Đang tải... (xem toàn văn)
Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm, chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị t[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ – CON LẮC LÒ XO ♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP
♦ Phương pháp:
1 Định nghĩa: Con lắc lò xo hệ thống gồm lị xo có độ cứng k, có khối lượng khơng đáng kể, đầu cố định, đầu cịn lại gắn với vật nặng có khối lượng m đặt theo phương ngang phương thẳng đứng
- Phương trình dao động lắc lị xo: x Acos t với
k m
- Chu kì dao động lắc lò xo:
m T
k
- Lực gây dao động điều hịa lắc lị xo ln hướng vị trí cân gọi lực kéo hay lực hồi phục Lực kéo có độ lớn tỉ lệ với li độ lực gây gia tốc cho vật dao động điều hòa
- Lực kéo về: Fkx m x2 2 Năng lượng lắc lị xo: • Động năng:
2 2 2
đ
1 cos t
1 1
W mv m A sin t m A
2 2
• Thế năng:
2 2 2
t
1 cos t
1 1
W kx m A cos t m A
2 2
Nhận xét: Động lắc lò xo (hay vật dao động điều hịa) biến thiên điều hịa tần số góc ' , tần số f ' 2f , chu kì
T T'
2
• Cơ năng:
2 2
đ t
1
W W W m A kA
2
hằng số Nhận xét:
- Cơ lắc lò xo tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động - Cơ lắc lị xo bảo tồn bỏ qua ma sát
3 Đối với lò xo treo:
• Độ biến dạng lị xo vật VTCB: mg
k
• Chiều dài lị xo VTCB: CB
(với ℓ
0 chiều dài tự nhiên lị xo) • Chiều dài lớn lò xo (ứng với vật vị trí thấp nhất):
max A CB A
• Chiều dài nhỏ lị xo (ứng với vật vị trí cao nhất):
min A CB A
(2)max
CB 2
• Khi A (với Ox hướng xuống) xét chu kì dao động: - Thời gian lò xo nén, tương ứng với vật từ M1 đến M2 - Thời gian lò xo dãn, tương ứng với vật từ M2 đến M1 ♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định đại lượng thường gặp dao động lắc lò xo:
Ví dụ 1: Con lắc lị xo gồm vật có khối lượng m = 200 g lị xo có độ cứng k = 50 N/m Tính chu kì dao động lắc lị xo Lấy 2 10.
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động lắc lò xo:
2
m 0,2
T 2 .10 2 .10 0,4 s
k 50
Ví dụ 2: Một lắc lò xo dao động với chu kì 0,5 s, khối lượng nặng m = 400 g Lấy 2 10 Tính độ cứng lò xo ?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2
m m m 4.10.0,4
T T k 64 N/m
k k T 0,25
Ví dụ 3: Một lắc lị xo dao động thẳng đứng Vật có khối lượng m = 200 g Trong 20 s lắc thực 50 dao động tồn phần Tính độ cứng lò xo Lấy 2 10
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động lắc lị xo:
t 20
T 0,4 s
n 50
Mặt khác:
2
2
m m m 4.10.0,2
T T k 50 N/m
k k T 0,4
Ví dụ 4: Một lắc lị xo treo thẳng đứng, kích thích cho lắc dao động theo phương thẳng đứng Chu kì biên độ dao động lắc 0,4 s cm, chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O vị trí cân bằng, gốc thời gian t = lúc vật qua vị trí cân theo chiều dương Lấy g 10 m/s 2 2 Thời gian ngắn kể từ lúc t = đến lực đàn hồi lị xo có độ lớn cực tiểu ?
Hướng dẫn giải:
Tại vị trí cân bằng:
m mg k
k g
2
2
m T g 0,4 10
T 2 0,04 m cm
k g 4.10
(3) A
x A 4 cm
2
Thời gian ngắn lúc vật qua VTCB theo chiều dương đến lực đàn hồi lị xo có độ lớn cực tiểu là:
T T T 7T 7.0,4 2,8 28
t s
4 12 12 12 12 120 30
Dạng 2: Viết phương trình dao động lắc lò xo. ♦ Phương pháp:
- Sử dụng số phương pháp giải giống dao động điều hòa vật phần
- Tìm ω:
k g
m
• Một số kết luận chung để giải nhanh tập trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động điều hịa:
- Nếu kéo vật khỏi VTCB khoảng thả nhẹ khoảng cách biên độ dao động
- Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì:
+ Nếu kéo vật theo chiều dương 0 + Nếu kéo vật theo chiều âm
- Nếu từ VTCB truyền cho vật vận tốc dao động điều hịa vận tốc vận tốc cực đại,
max v A
.
- Chọn gốc thời gian lúc truyền cho vật vận tốc
chiều truyền vận tốc chiều với chiều dương,
chiều truyền vận tốc ngược chiều dương Ví dụ 5: Con lắc lị xo treo thẳng đứng gồm vật có khối lượng 100 g lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 40 N/m Kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía cách vị trí cân cm thả nhẹ cho vật dao động điều hòa Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương chiều vật bắt đầu chuyển động, gốc thời gian lúc thả vật Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
k 40
400 20 rad/s
m 0,1
Chọn t = lúc x A5 cm , đó:
x
cos
A
(4)Ví dụ 6: Một lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 400 g, lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 40 N/m Kéo vật nặng khỏi vị trí cân cm thả nhẹ Chọn chiều dương chiều với chiều kéo vật, gốc thời gian lúc thả vật Viết phương trình dao động vật
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
k 40
100 10 rad/s
m 0,4
Chọn t = lúc x = A = (cm), đó:
4 4cos cos 1
Vậy phương trình dao động vật là: x 4cos10t (cm)
Ví dụ 7: Một lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g dao động trục Ox với chu kì 0,2 s chiều dài quỹ đạo 40 cm Viết phương trình dao động lắc Chọn gốc thời gian lúc lắc qua vị trí cân theo chiều âm
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
2
10 rad/s T 0,2
Biên độ dao động: L 40
A 20 cm
2
Chọn t = lúc x = v < 0, đó:
0 Acos cos
Asin sin
Vậy phương trình dao động vật là:
x 20cos 10 t
(cm)
Ví dụ 8: Một lắc lị xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m gắn vào lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương từ xuống Kéo vật nặng xuống phía cách vị trí cân cm truyền cho vận tốc 20 2 cm/s theo chiều
từ xuống vật nặng dao động điều hòa với tần số Hz Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động Cho g = 10 m/s2 = π2 Viết phương trình dao động vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t Ta có: 2 f 2 rad/s
Từ công thức liên hệ:
2
2 2
2 2
2
2
20
v v
A x A x 50 50 10 cm
4
(5)Chọn t = lúc x cm v 20 cm/s 2, đó:
cos
5 10cos 2
4
4 10.sin 20 2
sin
2
Vậy phương trình dao động vật là:
x 10cos t
(cm)
Ví dụ 9: Một lị xo có độ cứng 50 N/m đặt nằm ngang, đầu cố định vào tường, đầu cịn lại gắn vào vật có khối lượng 500 g Kéo vật khỏi vị cân đoạn
x cm truyền cho vật vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương Viết phương
trình dao động vật
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
k 50
100 10 rad/s
m 0,5
Từ hệ thức độc lập:
2 2
2 2
2 2
v v 10
A x A x 3 cm
10
Chọn t = lúc x cm v = 10 cm/s, đó:
cos
3 2cos 2
6
10.2.sin 10
sin
2
Vậy phương trình dao động vật là:
x 2cos 10t
(cm)
hoặc:
5 x 2cos 10t
6
(cm)
Dạng 3: Bài toán liên quan đến động năng, lắc lò xo. ♦ Phương pháp:
Để tìm đại lượng liên quan đến lượng lắc, ta viết biểu thức liên quan đến đại lượng biết đại lượng cần tìm, từ suy đại lượng cần tìm ♦ Các cơng thức:
• Thế năng:
2 2
t
1
W kx kA cos t
2
• Động năng:
2 2 2
đ
1 1
W mv m A sin t kA sin t
2 2
(6)Nhận xét: Thế động lắc lị xo biến thiên tuần hồn tần số góc ' tần số f ' 2f chu kì
T T '
2
• Trong chu kì dao động có lần động (hay nói cách khác có vị trí quỹ đạo) nên khoảng thời gian liên tiếp hai lần động
T 4. • Cơ năng:
2 2 2
đ t
1 1
W W W mv kx m A kA
2 2
hằng số
Ví dụ 10: Một lắc lị xo có biên độ dao động cm, có tốc độ cực đại m/s cơ J Tính độ cứng lị xo, khối lượng vật nặng tần số dao động lắc
Hướng dẫn giải:
Lưu ý: áp dụng cơng thức tính động năng, đại lượng đổi hệ SI
Từ cơng thức tính năng:
2
2 2
1 2W 2.1
W kA k 800 N/m
2 A 5.10 25.10
Từ công thức:
2
max 2
max
800 5.10
k kA
v A A m kg
m v
1 k 800
f 3,18 Hz
2 m 2
Ví dụ 11: Một lắc lị xo có độ cứng 150 N/m có lượng dao động 0,12 J. Khi lắc có li độ cm vận tốc m/s Tính biên độ chu kì dao động lắc
Hướng dẫn giải:
Năng lượng dao động lắc năng:
1 2W 2.0,12
W kA A 0,04 m cm
2 k 150
Từ hệ thức độc lập:
2 2
2
2 2 2
v v 100 100 50
A x rad/s 28,87 rad/s
A x 2 3
Chu kì dao động:
2
T s 0,22 s
50 25
3
(7)Hướng dẫn giải:
Chiều dài quỹ đạo:
L 40
L 2A A 20 cm
2
Từ cơng thức tính chu kì:
2
m m 4.10.0,05
T k 50 N/m
k T 0,2
Cơ lắc:
2
1
W kA 50 0,2 J
2
Ví dụ 13: Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 100 N/m Kéo vật nặng xuống phía cách vị trí cân cm truyền cho vận tốc 20 2 cm/s vật dao động
điều hịa với tần số Hz Cho g = 10 m/s2 = π2 m/s2 Tính khối lượng vật nặng cơ lắc
Hướng dẫn giải:
Từ công thức tính tần số: 2
1 k k 100
f m 0,625 kg 62,5 g
2 m f 4.10.2
mà: 2 f 2 rad/s Từ hệ thức độc lập:
2
2 2
2
2
20 v
A x 50 50 100 A 10 cm 0,1 m
4
Cơ lắc:
2
1
W kA 100 0,1 0,5 J
2
Ví dụ 14: Một lắc lò xo dao động điều hòa Biết lò xo có độ cứng 36 N/m vật nhỏ có khối lượng 100 g Lấy 2 10 Xác định chu kì tần số biến thiên tuần hồn động lắc
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động lắc:
2
m 0,1
T 2 0,1 s
k 36
Tần số dao động lắc:
1
f Hz
1 T
3
Vậy: chu kì dao động động năng:
T 3
T ' s
2
(8)Ví dụ 15: Một lắc lị xo gồm vật nhỏ có khối lượng 50 g Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình x Acos t Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s động
năng vật lại Lấy 2 10 Tính độ cứng lị xo.
Hướng dẫn giải:
Trong chu kì có lần động vật nhau, khoảng thời gian hai lần liên tiếp động vật lại
T .
T
t T 4t 4.0,05 0,2 s
mà:
2
m m 4.10.0,05
T k 50 N/m
k T 0,2
Ví dụ 16: Một lắc lò xo gồm lò xo nhẹ vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s Biết rắng động vật vận tốc vật có độ lớn 0,6 m/s Xác định biên độ dao động lắc
Hướng dẫn giải:
Cơ vật: W W đ Wt mà: Wđ Wt nên
2 2 2
đ
1 m
W 2W kA mv A 2v 2v
2 k
v 0,6
A 2 0,06 m cm
10
Dạng 4: Tìm độ biến dạng cực đại, cực tiểu, chiều dài lò xo cực đại, cực tiểu vật dao động.
♦ Phương pháp:
ℓ0: chiều dài tự nhiên lò xo (chiều dài lò xo chưa biến dạng) • Khi lị xo nằm ngang:
- Chiều dài cực đại lò xo: ℓmax = ℓ0 + A - Chiều dài cực tiểu lò xo: ℓmin = ℓ0 – A • Khi lị xo treo thẳng đứng:
- Chiều dài vật vị trí cân bằng: ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ
- Chiều dài cực đại lò xo: ℓmax = ℓcb + A = ℓ0 + ∆ℓ + A - Chiều dài cực tiểu lò xo: ℓmin = ℓcb + A = ℓ0 + ∆ℓ – A
Ví dụ 17: Một lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hịa với chu kì 0,4 s, biên độ cm, chưa treo vật lò xo dài 44 cm Lấy g = π2 m/s2 Xác định chiều dài cực đại và cực tiểu lò xo trình vật dao động
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2
T rad/s
T 0,4
Tại vị trí cân bằng:
2
mg g
mg k 0,04 m cm
k
(9)- Chiều dài cực đại lò xo: max 0 A 44 54 cm - Chiều dài cực tiểu lò xo: min 0 A 44 42 cm
Ví dụ 18: Một lị xo có độ cứng 25 N/m Một đầu lò xo gắn vào điểm O cố định. Treo vào đầu cịn lại lị xo hai vật có khối lượng 100 g 60 g Tính độ dãn lị xo vật vị trí cân tần số góc dao động Lấy g = 10 m/s2.
Hướng dẫn giải:
Tại VTCB:
1
1
m m g 0,16.10
m m g k 0,064 m 6,4 cm
k 25
Ta có:
1
k 25
12,5 rad/s
m m 0,16 0,4
Dạng 5: Xác định lực tác dụng cực đại, cực tiểu tác dụng lên vật lên điểm treo của lò xo.
♦ Phương pháp:
1 Lực hồi phục (Lực tác dụng lên vật): Đối với lò xo nằm ngang. - Lực hồi phục Fkx ma (ln hướng vị trí cân bằng).
Độ lớn: F k x m x
- Lực hồi phục đạt giá trị cực đại: Fmax kA (khi vật qua vị trí biên x A).
- Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu: Fmin 0 (khi vật qua VTCB x = 0) 2 Lực tác dụng lên điểm treo lò xo (Đối với lò xo treo thẳng đứng):
- Lực tác dụng lên điểm treo lò xo hợp lực lực đàn hồi Fđh
trọng lực P
đh F F P
Độ lớn: F k x
- Độ dãn lò xo vật VTCB:
mg g
mg k
k
- Lực cực đại tác dụng lên điểm treo là: Fmax k A - Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo là:
+ Nếu A thì: Fmin k A + Nếu A thì: Fmin 0
Ví dụ 19: Một lắc lị xo gồm nặng có khối lượng 100 g, lị xo có độ cứng là 100 N/m, khối lượng không đáng kể, treo thẳng đứng Cho lắc dao động với biên độ cm Lấy g = 10 m/s2 2 10 Xác định tần số tính lực đàn hồi cực đại cực tiểu trình vật dao động
(10)Ta có:
k 100
10 rad/s
m 0,1
10
2 f f Hz
2
Tại VTCB:
2
mg g 10
0,01 m cm A
k 10 100
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k A 100 0,01 0,05 6 N - Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin 0
Ví dụ 20: Một lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu có vật m dao động với biên độ 10 cm tần số Hz Tính tỉ số lực đàn hồi cực tiểu lực đàn hồi cực đại lị xo q trình vật dao động Lấy g = 10 m/s2 2 10.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2 f 2 rad/s
2
mg g 10
0,25 m 25 cm A
k
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k A - Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin k A
Vậy tỉ số lực đàn hồi cực tiểu lực đàn hồi cực đại lị xo q trình vật dao động là:
min max
k A
F A 25 10 35
F k A A 25 10 15
Ví dụ 21: Một lắc lị xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g Kích thích cho lắc dao động theo phương thẳng đứng thấy lắc dao động điều hịa với tần số 2,5 Hz q trình vật dao động, chiều dài lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm Xác định chiều dài tự nhiên lị xo tính lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu trình vật dao động Lấy g = 10 m/s2 2 10.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2 f 2,5 rad/s
Tại VTCB:
2
mg g 10
0,04 m cm
k 25
Chiều dài lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm tức min 20 cm max 24 cm
max 24 20
A cm
2
Mặt khác:
max A max A 24 18 cm
(11)Hoặc sử dụng cơng thức min suy 0 2
k
k m 0,1 25 N/m
m
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k A 25 0,04 0,02 1,5 N - Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin k A 25 0,04 0,02 0,5 N
Ví dụ 22: Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm và độ cứng 100 N/m, vật nặng có khối lượng 400 g Kéo vật nặng xuống phía cách vị trí cân cm thả nhẹ cho lắc dao động điều hòa Lấy
2
g 10 m/s Xác
định độ lớn lực đàn hồi lò xo vật vị trí cao thấp quỹ đạo
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
k 100 100.10 100 10
5 rad/s
m 0,4 4
Tại VTCB:
2
mg g 10
0,04 m cm A
k 25
- Độ biến dạng lò xo vật vị trí cao nhất: A Vậy lực đàn hồi lị xo vật vị trí cao là:
cn
F k A 100 0,06 0,04 2 N
- Lực đàn hồi lị xo vật vị trí thấp nhất:
tn
F k A 100 0,04 0,06 10 N
Dạng 6: Sự thay đổi chu kì T, tần số f lắc lò xo thay đổi vật nặng. ♦ Phương pháp:
- Cho lị xo có độ cứng k
• Gắn vật m1 vào lò xo k ta chu kì dao động là:
2
1
1
m m
T T
k k
• Gắn vật m2 vào lị xo k ta chu kì dao động là:
2
2
2
m m
T T
k k
• Gắn vào lị xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng m1m2 chu kì dao động là:
2 2 2
1 2 2
m m m m m m m m
T T 4 4
k k k k k k
2 2
1
T T T
• Gắn vào lị xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng m1 m2 với m1m2 chu kì dao động là:
2 2 2
1 2 2
m m m m m m m m
T T 4 4
k k k k k k
(12)2 2
T T T
Ví dụ 23: Một lị xo có độ cứng k gắn với vật nặng m1 có chu kì dao động T1 = 1,8 s Nếu gắn lị xo với vật nặng m2 chu kì dao động T2 = 2,4 s Tìm chu kì dao động gắn đồng thời hai vật vào lò xo
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức trên:
2 2 2 2
1 2
T T T T T T 1,8 2,4 3 s
Ví dụ 24: Viên bi có khối lượng m1 gắn vào lị xo k hệ dao động với chu kì 0,6 s, viên bi có khối lượng m2 gắn vào lị xo k hệ dao động với chu kì 0,8 s Nếu gắn hai viên bi m1 m2 với gắn vào lị xo k hệ có chu kì dao động bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Ta có: T T12 T22 0,62 0,82 1 s
Ví dụ 25: Cho lắc lị xo có độ cứng k vật nặng có khối lượng m, dao động điều hịa với chu kì s Muốn tần số dao động lắc 0,5 Hz khối lượng vật phải ?
Hướng dẫn giải:
2
1 k
f
f m' f
2 m m' m
f ' m f '
1 k
f '
2 m'
Với:
1
f Hz
T
f ' 0,5 Hz Vậy:
2
m' m 4m
0,5
Ví dụ 26: Lần lượt treo vật có khối lượng m1 m2 vào lị xo có độ cứng 40 N/m kích thích cho chúng dao động Trong khoảng thời gian định, vật m1 thực 20 dao động vật m2 thực 10 dao động Nếu treo hai vật vào lị xo chu kì dao động hệ 2 s
Khối lượng m1 m2 ?
Hướng dẫn giải:
- Chu kì dao động vật m1 là:
1
1 1
1 t
T t n T
n
- Chu kì dao động vật m2 là:
2
2 2
2 t
T t n T
n
(13)2
2 1
1 1 2
1 2
m
T n k n m n
t t n T n T
T n 2 m n m n
k
2 2
2
2
1
m n 20
4 m 4m
m n 10
Mặt khác:
2
2 2 2 2 2
1 2
m m 4
T T T T 4 T m m T 5m
k k k k
2
1 2
40
kT
m 0,5 kg
20 20
2
m 4m 4.0,5 kg