DeDA HSGToan 9 My Loc Phu My1011

Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?.[r]

(1)

PHÒNG GD - ĐT PHÙ MY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011

Mơn : TỐN

(ĐỀ ĐỀ XUẤT ) Thời gian làm : 150 phút ( không kể phát đề ) Bài 1 : (6.0 điểm)

a- Cho tổng : A = + 52 + 53 + ………+ 52010 Chứng minh : A chia hết cho 126 b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – ) số phương

Bài 2 : (4.0 điểm)

a- Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR :

a b c a  +

b a c a  +

c

a b c   3

b- Giải phương trình :  

2 2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

       

Bài 3 :(3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y=

2009

2010 Tìm GTNN S = 2008

x +

1

2008y

Bài 4 :(4.0 điểm)

Cho ABCcân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = 2 5, IB = 3. Tính độ dài AB ?

Bài 5 : (3.0 điểm)

(2)

ÁP ÁN VÀ BI U I M CH M

Đ Ể Đ Ể Ấ

Bài Đáp án Điểm

Bài (6.0 đ)

Câu a

A = + 52 + 53 + … + 52010

= (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + … + (52007 +52010) = 5(1+53)+52(1+53) +53(1+53)+ … + 52007(1+53) = 126.(5 + 52 + 53 + … + 52007)

Vì : 126  126  A  126 1.0đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ Câu b

Đặt (23 – a) ( a – )= b2

Biến đổi được: 26a – a2 - 69 = b2 . ( a – 13) = 100 - b2. Suy 100 – b2 số phương. Tìm :

Trường hợp: b = 10  a = 13. b =  a = 19 b =  a = 21. Vậy số a 13; 19, 21

0.5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ Bài (4.0 đ) Câu a

Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c

Vì a,b,c độ dài cạnh tam giác nên x , y ,z >

Khi ta có : , ,

z y x z y x

a  b  c 

Do :

a b c a  +

b a c a  +

c a b c  =

1

x y y z z x

z x y

           = 1

(2 2)

2

x y x z y z

y x z x z y

 

        

 

 

Đẳng thức xảy : x = y = z  a = b = c

0,5đ 0,5đ

0,75đ 0,25đ

Câu b

Điều kiện : x0

Ta có :  

2 2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

                                   2 2 2

1 1

8 x x x x x

x x x x

                                        2 2 1

8 x x x

x x

   

    

   

   

x 42 16

  

 8

(3)

0 ( ) x loai x      

Vậy phương trình có nghiệm : x = -8

0,25đ

Bài (3.0 đ)

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có :

 

2

2008 2008

1

2008 2010

2008 2008

x y x y

x y x y

                       

Suy :

1 2009

2010 : 2011

2008 2010 1004

s 

Đẳng thức xảy :

2008 2008 2008 2010 2009 2008 1 2010 2009 2010 2010 y x

x y x

x y x y y x y                              

Vậy MinS =

1 2011

1004 đạt

2008 2010 x ; 2010 y 1,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Bài (4.0đ)

- Từ A kẻ AMAC (Mtia CI)

- Chứng minh : AMI cân A  AM = AI = 2 5 Kẻ AHMI => MH = HI

Đặt HM = HI = x (x>0)

Tam giác AMC vng A , có AM2 MH MC =>    

2

2 x x2 3

2

2x 3x 30

   

2x 5 x 4

   

=> x = 2,5 x = -4 (loại) Do : MC = 2.2,5+3=8 AC2 = MC2 – AM2 = 82 -  

2

= 44 => AC = AB = 11

1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài (3.0đ)

Gọi a,b,c độ dài cạnh đối diện A,B,C ha,hb,hc đường cao tương ứng

Giả sử : a b c  , ha hb hc

Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB

=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI) => PH + PK + PI

2SABC a



=

Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ PA

0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ C N B

(4)