Moi lien he giua kha vi manh va kha vi yeu

[r]

Chứng minh ánh xạ f khả vi Frechet x0thì f khả vi Gâteaux x Nhưng điều ngược lại không

Chứng minh

Giả sử X,Y không gian định chuẩn trường  ánh xạ f : X Y khả vi Frechet điểm x0X. Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục A : X Y sao cho với h X mà h  0 ta có biểu diễn

0 0

f (x h) f (x ) A(h)   (x ,h), với

0 h

(x ,h)

lim

h 





Ta lấy tuỳ ý h1X t  t 0lim th



Do

 

0 1 1

t 1

(x ,th ) f (x th ) f (x ) A(th ) (x ,th ), h X, t \ ,t 0; lim

th 



          

Vì A ánh xạ tuyến tính nên A(th ) tA(h ).1  Suy ra

0 1

0

1 1

t t t 1

(x ,th ) (x ,th ) f (x th ) f (x )

lim A(h ) lim lim h h 0, h X,

t t th

  

 

 

      

chứng tỏ f khả vi Gâteaux x0và lúc đạo hàm Gâteaux đạo hàm Frechet f x0 trùng nhau.

Ngược lại, ánh xạ f khả vi Gâteaux x0nhưng chưa khả vi Frechet tại điểm Ta lấy ví dụ sau để minh hoạ

Xét ánh xạ f :2  cho công thức

4

12

0 (x, y) (0,0)

f (x, y) x y

khi (x, y) (0,0)

x y

 

 

 

Lấy tuỳ ý h (h ,h ) 2, t\ 0  xét ánh xạ tuyến tính liên tục

: , (x, y)

      Ta có

1 2 4

1 2

1 12

1

0 (h ,h ) (0,0)

f (th ,th ) t h h

khi (h ,h ) (0,0)

t h h

        Nên 2

t t

f (th ,th ) f (th ,th ) f (0,0)

lim (h) lim 0, h ,

t t

 



      

tức f(x, y) khả vi Gâteaux x0 (0,0) 2, đạo hàm Gâteaux có điểm 

Giả sử f(x, y) khả vi Frechet x0 (0,0) 2, tức tồn ánh xạ tuyến tính liên tục A :2  cho với h (h ,h ) 2, h  0 ta có biểu diễn

1

f (h ,h ) f (0,0) A(h)   (x ,h), với

0 h (x ,h) lim h   

Suy f (h) f (h ,h )1 A(h) (x ,h)0 A h  (x ,h)0 c h h 

(c số khơng âm, lưu ý

0 h (x ,h) lim h   

nên h 

(x ,h) h 

bị chặn) Từ dẫn tới f (h)

h bị chặn với h2, h  (*)

Bây ta chọn h (2 ,2 n 2n)2 \ (0,0) ,n  , hiển nhiên h 

n + Lúc

f (h)