Ứng dụng lý thuyết galois cho bài toán chia đường tròn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THỊ NAM THANH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS CHO BÀI TỐN CHIA ĐƯỜNG TRỊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THỊ NAM THANH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS CHO BÀI TOÁN CHIA ĐƯỜNG TRỊN Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Vũ Thị Nam Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Đóng góp đề tài: Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: TRƢỜNG CHIA ĐƢỜNG TRÒN 1.1 MỞ RỘNG TRƯỜNG 1.1.1 Mở rộng trường 1.1.2 Bậc mở rộng trường 1.2 TRƯỜNG NGHIỆM, TRƯỜNG PHÂN RÃ 1.2.1 Trường phân rã đa thức 1.2.2 Mở rộng tách 1.2.3 Mở rộng chuẩn tắc 1.3 TRƯỜNG CHIA ĐƯỜNG TRÕN 1.3.1 Trường chia đường tròn bậc n 1.3.2 Đa thức chia đường tròn 1.3.3 Tính khả quy đa thức chia đường tròn trường đặc số khác CHƢƠNG 2: BÀI TỐN CHIA ĐƢỜNG TRỊN 11 2.1 MỞ RỘNG GALOIS VÀ NHÓM GALOIS CỦA ĐA THỨC 11 2.1.1 Mở rộng Galois 11 2.1.2 Nhóm Galois đa thức 12 2.1.3 Trường hữu hạn 12 2.2 TIÊU CHUẨN GIẢI ĐƯỢC BẰNG CĂN THỨC VÀ ĐỊNH LÝ ABEN 12 2.2.1 Tiêu chuẩn giải thức: 13 2.2.2 Định lý Aben 16 2.3 DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA ĐỊNH LÝ GAUSS-WANTZEL 18 2.3.1 Khái niệm điểm số dựng 18 2.3.2 Định lý 20 2.3.3 Định lý 20 2.3.4 Định lý Gauss-Wantzel 21 2.3.5 Hệ 23 2.3.6 Công thức Gauss 23 2.3.7 Quỹ tích phép dựng hình bản: 27 2.4 CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN 29 2.4.1 Bài tốn chia ba góc 29 2.4.2 Bài tốn gấp đơi khối lập phương 29 2.4.3 Bài tốn cầu phương hình trịn 30 2.4.4 Bài toán dựng đoạn thẳng có độ dài vơ tỉ 30 2.5 BÀI TOÁN CHIA ĐƯỜNG TRÕN 32 2.5.1 Bài toán dựng đa giác cạnh (tam giác đều) đa giác bội chẳn 3: 32 2.5.2 Bài toán dựng đa giác cạnh (tứ giác đều) đa giác bội chẵn 34 2.5.3 Bài toán dựng đa giác cạnh (ngũ giác đều) đa giác bội chẳn 36 2.5.4 Bài toán dựng đa giác 15 cạnh đa giác bội chẳn 15 41 2.5.5 Bài toán dựng đa giác 17 cạnh đa giác bội chẳn 17 43 2.5.6 Nhận xét: 46 KẾT LUẬN 48 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Tập số tự nhiên * Tập số tự nhiên khác Vành số nguyên n Vành lớp modulo n p Trường lớp modulo p nguyên tố pn Trường hữu hạn có p n phần tử Trường sơ hữu tỉ Trường số thực Trường số phức n Nhóm đối xứng n phần tử An Nhóm thay phiên n phần tử F  x Vành đa thức biến trường F F  x Trường phân thức hữu tỷ trường F F  E, E : F Mở rộng trường E : F  Bậc mở rộng trường  G :1 Cấp nhóm G G : H  Chỉ số nhóm H nhóm G n Đa thức chia đường trịn F ( ) Mở rộng đơn sinh trường Aut ( F ) Nhóm tự đẳng cấu F Aut (E/ F ) Nhóm F- tự đẳng cấu E:F Gal( E / F ) Nhóm Galois mở rộng Galois E:F n Căn nguyên thủy bậc n đơn vị DẠNH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu hình Tên hình Trang Hình 2.4.1 Dựng đoạn thẳng có độ dài vơ tỷ 31 Hình 2.5.1 Tam giác 32 Hình 2.5.2 Lục giác 33 Hình 2.5.3 Đa giác 12 cạnh 34 Hình 2.5.4 Tứ giác 36 Hình 2.5.5 Bát giác 37 Hình 2.5.6 Minh họa hình ngũ giác 37 Hình 2.5.7 Ngũ giác dựng theo cách 39 Hình 2.5.8 Ngũ giác dựng theo phương pháp Richmond 40 Hình 2.5.9 Thập giác 41 Hình 2.5.10 Đa giác 15 cạnh 42 Hình 2.5.11 Dựng cạnh đa giác 17 cạnh 45 Hình 2.5.12 Đa giác 17 cạnh 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp dựng hình với dụng cụ thơ sơ thước kẻ compa thời cổ đại viên gạch tạo tảng cho phát triển sau lĩnh vực dựng hình giải tích đại Theo dịng lịch sử tốn học, phát triển Plato Aristotle nguyên tắc suy luận logic phương pháp tiên đề chứng minh đặt tốn học lên móng xem khó lay chuyển kỉ Trong giai đoạn lên "các tốn cổ", có lẽ tốn tiếng thời đại Đó tốn dựng hình học, phép dùng thước kẻ (không khắc vạch) compa để giải Với hai dụng cụ đó, yêu cầu đề là: Chia góc góc (Chia ba góc) Tìm cạnh hình lập phương tích gấp đơi thể tích hình cầu cho sẵn (Gấp đơi hình cầu) Tìm hình vng có diện tích diện tích hình trịn (Cầu phương hình trịn) Cả ba câu hỏi mở cho đến thời kì đại Phải đến kỷ XIX xuất Galois lý thuyết tốn học mang tên Ơng kiểm chứng công nhận trọng lý thuyết đẹp đẽ đại số, tập hợp nhiều kiến thức phương pháp lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải toán cổ điển vấn đề quan trọng khác đại số đại Lý thuyết Galois cho phép xác định đa giác n cạnh dựng thước kẻ compa Bên cạnh đó, nhận từ Lí thuyết Galois lời giải cho ba tốn dựng hình cổ điển Khi phép dựng hình cuối chứng minh khơng thể thực Dựng hình thước compa dạng tốn khó địi hỏi người giải phải nắm vững kiến thức bản, kỹ sáng tạo việc kẻ thêm yếu tố phụ để kết nối kiện Bài tốn dựng hình thước compa có ý nghĩa tốn học sâu sắc nội dung nhiều lúc vượt khỏi lĩnh vực hình học Phép dựng hình compa đưa giảng dạy từ lớp sở đến lớp cao học, phần khơng thể thiếu q trình đào tạo, rèn luyện tư cho học sinh tính tổng quát nghiên cứu toán học cao cấp Với lý trình bày trên, đề tài tập trung tìm hiểu ứng dụng lý thuyết Galois việc giải tốn chia đường trịn với kết hợp kết nhiều ngành toán học: Đại số - Hình học - Số học Giải tích, tốn có ý nghĩa sâu sắc kỹ thuật cơng nghệ Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Galois cho tốn chia đường trịn thành n phần thước kẻ compa Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết trường Galois Phạm vi nghiên cứu đề tài toán chia đường tròn thành phần thước kẻ compa Phƣơng pháp nghiên cứu: Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Lý thuyết Galois ứng dụng cho tốn chia đường trịn 35 - Tứ giác ACBD tứ giác cần dựng C d2 d1 B I A D Hình 2.5.4 : Tứ giác b Bài toán dựng đa giác cạnh - Cách dựng dựa tứ giác cạnh dựng - Gọi M, N, P, Q trung điểm AC, CB, BD AD - Dựng đường thẳng MP NQ cắt đường tròn điểm F, H, E, G - Bát giác AFCEBHDG bát giác cần dựng - Đây cách dựng chia cung tròn 36 C F E N M O B A Q P G H D Hình 2.5.5 : Bát giác c Bài toán dựng đa giác 16 cạnh, 32 cạnh, Tổng quát đa giác bội chẳn - Cách dựng chia cung tròn đa giác cạnh ta đa giác cần tìm 2.5.3 Bài tốn dựng đa giác cạnh (ngũ giác đều) đa giác bội chẳn a Bài toán dựng đa giác cạnh (ngũ giác đều) Bài toán chia đường tròn thành (số nguyên tố Fermat) phần hay tốn dựng góc 2  Xét đa giác nội tiếp cạnh N1N2N3N4N5 37 N2 N3 N1 H N4 N5 y' Hình 2.5.6 : Minh họa ngũ giác Ta có  N3OH  N3ON  Nên OH  r cos Xét đẳng thức Đặt x =  2 3   5   2x + 3x =  , tức 2x 3x hai góc bù Suy ta có: cos2x = -cos3x Áp dụng cơng thức nhân đơi nhân ba, ta có Cos2x = 2cos2x – Cos3x = 4cos3x- 3cosx 38 Ta có phương trình 2cos2x – 1= -(4cos3x- 3cosx)  4cos x + 2cos x – 3cosx – = Đặt t = cosx  4t3 + 2t2 – 3t -1 =  (t-1) (4t - 2t - 1) = Giải phương trình bậc hai ta t = cos 1   1 nghiệm dương  cos = 5 OH = R cos  1 = Trong R bán kính đường trịn tâm O Từ ta có cách dựng sau: - Dựng hệ trục tọa độ x’Ox; y’Oy - Dựng đường trịn tâm O bán kính R = cắt Ox, Ox ’, Oy điểm X, N1, Y - Dựng điểm A tia Oy cho OY = YA - Dựng điểm B tia Ox cho XB= XA - Dựng trung điểm C OB trung điểm H OC - Dựng đường thẳng qua H vng góc Ox cắt đường tròn N3 N4 - Dựng đường trịn tâm N1 bán kính R = N3N4 cắt đường tròn tâm O N2 N5 - N1N2N3N4N5 ngũ giác cần dựng Thật  OA = 2R = 2, XA = , OB = OH = (1 + ) Hay OH = R cos  1 = 39 y A Y N2 N3 x x' N1 H X C B N4 N5 y' Hình 2.5.7 : Ngũ giác dựng theo cách  Ngồi ta dựng hình theo phương pháp Richmond sau: - Dựng đường trịn tâm O, bán kính R Giả sử R=1 - Từ điểm B vòng tròn, kẻ đường thẳng qua O B - Dựng trung điểm D OB - Dựng hai đường thẳng góc với OB O,cắt vòng tròn hai điểm mà điểm P1 - Dựng phân giác góc ODP1 cắt OP1 N2 - Dựng đường thẳng thẳng góc với OP1 N2 cắt vòng tròn hai điểm mà điểm P2 - P1, P2 cạnh ngũ giác Dựng điểm lại P3, P4, P5 compa - Ta ta đa giác cạnh P1P2 P3,P4P5 40 B P2 P3 D N2 P1 P4 P5 Hình 2.5.8: Ngũ giác dựng theo phương pháp Richmond b Bài toán dựng đa giác 10 cạnh, 20 cạnh, 40 cạnh,… Tổng quát đa giác bội chẳn - Cách dựng chia cung tròn đa giác cạnh ta đa giác cần tìm - Hình dựng đa giác 10 cạnh Các đa giác khác dựng tương tự 41 10 Hình 2.5.9 : Thập giác 2.5.4 Bài toán dựng đa giác 15 cạnh đa giác bội chẳn 15 a Bài toán dựng đa giác 15 cạnh Bài toán dựng góc 2 2 Vì   tốn dựng góc 15 15 15 đưa tốn dựng góc 2 2 2 2  Tức 2 2 15 15 Cách dựng: - Đầu tiên dựng cung AM theo 2.4.3 (dựng góc AN  AM (dựng góc 2 ) 2 ) Dựng cung 42 - Dựng cung AB theo 2.4.1 (dựng góc  ) Dựng cung AC  AB  (dựng góc ) - Cung CN cung cần dựng ( dựng góc 2 ) 15 - Dùng compa vẽ cung lại ta đa giác 15 cạnh M C B N O Hình 2.5.10 : Đa giác 15 cạnh A 43 b Bài toán dựng đa giác 30 cạnh, 60 cạnh,… Tổng quát đa giác bội chẳn 15 - Cách dựng chia cung tròn đa giác 15 cạnh ta đa giác cần tìm 2.5.5 Bài toán dựng đa giác 17 cạnh đa giác bội chẳn 17 a Bài toán dựng đa giác 17 cạnh Bài toán chia đường tròn thành 17 phần thực chất dựng đoạn thẳng có độ dài cos 2 17 Theo tính tốn xác định mục 2.3.6 ta có cách dựng sau - Dựng đường trịn đường trịn tâm O, bán kính OA=1 Đường kính GS 17 - Dựng đường trịn tâm A bán kính R      đường tròn 4 cắt GS B - Dựng đường tròn (B;BA) đường tròn cắt GS C D Khi ta có OC  0 , OD  1 1  17 1  17 ,1  2 Với 0    CA        02   2 44 - Dựng đường tròn (C;CA) đường tròn cắt GS E ta OE  0 với 0  0    02 - Dựng đường tròn (D;DA) đường tròn cắt GS F ta OF  1 với 1  1   12   Vì 02  41        1  nên ta tiếp tục dựng sau: - Dựng đường trịn đường kính FG, đường trịn cắt OA H Ta   - Dựng đường tròn  H, OI  OE   đường tròn cắt GS I Ta  02  41 Như ta dựng đoạn thẳng OL= 1x cos 2 OE   (  OI )  (  02  41 ) 17 2 2 Dựng đường thẳng qua L vng góc với OL cắt đường trịn (O,OA) K Ta có SK  2 17 45 A K L D G I B O F C S H Hình 2.5.11 :Dựng cạnh đa giác 17 cạnh Dùng compa dựng cung lại ta đa giác 17 cạnh E 46 A L D G B I O F C K S E H Hình 2.5.12 : Đa giác 17 cạnh b Bài toán dựng đa giác 34 cạnh, 68 cạnh,… Tổng quát đa giác bội chẳn 17 - Áp dựng cách dựng chia cung tròn đa giác 17 cạnh ta đa giác cần tìm 2.5.6 Nhận xét: Cho p số nguyên tố lẻ Khi đó, đường tròn chia p phần p số nguyên tố Fermat Do khơng thể chia đường trịn thành cách phần : 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25,…………… 47 Với phương pháp dựng hình giới thiệu trên, ta tiến hành dựng cho đa giác bội số chẳn đa giác phương pháp chia cung tròn thành đoạn nhau: Với đường tròn chia thành đa giác cạnh, ta chia thành đa giác cạnh => 12 cạnh => 24 cạnh => 48 cạnh => Với đường tròn chia thành đa giác cạnh, ta chia thành đa giác cạnh => 16 cạnh => 32 cạnh => 64 cạnh => Với đường tròn chia thành đa giác cạnh, ta chia thành đa giác 10 cạnh => 20 cạnh => 40 cạnh => 80 cạnh => Với đường tròn chia thành đa giác 15 cạnh, ta chia thành đa giác 30 cạnh =>60 cạnh => 120 cạnh => 240 cạnh => Với đường tròn chia thành đa giác 17 cạnh, ta chia thành đa giác 34 cạnh => 68 cạnh => 136 cạnh => 272 cạnh => Tổng kết lại, theo định lý Gauss-Wantzel ta chia đường trịn thành n phần với n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, , 257, , 65537, 48 KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả trình bày Lý thuyết Galois ứng dụng thể qua phép dựng hình thước kẻ compa với nội dung sau: Hệ thống lý thuyết cần thiết cho việc dựng hình, chia đường trịn thước kẻ compa, định lý Aben đặc biệt Định lý Gauss-Wantzel cho phép xác định số phần chia đường trịn, nói cách khác số cạnh đa giác dựng đường trịn Trình bày lời giải cho ba tốn cổ có cách từ 2000 năm trước: Chia ba góc, gấp đơi hình cầu cầu phương hình trịn, đặc biệt tốn dựng đoạn thẳng có độ dài vơ tỷ, toán để dựng đa giác nội tiếp đường trịn Trình bày lời giải cách dựng chi tiết, tổng qt cho tốn chia đường trịn thành n phần nhau, với n phần dựng Đến dựa vào lý thuyết Galois nhà nghiên cứu tìm tịi nhiều cách dựng hình thước kẻ compa tường minh so với phương pháp giới thiệu luận văn Do thời gian nghiên cứu có hạn, tác giả trình bày vài phương pháp dựng Trong thời gian tới hy vọng có điều kiện nghiên cứu tìm tịi bổ sung thêm Hy vọng luận văn đóng góp thơng tin đọng hữu ích cho bạn sinh viên, học viên muốn nghiên cứu sâu lĩnh vực Tác giả mong nhận góp ý bổ sung thầy cơ, bạn bè để kết luận văn hoàn chỉnh tường minh hơn./ 49 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Trần Nam Dũng (2010), Quỹ tích dựng hình- Những vấn đề ứng dụng, Bài giảng môn học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Thành phố Hồ Chí Minh [2] Bùi Xuân Hải (2007), Lý thuyết trường Galois, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Tiến Quang (2007), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường Lý thuyết Galois, Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng [5] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Dương Quốc Việt- Lê Văn Chua (2007), Cơ sở lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư Phạm TIẾNG ANH [7] H M Edwards (1984), Galois Theory, Springer, New York [8] J S Milne (2011), Fields and Galois Theory, Sabre Peak, Moraine Creek, New Zealand [9] I Stewart (1989), Galois Theory, Chapman & Hall WEBSITE [10]http://www.academia.edu/6790885/E_F9_1E_F1_Tr_n_Nam_D%C5% A9ng_Tr_ng_%C4%90_i_h_c_KHTN_Tp_HCM_2._C%C3%A1c_b %C3%A0i_to%C3%A1n_qu_t%C3%ADch [11] http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois [12] http://vuontoanblog.blogspot.com/2013/10/basic-compassstraightedge-construction.html ... nghiệm, trường phân rã cuối trường chia đường tròn đa thức chia đường tròn Đây hệ thống lý thuyết sở cho việc khảo sát Lý thuyết Galois toán chia đường tròn Chương Nội dung chương tham khảo trích... email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng lý thuyết Galois Đóng góp đề tài: Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết Galois ứng dụng cho tốn chia đường trịn thành phần thước kẻ... CHIA ĐƯỜNG TRÕN 1.3.1 Trường chia đường tròn bậc n 1.3.2 Đa thức chia đường tròn 1.3.3 Tính khả quy đa thức chia đường tròn trường đặc số khác CHƢƠNG 2: BÀI