Nâng cao kỹ năng giải các bài toán thực tiễn trong chương trình đại số 10

PHỤ LỤC NỘI DUNG 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp chung để giải toán thực tiễn 2.3.2 Một số tốn có nội dung thực tiễn 2.3.2.1 Chủ đề tập hợp 2.3.2.2 Chủ đề hàm số 2.3.2.3 Chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn 2.3.2.4 Chủ đề bất đẳng thức Cô si 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 1 2 2 3 4 11 16 18 18 18 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ sản xuất đời sống Với vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên thiết yếu ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày đại văn minh Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn điều cần thiết phát triển xã hội phù hợp với mục tiêu giáo dục Toán học Mục tiêu giáo dục ngày đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất nước Do kiến thức học sinh học phải gắn liền với thực tế Chính lẽ mà nhà giáo dục khơng ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu xã hội Có lẽ người học Tốn có suy nghĩ tốn học ngồi phép tính cộng, trừ, nhân, chia… hầu hết kiến thức toán trừu tượng ,khó hiểu,ít áp dụng vào thực tiễn Tuy nhiên, tốn học lại có nhiều ứng dụng thực tế thể rõ sống hàng ngày chúng ta.Chính việc tiếp thu kiến thức tốn trường khơng để thi cử mà cịn cơng cụ đắc lực để giúp em giải vấn đề, tình đơn giản thực tế - Tuy nhiên , ứng dụng Toán học vào thực tiễn chương trình sách giáo khoa, thực tế dạy học Toán chưa quan tâm cách mức thường xun Đơi việc dạy học Tốn trường phổ thơng cịn “xa rời thực tế” - Vì vậy, việc tăng cường rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học giải tốn có nội dung thực tiễn thiết thực có vai trị quan trọng hồn cảnh giáo dục nước ta Đứng trước thực tế vậy, chọn đề tài: “Nâng cao kĩ giải tốn thực tiễn chương trình Đại số lớp 10” 1.2 Mục đích nghiên cứu Bản thân nghiên cứu đề tài nhằm mục đích: + Rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm + Giúp học sinh rèn luyện lực vận dụng kiến thức Toán học giải số toán thực tiễn, làm tăng phần hấp dẫn, thu hút học sinh họa tập môn + Chia sẻ với đồng nghiệp, đồng môn số toán liên hệ với thực tiễn sát với sống hàng ngày + Góp phần vào phương pháp dạy học tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, giúp em cách tự chiếm lĩnh tri thức cần thiết để vận dụng giải tình thực tế 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10V (năm học 2020 – 2021) + Phạm vi nghiên cứu đề tài bao gồm: - Phân loại tập theo nội dung kiến thức: Tập hợp, hàm số, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức - Sưu tầm tập rèn luyện thêm chủ đề 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu chủ yếu thông qua phương pháp sau : - Phương pháp nghiên cứu tài liệu,tổng hợp xây dựng sở lí thuyết để giải toán chủ đề - Phương pháp khảo sát thực tế,thống kê toán thường gặp vận dụng thực tiễn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn phù hợp với xu hướng phát triển chung giới thực tiễn Việt Nam Để thích ứng với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ sản xuất đại, cải cách giáo dục Toán học trường phổ thông thực rộng khắp sâu sắc nhiều nước giới Tuy có khác đáng kể mục đích phương pháp thực nước, nhìn chung xu việc cải cách giáo dục Toán học giới đại hóa cách thận trọng tăng cường ứng dụng Trong thời kì mới, thực tế đời sống xã hội chương trình mơn Tốn có thay đổi Vấn đề rèn luyện cho học sinh lực vận dụng Toán học vào thực tiễn có vai trị quan trọng góp phần phát triển cho học sinh lực trí tuệ, phẩm chất tính cách, thái độ,….đáp ứng yêu cầu xã hội lao động đại Đất nước ta đường cơng nghiệp hóa, đại hóa - cần sau cần nhiều – đội ngũ người lao động có khả ứng dụng kiến thức Toán học lĩnh hội vào hoạt động nghề nghiệp vào sống 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm gần đây, Bộ giáo dục có xu hướng đưa toán thực tiễn vào đề thi trung học phổ thông quốc gia Tuy nhiên, học sinh gặp tốn thực tiễn lại lúng túng, khơng biết giải nào, vận dụng kiến thức để giải… Đa phần giáo viên thường dạy học sinh toán túy mà chưa trọng hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức toán học để giải toán thực tiễn sống Việc giảng dạy chủ yếu truyền thụ kiến thức chiều mà khơng có cập nhật thực tiễn để dẫn dắt vào nên tiết học khô khan, xơ cứng không hấp dẫn Đồng thời, áp lực khối lượng kiến thức môn học nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ để vận dụng kiến thức vào giải tốn thực tiễn gặp khó khăn Một số tốn thực tiễn sách giáo khoa khơng nhiều, rời rạc đa dạng Năm học 2020 – 2021, Ban chuyên môn nhà trường giao nhiệm vụ giảng dạy lớp: 10V Trong tiết học ôn tập, tơi có lồng ghép vào tốn thực tiễn Tuy nhiên có học sinh tìm tịi lời giải Kết thể bảng sau: Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 42 21 12 Từ thực trạng Sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến vấn đề hướng dẫn học sinh biết cách khai thác, vận dụng nhiều kiến thức toán học vào giải bàu toán thực tiễn 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp chung để giải toán thực tiễn Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với ý khác phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố kiểm tra… Kết lời giải phải đáp ứng nhu cầu thực tế đặt Ta biết khơng có thuật giải tổng quát cho toán, lớp tốn riêng biệt có trường hợp có, trường hợp khơng có thuật giải Bài tốn thực tiễn sống đa dạng, phong phú xuất phát từ nhu cầu khác đời sống lao động sản xuất người Do khơng thể có thuật giải chung để giải toán thực tế Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi ý suy nghĩ tìm tịi, phát cách giải tốn lại cần thiết Qua trình giảng dạy, với kinh nghiệm hiểu biết thân, xin đưa phương pháp chung để giải toán có nội dung thực tiễn sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Tốn học hóa tốn, chuyển tốn với ngơn ngữ, kiện sống thành tốn với ngơn ngữ tốn học, kiện biểu thị ẩn số, số,….Các ràng buộc yếu tố thực tiễn chuyển thành biểu thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình tốn học….MƠ HÌNH HĨA???? Bước 2: Tìm cách giải tốn thiết lập Tìm tịi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, trường hợp riêng, toán tổng quát hay toán liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với dạng toán Kiểm tra lời giải cách xem lại kĩ bước thực đặc biệt hóa kết tìm đối chiếu với số tri thức có liên quan… Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước thực theo trình tự thích hợp thực bước Bước 4: Đưa kết luận cuối cho yêu cầu toán thực tiễn, thường kết đo đạc, phương án, kế hoạch sản xuất… Do thực tiễn đặt Đồng thời cần có nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải Nghiên cứu toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Đây hoạt động nhằm phát huy khả tư duy, tìm tịi, sáng tạo học sinh 2.3.2 Một số tốn có nội dung thực tiễn 2.3.2.1 Chủ đề tập hợp Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp cung cấp cho học sinh kiến thức mở đầu logic toán tập hợp Các khái niệm phép toán tập hợp giúp diễn đạt nội dung toán học thêm rõ ràng xác, đồng thời giúp hiểu đầy đủ suy luận chứng minh tốn học Ví dụ 1: Trong khoảng thời gian định, địa phương, Đài khí tượng thủy văn thống kê được: + Số ngày mưa: 10 ngày; + Số ngày có gió: ngày; + Số ngày lạnh: ngày; + Số ngày mưa gió: ngày; + Số ngày mưa lạnh: ngày + Số ngày lạnh có gió: ngày; + Số ngày mưa, lạnh có gió: ngày Vậy có ngày có thời tiết xấu (có gió, mưa lạnh)? Phân tích tốn: Ta chuyển tốn thành tốn tính số phần tử tập hợp biểu đồ Ven Đơn giản toán - Nếu ta coi A tập hợp ngày mưa, B tập hợp ngày gió C tập hợp ngày lạnh Khi số ngày mưa gió n ( A �B) , Số ngày mưa lạnh n( A �C ) , n(C �B ) Số lạnh gió Tìm số ngày có thời tiết xấu (có mưa, gió lạnh) tức ta cần tìm n(A �B�C) n(A �B�C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A�B)  n(A �C)  n(B�C)  n(A �B�C) Trong đó: n(A) = số ngày có mưa, n(B) = số ngày có gió, n(C) = số ngày có lạnh, n( A �B) n( A �C ) n(B�C ) = số ngày có mưa gió, = số ngày mưa lạnh, = số ngày gió lạnh, n( A �B �C ) = số ngày có mưa, gió lạnh - Ta sử dụng biểu đồ Ven để biểu diễn cho kiện toán Bài giải Gọi A tập hợp ngày mưa B tập hợp ngày gió C tập hợp ngày lạnh Theo biểu đồ Ven ta có: n( A)  10 ; n(B)  ; n(C)  n( A �B �C ) = B(8) A(10) a b c n( A �B) =5 n( A �C ) = C(6) n( B �C ) =3 Vậy tổng số ngày có thời tiết xấu là: n(A �B�C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A �B)  n(A �C)  n(B�C)  n(A �B�C) = 10 + + – – – – = 11 Ví dụ 2: Trong kì thi tốt nghiệp phổ thơng, trường kết số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc sau: + Về mơn Tốn: 48 thí sinh; + Về mơn Vật lý: 37 thí sinh; + Về mơn văn: 42 thí sinh; + Về mơn Tốn Vật lý: 75 thí sinh + Về mơn Tốn mơn Văn: 76 thí sinh + Về mơn Vật lý mơn Văn: 66 thí sinh; + Về mơn: thí sinh Vậy có thí sinh nhận danh hiệu xuất săc về: + mơn? + mơn? + Ít mơn? Phân tích tốn: _ Ta thấy coi thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn Tốn, Lí, Văn tập hợp A, B, C thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn Toán Vật lý A �B , Toán môn Văn A �C , Vật lý môn Văn B �C Bài toán trở thành tốn tìm số phần tử tập hợp - Để thể cách rõ nội dung toán ta dùng biểu đồ Ven Bài giải: Gọi A, B, C tập hợp học sinh xuất sắc mơn Tốn, mơn Vật Lý, mơn Văn Dựa vào biểu đồ Ven ta có: Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc môn B(37) A(48) ĐS: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc môn a 75 b 66 76 c C(42) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc môn Lưu ý: * Để giải hai toán cần hiểu nắm vững kiến thức tập hợp, đặc biệt phép toán tập hợp suy luận tốn học, mang tính chất tổng hợp Chương Tập hợp Mệnh đề Đại số 10 THPT Vì hai tốn dùng ôn tập chương Bài tập rèn luyện Bài 1: Trước bầu cử, phóng viên có vấn thăm dị cảm tình 100 cử tri ba ứng cử viên A, B, C có kết sau: Số người có cảm tình với ứng viên: A 43; B 21; C 18; A B 9; B C 5; C A 10; B C Tính a Số cử tri có cảm tình với ứng viên A mà thơi b Số cử tri có cảm tình với ứng viên B mà thơi c Số cử tri khơng có ý kiến Bài 2: Một lớp tổng kết có 30 em môn tự nhiên; 25 em môn xã hội; 10 em học tự nhiên xã hội; em yếu môn tự nhiên xã hội Hỏi sĩ số lớp bao nhiêu? 2.3.2.2 Chủ đề hàm số Trong sống tự nhiên có nhiều vật, tượng có quan hệ với theo mối tương quan hàm số Khái niệm hàm khái niệm tốn học, giữ vị trí trung tâm chương trình mơn tốn nhà trường THPT Tồn việc dạy toán nhà trường THPT xoay quanh khái niệm Bắt đầu bậc THPT lớp 10 có kiến thức hàm số bậc tiếp nghiên cứu hàm số bậc hai Từ tình thực tế cần giải quyết, tiến hành thực nghiệm, thu thập số liệu từ lập hàm số sau khảo sát hàm số tìm phương án tối ưu cho vấn đề cần giải Hàm số bậc Ví dụ 1: Một trường THPT cần thuê xe du lịch Công ty PH giá dịch vụ là: 1000.000đ/ ngày cộng với 10.000/km Công ty ML giá dịch vụ là: 20.000đ/km Vậy tính xem nhà trường nên chọn hợp đồng thuê xe công ty để giá thuê thấp hơn? Vấn đề đặt ra: Giá thuê thấp tức tổng số tiền dịch vụ chuyến phải thấp Đơn giản vấn đề: Tìm cách biểu diễn tiền thuê xe công ty hệ tọa độ, từ có nhận xét Phương án giải quyết: Gọi x (km) quãng đường chuyến Số tiền trả cho công ty PH là: f(x) = 1000.000 + 10.000x (đồng) Số tiền phải trả cho cơng ty ML là: g(x) = 20.000x (đồng) Ta có đồ thị hai hàm số f(x) g(x) hệ trục tọa độ tr tr 100km 200 km Quan sát hình vẽ ta dễ thấy kết quả: Nếu 100km trường nên chọn hợp đồng với cơng ty xe ML, cịn chặng đường 100km trường nên chọn hợp đồng với cơng ty xe PH rẻ Ví dụ 2: Có hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet - Hình thức A: Mỗi truy cập giá 2000đ - Hình thức B: Thuê bao trả hàng tháng 35000đ số truy cập không hạn chế - Hình thức C: Thuê bao hàng tháng 45000đ truy cập phải trả 500đ Em cho biết hình thức phải trả tiền tổng hợp truy cập hàng ngày tháng (30 ngày) là: 1,5h; 10h; 12h Vấn đề đặt ra: số tiền phải trả tháng số tiền cước cố định hàng tháng số tiền cước phát sinh truy cập Đơn giản vấn đề: Gọi x số truy cập internet Ta tìm cách biểu diễn cước phí phải trả hình thức hệ trục, từ nhận xét Phương án giải quyết: Gọi x số truy cập internet Số tiền phải trả cho hình thức A là: f(x) = 2000.x đồng = 2.x nghìn đồng Số tiền phải trả cho hình thức B là: g(x) = 35000 đồng = 35 nghìn đồng Số tiền phải trả cho hình thức C là: h(x) = 45000 + 500.x đồng = 45 + 0,5x nghìn đồng Ta có đồ thị hàm hệ trục: Dựa vào đồ thị ta thấy: - Nếu truy cập 18h nên dùng hình thức A - Nếu truy cập 18h nên dùng hình thức B * Lưu ý: Các tập dạng nên cho học sinh làm vào tiết tập ôn tập chương hàm số Bài tập rèn luyện Bài 1: Một hộ dân cần th Cơng ty sửa máy tính gia đình Cơng ty A có lời chào hợp đồng: Cho nhân viên đến nhà, chủ hộ phải trả 50.000 đồng cước phí cộng 50.000 đồng cho dịch vụ sửa chữa Cơng ty B có lời chào hợp đồng: Cho nhân viên đến nhà, chủ hộ phải trả 75.000 đồng/ dịch vụ sửa chữa Hãy tính xem nên chọn hợp đồng với Cơng ty để chi phí thấp hơn? Bài 2: Một người vào cửa hàng muốn chọn mua 01 tủ lạnh hai loại, tủ lạnh loại A giá triệu đồng sử dụng trung bình khoảng 500kw điện năm, tủ lạnh loại B giá triệu đồng sử dụng trung bình khoảng 400kw điện năm Biết hai loại A B có cơng giá 1kw điện 2000đ Theo bạn nên chọn tủ loại để tiết kiệm tiền nhất? Hàm số bậc hai Parabol đường cong đơn giản đẹp Bởi vậy, thấy xuất nhiều cơng trình kiến trúc Việt Nam giới Ngồi , Parabol cịn có nhiều tính chất lí thú mà ta nghiên cứu Hình học Ví dụ 1: ( Đo chiều cao cổng Parabol) Khi du lịch đến thành phố Lui ( Mĩ) ta thấy cổng lớn dạng Parabol bề lõm quay xuống Đó cổng Acxơ Làm để tính chiều cao cổng? (khoảng cách từ điểm cao cổng đến mặt đất) Vấn đề đặt ra: Tính chiều cao cổng ta khơng thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp Cổng dạng Parabol xem đồ thị hàm số bậc hai, chiều cao cổng tương ứng với đỉnh Parabol Do vấn đề giải ta biết hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị Đơn giản vấn đề: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho gốc tọa độ O trùng chân cổng ( hình vẽ) M B O Như vấn đề giải biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm đồ thị Phương án giải quyết: Ta biết hàm số bậc hai có dạng: y = ax + bx + c (a � 0) Do muốn biết đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị ta cần biết tọa độ điểm nằm đồ thị chẳng hạn O, B, M Rõ ràng O(0; 0); M(x; y), B(b,0) Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cần thiết Đối với trường hợp ta cần đo: khoảng cách hai chân cổng, điểm M , chẳng hạn b = 162, x = 10, y = 43 y 43 3483 x  x 1320 700 Ta viết hàm bậc hai lúc : Đỉnh S( 81m; 185,6m) Vậy trường hợp cổng cao 185,6m Ví dụ 2: ( Xây dựng cầu) Dây truyền đỡ Cầu treo có dạng Parabol ACB hình vẽ Đầu cuối dây gắn chặt vào điểm A B trục AA' BB' với độ cao 30m Chiều dài nhịp A'B' = 200m Độ cao ngắn dây truyền cầu OC = 5m Xác định chiều dài dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối cầu với dây truyền)? Vấn đề đặt ra: Tính chiều dài dây cáp treo ta dùng dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp Dây truyền đỡ cầu treo dạng Parabol, xem đồ thị hàm số bậc hai, chiều dài dây cáp treo tương ứng với giá trị hàm số điểm x0 (x0 khoảng cách từ trung điểm A’B’ đến chân dây cáp treo cầu) Do vấn đề giải ta biết hàm số bậc hai nhận dây truyền làm đồ thị Đơn giản vấn đề: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng Parabol, trục Ox nằm cầu, O trùng với trung điểm A’B’ Phương án giải quyết: Khi ta có A(100; 30), C(0; 5), ta tìm phương trình Parabol có dạng y = ax + bx + c Parabol có đỉnh C qua A nên ta 10   b  a  400   2a     a.0  b.0  c   b 0  a.1002  b.100 c  30  c 5      có hệ phương trình: Suy Parabol có phương trình y = 400x2 + Bài toán đưa việc xác định chiều dài dây cáp treo tính tung độ điểm M 1, M2, M3 Parabol Ta dễ dàng tính tung độ điểm có hồnh độ x1 = 25, x2 = 50, x3 = 75 y1 = 6,56 (m), y2 = 11,25 (m), y3 = 19,06 (m) Đó độ dài dây cáp treo cần tính y A (100;30) B M1 M2 M3 C y2 O 5m y1 B' y3 30m A' 200m x * Lưu ý * Đây ví dụ minh họa cho việc ứng dụng Hàm số thực tiễn cụ thể Chỉ cần khảo sát Hàm số bậc hai ta tính độ dài dây cáp treo từ dự đốn nguyên liệu cần dùng đến, tiết kiệm nguyên vật liệu kế hoạch thi công Bài dùng dạy Hàm số bậc hai Chương trình Đại số 10 THPT Bài tập rèn luyện Bài 1: ( Bài tốn bóng đá) Khi bóng đá lên, đạt đến độ cao rơi xuống Biết quỹ đạo bóng cung Parabol kể từ bóng đá lên Giả thiết bóng đá từ độ cao 1,2m Sau giây đạt độ cao 8,5m giây sau đá lên, độ cao 6m a Hãy xác định độ cao lớn bóng ( xác đến phần nghìn) b Sau bóng chạm đất kể từ đá lên ( tính xác h đến phần trăm) Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ Oth, t thời gian, h độ cao ( tính m) bóng 8.5 1.2 O t 11 Bài 2: (Bài toán vũ trụ) Khi tàu vũ trụ phóng lên mặt trăng, trước hết bay vịng quanh trái đất Sau đó, đến thời điểm thích hợp, động bắt đầu hoạt động đưa tàu bay theo quỹ đạo nhánh parabol bay lên Mặt trăng ( hệ tọa độ Oxy hình vẽ, x, y tính nghìn km) Biết động bắt đầu hoạt động, tức x = y = -7 Sau y= -4, x = 10 y = x = 20 a Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói b Theo lịch trình để đến mặt trăng, tàu phải qua điểm (100;y) y với  294 �1,5 Hỏi điều kiện có thỏa mãn hay khơng? 2.3.2.3 Chủ đề Phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Đây hội điển hình để rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào việc giải toán thực tiễn lớp 10 THPT Trong thực tế đời sống, kĩ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn ta phải tìm cụ thể tất cả, đại lượng Để giải vấn đề ta cần “tốn học hóa” mối quan hệ phụ thuộc đại lượng thành phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình Khi việc giải phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình giúp ta giải vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi Chúng ta quan tâm đến vấn đề: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình tốn học giúp người giải toán thực tiễn nào? Và việc hình thành kĩ đưa tốn thực tiễn thành phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình học sinh a Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Ví dụ 1: Một xí nghiệp dự định sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do thi đua xí nghiệp tăng suất thêm sản phẩm ngày hồn thành kế hoạch trước thời hạn ngày Tính suất dự định xí nghiệp Vấn đề đặt ra: Cần tính suất dự định ban đầu tức suất trước tăng thêm sản phẩm ngày Đơn giản vấn đề: Gọi x suất dự định xí nghiệp: x sản phẩm/ ngày Từ tìm: + đại lượng biểu thị cho thời gian dự kiến + đại lượng biểu thị cho suất sau tăng + đại lượng biểu thị cho thời gian hoàn thành trước kế hoạch Sử dụng giả thiết: hoàn thành kế hoạch trước ngày ta lập phương trình thể mối liên hệ 12 Bài giải: Gọi suất dự định xí nghiệp x sản phẩm/ ngày Khi đó: Thời gian dự kiến hồn thành : 600/x ngày Năng suất sau tăng là: x + sản phẩm / ngày Thời gian hoàn thành với suất là: 600/(x + 5) ngày 600 600  6 Hoàn thành trước ngày tức x  x � 600 x  600( x  5)  x( x  5) � x  20 Vậy: suất dự kiến 20 sản phẩm/ ngày * Nhận xét: Qua ví dụ minh họa ta thấy dạy học lập PT, HPT, BPT, hệ BPT cần xoáy vào hai mấu chốt sau: + Rèn luyện cho học sinh khả phát hệ thức đại lượng, cần làm cho học sinh ý thức mối liên hệ đại lượng tốn chia thành hai loại: Những mối lien hệ tốn mối liên hệ tổng qt có tính chất quy luật Thuộc loại thứ nhất: - Năng suất dự kiến + = suất thực tế - Thời gian dự kiến – = thời gian thực tế Thuộc loại thứ hai: Tổng sản lượng = suất �thời gian sản suất Trong mối liên hệ thứ nêu tốn mối liên hệ thứ hai khơng nêu tốn, học sinh cần dựa vào vốn kiến thức để phát chúng + Rèn luyện cho học sinh khả sử dụng biểu thức chứa biến để biểu thị tình thực tế Ví dụ 2: Hai cơng nhân làm cơng việc sau 5h50 phút hoàn thành Sau làm chung người phải điều làm việc khác nên người phải làm tiếp hai xong cơng việc Hỏi người phải làm bao lâu? Vấn đề đặt ra: u cầu tính thời gian hồn thành cơng việc riêng người Đơn giản vấn đề: Gọi x, y thời gian hồn thành cơng việc người Bài giải: Gọi x, y số mà người phải làm xong cơng việc x > 0; y > Khi đó: người làm được: 1/x công việc Người thứ làm được: 1/y công việc 1  x y công việc Trong hai người làm làm chung được: 35 5h50’  h xong nên ta có PT: Hai người làm 1 35 (  )  x y (1) 13 1 (  ).5 Công việc người làm chung 5h là: x y Công việc người lại làm 2h là: y 1 (  )5   y Vậy ta có phương trình x y (2) Giải (1) (2) ta được: x= 10; y = 14 Bài tập tự luyện Bài 1: Số trứng rổ thứ gấp đôi số trứng rổ thứ hai Nếu bớt 20 rổ thứ bỏ thêm 10 vào rổ thứ số trứng rổ thứ gấp 4/3 lần số trứng rổ thứ Tính số trứng ban đầu Bài 2: Bài toán cổ Quýt, cam mười bảy tươi Đem chia cho 100 người vui Chia ba quýt Còn cam chia mười vừa xinh Trăm người trăm miếng ngon lành Quýt , cam loại tính rành sao? Bài 3: Một xuồng nhỏ chở người du lịch phải hoàn thành chơi dọc sông từ địa điểm A đến địa điểm B ngược lại mà lại không vượt 3h Chiếc xuồng phải có vận tốc riêng nào, vận tốc nước sông 5km/h, khoảng cách từ A đến B 28km xuồng dừng lại điểm B 40 phút b Giải tốn cách lập bất phương trình, hệ bất phương trình Trong chủ đề khai thác nhiều dạng toán gần gũi với đời sống thực tiễn như: Bài toán vận tải, toán sản xuất đồng bộ, toán thực đơn, toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện tài nguyên hạn chế, toán vốn đầu tư nhỏ nhất, toán pha trộn,… Tuy nhiên SGK lớp 10 hành, trình bày nội dung này, đưa Ví dụ tốn có nội dung thực tiễn; Ví dụ mục “ Áp dụng vào tốn kinh tế” Trong tình này, ta lồng ghép số Ví dụ, tập túy Tốn học tốn có nội dung thực tiễn tương đương Làm ta đạt mục đích kép dạy học chủ đề giàu tiềm Điều quan trọng không ảnh hưởng thời lượng lớp, nhà mà rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn Có thể thêm số tập cho học sinh giỏi để tạo hội, bồi dưỡng, phát triển lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cho đối tượng Chẳng hạn số ví dụ sau: Ví dụ 1: (Bài tốn vận tải) Một công ty TNHH đợt quảng cáo bán khuyến hàng hóa (1 sản phẩm cơng ty) cần thuê xe để chở 140 người hàng Nơi thuê có hai loại xe A B Trong xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu, loại B 14 giá triệu Hỏi phải thuê xe loại để chi phí vận chuyển thấp Biết xe A chở tối đa 20 người 0,6 hàng hóa; xe B chở tối đa 10 người 1,5 hàng Vấn đề đặt ra: Cần phải tính số xe loại A, loại B cần dùng cho chi phí thấp Nếu dùng loại xe khơng đáp ứng u cầu Thật Nếu dùng xe B chở dược 90 người vận chuyển 13,5 hàng, thừa 50 người thiếu 4,5 hàng Nếu dùng 10 xe A chở 200 người hàng thiếu 60 người thừa hàng Do phải dùng loại xe Phương án giải quyết: Gọi x, y số xe loại A, B cần dùng Theo đề cần tìm x, y cho A(x, y) = 4x + 3y đạt giá tị nhỏ x  y �14 �20 x  10 y �140 � � � 0, x  1,5 y �9 x  y �30 � � �� ( II ) � � x � 10 � x � 10 � � � � � y � �y �9 � Ta có: � Để giải toán ta giải vấn đề sau đây: + xác định tập (S) điểm có tọa độ thỏa mãn hệ BPT (II) (1) + (x; y) lấy giá trị (S) tìm giá trị nhỏ T(x, y) = 4x + 3y (2) Miền nghiệm (S) hệ (II) biểu diễn tứ giác ABCD kể biên , hình vẽ: (2) có nghĩa tìm tất cẩ điểm M(x; y) thuộc tứ giác ABCD cho A(x; y) nhỏ Ta biết A nhỏ đạt giá trị biên tứ giác ABCD, nên ta cần tìm tọa độ đỉnh S x  y  14 � �x  �� � A(5, 4) � x  y  30 y  � � A(x, y) nghiệm hệ 15 �x  10 �x  10 �� � B(10, 2) � B(x, y) nghiệm hệ �2 x  y  30 �y  �x  10 � C (10,9) � y  � C(x, y) nghiệm hệ x  y  14 �x  / � �� � D(5 / 2,9) � y  y  � � D(x, y) nghiệm hệ Tính giá trị T(x, y) điểm biên: T(A) = 4.5 + 3.4 = 32(triệu) T(B) = 4.10 + 3.2 = 46(triệu) T(C) = 4.10 + 3.9 = 67(triệu) T(D) = 4.5/2 + 3.9 = 37(triệu) Vậy T(A) = 32 triệu nhỏ tốn tiền vận chuyển nên chọn xe A xe B Ví dụ 2: (Bài tốn thực đơn) Trong thi “ Bữa ăn dinh dưỡng” , ban tổ chức yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng ngày gia đình có thành viên cần 900 đơn vị prơtêin 400 đơn vị lipít thức ăn ngày Mỗi kg thịt bị chứa 800 đơn vị prơtêin 200 đơn vị lipít, kg thịt heo chứa 600 đơn vị prơtêin 400 đơn vị lipít Biết người nội trợ mua tối đa 1,6kg thịt bò 1,1 kg thịt heo Biết 1kg thịt bò giá 100.000đ, 1kg thịt heo giá 70.000đ Phần thắng thuộc gia đình phần ăn đảm bảo dinh dưỡng chi phí bỏ Vấn đề đặt ra: Xác định lượng thịt heo thịt bò cần phải mua để vừa đảm bảo dinh dưỡng vừa tốn Rõ ràng trường hợp ta mua loại thịt khơng đáp ứng u cầu Thật vậy: + Nếu mua thịt heo ta mua tối đa 1,1kg Khi chiphis bỏ 77000đ Với lượng thịt cung cấp 660 dơn vị Protein 440 đơn vị Lipit Như lượng Lipit thừa mà Protein lại thiếu + Nếu mua thịt bị rõ ràng chi phí cao Do ta phải mua hai loại thịt Phương án giải quyết: Gọi x, y khối lượng thịt bò thịt heo mà người nội trợ mua Bài toán đặt T = 100.000x + 70.000y đạt giá trị nhỏ Điều kiện: 800 x  600 y �9000 x  y �9 � � �200 x  400 y �400 �x  y �2 � � �� � �x �1, �x �1, � � � � �y �1,1 �y �1,1 � � Miền nghiệm hệ tứ giác ABCD 16 A(0,3; 1,1), B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7) T(A) = 107.000đ T(B) = 237.000đ T(C) = 174.000đ T(D) = 109.000đ Vậy Tmin = 107.000đ mua 0,3kg thịt bò 1,1kg thịt heo * Lưu ý Trong toán trên, việc vận dụng kiến thức Toán học để giải chúng khơng q khó khăn – học sinh nắm tương đối vững kiến thức Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Tuy nhiên, khó khăn đề dài ảnh hưởng đến thời lượng lớp Để khắc phục khó khắn này, giáo viên in sẵn đề, dùng phát cho học sinh Đối với tập nhà làm tương tự, số lượng tốn có nội dung thực tiễn tăng cường phù hợp Bài tập rèn luyện Bài 1: Trong xưởng khí có sắt dài 7,4m Người chủ muốn thợ cắt sắt thành đoạn dài 0,7m 0,5m để tiện sử dụng Bây người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m 2000 đoạn 0,5m Bạn ước lượng xem cần dùng sắt 7,4m để làm Bài 2: Hai công nhân giao nhiệm vụ sơn tường Sau người thứ làm 7h người thứ hai làm 4h họ sơn 5/9 tường Sau họ bắt tay vào làm chung 4h cịn 1/1 tường chưa sơn Vì hai người bận nên nhờ người công nhân thứ ba sơn tiếp tường lại Bây phải chia tiền công cho công Biết người chủ khốn tiền cơng sơn tường 360.000đ 2.3.2.4 Các toán dùng bất đẳng thức Cơ - si Ví dụ 1: Người ta phải cưa thân hình trụ để xà, hình khối chữ nhật tích cực đại Hỏi xà phải có tiết diện nào? Giải: Vấn đề đặt ra: Tiết diện ( mặt cắt ngang ) xà có kích thước cạnh nào? 17 Phân tích đề bài: Thể tích khối chữ nhật V = chiều dài chiều rộng chiều cao Coi chiều cao chiều dài xà = chiều dài thân Như vậy: Thể tích khối chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài chiều rộng tiết diện Bài giải Gọi x, y cạnh tiết diện Theo định lí Pitago ta có: x  y  d (d đường kính thân cây) Thể tích xà đạt cực đại diện tích tiết diện cực đại, nghĩa x.y cực đại Do xy lớn 2 x2y2 lớn tổng x  y  d không đổi, nên x2y2 đạt cực đại x  y � x  y Vậy xà phải có tiết diện hình vng Ví d 2: Chúng ta biết cấu tạo hộp diêm bình thờng Nó bao gồm: nắp, đáy, mặt bên đầu Hộp diêm phải có dạng để với thể tích cố định, chế tạo đỡ tốn vật liệu nhất? ỏy Nắp Đầu Mặt bên Mặt bên Vấn đề đặt ra: Cần tìm kích thước chiều hộp diêm để chế tạo hộp diêm đỡ tốn vật liệu tức tổng diện tích mặt phải bé Phân tích tốn: - Hộp diêm khối chữ nhật nên thể tích V = chiều dài chiều rộng chiều cao - Các mặt bên hình chữ nhật, đó: nắp = đáy Bài giải Nếu ta đặt x, y, z chiều cao, chiều rộng chiều dài hộp diêm Với thể tích cố định V, tổng diện tích tất mặt hộp diêm là: S = 2xy + 3yz + 4xz Để tốn vật liệu S bé z x Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có  33 2xy.3yz.4xz  63 3x2y2z2 = 63 3V S Do tốn vật liệu 2xy = 3yz = 4xz  x: y: z = 3: 4: Vậy: Hộp diêm nên có kích thước chiều theo tỉ lệ x: y: z = 3: 4: y Nắp Mặt bên Đáy Đầu Mặt bên 18 Bài tập rèn luyện Bài 1: Cần phải làm cửa sổ mà, phía S1 hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) (a chu vi hình bán nguyệt S2 cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định 2x kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? Bài 2: Ta có miếng tơn phẳng hình vng với kích thước a cm, ta muốn cắt góc hình vng để uốn thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Phải cắt để hình hộp tích lớn nhất? Bài 3: Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm chế biến, có dung tích V(cm3) Hãy xác định kích thước để tiết kiệm vật liệu nhất? * Lưu ý Đối với tập vận dụng này, đòi hỏi người giáo viên phải khéo léo, nhẹ nhàng dẫn dắt học sinh, tránh làm cho em thấy tải độ tính tốn phức tạp tốn đặt Cần có thời gian làm cho em quen dần với cách tiếp cận toán thực tế để em ngày ham thích học Tốn Giáo viên tập nhà để em có thời gian trao đổi, tìm hiểu biện pháp giải tốn Sau em đến lớp để thảo luận giáo viên làm việc, giải vấn đề đặt với em 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học 2020 – 2021 áp dụng nội dung sáng kiến cho học sinh lớp 10V Vào cuối năm học cho học sinh làm kiểm tra thu kết sau: Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 42 20 16 Như vậy: sau áp dụng sáng kiến kết học sinh có tiến Các em khơng cịn cảm thấy “sợ” gặp phải toán thực tế Nhiều em cảm thấy hứng thú biết cách tìm hướng giải, cảm thấy tự tin KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đề tài góp phần thiết thực cho giáo viên mơn tốn đổi phương pháp dạy học Toán THPT theo định hướng Bộ Giáo dục Đào tạo: cần dạy học cho học sinh nắm vững tri thức, kĩ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Tạo sở để học sinh học tiếp vào sống lao động 19 Qua toán rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn nói riêng, vận dụng kiến thức phổ thơng nói chung; Tác động đến tâm lí, đem lại niềm vui, hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh Sau dùng toán thực tiễn lớp, giáo viên cịn nhận tốn phản hồi cách u cầu học sinh tìm ví dụ thực tiễn khác để trao đổi thảo luận nhóm Qua nhận thấy hứng thú học tập mơn Tốn học sinh ngày cao 3.2 Kiến nghị Nhằm giúp học sinh học tốt hơn, rèn luyện nhiều khả vận dụng kiến thức toán học vào giải tốn thực tiễn, thân tơi có số kiến nghị,đóng góp ý kiến giáo viên sau: Trong trình soạn bài, kiến thức có liên quan với thực tiễn giáo viên nên đưa ví dụ đời sống vào để học sinh thấy rõ toán học gần gũi với sống hàng ngày Trên sở đó, giáo viên xây dựng hệ thống câu hỏi phù hợp, đặt tình sống để học sinh tự giải Trong trình giảng dạy, để hình thành kiến thức cho học sinh giáo viên tiến hành hoạt động theo trình tự: hoạt động khởi động – hoạt động hình thành kiến thức – hoạt động luyện tập – hoạt động tìm tịi mở rộng nhằm giúp học sinh tiếp thu học dễ dàng Tăng cường dạy học phân hóa theo lực học sinh Chú trọng phương pháp nêu vấn đề để giải tốn thực tiễn, tạo khơng khí lớp học thật vui vẻ, thoải mái; thân thiện, gần gũi để học sinh mạnh dạn bày tỏ ý kiến tốn thực tiễn Tạo hứng thú học tập thơng qua trò chơi, kể chuyện, hoạt động thực hành, toán gắn liền với thực tiễn sống Trong kiểm tra thi học kỳ cần đưa số toán thực tiễn để phong phú đa dạng nội dung Như vậy, học sinh biết vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn với tinh thần đổi sách giáo khoa Trên số kinh nghiệm thân dạy hướng dẫn học sinh giải toán thực tiễn Mặc dù thân cố gắng tìm tịi học hỏi, hẳn viết tránh khỏi hạn chế, mong thầy cô góp ý bổ sung Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 20 Lê Thị Nhàn 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo Dục Các đề thi đại học cao đẳng năm Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ (2000), Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp năm 2000), Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Nhàn Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nguyễn Thị Lợi TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá Năm học (Ngành GD cấp xếp loại đánh giá huyện/tỉnh; (A, B, xếp loại Tỉnh ) C) Sử dụng máy tính Casio Fx570ES Plus giải số Ngành GD cấp Tỉnh phương trình bất phương C 20162017 trình vơ tỉ 23 ... học giải tốn có nội dung thực tiễn thiết thực có vai trị quan trọng hồn cảnh giáo dục nước ta Đứng trước thực tế vậy, chọn đề tài: ? ?Nâng cao kĩ giải toán thực tiễn chương trình Đại số lớp 10? ??... thác, vận dụng nhiều kiến thức toán học vào giải bàu toán thực tiễn 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp chung để giải toán thực tiễn Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với... giúp người giải tốn thực tiễn nào? Và việc hình thành kĩ đưa toán thực tiễn thành phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình học sinh a Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Ví