Các bài toán cực trị dạng karamata trong lớp hàm khả vi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠIăH CăĐÀăN NG HUỲNHăTHỊăTHANHăDIỆU CÁCăBÀIăTOÁNăCỰCăTRỊăDẠNGă KARAMATAăTRONGăL PăHÀMăKHẢăVI LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C ĐàăN ngă- N mă2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠIăH CăĐÀăN NG HUỲNHăTHỊăTHANHăDIỆU CÁCăBÀIăTỐNăCỰCăTRỊăDẠNGă KARAMATAăTRONGăL PăHÀMăKHẢăVI Chun ngành: Phươngăphápătốnăsơăcấp Mãăsố:ă60.46.40 LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C Ngườiăhư ngăd năkhoaăh c:ăGS.TSKH NGUYỄNăV NăM U ĐàăN ngă- N mă2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng năm 2015 Học viên Huỳnh Thị Thanh Diệu i MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LỒI (LÕM) VÀ TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ HÀM LỒI (LÕM) KHẢ VI 1.1.1 Định nghĩa hàm số lồi (lõm) khả vi 1.1.2 Tính chất hàm số lồi (lõm) khả vi 1.2 4 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ HÀM TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI 11 1.2.1 Định nghĩa hàm số tựa lồi (lõm) khả vi 11 1.2.2 Tính chất hàm số tựa lồi (lõm) khả vi 12 1.3 BIỂU DIỄN HÀM LỒI (LÕM) VÀ TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI 13 1.3.1 Biểu diễn hàm lồi (lõm) khả vi 13 1.3.2 Biểu diễn hàm tựa lồi (lõm) khả vi 14 1.4 HÀM ĐƠN ĐIỆU LIÊN TIẾP 15 CHƯƠNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG KARAMATA VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 16 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA BẤT ĐẲNG THỨC ĐAN DẤU MỘT SỐ ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG ĐỐI VỚI HÀM LỒI 2.4 CÁC ĐỊNH LÍ DẠNG KARAMATA 2.1 2.2 2.3 16 20 22 30 ii MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG 38 2.6 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 43 2.5 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ DẠNG KARAMATA TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC 46 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC 3.2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP LƯỢNG GIÁC 3.3 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP CHỨA CĂN THỨC 3.4 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP MŨ VÀ LOGARIT 3.1 HÀM 46 HÀM 49 HÀM 55 HÀM 56 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức phận quan trọng giải tích đại số Có nhiều dạng tốn hình học, lượng giác nhiều mơn học khác địi hỏi cần giải vấn đề cực trị tối ưu Rất nhiều học sinh sinh viên gặp khó khăn phải đối mặt với vấn đề Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực tốn liên tục, lí thuyết rời rạc, lí thuyết phương trình Trong hầu hết thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán khu vực hay quốc tế toán bất đẳng thức hay đề cập thường thuộc loại khó khó Các tốn ước lượng tính giá trị cực trị tổng, tích tốn xác định giới hạn số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến tính tốn ước lượng tương ứng Lí thuyết bất đẳng thức đặc biệt, tập bất đẳng thức phong phú đa dạng Có nhiều ý tưởng cách tiếp cận khác để giải toán Với đề tài “ Các toán cực trị dạng Karamata lớp hàm khả vi” tơi trình bày cách khái qt bất đẳng thức Karamata đồng thời đưa số dạng tốn giải bất đẳng thức Karamata Mục đích nghiên cứu Đề tài “Các tốn cực trị dạng Karamata lớp hàm khả vi” nghiên cứu với mục đích hệ thống hóa lại kiến thức bất đẳng thức Karamata toán cực trị dạng Karamata lớp hàm khả vi Đối tượng phạm vi nghiên cứu − Đối tượng nghiên cứu: tài liệu bất đẳng thức Karamata, hàm lồi (lõm), tựa lồi (lõm) khả vi, số toán cực trị dạng Karamata đại số lượng giác − Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, bạn học viên lớp, tài liệu sưu tầm được, đồng thời sử dụng trang wed như: diendantoanhoc.net, math.vn, Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ xếp trình bày cách có hệ thống khai thác ứng dụng theo đề tài chọn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu bất đẳng thức Karamata, số ứng dụng bất đẳng thức Karamata đại số lượng giác Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường Trung học Phổ thông Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương Các tính chất hàm số lồi (lõm) tựa lồi (lõm) khả vi 1.1 Định nghĩa tính chất hàm lồi (lõm) khả vi 1.2 Định nghĩa tính chất hàm số tựa lồi (lõm) khả vi 1.3 Biểu diễn hàm lồi (lõm) tựa lồi (lõm) khả vi 1.4 Hàm đơn điệu liên tiếp Chương Các bất đẳng thức dạng Karamata số toán liên quan 2.1 Bất đẳng thức Karamata 2.2 Bất đẳng thức đan dấu 2.3 Một số định lý mở rộng hàm lồi 2.4 Các định lý dạng Karamata 2.5 Một số tập áp dụng 2.6 Bài toán tương tự Chương Các toán cực trị dạng Karamata đại số lượng giác 3.1 Các toán cực trị lớp hàm đa thức 3.2 Các toán cực trị lớp hàm lượng giác 3.3 Các toán cực trị lớp hàm chứa thức 3.1 Các toán cực trị lớp hàm mũ logarit Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LỒI (LÕM) VÀ TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI Chương trình bày khái niệm, tính chất hàm số lồi (lõm) tựa lồi (lõm) khả vi Chương tham khảo tài liệu [4] , [5] 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ HÀM LỒI (LÕM) KHẢ VI Ta ký hiệu I (a, b) tập hợp có bốn dạng tập hợp sau:(a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b] 1.1.1 Định nghĩa hàm lồi (lõm) khả vi Định nghĩa 1.1 Hàm số f (x) gọi hàm lồi (lồi ) tập I (a, b) ⊂ R với x1 , x2 ∈ I (a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) (1.1) Nếu dấu đẳng thức (1.1) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực (chặt) I (a, b) Hàm số f (x) gọi hàm lõm (lồi ) tập I (a, b) ⊂ R với x1 , x2 ∈ I (a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ) (1.2) Nếu dấu đẳng thức (1.2) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lõm thực (chặt) I (a, b) Về sau, ta thường quan tâm nói nhiều đến tính chất hàm lồi I (a, b) 1.1.2 Tính chất hàm lồi (lõm) khả vi Tính chất 1.1 Nếu f (x) lồi (lõm) I (a, b) g (x) := cf (x) hàm lõm (lồi) I (a, b) c < (c > 0) Tính chất 1.2 Tổng hữu hạn hàm lồi đoạn I (a, b) hàm lồi I (a, b) Các tính chất dễ dàng nhận thấy Tính chất 1.3 Nếu f (x) hàm số liên tục lồi I (a, b) g (x) lồi đồng biến tập giá trị f (x) g (f (x)) hàm lồi I (a, b) Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, f (x) hàm số liên tục I (a, b) nên tập giá trị tập dạng I (c, d) ⊂ R Theo giả thiết f (x) hàm lồi I (a, b) nên với x1 , x2 ∈ I (a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) Từ giả thiết g (x) hàm số đồng biến, ta nhận g [f (αx1 + βx2 )] ≤ g [αf (x1 ) + βf (x2 )] (1.3) Do g (x) hàm lồi nên g [αf (x1 ) + βf (x2 )] ≤ αg [f (x1 )] + βg [f (x2 )] (1.4) Từ (1.3) (1.4) suy g [f (αx1 + βx2 )] ≤ αg [f (x1 )] + βg [f (x2 )] Vậy g [f (x)] hàm lồi I (a, b) Tính chất 1.4 i Nếu f (x) hàm số liên tục lõm I (a, b) g (x) lồi nghịch biến tập giá trị f (x) g (f (x)) hàm lồi I (a, b) ii Nếu f (x) hàm số liên tục lõm I (a, b) g (x) lõm đồng biến tập giá trị f (x) g (f (x)) hàm lõm I (a, b) iii Nếu f (x) hàm số liên tục lồi I (a, b) g (x) lõm nghịch biến tập giá trị f (x) g (f (x)) hàm lõm I (a, b) Tính chất 1.5 Nếu f (x) hàm số liên tục đơn điệu thực (đồng biến nghịch biến) I (a, b) g (x) hàm ngược f (x) ... 3.1 Các toán cực trị lớp hàm đa thức 3.2 Các toán cực trị lớp hàm lượng giác 3.3 Các toán cực trị lớp hàm chứa thức 3.1 Các toán cực trị lớp hàm mũ logarit Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG CÁC... văn Các toán cực trị dạng Karamata lớp hàm khả vi đề cập đến vấn đề sau đây: Biểu diễn lớp hàm số lồi (lõm) tựa lồi (lõm) khả vi Các bất đẳng thức dạng Karamata tập liên quan Các toán cực trị dạng. .. SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC 46 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC 3.2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP LƯỢNG GIÁC 3.3 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP CHỨA CĂN THỨC