Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 69 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
69
Dung lượng
3,01 MB
Nội dung
MỤC LỤC PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .2 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU .2 III MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI .3 PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .3 I CƠ SỞ LÝ LUẬN Tư Tư sáng tạo II CƠ SỞ KHOA HỌC .8 III THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 10 Khảo sát thực trạng dạy học chủ đề số phức trường phổ thông .10 Thực trạng nội dung dạy học chủ đề số phức lớp 12 10 Thực trạng dạy học chủ đề cực trị số phức trường phổ thông 11 IV ÁP DỤNG THỰC TẾ KHI DẠY 16 PHẦN HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP .16 Tìm phần thực, phần ảo số phức 16 Tính mơđun số phức 17 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện 18 Phương trình tập số phức 19 Tìm tập hợp điểm 25 Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng 29 Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn 30 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip đoạn thẳng 31 PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỰC TRỊ SỐ PHỨC .33 Dạng Cho số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z 33 Dạng Cho số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ w .46 Dạng Cho số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ điểm M biểu diễn cho số phức z đến hai điểm cố định 57 PHẦN III: KẾT LUẬN .65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Về nội dung mơn Tốn: Trong hệ thống kiến thức đưa vào chương trình giảng dạy cho học sinh THPT, nội dung quen thuộc mơn Tốn Số phức đưa vào chương trình Giải tích 12 Mục tiêu việc đưa nội dung số phức vào chương trình mơn tốn trường THPT hồn thiện hệ thống số khai thác số ứng dụng khác số phức Đại số, Hình học Lượng giác Số phức xuất từ thể kỷ XIX nhu cầu phát triển Toán học giải phương trình đại số Từ đời số phức thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Bài toán số phức tốn sử dụng nhiều kì thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng, …Đặc biệt toán cực trị số phức dạng toán khó chuyên đề số phức, đứng trước toán cực trị số phức, học sinh thường lúng túng đặt câu hỏi: “Phải định hướng tìm lời giải toán từ đâu?” Đối với HS bậc THPT số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng không nhiều, HS biết kiến thức số phức, việc khai thác toán cực trị số phức hạn chế, đặc biệt giải toán cực trị số phức phải sử dụng kiến thức hình học phẳng lượng giác vấn đề khó, địi hỏi HS phải có lực giải tốn định, biết vận dụng kiến thức đa dạng toán học Tuy nhiên dạy cho HS giỏi biết vận dụng linh hoạt kiến thức hình học phẳng để giải tốn cực trị số phức có tác dụng lớn việc bồi dưỡng lực giải toán cho HS, đồng thời giúp HS khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức bản, dạng tốn quen thuộc, giải số tốn khó, phức tạp chưa có thuật tốn Để đáp ứng điều địi hỏi GV phải có hiểu biết cần thiết, có cách nhìn sâu sắc cực trị Số phức Mặc dù SGK Giải tích 12 đưa số lượng tập cực trị số phức vào khơng nhiều Hơn nữa, qua tìm hiểu thực tế giảng dạy vấn đề đưa số phức trở thành cơng cụ giải toán cho HS chưa GV quan tâm coi trọng mức Vì vậy, thực tế yêu cầu cần phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán cực trị số phức Với ý định đó, tơi chọn đề tài: “Phát triển tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải tập cực trị số phức” II ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phần số phức số dạng toán cực trị số phức thuộc phân mơn Giải Tích 12 THPT III MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Góp phần giúp học sinh định hướng tốt trình giải tốn cực trị số phức IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu người dạy trọng đến việc trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức vững số phức, phân loại cách tương đối dạng toán cực trị số phức góp phần quan trọng cho học sinh luyện thi tuyển sinh vào Đại học V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu để xây dựng hệ thống tập khai thác dạng toán cực trị số phức - Đúc rút kinh nghiệm tham khảo ý kiến đóng góp thầy giáo đồng nghiệp VI ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI - Đã trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán cực trị số phức - Đã trọng triển khai hướng dẫn cho học sinh biết cách phân tích chất tốn số phức để có định hướng tốt q trình giải toán cực trị số phức - Đã tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn nhiều gốc độ, khai thác yếu tố ý nghĩa hình học số phức để tìm lời giải PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN Mơn Tốn đóng góp phần đáng kể trình phát triển tư duy, tư sáng tạo cho học sinh, “Tâm lý lực toán học học sinh” Krutecki V.A cho rằng: Năng lực toán học học sinh cần hiểu theo hai mức độ: Thứ nhất, lực việc học tốn nắm cách nhanh tốt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng giáo trình tốn học trường phổ thơng (năng lực học tập tái tạo) Thứ hai, lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo kết có giá trị loài người (năng lực sáng tạo khoa học) Vậy tư duy, tư sáng tạo làm để phát triển tư sáng tạo cho học sinh? Tư 1.1 Khái niệm tư Dưới góc độ giáo dục, hiểu tư hệ thống gồm nhiều ý tưởng, tức gồm nhiều biểu thị tri thức vật hay kiện Nó dùng suy nghĩ hay tái tạo suy nghĩ để hiểu hay giải việc Theo cách hiểu đơn giản nhất, tư loạt hoạt động não diễn có kích thích Những kích thích nhận thông qua giác quan năm giác quan: xúc giác, thị giác, thính giác, khứu giác hay vị giác 1.2 Đặc điểm tư Tư thuộc mức độ nhận thức lý tính nên có đặc điểm sau: a) Tính có vấn đề Vấn đề tình huống, hồn cảnh chứa đựng mục đích, vấn đề mà hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ cần thiết khơng đủ sức để giải b) Tính gián tiếp tư - Tính gián tiếp tư thể chỗ trình tư người sử dụng cơng cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy móc,…) để nhận thức đối tượng mà trực tiếp tri thức chúng - Tư thể qua ngơn ngữ c) Tính trừu tượng khái qt tư - Trừu tượng dùng trí óc để gạt bỏ mặt, thuộc tính, mối quan hệ thứ yếu không cần thiết giữ lại yếu tố cần thiết cho tư - Khái qt dùng trí óc để hợp đối tượng khác thành nhóm, loại, phạm trù theo thuộc tính, liên hệ quan hệ chung định d) Tư quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ Tư mang tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu tượng khái quát gắn chặt với ngơn ngữ Tuy ngơn ngữ có mối quan hệ mật thiết với Nếu khơng có ngơn ngữ q trình tư người diễn Đồng thời sản phẩm tư không chủ thể người khác tiếp nhận - Ngôn ngữ cố định lại kết tư duy, phương tiện biểu đạt lại kết tư duy, khách quan hóa kết tư cho người khác cho thân chủ thể tư Ngược lại, khơng có tư ngơn ngữ chuỗi âm vô nghĩa Tuy nhiên ngôn ngữ tư mà phương tiện tư e) Tư có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính - Tư phải dựa vào nhận thức cảm tính, kinh nghiệm, sở trực quan sinh động Tư thường nhận thức cảm tính, sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình có vấn đề Nhận thức cảm tính khâu mối quan hệ trực tiếp tư thức, sở khái quát kinh nghiệm dạng khái niệm, quy luật, chất liệu khái quát thực theo nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trình tư 1.3 Các giai đoạn tư Tư q trình hoạt động trí tuệ Nghĩa tư có nảy sinh diễn biến kết thúc Quá trình tư bao gồm bước bản: - Xác định vấn đề, biểu đạt thành nhiệm vụ tư Nói cách khác ta tìm câu hỏi cần giải đáp - Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết cách giải vấn đề, cách trả lời câu hỏi - Xác minh giả thiết thực tiễn, giả thiết qua bước sau, giả thiết sai phủ định hình thành giả thiết - Quyết định đánh giá kết đưa sử dụng Sơ đồ trình tư K.K.Platônôp xây dựng: Nhận thức vấn đề Xuất liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thiết Kiểm tra giả thiết Chính xác hóa Khẳng định Giải vấn đề Phủ định Hoạt động tư Như trình tư q trình hoạt động trí tuệ, có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào q trình tư cụ thể: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa 1.4 Các thao tác tư - Phân tích: Là q trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành phận, thành phần khác nhau; từ vạch thuộc tính, đặc điểm đối tượng nhận thức hay xác định phận tổng thể cách so sánh, phân loại, đối chiếu, làm cho tổng thể hiển minh - Tổng hợp: Là q trình dùng trí óc để hợp nhất, xếp hay kết hợp phận, thành phần, thuộc tính đối tượng nhận thức tách rời nhờ phân tích thành chỉnh thể để từ nhận thức đối tượng cách bao quát, toàn diện Trong tư duy, tổng hợp thao tác xem mang dấu ấn sáng tạo - So sánh: Là thao tác tư nhằm “xác định giống khác vật, tượng thực” Nhờ so sánh người ta tìm dấu hiệu giống khác vật Ngoài cịn tìm thấy dấu hiệu chất không chất thứ yếu chúng - Trừu tượng hóa: Là q trình dùng trí óc để gạt bỏ mặt, thuộc tính, mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, giữ lại yếu tố đặc trưng, chất đối tượng nhận thức - Khái qt hóa: Là q trình dùng trí óc để hợp nhiều đối tượng khác thành nhóm, loại theo thuộc tính, liên hệ, quan hệ chung, chất vật, tượng Kết khái qt hóa cho ta đặc tính chung hàng loạt đối tượng loại hay tạo nên nhận thức hình thức khái niệm, định luật, quy tắc Tư sáng tạo 2.1 Khái niệm tư sáng tạo Theo định nghĩa Từ điển sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề khơng bị gị bó phụ thuộc vào có Nội dung sáng tạo bao gồm ý chính: có tính (khác cũ, biết) có lợi ích (có giá trị cũ) Như sáng tạo cần thiết cho hoạt động xã hội loài người Khi bàn quan hệ khái niệm tư tích cực, tư độc lập tư sáng tạo, V.A.Krutexki cho biểu diễn quan hệ dạng vịng trịn đồng tâm Đó mức độ tư khác mà mức độ tư trước tiền đề cho mức độ tư sau Trong tư sáng tạo có tư tích cực tư độc lập, khơng phải tư tích cực tư độc lập tư độc lập tư sáng tạo Tư tích cực Tư độc lập Tư sáng tạo Chính điều quan trọng hệ thống tập cần phải khai thác sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư sáng tạo biểu mặt như: khả tìm bước (khả tìm nhiềuGiảikhác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết toán, xem xét kết khác tốn) Có thể nói đến tư sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh chưa biết 2.2 Đặc trưng tư sáng tạo - Tính mềm dẻo: Là khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác - Tính thục: Là thể khả làm chủ tư duy, làm chủ kiến thức, kỹ thể tính đa dạng cách xử lý, giải vấn đề - Tính độc đáo: Là khả tìm kiếm định phương thức lạ - Tính chi tiết: Là khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát ý tưởng, kiểm tra chứng minh ý tưởng Nó làm cho tư trở thành trình, từ chỗ xác định vấn đề cần giải quyết, huy động vốn kiến thức kinh nghiệm để sử dụng để giải đến cách giải quyết, kiểm tra kết Nghĩa ý tưởng sáng tạo phải thoát biến thành sản phẩm quan sát 2.3 Một số vấn đề dạy tư phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.3.1 Quan niệm “dạy tư duy” Dạy tư hay dạy người học tư làm cho người học biết cách để tư tốt, có kỹ để tư hiệu Thể chỗ họ biết tư biết vận dụng thành tố tư vào “chiến lược” giải vấn đề Dạy tư dạy cho người học vận dụng nhiều trạng thái tư vận dụng trạng thái tư cách có hiệu Với dạy tư duy, giáo viên người trung gian tạo nên xúc tác đưa học sinh môi trường học, xếp, tổ chức lại điều kiện nhằm cho tư học sinh hoạt động tư học sinh thiết lập thông qua rèn luyện có hướng dẫn giáo viên Tóm lại, dạy tư làm cho học sinh trở thành người tư tích cực hơn, cụ thể như: * Làm cho người học biết tư tốt học tập lẫn sống * Làm cho người học phát huy hết tiềm năng, mạnh thân mà tiềm năng, mạnh không bị thui chột khơng quan tâm phát triển * Làm cho người học khắc phục thiếu sót, hạn chế kỹ tư họ 2.3.2 Phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh a) Khái niệm phát triển Theo định nghĩa thông dụng, khái niệm “phát triển” hiểu “sự vận động tiến triển theo chiều hướng tăng lên”, “biến đổi làm cho biến đổi từ đến nhiều, vận động từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp” b) Phát triển số yếu tố tư sáng tạo Phát triển trí tuệ nói chung, tư sáng tạo nói riêng vấn đề phức tạp triết học, tâm lý học giáo dục học Ở phát triển tư sáng tạo xét góc độ giáo dục học Phát triển tư sáng tạo làm cho tư học sinh thể đặc trưng tư sáng tạo trình học tập Như vậy, thực chất phát triển tư sáng tạo cho học sinh việc phát triển lực sáng tạo trình học tập học sinh c) Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh tổ hợp tác động có định hướng chủ thể dạy giáo viên đến chủ thể học học sinh, tập trung vào trình học tập học sinh nhằm hình thành phát triển phẩm chất, đặc trưng tư sáng tạo học sinh, làm cho trình tư học sinh việc giải nhiệm vụ học tập thể nét đặc trưng tư sáng tạo Biện pháp chung nhóm biện pháp thường thể biện pháp cụ thể II CƠ SỞ KHOA HỌC Khái niệm số phức Số phức (dạng đại số) có dạng z a bi với a, b ��, a gọi phần thực, b gọi phần ảo, i đơn vị ảo, i 1 z số thực phần ảo số phức z b z số ảo phần thực số phức z a Số vừa số thực vừa số ảo a a� � a bi a� b� i�� b b� � Hai số phức Tập hợp số phức kí hiệu � ��� Biểu diễn hình học của số phức Mỗi số phức z a bi a, b �� xác định điểm M a; b mặt phẳng Oxy Ta có quan hệ tương ứng tập số phức với tập hợp điểm mặt phẳng Oxy Do mặt phẳng Oxy y b O a gọi mặt phẳng phức Tổng hai số phức, hiệu hai số phức i a a� a bi a� b� b b� i i a a� a bi a� b� b b� i Số đối số phức z a bi a, b �� a bi ta kí hiệu số đối số phức z� số phức z z Vậy z a bi Nhân hai số phức i aa� bb� b i a bi a� b� ab� a� k a bi ka kbi Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z a bi a, b �� z a bi số Ta chứng minh tính chất sau : �z � z z z; z �z� z �z� ; z z � z z � ; � � 2 �z� � z� ; z z a b z số thực z z ; z số ảo z z Môđun của số phức uuuu r OM a b Độ dài với M a; b điểm biểu diễn số phức z a bi a, b �� 2 gọi môđun số phức z a bi a, b �� , kí hiệu z a b z z.z z �0, z ��, z � z z.z� z z� ; z z ; z z��z �z��z z� z � z� Chia hai số phức Số nghịch đảo số phức z số phức z z 1 z z �0 z 1 1 thoả mãn z.z Kí hiệu z 1 z; z� z� z z � z z� z 1 z z z z z� w � z� w.z z Căn bậc hai của số phức w x yi x, y �� bậc hai số phức z a bi a, b �� �x y a w z�� �2 xy b - Số có bậc hai số w - Số z �0 có hai bậc hai đối w w - Hai bậc hai số thực a � a - Hai bậc hai số thực a �i a Az Bz C * A, B, C �, A Giải phương trình bậc hai 2 * Tính B AC , bậc hai B � 2A * �0 : pt(*) có hai nghiệm phân biệt B z 2A * : pt(*) có nghiệm (nghiệm kép) Chú ý: Nếu A, B, C hệ số thực, z nghiệm pt(*) z nghiệm pt(*) Như biết nghiệm pt bậc hai có hệ số thực ta biết nghiệm cịn lại z III THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Khảo sát thực trạng dạy học chủ đề số phức trường phổ thông Thực trạng nội dung dạy học chủ đề số phức lớp 12 Nội dung dạy học kiến thức số phức chương trình lớp 12 gồm 15 tiết, có tiết lý thuyết, tiết luyện tập tiết tự chọn bám sát §1 Số phức Kiến thức - Hiểu nhu cầu mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số phức - Hiểu khái niệm số phức, phần thực, phần ảo số phức - Biết biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ - Hiểu ý nghĩa hình học khái niệm mơđun số phức liên hợp Kỹ - Biết cách tìm phần thực, phần ảo số phức - Biết cách biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ - Biết cách tìm mơđun số phức liên hợp số phức §2 Cộng, trừ, nhân số phức Kiến thức - Hiểu cách xây dựng phép toán cộng, trừ nhân số phức từ phép toán cộng, trừ nhân biểu thức dạng a bi a, b ��, i 1 Kỹ - Biết thực thành thạo phép tính cộng, trừ, nhân số phức §3 Phép chia số phức 10 Ta có � z i z 2i � x 1 � y 3� � � x 1 x 3 2 y 1 x 3 � y 2 4� � � y 2 2 (1) � Số phức z 2i x y i có điểm biểu diễn M x; y mặt phẳng tọa độ Oxy Đặt A 1;3 ; B 3;4 từ (1) ta có AM � BM � (2) uuu r Mặt khác AB 2;1 � AB (3) Nên từ (2) (3) suy M �thuộc đoạn AB � Nhận thấy OAB tù ( quan sát hình vẽ ) Ta có M max z 2i OB ; m z 2i OA 10 , OM � B Vậy M m 10 ( chứng minh max, dựa vào tam giác OAM � tù A , M � ) Chọn đáp án B Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z 2i Tính M m 10 10 5 A B C 10 D 10 Giải ( Phương pháp hình học ) Gọi z x yi ( x, y ��) có điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) mặt phẳng tọa độ Oxy z i z 3i � x 2 y 1 x 2 y 3 � � x 1 1� y 1� x 1 3� y 1� � � � � � � � � � � � (1) � Số phức z 2i ( x 1) y i có điểm biểu diễn M x 1; y mặt phẳng tọa độ Oxy 2 2 BM � (2) Đặt A 1; 1 ; B 3;1 từ (1) ta có AM � 55 Mặt khác AB uuu r AB 4;2 � AB (3) Nên từ (2) (3) suy M �thuộc đoạn Ta có OA 2; OB 10 đường thẳng AB có phương trình x y � � Nhận thấy OAB OBA nhọn.( quan sát hình vẽ ) Ta có M max z 2i max OA, OB 10 m z 2i d (O; AB) Vậy M m 10 5 5 10 5 Chọn đáp án B Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i 53 Tìm giá trị lớn P z 2i MaxP A MaxP 53 B Giải ( Phương pháp hình học ) 185 C MaxP 106 D MaxP 53 Xét điểm A 1;1 ; B 8;3 ; AB 53 Suy điểm biểu diễn số phức z đoạn thẳng AB P z 2i MM � , với M điểm biểu diễn số phức z , M � điểm biểu diễn 1; 2 1 2i , M � số phức z� Phương trình đường thẳng AB là: 2 x y � 87 13 � M � ; � � 53 53 � Hình chiếu vng góc M � AB Ta có A nằm M B nên P MM �lớn MM lớn �M � B z 3i MaxP 106 Chọn đáp án C Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z 3i z 5i 10 Kí hiệu M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z i Tính M m 56 41 41 A B 697 C 41 D Giải ( Phương pháp xét hàm số ) Đặt w z i a bi z 3i z 5i 10 � z i 1 4i z i 4i 10 � w 4i w+5 4i 10 Do xét điểm M a; b , A 1;4 , B 5; 4 , ta có : 10 MA MB �AB 10 4a b 5 �a �1 Dấu xảy � M � AB , tức 4a 3b 25a 64a 64 �4a � w a b a � � � � Suy 2 25a 64a 64 25a 64a 64 � 32 � f� � m;max f 5 41 M 5;1 5;1 3 � 25 � 41 PM;m Chọn đáp án A Vì Qua ví dụ minh họa giáo viên yêu cầu học sinh phải biết tổng qt hóa tốn phương pháp giải cho tốn tổng qt z a1 b1i z a2 b2i 2a * Bài toán tổng quát Cho số phức z thỏa mãn , z c di z c di tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( tìm z để có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ) * Phương pháp giải tổng quát Điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) , từ giả thiết z a1 b1i z a2 b2i 2a A a1; b1 B a2 ; b2 với ; tương ứng điểm biểu diễn cho hai số phức a1 b1i ; a2 b2i , AB 2a Khi quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đoạn thẳng AB z c di MN , z c di Ta có với N c ; d , M � AB , đạt giá trị lớn nhất, nhỏ M di chuyển cho MN dài nhất, ngắn 2.4 Tập hợp H đường Elip * Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z z 4i 10 57 Giá trị nhỏ biểu thức P z 2i P 34 A P 17 B P 34 C P 10 D Giải Gọi z x yi ( x, y ��) có điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có z z 4i 10 � F1 1;0 ; F2 3;4 biểu diễn cho số phức 1;3 4i MF1 MF2 2a 10; F1F2 2c � MF1 MF2 F1F2 � a 5; c 2 Suy M chạy Elip có trục lớn 2a 10 , trục nhỏ 2b 25 17 Tâm Elip điểm I 1;2 trung điểm F1 F2 P z 2i x yi 2i x y i �P x 1 y x 1 y MI Vậy P � MI b 17 Chọn đáp án A Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z 3i z i Giá trị nhỏ P biểu thức P z 2i P A B P C P D P 39 Giải Gọi z x yi ( x, y ��) có điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: z 3i z i � F1 1; 3 ; F2 2;1 biểu diễn cho số phức 3i; i Ta có MF1 MF2 2a 8; F1F2 2c � MF1 MF2 F1F2 � a 4; c 2b 16 Suy M chạy Elip có trục lớn 2a , trục nhỏ �1 � I� ; 1� �là trung điểm F1 F2 Tâm Elip điểm � P z 2i z P 25 39 �1 � i z� i � MI �2 � � MI b 39 Vậy: P 39 Chọn đáp án D 58 Qua ví dụ minh họa giáo viên yêu cầu học sinh phải biết tổng qt hóa tốn phương pháp giải cho tốn tổng qt z a1 b1i z a2 b2i 2a * Bài tốn tởng qt Cho số phức z thỏa mãn , z c di z c di tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( tìm z để có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ) * Phương pháp giải tổng quát Điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) , từ giả thiết z a1 b1i z a2 b2i 2a F a ;b F a ;b với 1 ; 2 tương ứng điểm biểu diễn cho hai số phức a1 b1i ; a2 b2i , khoảng cách F1F2 2c với 2a F1F2 2c , quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường Elip E tiêu điểm F1 , F2 tương ứng �a a2 b1 b2 � �a a b b z �1 i � MI , I�1 2; 2 � � Ta có với � Elip E , z c di � , M � E � � , I tâm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ M di chuyển a a b b c di i E 2 cho MI dài nhất, ngắn nhất, với z c di z c di Vậy đạt giá trị lớn a ; đạt giá trị nhỏ b Dạng Cho sớ phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm M biểu diễn cho số phức z đến hai điểm cố định Phương pháp giải Để giải dạng tốn thơng thường ta có cách sau Cách - Dùng cơng thức đường trung tuyến z z1 z z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 - Dùng công thức: - Dùng bất đẳng Bunhiacôpski * Bất đẳng thức Bunhiacôpski Cho bốn số thực a, b, c, d ta ln có ab cd � a c b2 d � ab cd � a 2 2 z z z z 2z 2 c2 b2 d 59 a c b d Dấu xảy Cách ( Phương pháp xét hàm số ) *Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Giá trị lớn T z z A MaxT B MaxT 10 Giải *Cách Áp dụng công thức trung tuyến C MaxT D MaxT 11 z 1 z 1 z 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 T z 1� z 2 1 22 20 T Vậy MaxT Chọn đáp án A *Cách ( Phương pháp xét hàm số ) Gọi z x yi ( x, y ��) z � x2 y2 T z z x 1 yi x 1 yi T x 1 y2 y 1 y x 2 x 2 x y 1 ) ( f x x 2 x � f � x 2x 2 x Xét hàm số f� 2 x � x , x y � x � 1;1 � 3� f 1 2; f 1 4; f � � �5� Tính: Vậy MaxT Chọn đáp án A Ví dụ ( Đề minh họa 2018) Xét số phức z a bi a, b �� thỏa mãn điều kiện z 3i Tính P a b T z 3i z i đạt giá trị lớn A P 10 B P C P D P *Vẽ hình biểu thị cho tốn 60 *Phân tích toán Từ giả thiết z 3i � z 3i , học sinh phải nhận biết tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z đường tròn C có tâm I 4;3 bán kính R Biểu thức T z 3i z i � T z 1 3i z i T MA MB với A 1;3 ; B (1; 1) Vậy chất tốn tìm M � C cho T MA MB lớn Để giải dạng tốn dùng cơng thức trung tuyến để thay tổng khoảng cách từ M đến hai điểm A 1;3 ; B (1; 1) thành khoảng cách từ M đến điểm E trung điểm AB Bài tốn trở thành tìm M � C cho EM lớn nhất, Khi điểm M �C giao đường tròn C với đường thẳng EI Giải Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) Từ giả thiết, ta có z 3i � x y 3 Suy tập hợp M đường tròn C có tâm I 4;3 bán kính R 2 Khi T MA MB với A 1;3 ; B (1; 1) T MA2 MB 2MA.MB �2 MA2 MB Ta có Gọi E 0;1 trung điểm AB 61 MA2 MB AB ME Theo công thức đường trung tuyến 2 2 Do T �4ME AB , mà ME �CE EI R 16 Suy T �4 16 200 Với C giao điểm đường thẳng EI với đường tròn C �MA MB � M �C T � 10 Vậy Dấu xảy � � M 6;4 � a b 10 Chọn đáp án A Từ toán học sinh mở rộng toán tổng quát đưa lời giải cho tốn tổng qt * Bài tốn tởng quát Xét số phức z x yi ( x, y ��) thỏa mãn điều kiện z a bi R Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ * Phương pháp giải tổng quát T z c di z p qi z a bi R Điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) , từ giả thiết , M z học sinh phải nhận biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức đường trịn C có tâm I a; b bán kính R T z c di z p qi � T MA MB với A c; d ; B ( p; q ) Vậy chất tốn tìm M � C cho T MA MB lớn nhất, nhỏ Biểu thức Để giải dạng toán dùng công thức trung tuyến để thay tổng khoảng cách từ M đến hai điểm A c; d ; B ( p; q) thành khoảng cách từ M đến điểm E trung điểm AB Bài tốn trở thành tìm M � C cho EM lớn nhất, nhỏ Khi điểm M �C hai giao điểm tương ứng đường tròn C với đường thẳng EI z 2i z 2i 2 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Biết biểu thức Q z 4i z 6i z a bi a, b �� Tính P a 4b A P 2 B P 1333 272 đạt giá trị nhỏ C P 1 D P 691 272 62 *Vẽ hình biểu thị cho tốn *Phân tích tốn 2i z 2i 2 Từ giả thiết , học sinh phải nhận biết tập hợp điểm hợp điểm I x; y điểm biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) đường trung z �5 � �3 � A� ;2 � ; B� ; 2 � � � d có phương trình trực d đoạn thẳng AB với � � � x y Biểu thức Q z 4i z 6i � Q z 4i z 6i Q IM IN với M 2;4 ; N (4;6) Vậy chất tốn tìm I �d cho Q IM IN nhỏ Để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức hình học phẳng, M 2;4 ; N (4;6) nằm phía d , lấy điểm M đối xứng M qua d , I cần tìm giao đường thẳng d với đường thẳng M1 N Giải �5 � �3 � A� ;2 � ; B� ; 2 � � Tập hợp điểm I x; y điểm biểu diễn số phức Ta có � � � z 2i z 2i z x yi ( x, y ��) thỏa mãn điều kiện 2 đường trung trực d đoạn thẳng AB có phương trình x y 63 Xét hai điểm M 2;4 ; N 4;6 Q IM IN với I �d �58 28 � M1 � ; � 17 17 �là � Do Q nhỏ I giao điểm M N với điểm đối xứng với M qua d �62 24 � 62 24 62 24 I� ; � z i � a ;b � P a 4b 2 17 17 17 17 Vậy �17 17 �ứng với Chọn đáp án A *Nhận xét Từ toán học sinh mở rộng toán tổng quát đưa lời giải cho tốn tổng qt * Bài tốn tởng qt Xét số phức z x yi ( x, y ��) thỏa mãn điều kiện z a1 b1i z a2 b2i T z c di z p qi Tìm nhỏ * Phương pháp giải tổng quát Điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) , từ giả thiết z a1 b1i z a2 b2i suy quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z A a1; b1 B a2 ; b2 đường trung trực đoạn thẳng AB , với ; tương ứng điểm biểu diễn cho hai số phức a1 b1i ; a2 b2i T z c di z p qi � T MP MQ với P c; d ; Q ( p; q) Vậy chất toán tìm M � cho T MP MQ nhỏ Biểu thức Để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức hình học phẳng, xem xét P; Q nằm khác phía hay phía , P; Q nằm khác phía , I cần tìm giao đường thẳng với đường thẳng PQ , P; Q nằm phía , lấy điểm P1 đối xứng P qua , I cần tìm giao đường thẳng với đường thẳng PQ Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3i 13 P z i z 2i biểu thức giá trị nhất? A B đạt giá trị lớn P0 Khi P0 gần C 10 D Giải Gọi z x yi ( x, y ��) 64 z 3i 13 � ( x 2) ( y 3) 13 P z i z 2i x ( y 1)i x 1 (2 y )i 2 P x y 1 x 1 y x y 2 Khai thác giả thiết Ta biến đổi 2 ( x 2) ( y 3) 13 Cần tìm giá trị lớn P P x y 2 � x y 3 � � � Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức Q � y 3 � x � � � 1 12 � x 2 � 2 y Q� x y 3 � � � ta có: 3 � 26 � Q 26 P 26 Vậy gần với giá trị Chọn đáp án A Ví dụ ( Đề thi thử lần Chuyên Đại Học Vinh 2018) Gọi z1 , z2 hai số số phức thỏa mãn z1 z2 iz i z1 z2 Giá trị lớn A B C D Giải Gọi z x yi ( x, y ��) iz i � i x yi � y x 1 i � x 1 y 2 1 I 1; Suy tập hợp M đường tròn C tâm , bán kính R M1 , M hai điểm biểu diễn cho đường kính đường tròn z1 , z2 M M 2 MM thuộc C với Vậy P z1 z2 � P z1 z z1 z2 OM 12 OM 2 2OM 1.OM �2 OM 12 OM 2 OI M 1M 2 P2 4.3 16 P Vậy giá trị lớn z1 z2 Chọn đáp án A Ví dụ ( Đề thi thử lần Chuyên Phan Bội Châu 2018) Với z1 , z2 hai số phức thỏa mãn P z1 z2 A Giải Gọi M1 , M z1 z2 6i z1 z2 Giá trị lớn B 26 hai điểm biểu diễn cho C z1 , z2 53 với M 1M D 34 65 Ta có P z1 z2 OM OM � P z1 z2 z1 z2 OM 12 OM 2 2OM OM �2 OM 12 OM 2 P2 4.OI M 1M 2 P2 4.25 4.26 M 1M I 4;3 Với I trung điểm , P 26 Vậy giá trị lớn P z1 z2 26 Chọn đáp án B Ví dụ Xét số phức z thỏa mãn z 2i z i Gọi M , m GTLN, GTNN biểu thức P z z 3i A M 17 5; m B M 26 5; m C M 26 5; m *Vẽ hình biểu thị cho toán D M 17 5; m *Phân tích tốn Từ giả thiết z 2i z i , học sinh phải nhận biết tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) đoạn thẳng AB với A 3;2 ; B 3; 1 P z z 3i z 2 z 3i MC MD với C 2;0 ; D 1;3 ; Vậy chất tốn tìm M � AB cho P MC MD có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức hình học phẳng, xét thấy C , D nằm hai phía đoạn AB , điểm M thuộc đoạn AB ta ln có MC MD �CD , dấu xảy M , C , D thẳng hàng AC 5; BC 26; AD 5; BD , với điểm M thuộc đoạn AB ta ln có MD �BD; MC �BC � MC MD �BD BC , dấu xảy M �B 66 Giải z 2i z i � z 3 2i z i Ta có Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) ; A 3;2 ; B 3; 1 ; AB 36 45 , từ giả thiết MA MB AB Do M thuộc đoạn thẳng AB P z z 3i z 2 z 3i MC MD Biểu thức , với C 2;0 ; D 1;3 Vậy tìm M thuộc đoạn AB cho MC MD đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Xét thấy C , D nằm hai phía đoạn AB , điểm M thuộc đoạn AB ta ln có MC MD �CD , dấu xảy M , C , D thẳng hàng Vậy P CD m AC 5; BC 26; AD 5; BD , với điểm M thuộc đoạn AB ta ln có MD �BD; MC �BC � MC MD �BD BC 26 , dấu xảy M �B � max P 26 M Chọn đáp án B *Nhận xét Từ toán học sinh mở rộng toán tổng quát đưa lời giải cho tốn tổng qt * Bài tốn tởng qt Xét số phức z x yi ( x, y ��) thỏa mãn điều kiện z a1 b1i z a2 b2i 2a T z c di z p qi Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ * Phương pháp giải tổng quát Điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi ( x, y ��) , từ giả thiết z a1 b1i z a2 b2i 2a A a1; b1 B a2 ; b2 với ; tương ứng điểm biểu diễn cho hai số phức a1 b1i ; a2 b2i , AB 2a Khi quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đoạn thẳng AB T z c di z p qi � T MP MQ với P c; d ; Q ( p; q) Vậy chất tốn tìm M � AB cho T MP MQ có giá trị lớn nhất, Biểu thức nhỏ nhất; để giải dạng toán yêu cầu học sinh phải có kiến thức hình học phẳng, phải xét xem P, Q nằm hai phía hay phía đoạn AB 67 PHẦN III: KẾT LUẬN Qua việc phân loại dạng toán số phức dạng cực trị số phức mang lại hiệu học tập cao, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có kỹ giải toán tương tự, sở học sinh thể tự tin gặp tốn khó cực trị số phức Và điều phù hợp chương trình sách giáo khoa mới, tốt cho chuyên đề tự chọn học sinh Những chủ đề tự chọn học sinh vừa bám sát chương trình học – thi, vừa cung cấp cho em hệ thống tri thức phương pháp Qua q trình vận dụng đề tài giảng dạy tơi nhận thấy giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng toán số phức dạng cực trị số phức học sinh nâng cao khả tư tính sáng tạo giải toán, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ vai trò ý nghĩa phương pháp để giải toán cách sâu sắc cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi sở nắm vững phương pháp áp dụng vào tập phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh Qua số năm giảng dạy số phức tự đúc rút số kinh nghiệm thể qua đề tài với hy vọng bạn đọc thuận lợi việc tìm hiểu, làm quen sử dụng số phức để giải tốn phổ thơng, từ bạn đọc có điều kiện để rèn luyện tư học mơn tốn tốt Dù tài liệu học cịn ỏi chưa đa dạng, khai thác đề tài chưa thật đầy đủ ví dụ minh họa chưa thật đại diện cho dạng toán với nỗ lực mình, tơi hi vọng đề tài tơi giúp phần nhỏ cho quý thầy cô dạy ôn thi đại học Mặc dù tham khảo nhiều tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp nhằm kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian hạn chế Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu, nhược điểm cách dạy nội dung để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải dạng toán THPT Số phức – Lê Hồng Đức (Chủ biên) Phân dạng phương pháp giải tốn trắc nghiệm Số phức - Ơn thi THPT Quốc gia – Lê Hồnh Phị (Chủ biên) Chuyên đề ứng dụng Số phức giải toán THPT – Võ Thanh Văn ( Chủ biên) Chinh phục dạng tập trắc nghiệm Hàm số - Số phức Theo định hướng Bộ Giáo dục đào tạo – Trần Minh Tiến ( Chủ biên ) Phương pháp hay giải toán Đại số Số phức – Nguyễn Ngọc Thu Tạp chí Tốn học tuổi trẻ SGK Giải tích 12 Cơ – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) SGK Giải tích 12 Nâng cao – Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) Chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông 10.Các tài liệu từ Internet 69 ... sáng tạo cho học sinh việc phát triển lực sáng tạo trình học tập học sinh c) Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh Biện pháp phát triển số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh tổ... lý học giáo dục học Ở phát triển tư sáng tạo xét góc độ giáo dục học Phát triển tư sáng tạo làm cho tư học sinh thể đặc trưng tư sáng tạo trình học tập Như vậy, thực chất phát triển tư sáng tạo. .. phương pháp suy luận giải toán cực trị số phức Với ý định đó, tơi chọn đề tài: ? ?Phát triển tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải tập cực trị số phức? ?? II ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN