclic G có nhóm chuẩn tắc N cho N G/N cyclic 1.1.2.20 Định nghĩa: Một nhóm G gọi meta abel G có nhóm chuẩn tắc N cho N G/N abel 1.1.2.21 Nhận xét: G metal abel nhóm giao hốn tử [G, G] abel 1.1.2.22 Định nghĩa: ( Tích trực tiếp ngồi ) Ta biết, tích đề H×K hai tập hợp H K tập tất cặp (h,k), h ∈ 𝐻, k ∈ K Cho H, K nhóm; ta biết H×K = { (h,k) | h ∈ 𝐻, k ∈ K } với phép toán : (h1 ,k1) ·( h2 ,k2) = (h1k1, h2k2), (h1,k1), (h2,k2) ∈ H×K nhóm, nhóm H×K gọi tích trực tiếp ngồi (hay tích trực tiếp) nhóm H K 1.1.2.23 Nhận xét: Ta suy từ định nghĩa H K nhóm hữu hạn | H×K | = |H|.|K| 1.1.2.24 Định nghĩa: ( Tích trực tiếp ) SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Cho H K nhóm nhóm G G gọi tích trực tiếp H K nếu: i) hk = kh với h ∈ 𝐻, k ∈ K ii) Mọi phần tử g ∈ 𝐺 tích phần tử thuộc H phần tử thuộc K Nghĩa g = hk, h ∈ 𝐻, k ∈ K ; g = h1k1, h1 ∈ 𝐻, k1 ∈ K h1 = h k1 = k Kí hiệu: G = H K 1.1.2.25 Nhận xét: H K ≅ H×K Chứng minh: Giả sử g ∈ H ∩ K , g = h·1 = 1·k với h ∈ 𝐻, k ∈ K Nhưng theo định nghĩa 1.2.24 ii), h=1, k=1 Do g =1 H ∩ K = {1} Từ nhận xét suy trực tiếp từ định nghĩa 1.2.24 1.1.2.26 Định lý: Giả sử A B hai nhóm chuẩn tắc G cho A ∩ B = {e} G nhóm sinh A ∪ B Khi G ≅ A B 1.1.2.27 Bổ đề: Cho G nhóm, cl(g) CG(g) lớp liên hợp tâm hóa phần tử g G Khi đó: |𝑐𝑙(𝑔𝑖 )| = |𝐺: 𝐶𝐺 (𝑔𝑖 )| Chứng minh: Xét ánh xạ 𝜑: G|𝐶𝐺 (𝑎) → 𝑐𝑙(𝑎) Ta chứng minh 𝜑 song ánh Cho g1CG(a) = g2CG(a) ta chứng minh 𝑔1 𝑎𝑔1−1 = 𝑔2 𝑎𝑔2−1 Ta có: g1CG(a) = g2CG(a) ⇒ 𝑔2−1 g1CG(a) = CG(a) ⇒ 𝑔2−1 g1h ∈ CG(a) ( h ∈ CG(a) ) SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo ⇒ g1ha = a𝑔2−1 g1h ⇒ 𝑔2−1 g1ah = a𝑔2−1 g1h ⇒ 𝑔2−1 g1a = a𝑔2−1 g1 ⇒ g1a𝑔1−1 = g2a𝑔2−1 Cho g1a𝑔1−1 = g2a𝑔2−1 , phải chứng minh g1CG(a) = g2CG(a) Ta có: g1a𝑔1−1 = g2a𝑔2−1 ⇒ 𝑔2−1g1a = a𝑔2−1 g1 ⇒ 𝑔2−1g1 ∈ CG(a) ⇒ g1 ∈ g2CG(a) ⇒ g1CG(a) ⊂ g2CG(a) Chứng minh tương tự ta có g2CG(a) ⊂ g1CG(a) Do g1CG(a)= g2CG(a) Từ ta có 𝜑 song ánh Và |𝑐𝑙(𝑔𝑖 )| = |𝐺: 𝐶𝐺 (𝑔𝑖 )| 1.1.3 Nhóm dihedral, nhóm quaternion 1.1.3.1 Định nghĩa Xét đa giác n cạnh Pn với n > Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm Pn góc ( có hướng ) 2𝜋/𝑛, cịn b phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm Pn đỉnh Khi đó, tất phép đối xứng Pn tức biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến Pn thành liệt kê sau: e, a, a2,…,an-1, ab, a2b,…, an-1b SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Tập phép đối xứng Pn lập thành nhóm, cấp 2n, với phép hợp thành hai phép đối xứng ký hiệu Dn gọi nhóm dihedral Nhóm Dn có biểu diễn sau Dn = < a, b | 𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, (𝑎𝑏)2 = 𝑒 > 1.1.3.2 Định nghĩa Nhóm quaternion nhóm sinh hai phần tử thỏa mãn quan hệ sau: Q8 = < a, b | 𝑎4 = 𝑒, 𝑎2 = 𝑏2 , 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏 > = { asbt | ≤ 𝑠 ≤ 3, ≤ 𝑡 ≤ 1} Nhóm Q8 nhóm khơng giao hốn cấp 1.1.4 Đồng cấu 1.1.4.1 Định nghĩa: Cho nhóm (G, ·), (H, ·) Một tương ứng f:GH x ↦ f(x) gọi đồng cấu nhóm nếu: (i) f ánh xạ (ii) f (x·y) = f (x) · f(y) với x, y ∈ 𝐺 Nếu H = G đồng cấu f gọi tự đồng cấu G 1.1.4.2 Tính chất: Nếu f : G H đồng cấu nhóm i) f(1G) = 1H ii) f(x-1) = (f(x))-1 Một đồng cấu nhóm f : G H với f đơn ánh, toàn ánh hay song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 10 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Chương II: ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO Chương nội dung luận văn, trình bày Định lý Schur phần đảo 2.1 Transversal phải 2.1.1 Đinh ̣ nghiã Giả sử G nhóm H nhóm G Khi lớp kề phải H G Hx1, Hx2,… Trong lớp kề Hg, ta chọn phần tử đại diện cho lớp kề đó, với đại diện H Tập tất phần tử đại diện lớp kề phải H gọi transversal phải H G Giả sử X transversal phải H G Ta kí hiệu phần tử đại diện lớp kề Hg g , g ∈ X Ta lưu ý hai lớp kề phải trùng rời Do Hg H g g Hg Và h ∈ H hg g Hg H g Hhg Hhg 2.1.2 Ví dụ Xét G nhóm cyclic cấp sinh phần tử a, nghĩa G 1, a, a , a3 H 1, a nhóm cấp G 1, a transversal phải H G Khi ta có 1, a a, a 1, a a SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 24 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo 2.1.3 Bổ đề Cho G nhóm, H nhóm G, X transversal phải H G Khi g1 , g2 G, g1 g2 g1 g2 Chứng minh: g1 g2 đại diện lớp Hg1 g2 g1 g đại diện lớp H g1 g2 Theo lưu ý ta có Hg1 H g1 H g1 g2 H g1 g2 Hg1 g2 H g1g2 Do g1 g2 g1 g2 , g1 , g2 G Vậy bổ đề chứng minh 2.1.4 Mệnh đề Cho G nhóm, H nhóm G, X transversal phải H G Với phần tử g ∈ G, xét ánh xạ g : X X x a xg, x X Khi đó, g phép X Chứng minh: Ta chứng minh g đơn ánh Giả sử g x g y x, y X Theo định nghĩa ánh xạ g trên, ta có xg yg , xgg 1 ygg 1 SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 25 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Theo ( Chương II, Bổ đề 2.1.3 ), ta có xgg 1 xgg 1 x x Tương tự, ta có ygg 1 ygg 1 y y Như vậy, x = y Vậy g đơn ánh Ta cần chứng minh g toàn ánh Giả sử x ∈ X xg 1 X g xg 1 xg 1 g xg 1 g x Do phần tử X ảnh phần tử X Vậy g tồn ánh, g phép tập X Mệnh đề chứng minh 2.2 Transfer Giả sử A nhóm aben số n nhóm G, X = { x1, x2, , xn } transversal phải A G Khi với g ∈ G, ta có ( g ) x1g ( x1g )1.x2 g ( x2 g )1 xn g ( xn g )1 A Thật vậy, g G , với i 1, n , ta có xi g Ax j Suy xi g ax j , a ∈ A; xi g x j Do xi g xi g 1 xi g xj ax j xj a x j xj a A Hay xi g ( xi g )1 A Vậy g A ( i = 1,…,n ) 2.2.1 Bổ đề SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 26 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Giả sử A nhóm aben số n nhóm G, X = { x1, x2, , xn } transversal phải A G Khi với g ∈ G, ta có ( g ) x1 g k x11 xk 1 g l xk11 xnm1 g m xn1m1 Chứng minh: Nhớ la ̣i rằ ng ánh xa ̣ xi xi g là mô ̣t hoán vi ̣ của X Sau đánh la ̣i số các phầ n tử của X nế u cầ n thiế t, ta có thể giả sử rằ ng x1g x2 , x2 g x3 , , xk 1 g xk , xk g x1 xk 1g xk 2 , xk 2 g xk 3 , , xk l 1g xk l , xk l g xk 1 xnm1g xnm2 , xnm2 g xnm3 , , xn1g xn , xn g xnm1 ( Chú ý rằ ng k + l + + m = n, với n là cấ p của A G ) Sau đó ( g) x1g( x1g)1.x2 g( x2 g)1 xk g( xk g)1 xk 1g( xk 1g)1.xk 2 g( xk 2 g)1 xk l g( xk l g)1 xnm1g( xnm1g)1.xnm2 g( xnm2 g)1 xn g( xn g)1 = x1 gx21.x2 gx31 xk gx11 xk 1gxk12 xk 2 gxk13 xk l gxk1 xnm1 gxn1m2 xnm2 gxn1m3 xn gxn1m1 ( g ) x1 g k x11 xk 1 g l xk11 xnm1 g m xn1m1 Do đó 2.2.2 Bổ đề Phần tử ( g ) Bổ đề không phụ thuộc vào cách chọn transversal X, nói cách khác cho A là mơ ̣t nhóm aben hữu ̣n mô ̣t nhóm G SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 27 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo X = { x1, x2, , xn }, Y = { y1, y2, , yn } là hai transversal phải của A G Giả sử và % là hai ánh xa ̣ từ G vào A đươ ̣c đinh ̣ nghiã tương ứng sau: ( g ) x1g ( x1g )1.x2 g ( x2 g )1 xn g ( xn g )1 g G và %( g ) y1g ( ²y1g )1 y2 g ( ²y2 g )1 yn g ( ²yn g )1 g G đó, nế u h G , h biể u thi ̣ phầ n tử của X lớp Ah và h%biể u thi ̣ phầ n tử của Y lớp Ah Khi đó % Chứng minh: Ta có thể giả sử yi xi A Nế u xi g x j , thì Ay j Aa j x j Ax j Axi g Aai xi g Ayi g Tức là ²y g y i j Do đó, theo ( Chương II, Bổ đề 2.2.1 ) nế u g ∈ G, thì %( g ) y1 g k y11 yk 1g l yk11 . ynm1g m yn1m1 Nhưng yi xi , và các phầ n tử x1g k x11, xk 1g l xk11, , xnm1g m xn1m1 nằ m nhóm aben A Do đó y1 g k y11 a1 x1 g k x11 a11 x1 g k x11 yk 1 g l yk11 ak 1 xk 1 g l xk11 ak11 xk 1 g l xk11 ynm1 g m yn1m1 anm1 xnm1g m xn1m1 an1m1 xn m1g m xn1m1 Từ kết trên, ta suy ( g) %( g) SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 28 Định lý Schur phần đảo GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Bổ đề xác định ánh xạ τ từ nhóm G đến nhóm A sau: g ∈ G, ( g ) x1g ( x1g )1.x2 g ( x2 g )1 xn g ( xn g )1 X 2.2.3 Mệnh đề Ánh xạ τ là mô ̣t đồ ng cấ u nhóm Chứng minh: Ta tiń h τ(gh), ở g , h ∈ G: ( gh) ( x1gh( x1gh)1 ).( x2 gh( x2 gh)1 ) ( xn gh( xn gh)1 ) ( x1 gh( x1 gh)1 ).( x2 gh( x2 gh)1 ) ( xn gh( xn gh)1 ) ( xi gh xi gh ) ( x1 g ( x1 g )1.x1gh( x1gh)1 ).( x2 g ( x2 g )1.x2 gh( x2 gh) 1 ) .( xn g ( xn g )1.xn gh( xn gh)1 ) Bây giờ mỗ i mô ̣t phầ n tử xi g ( xi g )1 , x j gh( x j gh)1 nằ m A; vì A aben, chúng phải giao hoán Vì vâ ̣y ta có thể viế t la ̣i τ(gh) dưới da ̣ng ( gh) x1 g ( x1 g )1.x2 g ( x2 g )1 xn g ( xn g )1 x1gh( x1gh)1.x2 gh( x2 gh) 1 ) xn gh( xn gh) 1 Nhưng quan sát rằ ng i 1, , n xi xi g là mô ̣t hoán vi ̣của X Điề u này nghiã là x1 gh( x1 gh)1.x2 gh( x2 gh)1 ) xn gh( xn gh)1 chỉ đơn giản bao gồ m n phầ n tử xi h( xi h)1 i 1, , n đươ ̣c nhân với theo mô ̣t thứ tự Vì A aben, thứ tự của mô ̣t tić h vâ ̣y là không đáng kể Do đó x1 gh( x1 gh)1.x2 gh( x2 gh)1 ) xn gh( xn gh)1 x1h( x1h)1.x2h( x2h)1 xnh( xnh) 1 = τ(h), theo đinh ̣ nghiã Vâ ̣y τ(gh) = τ(g)τ(h), với mo ̣i g , h thuô ̣c G SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 29 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Do đó τ là mơ ̣t đờ ng cấ u nhóm 2.2.4 Định nghĩa Đồng cấu τ xác định Mệnh đề 2.2.3 gọi transfer từ nhóm G vào nhóm A 2.3 Định lý Schur Giả sử G nhóm cho G/Z(G) nhóm hữu hạn, G’ nhóm hữu hạn Chứng minh: Đặt A = Z(G), giả sử |𝐺/𝐴| = 𝑛 Cho X = { x1, x2, , xn } là mô ̣t transversal của A G và cho τ là transfer từ G vào A Nế u g ∈ G, ( g) x1g k x11.xk 1g l xk11 xnm1g m xn1m1 Nhưng x1g k x11 A và A là tâm của G Vì vâ ̣y x1 g k x11 x11 x1 g k x11 x1 g k Tương tự, xk 1g l xk11 g l , , xnm1g m xn1m1 g m Do đó, với mỗi g ∈ G, τ(g) = gn Chú ý rằ ng ta ̣o ảnh của G dưới τ là mô ̣t nhóm của A và đó là aben Theo ( Chương I, Đinh ̣ lý 1.1.4.7 ), G / K là aben, ở K = ker τ Nhưng theo ( Chương I, Đinh ̣ lý 1.1.4.8 ) , điề u này nghiã là K ⊇ G’ Bây giờ G / A hữu ̣n, thì G’A / A hữu ̣n Do G’A / A ≅ G’ / G’ ∩ A theo ( Chương I, Đinh ̣ lý 1.1.4.9 ) nên G’ / G’ ∩ A cũng hữu ̣n SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 30 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Vì G’ / G’ ∩ A hữu ̣n, nên G’ sẽ hữu ̣n nế u G’ ∩ A hữu ̣n Vì τ(g) = gn với mo ̣i g ∈ G, nên mo ̣i phầ n tử của ̣t nhân có cấ p hữu ̣n Do đó các phầ n tử của G’ ∩ A có cấ p hữu ̣n Ta sẽ chứng minh G’ ∩ A hữu ̣n sinh Giả sử G’ ∩ A hữu ̣n sinh Suy G’ ∩ A hữu ̣n Do đó G’ hữu ̣n Điề u này hoàn thành chứng minh đinh ̣ lí Schur với điề u kiê ̣n G’ ∩ A hữu ̣n sinh Nế u g , h ∈ G, thì g = axi và h = bxj , với a , b ∈ A, xi , xj ∈ X Vì A là tâm của G nên ta có g 1h1gh xi1a1xj 1b1axibx j xi1xj 1xi x j a1ab1b xi1xj 1xi x j Tức là có nhiề u nhấ t n2 hoán tử phân biê ̣t G Do đó G’ hữu ̣n sinh đươ ̣c sinh bởi những hoán tử Cuố i cùng G’ ∩ A là hữu ̣n sinh vì cấ p của nó hữu ̣n mô ̣t nhóm hữu ̣n sinh Điề u này hoàn tấ t viê ̣c chứng minh Đinh ̣ lý Schur 2.4 Các phần đảo Định lý Schur 2.4.1 Định lý [4]: Nếu G nhóm hữu hạn sinh cho G’ hữu hạn G/Z(G) hữu hạn 2.4.2 Định lý [5]: Cho G nhóm tùy ý cho d(G/Z(G)) G’ hữu hạn, |𝐺/𝑍(𝐺)| ≤ |𝐺′|d(G/Z(G)), d(X) số phần tử sinh nhỏ nhóm X Chứng minh: Cho G/Z(G) = < 𝑥1 , … , 𝑥𝑡 >, 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 Z(G), ∀ 𝑖 = 1, 𝑡 Ta định nghĩa f: G/Z(G) → 𝐺 ′ × … × 𝐺′ (t lần) 𝑦 ↦ ( [ y, x1],…, [ y, xt ] ) SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 31 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Do [ 𝑦𝑧, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ]z [ 𝑧, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ] với y ∈ 𝐺, 𝑧 ∈ 𝑍(𝐺 ) 𝑣à ∀ 𝑖 = 1, 𝑡 Vì f xác định đắn Ta chứng minh f đơn ánh Cho f( 𝑦 ) = f( 𝑥 ) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺/𝑍(𝐺) Ta có [ 𝑦, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑥, 𝑥𝑖 ] ∀ ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 theo ( Chương I, Bổ đề 1.2.1.6 ) −1 −1 [ 𝑦𝑥 −1 , 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ]𝑥 [ 𝑥 −1 , 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ]𝑥 [ 𝑥𝑖, 𝑥 ] = ( [ 𝑦, 𝑥𝑖 ][ 𝑥𝑖 , 𝑥 ] )𝑥 −1 = ( [ 𝑦, 𝑥𝑖 ][ 𝑥, 𝑥𝑖 ]−1 )𝑥 −1 𝑥 −1 =1 Do G sinh xi (1≤ 𝑖 ≤ 𝑡) mod Z(G) 𝑥𝑖 nằm tâm yx-1, ta có yx-1 ∈ 𝑍(𝐺) Vậy 𝑦 = 𝑥 , f đơn ánh Suy ra: |𝐺/𝑍(𝐺)| ≤ |𝐺′|d(G/Z(G)) Áp dụng định lý 2.4.2 ta chứng minh định lý 2.4.1 2.4.3 Hệ quả: Cho G nhóm lũy linh cho d(G/Z(G)) G’ hữu hạn, |𝐺/𝑍(𝐺)| chia hết |𝐺′|𝑑 (𝐺/𝑧(𝐺) Chứng minh: Do 𝐺/𝑍(𝐺) hữu hạn theo ( Chương II, Định lý 2.4.2 ) nên ta có 𝐺/𝑍(𝐺) = 𝑃1 /𝑍(𝐺) ×…× 𝑃𝑡 /𝑍(𝐺), 𝑃𝑖 /𝑍(𝐺) (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡) pi - nhóm Sylow 𝐺/𝑍(𝐺) Định lý 2.4.2 áp dụng với Pi cho ta |𝑃𝑖 /𝑍(𝑃𝑖 )| ≤ |𝑃′𝑖 |𝑑(𝑃𝑖 /𝑍(𝑃𝑖 )) , điều nghĩa |𝑃𝑖 /𝑍(𝑃𝑖 )| chia hết |𝑃′𝑖 |𝑑(𝑃𝑖 /𝑍(𝑃𝑖 )) (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡) Do Z(Pi) = Z(G) ∩ Pi (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡), ta có d(Pi/Z(Pi)) ≤ d(G/Z(G)) Mặt khác G’ = 𝑃′1 ×…× 𝑃′𝑡 kéo theo: SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 32 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo |𝐺/𝑍(𝐺)| chia hết ∏𝑡𝑖=1|𝑃′𝑖 |𝑑(𝐺/𝑍(𝐺)) = |∏𝑡𝑖=1 𝑃′𝑖 |𝑑(𝐺/𝑍(𝐺)) = |𝐺′|𝑑(𝐺/𝑍(𝐺)) 2.4.4 Định lý [7]: Cho G nhóm mà tập S giao hốn tử hữu hạn Khi [G,G] hữu hạn Hơn nữa, G/Z(G) sinh r phần tử G / Z (G) S r Chứng minh: Cho S = { [ xi, yi ] | ≤ 𝑖 ≤ 𝑑 } Xét nhóm hữu hạn sinh H = { x1, y1,…, xd, yd } G Ta có S = { [ xi, yi ] | ≤ 𝑖 ≤ 𝑑 } xi, yi (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑) thuộc vào H Do S cịn tập hoán tử H Cho H/Z(H) sinh ảnh g1, g2,…, gr ∈ 𝐻 Ta giả sử r ≤ 2𝑑 khơng cần thiết Chú ý g ∈ Z(H) g giao hoán với g1, g2,…, gr Thật vậy: + g ∈ Z(H) ta có g giao hoán với g1, g2,…, gr + g giao hoán với g1, g2,…, gr ta phải chứng minh g ∈ Z(H), tức phải chứng minh gg’ = g’g với g’ ∈ Z(H) Xét ánh xạ: 𝜑: 𝐻 → 𝐻/𝑍(𝐻) g ↦ 𝜑(𝑔) = 𝑔𝑍(𝐻) Ta có H/Z(H) sinh ảnh g1, g2,…, gr ∈ 𝐻 Nên với g’ ∈ H, 𝑔′ 𝑍(𝐻 ) = ∏𝑟𝑖=1 𝑎igiZ(H) SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 33 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Ta có: Định lý Schur phần đảo 𝜑(gg’) =𝜑(𝑔) 𝜑(g’) = 𝜑(𝑔) ∏𝑟𝑖=1 𝑎 i𝜑(𝑔i) = ∏𝑟𝑖=1 𝑎i𝜑(𝑔)𝜑(gi) = ∏𝑟𝑖=1 𝑎i𝜑(𝑔gi) = ∏𝑟𝑖=1 𝑎i𝜑(gig) = ∏𝑟𝑖=1 𝑎i𝜑(gi) 𝜑(g) =( ∏𝑟𝑖=1 𝑎i𝜑(gi) ) 𝜑(g) =𝜑(g’) 𝜑(g) = 𝜑(g’g) Suy gg’=g’g với g’ ∈ H Do g ∈ Z(H) Tóm lại g ∈ Z (H) g giao hoán với g1, g2,…, gr Nghĩa Z(H) = ⋂𝑟𝑖=1 𝐶 H(gi) Xét lớp liên hợp cl(gi) H với gi ( i ≤ r ) Với g ∈ H ,tồn s ∈ S cho ggig-1 = sgi Xét tương ứng ∅ : cl(gi) → Sgi ggig-1 ↦ sgi Rõ ràng, ggig-1 ∈ cl(gi) tồn s ∈ S cho ∅ (ggig-1) = sgi nên ∅ ánh xạ Vì |𝑐𝑙(g i )| ≤ |𝑆| Do [ H: CH (gi) ] ≤ |𝑆| SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 34 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Từ đó, ta có : |𝐻/𝑍(𝐻)| = [ H: ⋂𝑟𝑖=1 𝐶 H(gi) ] ≤ ∏𝑟𝑖=1[ H: CH(gi)] ≤ |𝑆|r Ta có H nhóm mà H/Z(H) hữu hạn Do theo Định lý Schur [ H, H ] hữu hạn Mặt khác [ G, G ] = < S > ≤ [ H, H ] điều [ G, G ] hữu hạn Lập luận |𝐻/𝑍(𝐻)| ≤ |𝑆|r , S tập hoán tử H hữu hạn , H/Z(H) sinh r phần tử Do đó, áp dụng điều cho G, ta |𝐺/𝑍(𝐺)| ≤ |𝑆|r G/Z(G) sinh r phần tử 2.4.5 Định lý [11]: Cho G nhóm cho Z2(G)/Z(G) hữu hạn sinh nhóm [ G, G ] hữu hạn Khi G/Z(G) hữu hạn Chứng minh: Vì [ G, G ] hữu hạn, nên theo ( Chương I, Định lý 1.3.3.5 ), G/Z2(G) hữu hạn Do Z2(G)/Z(G) hữu hạn sinh, nên G/Z(G) hữu hạn sinh, Định lý chứng minh Định lý 2.4.4 2.5 Các ví dụ 2.5.1 Ví dụ: Cho G nhóm với phần tử sinh xi, yi, i > z, thỏa mãn 𝑝 𝑝 quan hệ 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 = 𝑧 𝑝 = 1, [𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ] = [𝑦𝑖 , 𝑦𝑗 ] = 1, [𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ] = 𝑧, [𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ] = 1, với i ≠ j, [𝑧, 𝑥𝑖 ] = [𝑧, 𝑦𝑖 ] = 1, ∀𝑖 Khi Z(G) = G’ = < z > hữu hạn G/Z(G) không hữu hạn 2.5.2 Ví dụ: Cho G nhóm quaternion nhóm dihedral cấp 8, |𝐺/𝑍(𝐺)| = |𝐺′| = d(G/Z(G)) = 2.5.3 Ví dụ: Cho G nhóm dihedral cấp 10, |𝐺/𝑍(𝐺)| = 10, |𝐺′| = d(G/Z(G)) = SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 35 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo KẾT LUẬN Khóa luận: “ Định lý Schur phần đảo ” tìm hiểu tường tận Định lý Schur phần đảo nó, phát biểu chứng minh tác giả khác Đây mảng kiến thức lý thuyết nhóm, bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa học chương trình đào tạo Tuy nhiên trình độ hạn chế người thực hiện, hạn hẹp thời gian, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Hy vọng thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 36 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B Baumslag and B Chandler (1968), Theory and problems of group theory, McGraw-hill Book Company, New York [2] P Hall (1956), “Finite – by – nilpotent groups”, Proc Cambridge Phil Soc 52, 611 – 616 [3] Nguyễn Văn Mến (2011), Định lý đảo Định lý Schur, Khóa luận tốt nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng [4] B H Neumann (1951), “Groups with finite classes of conjugate”, Proc London Math Soc (3) 1, 178 – 187 [5] Peyman Niroomand (2010), “The converse of Schur’s theorem”, Arch Math 94, 401- 404 [6] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [7] B.Sury (2010), “A generalization of a converse to Schur’s theorem”, Arch Math 95, 317 - 318 [8] Nguyễn Thị Kim Thứ (2009), Quan hệ đồng chất lớp liên hợp nhóm bậc thấp, Luận văn tốt nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng [9] Nguyễn Ngọc Tiến (2011), Tổng quát hóa định lý đảo Định lý Schur, Khóa luận tốt nghiệp đại học, trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng [10] Lê Thị Thu Trang (2013), Biểu diễn hoán vị ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [11] Manoj K Yadav (2011), “A note of the converse of Schur’s theorem”, arXiv: 1011 2083v2 [ math.GR ] SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 37 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: NHÓM VÀ p - NHÓM 1.1 CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1 Nhóm, nhóm 1.1.2 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.1.3 Nhóm dihedral, nhóm quaternion 1.1.4 Đồng cấu 1.2 NHĨM CON GIAO HỐN TỬ 11 1.2.1 Nhóm giao hốn tử hai nhóm 11 1.2.2 Nhóm giao hoán tử cấp cao 14 1.3 p - NHÓM 15 1.3.1 Định nghĩa 16 1.3.2 Một số tính chất p-nhóm 17 1.3.3 Nhóm lũy linh 18 Chương II: ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO 23 2.1 Transversal phải 23 2.2 Transfer 26 2.3 Định lý Schur 30 2.4 Các phần đảo Định lý Schur 30 2.5 Các ví dụ 34 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 38 ... Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo KẾT LUẬN Khóa luận: “ Định lý Schur phần đảo ” tìm hiểu tường tận Định lý Schur phần đảo nó, phát biểu chứng minh tác giả khác Đây mảng kiến thức lý thuyết nhóm,... Z(G) Và Cn+1(G) = [ Cn(G), G ] ≤ [ Z(G), G ] = 1.Vậy G lũy linh SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 23 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý Schur phần đảo Chương II: ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO... hoàn tấ t viê ̣c chứng minh Đinh ̣ lý Schur 2.4 Các phần đảo Định lý Schur 2.4.1 Định lý [4]: Nếu G nhóm hữu hạn sinh cho G’ hữu hạn G/Z(G) hữu hạn 2.4.2 Định lý [5]: Cho G nhóm tùy ý cho d(G/Z(G))