ứng dụng lý thuyết kalker vo bi toán đi qua đờng cong của đầu máy toa xe TS. Nguyễn hữu dũng Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Bi báo đa ra phơng pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vo bi toán tính lực dẫn hớng khi đầu máy toa xe thông qua đờng cong Summary: This paper presents the applicasion of the Kalkers theorem in determining the guide forces when railway locomotives run through the curve track. i. đặt vấn đề Bài toán tính lực dẫn hớng khi đầu máy toa xe đi qua đờng cong đã đợc Heumann một nhà khoa học đờng sắt ngời Đức đề ra cách giải với những giả thiết để đơn giản hoá cho nên kết quả thu đợc thờng xa với thực tế. Tuy vậy cho đến ngày nay do cách giải đơn giản và kết quả thu đợc mang tính an toàn cao, đờng sắt nhiều nớc vẫn dùng phơng pháp này để tính lực dẫn hớng và dựa vào kết quả đó để quy định vận tốc cho phép của đầu máy toa xe trên đờng cong. Một trong những giả thiết đợc dùng trong bài toán Heumann là mô hình bánh xe và đờng ray tuyệt đối cứng, bánh xe có mặt lăn hình trụ, giữa mặt lăn bánh xe và mặt đờng ray chỉ có ma sát trợt do chuyển động quay của giá xe khi vào đờng cong gây ra. Giả thiết này cùng với một số giả thiết khác làm cho bài toán và phơng pháp giải trở nên đơn giản có thể thực hiện bằng tay nhờ sự trợ giúp của các đồ thị trung gian [2]. Phơng pháp lập trình để giải bài toán này trên máy tính đã đợc giới thiệu trong bài báo [4] . Gần đây các nhà khoa học đờng sắt đã nghiên cứu sâu hơn về mối quan hệ giữa bánh xe và đờng ray ở chỗ tiếp xúc để thấy đợc thực chất hiện tợng xảy ra ở đây, đa ra những mô hình mới gần với thực tế hơn và đề ra những phơng pháp mới để tính những lực xuất hiện ở chỗ tiếp xúc này. Một trong những lý thuyết đã đợc nhiều nhà khoa học đờng sắt trên thế giới sử dụng trong các công trình nghiên cứu của mình là mô hình và phơng pháp tính lực xuất hiện ở chỗ tiếp xúc của Kalker [1], một nhà khoa học ngời Hà lan. Ông đã mô hình hoá bánh xe và đờng ray nh hai vật hình trụ đàn hồi tiếp xúc với nhau, vết tiếp xúc là hình ellipse hiện tợng xảy ra ở chỗ tiếp xúc là trung gian giữa trợt và lăn, các phần tử vật chất của hai vật thể ở chỗ tiếp xúc vừa lăn vừa trợt, vừa biến dạng đàn hồi để tiến lên phía trớc. Theo lý thuyết Kalker các lực xuất hiện ở đây tỉ lệ tuyến tính với các vận tốc trợt tơng đối theo ba phơng dọc, ngang và quay xung quanh trục thẳng đứng nên mô hình là tuyến tính rất thuận lợi cho việc tính toán: = 3 2 1 3323 2322 11 Z Y X ff0 ff0 00f M T T (1) Trong đó f ij là các hệ số phụ thuộc mô đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu cũng nh tỉ số các bán trục của ellipse tiếp xúc và tải trọng của bánh xe. Hiện tợng này tiếng Anh gọi là creep, trong [3] dịch là trợt dẻo còn theo chúng tôi nên gọi là hiện tợng trờn với các hệ số i là vận tốc trợt tơng đối theo các phơng đợc gọi là hệ số trờn. ở đây chúng tôi muốn đa ra phơng pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vào việc xây dựng hệ phơng trình chuyển động của đầu máy toa xe trên đờng cong. ii. phơng trình chuyển động của ĐMTX trên đờng cong 1. Mô hình nghiên cứu Mô hình nghiên cứu là mô hình đầu máy toa xe 4 trục với các bánh xe có mặt lăn hình côn chạy trên đờng cong bán kính tơng đối lớn. Mô hình có 14 bậc tự do. 2. Quỹ đạo chuyển động của trục bánh xe trên đờng cong Quỹ đạo chuyển động của trọng tâm cặp bánh xe có mặt lăn hình côn với độ côn trên đờng thẳng đã đợc xác định là một đờng hình sin: xsinyy o = (2) gọi là chuyển động rắn bò với biên độ y o bằng nửa khe hở giữa lợi bánh xe và cạnh ray và tần số vòng: = Sr o (3) Độ dài bớc sóng của chuyển động rắn bò: = 2 không phụ thuộc tốc độ. Trung tâm của quỹ đạo này trùng với trung tâm của đờng. Trên đờng cong theo [2] phơng trình chuyển động của trọng tâm trục bánh là: 0])x(fy[ rS y o = + && (4) l T C Y C X 2S l T C Y C X 2S 2l OO Trong đó f(x) là phơng trình của trung tâm đờng cong R2 x )x(f 2 = . Phơng trình này có nghiệm là: R rS R2 x xsinyy o 2 o += (5) Có nghĩa là trên đờng cong trục bánh xe có mặt lăn hình côn vẫn chuyển động rắn bò nhng trung tâm quỹ đạo của nó lệch ra khỏi trung tâm đờng cong về phía ray ngoài một lợng: R2 rS o = (6) phụ thuộc bán kính đờng cong (R), khổ đờng (S) và đờng kính (bán kính) bánh xe (r o ). Bán kính đờng cong càng nhỏ thì độ lệch này càng lớn làm cho biên độ rắn bò bị giảm nhỏ, đến mức độ nào đó thì trục bánh chuyển động của trục bánh xe trên đờng cong không còn bị rắn bò nữa. 3. Các lực và moment tác dụng và phơng trình cân bằng lực của trục bánh xe Trớc hết ta hãy xét các lực tác dụng vào trục bánh dẫn. Nếu bỏ qua góc lắc K quanh trục thẳng đứng, khi tốc độ ĐMTX là V ta có tốc độ góc của bánh xe: O y r V = (7) Nếu di chuyển ngang của trọng tâm trục bánh là y K thì: - Vòng lăn thực tế của bánh ngoài: KOON yrrrr += += (8) - Tốc độ thực của bánh ngoài: = R V SVV KX & (9) Trong khi đó tốc độ ứng với khi bánh xe lăn thuần tuý: () O KOyNX r V yrrV +== (10) - Từ đó tốc độ trợt theo phơng X: XXX VVV = = R V S r V y K O K & (11) - Tốc độ thực của bánh xe theo phơng Y cũng gồm 2 phần: vận tốc theo phơng Y là V K và vận tốc trợt V y : yKK VVy + = & (12) Từ đó: KKy VyV = & (13) Ta tính đợc các tốc độ trợt tơng đối: R S V S y rV V kK O X 1 + = = & K K y 2 V y V V = = & (14) R 1 VV KZ 3 = = & Các lực tác dụng tại điểm tiếp xúc giữa bánh ngoài với đờng ray tính theo (1): - Theo phơng X có: R s f V s fy r fT 11K11K O 11 N X + = & - Theo phơng Y có: += K22Y y V 1 fT & R 1 f V 1 ff 23K23K22 ++ & (15) - Theo phơng Z có: R 1 f V 1 ffy V 1 fM 33K33K23K23Z += & & Bằng cách phân tích tơng tự chúng ta tính đợc các lực tác dụng ở bánh trong. Các lực từ khung giá chuyển hớng tác dụng vào trục bánh thông qua bầu dầu: - Theo phơng ngang: + += R2 l CbH T KTK K XX + ( ) ] KTK K X K + && (16) - Theo phơng dọc: += R8 l 2 l yyCH 2 T T T KTK K yY + T T KTK K y 2 l yyK & && (17) trong đó: y K , K : Độ sàng ngang và góc quay quanh trục Z của trục bánh; y T , T : Độ sàng ngang và góc quay quanh trục Z của khung giá chuyển hớng; K : Hệ số; đối với trục trớc K = -1, đối với trục sau K = 1; l T : Cự ly trục cứng của giá chuyển hớng. Các lực và moment quán tính: KKK ymF && = (18) KKK M = && (19) Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và siêu cao: = S2 h g R V mD 2 KK (20) Lực dẫn hớng chỉ xuất hiện ở những bánh xe có lợi giáp với cạnh đờng ray, ký hiệu là K. Phơng trình dao động của các trục bánh: Xét sự cân bằng của tất cả các lực tác dụng lên các trục bánh, theo nguyên lí Dallambert mỗi trục bánh ta viết đợc hai phơng trình: Dao động sàng ngang của các trục bánh: 2T Y + 2H Y + F K + D K + K = 0 (21) Dao động lắc đầu của các trục bánh: -S (T XN + T XT ) 2b.H X + + 2M Z + M K = 0 (22) 4. Các lực và moment tác dụng và phơng trình cân bằng lực của khung giá chuyển hớng Các lực của các trục bánh tác dụng vào khung giá chuyển hớng thông qua bầu dầu theo phơng ngang và phơng dọc cũng có trị số nh H X , H Y nhng hớng ngợc lại. Các lực và moment phục hồi: += R2 l lyyCBB 2 TTY1O ( ) + & && lyyK TTY1 (23) += R l CMM TT1OB (24) () yyK T1 && Các lực và moment quán tính: TTT ymF && = (25) TTT M = && (26) Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và siêu cao: = S2 h g R V mD 2 TT (27) Phơng trình dao động của các khung giá chuyển hớng: Xét sự cân bằng của tất cả các lực tác dụng lên các trục bánh, đối với mỗi trục bánh ta viết đợc hai phơng trình dao động: Dao động sàng ngang của các khung giá chuyển hớng: F T - 2(H Y1 + H Y2 ) + D T +B = 0 (28) Dao động lắc đầu của các khung giá chuyển hớng: M T - l T (H Y1 H Y2 ) + 2b(H X1 + H X2 ) + M B = 0 B (29) 5. Các lực và moment tác dụng và phơng trình cân bằng lực của thân xe Các lực và moment phục hồi: cũng có giá trị nh B và M B trong công thức (23), (24) nhng có hớng ngợc lại B Các lực và moment quán tính: ymF && = (30) = && M (31) Các lực ngang bao gồm lực ly tâm và siêu cao: = S2 h g R V mD 2 (32) Phơng trình dao động của thân xe Dao động sàng ngang của thân xe: F - (B T + B S ) + D T = 0 (33) Dao động lắc đầu của thân xe: M - 2l(B T BB S ) + M T + M S = 0 (34) 6. Hệ phơng trình dao động ngang của toàn xe Đối với toàn xe ta viết đợc 8 phơng trình dao động của các trục bánh, 4 phơng trình dao động của 2 khung giá chuyển hớng và 2 phơng trình dao động của thân xe. Nh vậy hệ phơng trình dao động ngang của đầu máy toa xe khi chuyển động trên đờng cong sẽ có 14 phơng trình vi phân cấp hai. Sau khi thay trị số của các lực rồi viết lại dới dạng ma trận ta đợc hệ phơng trình dạng: ( ) ( ) RGtFyCyKyM +=++ &&& (35) trong đó: - M , K , C : là các ma trận khối lợng, ma trận cản và ma trận độ cứng - F : là véc tơ lực kích thích do chuyển động rắn bò có tần số gây nên, biên độ rắn bò sẽ giảm đi khi bán kính đờng cong càng nhỏ G : là véc tơ lực kích thích do chuyển động trên đờng cong gây nên, phụ thuộc bán kính đờng cong R và độ siêu cao h và trong đó có các lực dẫn hớng. III. Kết luận Hệ phơng trình (35) có thể coi là hệ phơng trình tổng quát chuyển động của đầu máy toa xe cả trên đờng thẳng và đờng cong. Trên đờng thẳng R bằng vô cùng và độ siêu cao h = 0 làm cho véc tơ G sẽ bằng không. Khi đó nghiệm riêng của hệ này với vế phải là véc tơ F sẽ biểu diễn dao động cỡng bức do chuyển động rắn bò gây nên. Ngợc lại trên đờng cong bán kính nhỏ do các trục bánh không có chuyển động rắn bò nên véc tơ F bằng không và nghiệm riêng của hệ với vế phải là véc tơ G sẽ biểu diễn trạng thái cân bằng lực của các bộ phận đầu máy toa xe trên đờng cong. Chúng ta cũng lu ý rằng tuy rằng đây là một hệ phơng trình vi phân cấp hai nhng do trên đờng cong không có dao động nên các véc tơ gia tốc dao động y && và vận tốc dao động y & đều bằng không nên hệ phơng trình lúc này trở thành hệ phơng trình đại số: () ( ) y K,RGyC = Cũng cần nói thêm do sự xuất hiện các lực dẫn hớng K trong véc tơ G phụ thuộc chuyển vị ngang của các trục bánh nên hệ này là phi tuyến. Chúng ta có thể giải hệ phơng trình này với những điều kiện nhất định để tìm ra các lực dẫn hớng K. Tài liệu tham khảo [1]. Baránszky-Job Imre. Vasúti Jármu szerkezetek. Budapest, 1979. [2]. Nguyễn Hữu Dũng. Động lực học Đầu máy diésel. Hà nội, 2001. [3]. Khuất Tất Nhỡng. Kỹ thuật Đầu máy Toa xe hiện đại. Hànội, 2002. [4]. Nguyễn Hữu Dũng. Giải bài toán thông qua đờng cong của ĐMTX trên máy tính. Tạp chí KHGTVT số 5 - tháng 11/ 2003 . ứng dụng lý thuyết kalker vo bi toán đi qua đờng cong của đầu máy toa xe TS. Nguyễn hữu dũng Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Bi báo đa ra phơng. ra phơng pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vào việc xây dựng hệ phơng trình chuyển động của đầu máy toa xe trên đờng cong. ii. phơng trình chuyển động của ĐMTX trên đờng cong 1. Mô hình nghiên. báo đa ra phơng pháp ứng dụng lý thuyết Kalker vo bi toán tính lực dẫn hớng khi đầu máy toa xe thông qua đờng cong Summary: This paper presents the applicasion of the Kalkers theorem in determining