Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải phương trình vô tỉ thường gặp ở trường THPT nông cống 3

MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các biện pháp thực để giải vấn đề 2 3 3 2.3.1 Giải pháp 2.3.2 Giải pháp 10 2.3.3 Giải pháp 11 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 Kết 15 luận 16 Kiến nghị 18 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THƯỜNG GẶP Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3” I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Học sinh trường THPT Nông Cống đa phần em nơng thơn có hồn cảnh kinh tế khó khăn, cha mẹ khơng có điều kiện tốt để chăm lo cho học hành Ngoài đến lớp em cịn phải giúp đỡ bố mẹ cơng việc gia đình đồng áng, khơng có nhiều thơì gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập đa phần học sinh yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều nên hầu hết em sợ học mơn Tốn Là giáo viên dạy Tốn, có nhiều năm gắn bó với nghề, thông cảm với em trăn trở trước thực tế Bởi q trình giảng dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp tìm tịi phương pháp thích hợp để giúp em học sinh học u thích học tốt mơn Tốn Năm học 2020 - 2021 phân công trực tiếp giảng dạy lớp10C4 lớp 10C5 Đa số học sinh nhận thức cịn chậm nên thân cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi, em gặp lớp tốn phương trình vơ tỷ mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết, sách giáo khoa giới thiệu sơ lược ví dụ phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác thời lượng cho phần nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục 1.2 Mục đích nghiên cứu: Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy toán lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành đề tài: “Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ thường gặp trường THPT Nông Cống 3’’ Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát, số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông hiểu trình bày tốn trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải số dạng tốn giải phương trình vơ tỷ 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong đề tài tập trung vào tìm hiểu nguyên nhân học sinh lớp 10C4 10C5 trường THPT Nông Cống giải phương trình vơ tỷ cịn lúng túng, thiếu xác có cịn khơng xác định cách làm để từ đưa giải pháp phù hợp dúp em giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đề tài hoàn thiện phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát, phân tích nguyên nhân phương pháp thực nghiệm sư phạm II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Nhiệm vụ trung tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f ( x)  g ( x ) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f ( x) 0 Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f ( x) 0 điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN tơi hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình vơ tỷ thường gặp số dạng tốn không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao - Dạng 1: phương trình f ( x )  g ( x) (1)  g ( x) 0 Phương trình (1)    f ( x)  g ( x) điều kiện g ( x) 0 điều kiện cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f ( x) g ( x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện g ( x) 0 để kết luận nghiệm mà khơng cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm - Dạng 2: phương trình f ( x )  g ( x) (2)  f ( x ) 0  f ( x)  g ( x ) Phương trình (2)   Điều kiện f ( x) 0 điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý khơng thiết phải đặt điều kiện đồng thời f (x) g (x) khơng âm f ( x) g ( x) - Dạng 1: Dạng tốn khơng mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể 2.2 Thực trạng đề tài : Qua thực tế tìm hiểu học sinh lớp10C4 lớp 10C5 trường THPT Nông Cống đa số em nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp tốn phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: a Khi gặp tốn: Giải phương trình x   x  (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x � (*) (1)  x   x  x   x  x  0 Phương trình cuối có nghiệm x 3  x 3  Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x 3  bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x 3  Mặt khác, số học sinh có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x � (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x 3  x 3  Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x� điều kiện cần đủ b Khi gặp toán: Giải phương trình 5x2  x  = x3 � x  x  �0 Học sinh thường đặt điều kiện � �x  �0 sau bình phương hai vế để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x  0 điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện c Khi gặp tốn: Giải phương trình ( x  4) x  0 Một số HS có lời giải sai sau:  x  0  x     x 2  x  0 Ta có: ( x  4) x  0   Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x  khơng phải nghiệm phương trình d Khi gặp tốn: Giải phương trình : x  12 x  11 4 x  12 x  15 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông e Khi gặp tốn: Giải phương trình  x  5 x x  x 5 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: ( x  5) x2  x � x5 ( x  5) ( x  2)  x   x  0  x      2  x  3x  10  x  x    x  5 x  2  x  2  x      x  x   10  x    x   14 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x 14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Cần ý rằng: B A  AB A 0; B   B   AB A  0; B  Lời giải xét thiếu trường hợp Á  0; B  Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán phương trình vơ tỉ 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp sau: 2.3.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x )  g ( x) (1) a Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải không âm Pt  g ( x) 0 f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Điều kiện g ( x) 0 điều kiện cần đủ f ( x)  g ( x) 0 Không cần đặt thêm điều kiện f ( x) 0 b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3x   x  (1) Điều kiện x �3 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - �0) Khi pt(1)  3x  ( x  3)  x  x  3 x   x  x  15 0   29 x     29 x   đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1)là x  29 Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x �3 (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình 3x  x  3 x  (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x  x  0 thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Điều kiện: x �- (**) Khi pt(2)  3x  x  (3x  1)  3x  x  9 x  x   x  x  0  x     x   đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x  + Ví dụ 3: Giải phương trình x  12 x  11 4 x  12 x  15 (3) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Ta giải tốn sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giả này.ta biến đổi pt(3) � x  12 x  11  x  12 x  11  0 Đặt x  12 x  11 = t ; đk t �0 , (***) Phương trình trở thành: t  5t  0 t 1 � � � t4 � (thoả mãn điều kiện (***) ) Với t = � x  12 x  11 =  x  12 x  10 0 phương trình vô nghiệm Với t = � x  12 x  11 =  x  12 x  0   56 x      56 x   Vậy nghiệm phương trình là: x   56  56 x  4 Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải: điều kiện phương trình gì? đặt gì? biến đổi biến đổi tương đương? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2.3.2 Giải pháp Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f ( x)  g ( x ) (2) a Phương pháp: 10 Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi  f ( x ) 0  f ( x)  g ( x ) pt(2)    g ( x ) 0   f ( x)  g ( x) Chú ý: Không cần đặt đồng thời f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x  = Điều kiện x  2x 1 (1) (*) pt(1)   3x  2 x   x 1  x  (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x  Lưu ý: Điều kiện x  (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x  3x  = (2) 7x  Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho biểu thức vế phải không âm ĐK: x  (*) pt(2)  x  3x  7 x   x   x  x  0    x 3 Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình x = + Ví dụ 3: Giải phương trình 2x   x  Tóm tắt giải  x  0   2x  x  Phương trình x   x     x 2   x  11 Vậy phương trình cho vô nghiệm 2.3.3 Giải pháp : Hướng dẫn học sinh giải số phương trình khơng mẫu mực (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình x   x  - x  = (1) Điều kiện phương trình x  (*) Nhận xét: Biểu thức dấu x   x  có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau pt(1) � ( x   1) - x  = � x  +2 � x 1 = x  = � x  4  x 3 (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm phương trình x = + Ví dụ2: Giải phương trình 3x  - x 1 = x  �0 � Điều kiện � �x  �0 (2) � �x � �� � x �1 (**) � �x �1 Chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2) � 3x  = + x 1 với điều kiện (**) nên hai vế ln khơng âm , bình phương hai vế ta 3x   x   x   x 1 x 1 tiếp tục bình phương hai vế ta 4x  x  2x 1  x  x  0 x  1 � � � x3 � (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x  x 3 12 + Ví dụ 3: Giải phương trình x   x   x   x  16 Lời giải : Ta có Pt � x   x   x   x  �x  �0 � � � x 1  2x  �x  �0 � � �x  �0 �x   x  � �x �4 � � �x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau Ta có : x   x   x   x  16  x   x   x   4 x  4   x  0 x   2x      x  2 x   x 1   x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho Nên ý phương trình:  A 0 A B  A C    B C + Ví dụ 4: Giải phương trình  x2  x x  =  2x  x �  x  x x  �0 � � Hướng dẫn : Đk �3  x  x �0 �x  �0 � (3) (***) Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3)   x  x x  3  x  x  x x   x  �x(2 x  4) �0 � �2 �x ( x  5)  x  16 x  16 13 2 �x �0 � � �3 �x  x  16 x  16  �2 �x �0 � � ( x  1)( x  16)  � 2 �x �0 � � � �� � x  x  1 �� x  �4 �� Thay giá trị x  vào hệ ĐK (***) ta thấy thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x  + Ví dụ 5: Giải phương trình 2x  + x  = 3x + 2 x  x  - 16 � �2 x  �0 �x � � � HD: Điều kiện � �x  �0 � �x �1 (4) � x  (****) Nhận xét: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta không thu kết thuận lợi giải nên ta cớ thể giải sau: Đặt 2x  + x  = t , (ĐK: t �0)  x  2 x  x  t  pt(4)  t  t  20 0 � t 5 (nhận) t  (loại) Với t = � 2 x  x  21  3x ( phương trình thuộc dạng 1) 21  x �0 � � � 4(2 x  x  3)  441  216 x  x � �x �7 � �2 �x  236 x  429  � x = 118 - 1345 (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình x = 118 - 1345 Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên tập dạng tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vơ tỉ Bài tập Giải phương trình a 3x  1  x 14 b  2x = c 3x  x   x  0 x 1 HD: Biến đổi theo dạng dạng 2 Giải phương trình: x  3x  x  3x  7 HD: Đặt t = x2  3x  Giải phương trình: x 1 + (t �0 ) 3x  = 5x  HD: Đặt đk sau bình phương hai vế Giải phương trình: HD : x  x 1  x x  AB A  0; B  A AB  B   B B   AB A  0; B   B x x  Giải phương trình:  x  5 x 5 HD: B A  AB A 0; B   B   AB A  0; B  Giải phương trình: x  + x  10 = x  + x  Giải phương trình: x 1 + x 1 = Giải phương trình: x + x   x  = Giải phương trình: x  3x  ( x  3) x  10 Giải phương trình: (4 x  1) x  2 x  x  11 Giải phương trình: x  2 x x  x 12 Giải phương trình: x  x ( x  2) x  x  III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: 15 Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Nơng Cống Phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói tăng lên có kết qua kiểm tra thử sau : Năm học 20202021 Lớp 10C4 10C5 Tổng số 41 40 Điểm trở lên Số Tỷ lệ Điểm từ đến Số Tỷ lệ Điểm Số lượng lượng lượng 16 39,02% 22 53,66% 13 32,5% 23 57,5% Tỷ lệ 7,32% 10% Như thấy phương pháp có hiệu rõ rệt Tuy nhiên việc nghiên cứu, áp dụng mức độ ban đầu nên kết hạn chế Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian trí tuệ thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức cho học sinh Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân, thông qua số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì tơi mong Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy Tôi ngày phong phú hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị : 16 Để thực đề tài có hiệu tơi có kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Nhà trường cần khảo sát chất lượng đầu năm để xác định đối tượng học sinh học yếu, học Có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kịp thời Nâng cao chất lượng đại trà khối lớp buổi học ngồi khóa đặc biệt tăng cường buổi phụ đạo cho học sinh yếu Tăng cường phối hợp gia đình với nhà trường, giáo viên môn với giáo viên chủ nhiệm để tạo sức mạnh tổng hợp Phát động đợt thi đua học tập cơng tác Đồn Tổ chức câu lạc giúp học tập… - Đối với sở GD ĐT: Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo Sở GD&ĐT nên mở thêm lớp tập huấn trao đổi, học tập kinh nghiệm lẫn để nâng cao trình độ chuyện môn nghiệp vụ đội ngũ giáo viên 17 XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Đức Huy IV TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước 18 19 ...“MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THƯỜNG GẶP Ở TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG 3? ?? I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Học sinh trường THPT Nông Cống đa phần em nơng... tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên tập dạng tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vơ tỉ Bài tập Giải phương. .. tiễn giảng dạy toán lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành đề tài: ? ?Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải phương trình