Tra cứu phương pháp giải các dạng toán dao động cơ học

+ Tại thời điểm t bất kì vật có li độ x. + Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li đ[r]

TRA CỨU NHANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỌC

1.1 Dao động điều hịa

Tình 1:Khi gặp tốn cho biết phương trình phụ thuộc thời gian x, v, a, F, Wt Wđđể tìm đại lượng khác làm nào?

Giải pháp:

Đối chiếu với phương trình tổng quát để xác định đại lượng mà toán yêu cầu

( )

( )

( )

( )

2 cos

' sin

' cos

cos

x A t

v x A t

a v A t

F ma m A t

ω ϕ

ω ω ϕ

ω ω ϕ

ω ω ϕ

= +

= = − +

= = − +

= = − +

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

cos cos 2

2

sin cos 2

2

2

t

d

t d

kx m A m A

W t t

mv m A m A

W t t

m A kA

W W W

ω ω ϕ ω ω ϕ

ω ω ϕ ω ω ϕ

ω

= = + =  + + 

= = + =  − + 

= + = =

*Ở cần ý:

-Khi v > 0, a > 0: vận tốc, gia tốc có chiều dương (hay hướng theo chiều dương) - Khi v < 0, a < 0: vận tốc, gia tốc ngược chiều dương (hay hướng theo chiều âm) Tình 2: Khi gặp tốn liên quan đến viết phương trình dao động làm thế nào?

Giải pháp:

+ Thực chất việc viết phương trình dao động điều hồ xác định đại lượng A,

ω ϕtrong biểu thức: ( )

( )

cos

' sin

x A t

v x A t

ω ϕ

ω ω ϕ

 = +

 

= = − +



+ Để xác định ω, vào cơng thức có liên quan đến ωở mối liên hệ ωvới f T: f k g

T m l

π

ω= π = = =

-Nếu khoảng thời gian ∆t, vật thực ndao động chu kì dao động

là:

n t T = ∆

+ Để xác định A vào cơng thức có liên quan đến đại lượng như:

2 max max max

2

2

v a l l

v

A x

ω ω ω

−

+ Để xác định ϕcần dựa vào phương trình li độ vận tốc thời điểm ban đầu (t =

0): 0

0

0

cos sin t

t

x x A x

A v

v v

ϕ

ϕ

ω ϕ

= =

 =  =

 ⇒ ⇒

 − =

= 

 + Chú ý:

1) Vật theo chiều dương v > 0, theo chiều âm v <

2) Bốn trường hợp đặc biệt nên nhớ Khi chọn gốc thời gian lúc: vật biên dương, vật qua vị trí cân theo chiều âm, vật biên âm vật qua vị trí cân theo chiều dương phương trình có dạng hình vẽ

Tình 3:Khi gặp tốn liên quan đến phương trình độc lập với thời gian làm nào?

Giải pháp:

Sử dụng linh hoạt công thức sau:

2 2 2

2 ; ; ;

v

x A a ω x F mω x kx k mω

ω

+ = = − = − = − =

2 2 2

2 2

t d

kx mv m A kA

W =W +W = + = ω =

Tình 4:Khi gặp toán đơn giản: cho x tính v cho v tính x làm nào?

Giải pháp:

Từ công thức

2

2

2

2

2

max

A

v A x

v A

A x

v

v A x A

A

ω ω

ω

ω

 = −

 = + 

 ⇒

 

 

 =  = −

   



ta suy điểm đặc biệt:

0

0

x v A

x A v

ω

= ⇔ =

= ⇔ =

3

3

2 d t

A A

x = ⇔ v =ω ⇔W = W

2 d t

A A

x = ⇔ v =ω ⇔W =W

3

3

2 t d

A A

Tình 5:Khi gặp toán liên quan đến tốc độ chuyển động trịn tốc độ dao động điều hịa làm nào?

Giải pháp:

Kinh nghiệm cho thấy, tốn khơng liên quan đến hướng dao động điều hòa liên quan vận tốc gia tốc nên giải tốn cách sử dụng phương trình; cịn liên quan đến hướng sử dụng vịng trịn lượng giác cho lời giải ngắn gọn!

Ta biết, hình chiếu chuyển động tròn trục nằm mặt phẳng quỹ đạo biểu diễn dao động điều hòa: x=Acos(ω ϕt+ ) Ở nửa vòng

trịn hình chiếu theo chiều âm, cịn hình chiếu theo chiều dương!

( )

cos

T

x A t

A

ω ϕ ω

ω

 

= + ≡ 

 

Bán kính = A H ì nh chiếu CĐTĐ Tốc độ góc =

Tốc độ dài v =

2

2 2

2

2 1

T

v x v x v

x A

A A A v

ω ω

 

     

+ = ⇔  +  = ⇔  +  =

       

Tình 6:Làm để tìm khoảng thời gian để vectơ vận tốc gia tốc chiều, ngược chiều?

Giải pháp:

Viết phương trình dạng: x = Acos(ωt + ϕ) φ = (ωt + ϕ) Chú ý rằng, v hướng với hướng chuyển động, a hướng vị trí cân

+ Vật chuyển động vị trí cân nhanh dần (khơng đều) chuyển động xa vị trí cân chậm dần (không đều)

Cách 1: ( )

( )

cos

' sin

x A t

v x A t

ω ϕ

ω ω ϕ

 = +

 

= = − +



( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 cos

sin t

t t t

x A t

v A t

ω ϕ

ω ω ϕ

=  = +

→

= − +

 (v(t0) > : vật

đi theo chiều dương (x tăng); v(t0)< : vật theo chiều âm (x giảm)) Cách 2:

Xác định vị trí vịng lượng giác thời điểm t0: ( ) 0

t t

φ =ω +ϕ

Nếu thuộc nửa vịng trịn lượng giác hình chiếu chuyển động theo chiều âm (li độ giảm)

Nếu thuộc nửa vịng trịn lượng giác hình chiếu chuyển động theo chiều dương (li độ tăng)

Li độ dao động điều hòa: ( ) cos t

x=A Φ

Vận tốc dao động điều hòa: ( )

' sin t

x = −ωA Φ

v =

Tình 8: Làm để tìm trạng thái khứ tương lai toán chưa cho biết phương trình x, v, a, F…?

Giải pháp

Bước 1: Chọn gốc thời gian t = t0 = dùng VTLG để viết pha dao động: φ = ωt + ϕ

Bước 2: Lần lượt thay t = -∆t t = +∆t để tìm trạng thái khứ trạng thái tương lai:

cos sin

x A

t

v A

ω ϕ

ω

= Φ



Φ = + ⇒ 

= − Φ

 (v > : vật theo

chiều dương (x tăng); v < : vật theo chiều âm (x giảm))

Tình 9: Làm để tìm trạng thái khứ tương lai toán cho biết phương trình x, v, a, F…?

Giải pháp:

Cách 1: Giải phương trình lượng giác (PTLG)

Các bước giải tốn tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t khoảng thời gian ∆t

Biết thời điểm t vật có li độ x = x1

* Từ phương trình: x = Acos(ωt + ϕ) cho x = x1

Lấy nghiệm ωt + ϕ = αứng với x giảm (vật chuyển động theo chiều âm v < 0) ωt + ϕ = - αứng với x tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

(với ≤ α = arccos(x1 ÷ A) = shiftcos(x1 ÷A) ≤ π)

x Acos( )

A sin( )

t

v t

ω α

ω ω α

= ± ∆ +



 = − ± ∆ +



x Acos( )

A sin( )

t

v t

ω α

ω ω α

= ± ∆ −



 = − ± ∆ −



Ngày với xuất máy tính cầm tay Casio 570ES, 570ES plus ta xây dựng quy trình giải nhanh sau:

♣Li độ vận tốc sau thời điểm t khoảng thời gian ∆t bấm sau:

( )

( )

( )

( )

1

cos cos

sin cos

A t shift x A

A t shift x A

ω

ω ω

 ∆ ± ÷

 

− ∆ ± ÷



♣Li độ vận tốc trước thời điểm t khoảng thời gian ∆t bấm sau:

( )

( )

( )

( )

1

cos cos

sin cos

A t shift x A

A t shift x A

ω

ω ω

 − ∆ ± ÷

 

− − ∆ ± ÷



(Lấy dấu cộng trước shiftcos(x1÷A) nếu thời điểm t li độ giảm (đi

theo chiều âm) lấy dấu trừ i độ tăng (đi theo chiều dương)) Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác (VTLG)

+ Dựa vào trạng thái thời điểm t0 để xác định vị trí tương ứng vịng trịn lượng giác

+ Để tìm trạng thái thời điểm (t0 - ∆t) ta quét theo chiều âm góc ∆ϕ = ω∆t + Để tìm trạng thái thời điểm (t0 + ∆t) ta quét theo chiều dương góc ∆ϕ = ω∆t

Kinh nghiệm:

1)Chọn lại gốc thời gian trùng với trạng thái biết tức viết lại pha dao động φ =

ωt + ϕ Từ ta tìm trạng thái khứ tương lai: cos sin

x A

v A

φ ω φ

=   = − 

2) Đối với toán liên quan đến chiều tăng, giảm (chiều dương, chiều âm) nên dùng VTLG Đối với tốn khơng liên quan đến chiều tăng giảm (chiều dương chiều âm) nên dùng PTLG.

3)Các tốn cho biết li độ vận tốc nên dùng GPTLG.

Tình 10: Khi gặp toán liên quan đến hai thời điểm cách t2− =t1 n T ,

( )

2

2

T

t − =t n+ 2 1 (2 1)

4

T

t − =t n+ làm nào?

Giải pháp:

1) Hai thời điểm cách khoảng thời gian t2− =t1 n T (chúng gọi hai

2) Hai thời điểm cách khoảng thời gian (2 1)

T

t − =t n+ (chúng gọi

hai thời điểm ngược pha) x2 = −x v1; = −v a1; = −a1

3) Hai thời điểm cách khoảng thời gian (2 1)

4

T

t − =t n+ (chúng gọi

hai thời điểm vng pha) 2 2 2 2

1 ; max; max

x +x =A v +v =v a +a =a , v2 =ωx1;

1

v =ωx (khi n lẻ v2 = ωx1; v1 = -ωx2 n chẵn v2 = -ωx1; v1 = +ωx2).

Tình 11: Khi gặp tốn tìm số lần qua vị trí định khoảng thời gian làm nào?

Giải pháp:

Cách 1: Giải phương trình lượng giác

Các bước giải tốn tìm số lần vật qua vị trí biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) từ thời điểm t1 đến t2

* Giải phương trình lượng giác nghiệm * Từ t1 ≤ t ≤ t2 ⇒ Phạm vi giá trị k ∈ Z

* Tổng số giá trị k số lần vật qua vị trí Lưu ý:

+ Trong chu kỳ vật qua vị trí biên lần cịn vị trí khác lần

+ Mỗi chu kỳ vật đạt vận tốc vhai lần vị trí đối xứng qua vị trí cân

và đạt tốc độ v bốn lần vị trí lần theo chiều âm dương + Đối với gia tốc kết với li độ

+ Nếu t = t1 tính từ vị trí khảo sát q trình cộng thêm lần vật qua li độ đó, vận tốc

Cách 2: Dùng đồ thị

+ Dựa vào phương trình dao động vẽ đồ thị x (v, a, F, Wt, Wd) theo thời gian

+ Xác định số giao điểm đồ thị với đường thẳng x = x0 khoảng thời gian [t1 , t2]

Cách 3: Dùng vòng trịn lượng giác.

+ Viết phương trình dạng hàm cos: x = Acos(ωt + ϕ); φ = (ωt + ϕ) + Xác định vị trí xuất phát

+ Xác định góc quét Δφ = ω.Δt = n.2π + π + Δφ; (n số nguyên)

+ Qua điểm x kẻ đường vng góc với Ox cắt vòng tròn hai điểm (một điểm nửa vịng trịn có hình chiếu theo chiều âm điểm cịn lại có hình chiếu theo chiều dương)

+ Đếm số lần quét qua điểm cần tìm

Kinh nghiệm:

2) Để tránh sai sót khơng đáng có, tốn cho phương trình dạng sin thì

ta đổi dạng cos: sin( ) cos

2

x=A ω αt+ =A ω αt+ −π

 

3)Đối với toán liên quan đến v, a, F, Wt, Wdthì dựa vào cơng thức độc lập với thời gian để quy x.

Tình 12: Khi gặp tốn u cầu viết phương trình dao động điều hịa làm nào?

Giải pháp:

Thực chất viết phương trình dao động điều hòa xác định đại lượng A, ω

và ϕcủa phương trình x = Acos(ωt + ϕ) Cách 1:

( )

( )

( ) ( )

2

2

0

0

2

2

2

cos

cos ?

sin ?

sin

max max

t

k g

f

T m l

v a

v W

A x

k

x A

x A t A

v A

v A t

π ω π

ω ω ω

ϕ ω ϕ

ω ϕ ϕ

ω ω ϕ

=



= = = =

  

 = + = = = = = =



= 

 = +  =

 → ⇒

  = −  =

= − + 

 

 

nưa chu k× chu k×

S S Chiều dài quỹ đạo

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay Casio Fx570es

Cơ sở: 0

0

cos cos

cos( )

sin( ) sin sin

t

x A a

x A

x A t

v

v A t v A A b

ϕ ϕ

ω ϕ

ω ω ϕ ω ϕ ϕ

ω

=

= =

 =

= + 

 → ⇔

 = − +  = − − = =

  

Một dao động điều hòa x=Acos(ω ϕt+ )có thể biểu diễn số phứcx= ∠ =A ϕ Aeiϕ =Acosϕ+i A sinϕ= +a bi

Phương pháp: ( )

0 cos

v

x x i A ϕ x A ω ϕt

ω

= − = ∠ ⇔ = +

Thao tác bấm máy:

Bấm: MODE Màn hình xuất CMPLX Bấm: SHIFT MODE Màn hình hiển thị chữ R

Bấm nhập :

0

v

x i

ω

−

Bấm: SHIFT =

(Màn hình hiệnA∠ϕ, biên độ Avà pha ban đầu ϕ) Cách 3: Dùng vòng tròn lượng giác

Ví dụ minh họa 1:Một chất điểm dao động điều hoà theo trục Ox (O vị trí cân bằng) với chu kì 2,09 (s).Lúc t = chất điểm có li độ +3 cm vận tốc +9 cm/s Viết phương trình dao động chất điểm

Hướng dẫn:

Cách 1:

( )

2

3 rad s/

T

π

ω= ≈ ( )

( )

( )

6 cos

cos

sin 3 sin

3 t

A cm

A

x A t

v A t A

ϕ ω ϕ

π

ω ω ϕ ϕ ϕ

=

 =

 = +  =

 → ⇒

  

= − +  = − = −

  

 

( ) cos

3

x  t π cm

⇒ =  − 

 

Cách 2: Dùng máy tính Casio 570ES Thao tác bấm máy:

Bấm: MODE Màn hình xuất CMPLX Bấm: SHIFT MODE Màn hình hiển thị chữ R Bấm nhập :

0

v

x i

ω

− với x0 = cm, v0 = +9 cm/s ω=3(rad s/ )

Bấm: SHIFT = sẽ 3π

∠ −

Kết có nghĩa ( ) cos

3

x=  t−π  cm

 

Quy trình giải nhanh:

1) Để viết phương trình dao động dạng hàm cos cho biết x0, v0 ωta nhập:

( )

23

0 Acos

shift

v

x i A ϕ x ω ϕt

ω =

− → ∠ ⇔ = +

2) Để viết phương trình dao động dạng hàm sin cho biết x0, v0 ω ta nhập:

( )

23

0 Asin

shift

v

x i A ϕ x ω ϕt

ω =

+ → ∠ ⇔ = +

Lúc t = 0, vật qua vị trí cân theo chiều dương x0 = v0 = ωA Lúc t = 0, vật qua vị trí cân theo chiều âm x0 = v0 = -ωA Lúc t = 0, vật qua vị trí biên dương x0 = +A v0 =

Chú ý: Với tốn số liệu khơng tường minh khơng nên dùng phương pháp

số phức

Bình luận: Đối với hình thức thi trắc nghiệm gặp tốn viết phương trình dao động nên khai thác mạnh VTLG ý loại trừ phương án (vì có thể không dùng đến vài số liệu toán!)

Chú ý: Bốn trường hợp đặc biệt cần nhớ để tiết kiệm thời gian làm bài: 1) Nếu chọn gốc thời gian lúc vật biên dương (x = +A) pha dao động và phương trình li độ là:

cos sin

2

t

x A t A t

ω

π

ω ω

Φ =  

 = =  + 

 

  



2) Nếu chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân theo chiều âm pha dao

động phương trình li độ là:

cos sin

2

t

x A t A t

π ω

π

ω ω

Φ = + 

  

 =  + = −

  



3) Nếu chọn gốc thời gian lúc vật biên âm (x = -A) pha dao động phương

trình li độ là: ( )

cos cos sin

2

t

x A t A t A t

ω π

π

ω π ω ω

Φ = +

 

 = + = − =  − 

 

  



4) Nếu chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân theo chiều dương pha dao động phương trình li độ là:

2

cos sin

2

t

x A t A t

π ω

π

ω ω

Φ = − 

  

 =  − =

  



Tình 13: Nếu gặp toán cho biết W, v0, a0 để tìm ω, ϕta làm nào? Giải pháp:

( )

( )

( ) ( )

2

0

0

?

sin

' sin ?

cos ?

' cos

t

m A W

W A

m

v A

v x A t

a A

a v A t

ω ω

ω ϕ

ω ω ϕ ω

ω ω ϕ ϕ ωω ω ϕ

=



= ⇒ = =

 

 = = − +  = − =



 

 → ⇒

 = = − +  = −  =

 

Nếu x=Asin(ω αt+ ) đổi dạng cos cos

2

x=A ω αt+ −π 

 !

Tình 14: Để tìm thời gian ngắn từ x1 đến vị trí cân đến vị trí biên làm nào?

Cách 1: Dùng VTLG

t

ϕ ϕ

ω

 ∆



 ∆

= 

Xác định góc quét tương ứng với dịch chuyển :

Thêi gian :

Cách 2: Dùng PTLG

1

1 1

1

1 2

1

A sin sin arcsin

1

A cos cos arc cos

x x

x t t t

A A

x x

x t t t

A A

ω ω

ω

ω ω

ω

 = ⇒ = ⇒ =

 

 = ⇒ = ⇒ =



Kinh nghiệm:

1) Quy trình bấm máy tính nhanh: shift sin (3,5 10) 10÷ ÷ = (máy tính chọn đơn vị góc rad)

3) Cách nhớ nhanh “đi từ x1 đến VTCB là shift sin x( 1÷A)÷ =ω ” “đi từ x1đến VT biên shift cos(x1÷A)÷ =ω ”

4) Đối với tốn ngược ta áp dụng cơng thức: x1=A sinωt1=A cosωt2

5)Nếu cho biết quan hệ t1 t2 ta tính đại lượng khác như: T, A, x1

Chú ý: Đối với điểm đặc biệt ta dễ dàng tìm phân bố thời gian sau:

Kinh nghiệm : 1) Nếu số ‘xấu’

3

0; ; ; ;

2 2

A A A

x ≠ ± ±A ± ± dùng

1

( )

shift sin x ÷A ÷ =ω , shift cos(x1÷A)÷ =ω

2) Nếu số ‘đẹp’

3

0; ; ; ;

2 2

A A A

x = ± ±A ± ± dùng trục phân bố thời gian

Chú ý:Khoảng thời gian chu kì vật cách vị trí cân khoảng

+ nhỏ x1 1

1

4 arcsinx

t t

A

ω

∆ = =

+ lớn x1

1

4 arccosx

t t

A

ω

Tình 15: Làm để tìm thời gian ngắn từ x1 đến x2? Giải pháp:

Cách 1: Dùng VTLG t ϕ

ω

∆ ∆ =

Cách 2: Khoảng thời gian ngắn để vật từ điểm có

li độ x1 đến điểm có li độ x2:

2

2

arccos arccos

arcsin arcsin

x x

t

A A

x x

A A

ω ω

∆ = − ÷

= − ÷

Quy trình bấm máy tính nhanh:

2

cos( ) cos( )

( ) ( )

shift x A shift x A

shift sin x A shift sin x A

ω ω

 ÷ − ÷ = ÷ =

 

÷ − ÷ = ÷ =

 Kinh nghiệm:

1)Đối với dạng tốn khơng nên dùng cách nhiều thời gian!

2)Nếu số ‘đẹp’ 0; ; ; ;

2 2

A A A

x= ± ±A ± ± thì dùng trục phân bố thời gian

Chú ý: Li độ vận tốc điểm đặc biệt

Tốc độ M N ωA/2

2) Cứ sau khoảng thời gian ngắn T/8 vật qua M1, M2, O, M3, M4

Tốc độ M2 M3 ωA/ 2

3) Cứ sau khoảng thời gian ngắn T/12 vật qua M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7

Tốc độ M2 M6đều ωA/2 Tốc độ M3 M6đều ωA 3/2

Tình 16: Nếu thời gian ngắn liên quan đến vận tốc, động lượng xử lý nào?

Giải pháp:

Dựa vào công thức liên hệ vận tốc, động lượng với li độ để quy li độ

1

2

2

2

? ?

v v x

v

x A

v v x

ω

= ⇒ =



+ = ⇒ 

= ⇒ =



1

2

? ?

p p x

p mv

p p x

= ⇒ =



= ⇒ 

= ⇒ =

 Chú ý:

1) Vùng tốc độ lớn v1 nằm đoạn [-x1; x1] vùng tốc độ nhỏ v1 nằm ngoài đoạn [-x1; x1].

2) Khoảng thời gian chu kì tốc độ + lớn v1 4t1.

3)Đối với toán ngược ta làm theo bước sau:

Bước 1: Dựa vào vùng tốc độ lớn bé v1ta biểu diễn t1hoặc t2 theo ω Bước 2: Thay vào phương trình x1=A sinωt1=Acosωt2

Bước 3: Thay vào phương trình 12

1

v

x A

ω

+ = .

Tình 17: Nếu thời gian ngắn liên quan đến gia tốc, lực, lượng xử lý nào?

Giải pháp:

Dựa vào công thức liên hệ gia tốc, lực với li độ để quy li độ 1

2

2

1

2

? ?

? ?

a a x

a x

a a x

F F x

F kx m x

F F x

ω

ω

  = ⇒ =

= − ⇒

  = ⇒ =

 



= ⇒ =



 = − = − ⇒ 

  = ⇒ =



Chú ý:

1) Vùng a lớn a1 nằm đoạn [-x1; x1] vùng a nhỏ a1 nằm

trong đoạn [-x1; x1]

2) Khoảng thời gian chu kìa

+ lớn hơn a1 4t2 +nhỏ hơn a1 4t1

3)Đối với toán ngược ta làm theo bước sau:

Bước 1: Dựa vào vùng a lớn bé a1 ta biểu diễn t1 hoặc t2 theo ω Bước 2: Thay vào phương trình x1=A sinωt1=Acosωt2

Bước 3: Thay vào phương trình

1

x =ω a

4) Nếu khoảng thời gian liên quan đến Wt, Wd ta quy li độ nhờ công thức

độc lập với thời gian : 2

2 2

t d

kx mv kA

W=W +W = + =

5) Bài tốn tìm khoảng thời gian để vật từ li độ x1 đến x2 là toán bản,

cơ sở tốn làm nhiều toán mở rộng khác như:

*Tìm khoảng thời gian từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến vật qua tọa độ x nào đó lần thứ n.

*Tìm khoảng thời gian từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến vật nhận vận tốc hay gia tốc lần thứ n.

*Tìm vận tốc hay tốc độ trung bình quỹ đạo chuyển động đó. *Tìm khoảng thời gian mà lị xo nén, dãn chu kì chuyển động.

*Tìm khoảng thời gian mà bóng đèn sáng, tối chu kì hay khoảng thời gian đó.

*Tìm khoảng thời gian mà tụ điện C phóng hay tích điện từ giá trị q1 đến q2

*Các toán ngược liên quan đến khoảng thời gian,

Tình 18: Để tìm thời điểm vật qua x0 theo chiều dương (âm) làm nào?

Giải pháp:

Cách 1: Giải hệ phương trình:

( )

( ) 01 ( 01 02 )

02

cos

, , 0,1,

sin

x A t x t t k T

t t k l

t t l T

v A t v

ω ϕ

ω ω ϕ

 = + =  = +

 ⇒ ≥ ⇒ =

  = +

= − + = 



Cách 2: Dùng VTLG:

Tìm vị trí xuất phát: φ0 = ωt1 + ϕ Xác định vị trí cần đến

Tìm góc cần qt: ∆ϕ Thời gian: t = ∆ωϕ

Cách 3: Chỉ dùng VTLG để xác định thời điểm

( )

0 ω.0 ϕ

= +

T ì m vị trí xuÊt ph¸t :

( )

( )

1

1

1

1

0,1,

0,1,

t

t t k T k

t

t t k T k

 

→ = + =

  

→ = + =

các thời điểm

các thời điểm

Thi im u tiờn vt n x theo chiều dương :

T × m

Thời điểm vật đến x theo chiều âm :

( )

1

1

1

1 n

x t

x t T

x t n T

 =



= = +

  

 = = + −



Lần thứ vật đến x theo chiều dương (âm) :

Lần thứ vật đến x theo chiều dương (âm) : t

Lần thứ n vật đến x theo chiều dương (âm) : t

( )

( )

1 1

2 cos

?

cos

.2 ?

x A t x

t

t k

x

t cos

t l t

A

ω ϕ ω ϕ α π

ω ϕ α

ω ϕ α π

= + =

=

+ = + 



⇒ + = = ⇒ + = − + ⇒ 

=

 

Cách : Giải phương tr ì nh

Trong chu kì vật qua vị trí biên lần vị trí khác hai lần Để tìm hai thời điểm (t1 t2) dùng PTLG VTLG Để tìm thời điểm

ta làm sau:

2

t n

t 

=  

d­ : t = nT + Sè lÇn

d­ : t = nT +

( )

0 ω.0 ϕ ϕ

ϕ ω

 Φ = +

 

 ∆



∆ 



T ì m vị trí xuất phát :

T ì m vị trí cần đến Cách : Dùng VTLG T ì m góc cần qt :

Thêi gian : t =

Tình 20: Để tìm thời điểm vật cách vị trí cân đoạn b làm nào?

Giải pháp:

Trong chu kì vật qua vị trí biên lần vị trí khác hai lần Vì b = b = A chu kì có lần x =b, ngược lại chu

kì có lần x =b (hai lần vật qua x = +b hai lần qua x = -b) Để tìm bốn thời điểm

đầu tiên t1, t2, t3 t4 dùng PTLG VTLG Để tìm thời điểm ta

làm sau:

1 4

t t n

t t 

  =   

d­ : t = nT + d­ : t = nT + Sè lÇn

d­ : t = nT + d­ : t = nT +

Chú ý:

1)Nếu khoảng thời gian liên quan đến Wt, Wd thì ta quy li độ nhờ công thức

độc lập với thời gian: 2

2 2

t d

kx mv kA

W=W +W = + =

2)Nếu thời điểm liên quan đến vận tốc, gia tốc, lực… làm sau: Cách 1: Giải trực tiếp phương trình phụ thuộc t v, a, F…

Cách 2: Dựa vào phương trình độc lập với thời gian để quy li độ.

Tình 21: Để tìm quãng đường tối đa, tối thiểu làm nào? Giải pháp:

Trường hợp ∆t < T/2 ⇔∆ϕ = ω∆t < π

đi xung quanh vị trí cân muốn quãng đường bé xung quanh vị trí biên

Cách 1: Dùng PTLG

( )

1 max

2

2 sin sin

2

2 cos 2 cos

2

t

t S A t A

t

t S A A t A A

ϕ ω

ϕ ω

 ∆ ∆

⇔ = ⇒ = =

  

∆ ∆

 ⇔ = ⇒ = − = −



Quãng đường cực đại Quãng đường cực tiểu

Cách 1: Dùng VTLG

max

2 sin 2 1- cos

2

S A

t

S A

ϕ ϕ ω

ϕ

∆

 =



∆ = ∆ ⇒   ∆ 

 =  

  



Quy trình giải nhanh: max

min sin cos

t S

S

ϕ ω

∆ = ∆ 

 ↔ →



 ↔ →



Chú ý: Đối với khoảng thời gian đặc biệt ; ; ; 3 6

T T T

để tìm Smax,Smin nhanh

ta sử dụng trục phân bố thời gian lưu ý: Smax⇔ quanh VTCB, Smin⇔ quanh

VT biên.

Kinh nghiệm: Kết toán đề cập nhiều đề thi:

( )

( )

6

3 T max

T

S A

S A

           

 =

 

= 



§i xung quanh VTCB nửa A / Đi xung quanh VT biên nửa A /

Chỳ ý: i vi tốn tìm thời gian cực đại cực tiểu để quãng đường S thì cần lưu ý: Thời gian cực đại ứng với công thức quãng đường cực tiểu Thời gian cực tiểu ứng với công thức quãng đường cực đại

min max

min max max

2 sin 2 1- cos

2

t S A

t t

t

t t

t S A

ϕ

ϕ ω ϕ

∆

 ↔ =

  = ∆

 ⇒ ∆ = ∆ ⇒

  ∆   = ∆



 ↔ =  

  



Trường hợp ∆t’ > T/2 ⇒

2

T

t′ n t

∆ = + ∆ với

2

T t < ∆ <

Vì quãng đường khoảng thời gian

T

( )

( )

max max

min

.2 2 sin

2

.2 2 cos

2

S n A S n A A

S n A S n A A

ϕ ϕ  ∆ = + = +    ∆    = + = + −      

§i xung quanh VTCB §i xung quanh VT biªn

Hai trường hợp đơn giản xuất nhiều đề thi:

    max max ' 2 ' 2

n A S A

n A S A

T T

t n S n A A

T T

t n S n A A

= =  ′∆ = + ⇒ = +     ′∆ = + ⇒ = +  

Quy trình giải nhanh: 0,5 ,

.0,5

t

n m T

t t n T

′ ∆  =   ∆ = ∆ −′  max max max min sin ' 2 '

2 cos

S A

S n A S

t

S n A S

S A A

ϕ ϕ ω ϕ ∆  =   = +  ∆ = ∆ ⇒ ⇒ ∆  = +  = − 

Chú ý: Đối với toán tìm thời gian cực đại cực tiểu để quãng đường S thì cần lưu ý: Thời gian cực đại ứng với công thức quãng đường cực tiểu Thời gian cực tiểu ứng với công thức quãng đường cực đại

min max

max max

' ' .2 2 sin ' .

2 2

' ' .2 2 1- cos ' .

2 2

T

t S n A A t n t

t

T

t S n A A t n t

ϕ ϕ ω ϕ ∆  ↔ = +  = + ∆    ⇒ ∆ = ∆ ⇒    ∆    ↔ = +   = + ∆          

min max

max min max

' ' .2 ' .

2

' ' .2 ' .

2 ∆ ∆  ↔ = + ⇒ = + ∆     ↔ = + ⇒ = + ∆   max T t n T t n T

t S n A S t n t

T

t S n A S t n t

Trường hợp xuất nhiều đề thi:

max min

6 max ' ' T T

S S A

T T

t n

S n A A

Tình 22: Để tìm quãng đường từ t1 đến t2 làm nào? Giải pháp:

♣Nếu biểu diễn:

( )

2

2 ,

t t

n q

t t nT t T

t t t nT

−

 =



− = + ∆ 

∆ = − −



Quãng đường được: S = n.4A + Sthêm, với Sthêm quãng đường từ thời điểm t1+ nT đến thời điểm t2

♣Nếu biểu diễn:

( )

2

2 , 0,5

2

t t

m q

T T

t t m t

T

t t t m

−

 =



− = + ∆ 

∆ = − − 

Quãng đường được: S = m.2A + Sthêm, với Sthêm quãng đường từ thời điểm t1+ mT/2 đến thời điểm t2

Để tìm Sthêmthơng thường dùng ba cách sau:

Cách 1:

Dùng trục thời gian để xác định quãng đường dịch chuyển từ trạng thái đến trạng thái

Cách 2:

Dùng vòng tròn lượng giác để xác định quãng đường dịch chuyển từ trạng thái đến trạng thái

Cách 3:

Dùng tích phân xác định Cơ sở phương pháp:

dx

dx ds

v v ds v dt

dt dt dt

= ⇒ = = ⇒ = (trong ds quãng đường chất điểm thời gian dt) Quãng đường chất điểm từ thời điểm t1 + mT/2 đến t2

2 /

t t mT

S v dt

+

= ∫

thªm (chính diện tích phần tơ màu):

Nếu phương trình li độ x = Acos(ωt + ϕ) phương trình vận tốc v =

( )

1 / A sin t

t mT

S ω ω ϕt dt

+

= ∫ +

thªm

Để tính tích phân ta dùng máy tính cần tay CASIO fx–570ES, 570ES Plus

Các bước thực với máy tính cầm tay CASIO fx–570ES, 570ES Plus Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết Chỉ định dạng nhập /

xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất Math. Chọn đơn vị đo góc

Rad (R)

Bấm: SHIFT MODE Màn hình hiển thị chữ R Thực phép tính

tich phân Bấm: Phím ∫ 

 Màn hình hiển thị ∫  dx Dùng hàm trị tuyệt đối

( Abs)

Bấm: SHIFT hyp Màn hình hiển thị

dx ∫ Biến t thay X Bấm: ALPHA ) Màn hình hiển thị X Nhập hàm cận

lấy tích phân Bấm: hàm cận Hiển thị

( )

2 /

sin t

t mT

A x dx

ω ω ϕ

+

+

∫

Bấm dấu (=) Bấm: =

Chú ý: Tốc độ tính máy nhanh hay chậm phụ thuộc cận lấy tích phân pha ban đầu

Quy trình giải nhanh:

( ) ( )

( ) ( )

2

2

/ 2

/

cos A sin

0,5

sin A cos

t t mT

t t mT

x A t S m A t dt

t t

m

T

x A t S m A t dt

ω ϕ ω ω ϕ

ω ϕ ω ω ϕ

+

+



 = + ⇒ = + +

 −

  

= 

  

= + ⇒ = + +

 

∫ ∫

NÕu NÕu

( ) ( )

( ) ( )

2

2

cos A sin

sin A cos

t t nT

t t nT

x A t S n A t dt

t t

n T

x A t S n A t dt

ω ϕ ω ω ϕ

ω ϕ ω ω ϕ

+

+



 = + ⇒ = + +



− 

 

= 

  

= + ⇒ = + +

 

∫ ∫

NÕu NÕu Chú ý:

1)Đối với đề thi trắc nghiệm thông thường liên quan đến trường hợp đặc biệt sau đây:

2 2

T

t − =t m ⇒ =S m A

+ Nếu vật xuất phát từ vị trí cân (x(t1) = 0) từ vị trí biên (x(t1) = ± A) thì qng đường vật sau phần tư chu kì A.

2

T

t − =t n ⇒ =S nA

+ Căn vào tỉ số:

( )1 ( )

2

.2

0,5 0; .2

t

S q A

t t

q

T x A S q A

 ⇒ =

− = 

= ± ⇒ =



Sè nguyªn

Số bán nguyên

2) Cú th dùng phương pháp ‘Rào’ để loại trừ phương án:

+ Quãng đường ‘trung bình’ vào cỡ: 1.2 0,5

t t

S A

T −

=

+ Độ chênh lệch với giá trị thực vào cỡ:

( )

max

2 sin cos

2

2

sin cos 0,

2

t t

A A

S S

A

t t

A A A

ω ω

ω ω

∆ −  − ∆ 

 

−  

∆ = =

∆ ∆

 

=  + − < − ≈

 

+ Quãng đường vào cỡ: S = ±S 0, 4A

Tình 23: Khi gặp tốn tìm thời gian để quãng đường định làm nào?

Giải pháp:

+ Các trường hợp riêng:

Quãng đường sau nửa chu kỳ 2A và sau nT/2 n.2A Quãng đường sau chu kỳ 4Avà sau mT m.4A

Nếu vật xuất phát từ vị trí cân (x(t1) = 0) vị trí biên (x(t1) = ±A) quãng đường sau 1/4 chu kì A sau nT/4 nA

+ Các trường hợp khác:

Phối hợp vòng tròn lượng giác với trục thời gian để xác định

Tình 24: Khi gặp tốn tìm vận tốc trung bình tốc độ trung bình làm nào?

Giải pháp:

Vận tốc trung bình: ( )

( )

1

2

2 2

cos cos

x A t

x x

x v

t t t x A t

ω ϕ ω ϕ

 = +

−

∆ 

= = = 

∆ −  = +

( )

S S

v S

t t t

∆ ∆

= = = ∆

∆ −

Quãng đường Dùng VTLG PTLG để tính

Thêi gian

Vận tốc trung bình âm, dương tốc độ trung bình ln dương

Quy trình giải nhanh:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 /

2

2

/

2

.2 A sin cos

0,

.2 A cos sin

t

t mT

t

t mT

m A t dt

S

x A t v

t t t t

t t

m

T

m A t dt

S

x A t v

t t t t

ω ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ + +   + +  = + ⇒ = =  − − −    =     + +   = + ⇒ = =  − −  ∫ ∫ NÕu NÕu ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

2

2

.4 A sin cos

.4 A cos sin

t

t nT

t

t nT

n A t dt

S

x A t v

t t t t

t t

n T

n A t dt

S

x A t v

t t t t

ω ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ + +   + +  = + ⇒ = =  − − −    =     + +   = + ⇒ = =  − −  ∫ ∫ NÕu NÕu Chú ý:

1) Cách dùng máy tính chiếm ưu vượt trội so với truyền thống Bài toán tìm quãng đường tốc độ trung bình từ t1 đến t2 giải theo cách truyền thống học sinh có học lực trung bình trở xuống thường “bị dị ứng”, giải theo cách chuyện ổn Tuy nhiên, nói xi nói ngược lại, khơng có cách giải vạn “cao nhân có cao nhân trị”.

2)Nếu toán liên quan đến pha dao động dựa vào vịng trịn lượng giác: + Tìm vị trí đầu vị trí cuối vịng trịn lượng giác.

+ Quãng đường ∆S = Chiều dài hình chiếu dịch chuyển.

+ Góc qt thêm thời gian quét: ϕ 2 1 t ϕ

ω

∆ ∆ = Φ − Φ ⇒ ∆ =

+ Tốc độ trung bình: v S

t ∆ =

∆

3)Tốc độ trung bình lớn nhỏ nhất:

max max min sin 2

2 cos A S v t t T t t A S v t t ϕ ϕ ω π ϕ ∆   = =  ∆ ∆ 

∆ < ⇔ ∆ = ∆ <  ∆

 

  − 

 = =  

 ∆ ∆



NÕu th ×

max max

max

min

min

.2 sin

' 2

' ' '

'

.2 cos

' 2

' ' '

n A A

S n A S

v

t t t

T

t n t

n A A

S n A S

v

t t t

ϕ ϕ ∆  +  = = + =  ∆ ∆ ∆  ∆ = + ∆  ∆    +  −  +  = = =    ∆ ∆ ∆ 

NÕu th ×

3)Khi biết vận tốc trung bình tốc độ trung bình tính đại lượng khác, ta dựa vào định nghĩa để suy ngược:

2 2 2 0

v x x

x x

x

v v x x

t t t

v x x

> ⇒ > 

−

∆ 

= = =  < ⇒ <

∆ −  = ⇒ =



: §é dêi

VËn tèc trung b × nh

Thêi gian

2

S S

v

t t t

∆ ∆

= = =

∆ −

: Qu·ng ®­êng

Tốc độ trung b ì nh

Thêi gian

*Hai điểm liên tiếp quỹ đạo có v =

1

; ;

x A x A

x A x A

= − =



 = = −

 thời gian ngắn

nhất hai điểm 2

T t − =t

*Hai điểm liên tiếp quỹ đạo có

2

A

v =ω

1 2 3 ; 2 3 ; 2 A A x x A A x x  = − =    = = −  

và thời gian

đi ngắn hai điểm

T t − =t

*Hai điểm liên tiếp quỹ đạo có

2

A

v =ω

1 2 ; 2 ; 2 A A x x A A x x  = − =    = = − 

thời gian

ngắn hai điểm

*Hai điểm liên tiếp quỹ đạo có

2

A

v =ω

1

1

;

2

;

2

A A

x x

A A

x x

 = − =

 

 = = −



và thời gian

ngắn hai điểm

T t − =t

4)Các toán liên quan vừa quãng đường vừa thời gian:

*Vật dao động điều hòa từ xMđến xN(lúc theo chiều) tiếp đoạn đường s đủ chu kì thì: 4A= +s xN −xM

*Vật dao động điều hòa từ -x1 đến x1 thời gian 2t1 (lúc theo chiều)

và tiếp thời gian ∆t đủ chu kì: 1

2

2 sin

T t t x A t

T

π

= + ∆ ⇒ =

*Vật dao động điều hòa từ điểm M đoạn đường s (lúc theo chiều) thì đến biên tiếp T/n (với T/4 < T/n < T/2) trở M:

1

1

1

2 sin

s A x

x A t

T T

T t

n

π

= + 

 ⇒ =

 = +



*Vật dao động điều hòa từ điểm M đoạn đường s (lúc theo chiều) thì

đến biên tiếp T/n (với T/n < T/4) trở M: 1

1

2 sin

s A x

x A t

T T

T t

n

π

= − 

 ⇒ =



*Vật dao động điều hòa T/n (với T/2 < T/n < T) vật từ -x1 đến x1:

1 1

2

2 T sin

T t x A t

n T

π

= + ⇒ =

Tình 25: Khi gặp tốn chứng minh hệ dao động điều hịa làm nào? Giải pháp:

Muốn chứng minh vật dao động điều hoà, cần xác định hợp lực tác dụng lên vật (theo phương chuyển động) li độ x chứng minh hợp lực có dạng

F = −Kx Các bước chứng minh hệ dao động điều hịa:

Bước 1: Xét vật vị trí cân để rút điều kiện

Bước 2: Xét vật vị trí có li độ x để rút biểu thức hợp lực F = −Kx

Bước 3: ; ;

2

m

T f

m m

κ κ

ω π

κ π

= = = (với m = VD)

1.2 Con lắc lò xo

+ Con lắc lị xo gồm lị xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, đầu gắn cố định, đầu gắn với vật nặng khối lượng m

+ Tại thời điểm t vật có li độ x Lực đàn hồi lị xo F = - kx + Áp dụng định luật II Niutơn ta có: ma = –kx → a + k

mx = Đặt : ω

= k

m viết lại: x”+ ω2x = ; nghiệm phương trình x = Acos(ωt+ϕ) hệ dao động điều hòa

+ Chu kì dao động lắc lị xo: T = 2π m k

+ Lực gây dao động điều hịa ln ln hướng vị trí cân gọi lực kéo hay lực hồi phục Lực kéo có độ lớn tỉ lệ với li độ lực gây gia tốc cho vật dao động điều hịa Biểu thức tính lực kéo về: F = - kx

+ Thế năng: Wt = 2kx

2 =

2k A

+ Động : Wđ = 2mv

2 =

2 1

mω2A2sin2(ωt+ϕ)

Động vật dao động điều hịa biến thiên tuần hồn với tần số góc ω’ = 2ω, tần số f’ = 2f chu kì T’ = T/2

+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = 2 1

k A2 = 2 1

mω2A2 = số Cơ lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động Cơ lắc bảo tồn bỏ qua ma sát Tình 1: Con lắc lò xo dao động hệ quy phi qn tính làm nào?

Giải pháp:

Khi hệ quy chiếu chuyển động thẳng biến đổi với gia tốc a vật dao động lắc chịu thêm lực quán

tính Fqt = −ma Vị trí cân dịch theo hướng lực

đoạn: Fqt

b k =

Nếu hệ quy chiếu quay với tốc độ góc ω vật chịu thêm lực li tâm có hướng tâm có độ lớn: 2

lt

mv

F m r

r ω

= = Vị trí cân dịch theo hướng lực đoạn: b Flt

k =

Chú ý: Nếu tính tốc độ góc ωthì góc quay được, số vịng quay trong thời gian ∆t là:

2

t t n

ϕ ω ϕ ω π π

∆ = ∆ 



∆ ∆

 = =



Tình 2: Với lắc lị xo mà toán liên quan đến năng, năng, động làm nào?

Giải pháp:

( )

cos

( )

sin cos

2

v= −ωA ω ϕt+ =ωA ω ϕt+ +π 

 

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2 2

2

'

cos cos 2

2 ' 2

sin cos 2

'

2

2

t

d

kx kA kA

W t t

f f

mv m A kA

T

W t t

T ω ω ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ    =   = = + =  + +     =       = = + =  − +   =   t T n ∆

= ; k f

m T

π ω= = π =

2

2 2 2

2 2 2

max

t d

mv

kx mv m A kA

W =W +W = + = ω = =

( )

2

2 2

2

2 2

k m ma

mv W

a ma

k

a x x

k ω ω ω  =  ⇒ = +  = − ⇒ = − = −  Chú ý:

1)Với toán cho biết W, v, x (hoặc a) yêu cầu tìm A trước tiên ta tính k trước (nếu chưa biết) tính A

2

2 2

2 2 ? 2 kx mv W W k A k

m a mv

W k  = +  ⇒ = ⇒ =   = + 

2)Với toán cho biết W, v0, a0 yêu cầu tìm ω, ϕ trước tiên ta tính ωA.

( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ? sin

' sin ?

cos ?

' cos

t

m A W

W A

m

v A

v x A t

a A

a v A t

ω ω ω ϕ ω ω ϕ ω ω ω ϕ ϕ ωω ω ϕ =  = ⇒ = =    = = − +  = − =     → ⇒  = = − +  = −  =   

Tình 3: Khi gặp toán khoảng thời gian liên quan đến năng, năng, động làm nào?

Giải pháp:

Nếu Wt =nWd tồn có (n + 1) phần: “chiếm n phần” động

năng “chiếm phần”

2

1

W W

1 2

W W W W t t d d

n kx n kA n

x A x

n n n

Khoảng thời gian lần liên tiếp Wt =nWd 2t1hoặc 2t2

*Nếu n = ( 1 0, 71

2

x

A = ≈ ) 21 22 4

T

t = t = .

*Nếu n > ( 1

0, 71 2

x

A > ≈ ) 21 4; 2 4 22

T T

t > t < ⇒ ∆t = t *Nếu n < ( 1

0, 71 2

x

A < ≈ ) 21 4; 22 4 21

T T

t < t > ⇒ ∆t = t Chú ý:

1)Với tốn cho biết khoảng thời gian u cầu tìm W làm theo quy trình sau:

2

2

? ? W

2

m A

t T

T

π ω

ω

2) Các khoảng thời gian lặp:

*Khoảng thời gian lần liên tiếp đại lượng x, v, a, F, p, Wt, Wd có độ lớn cực đại T/2.

*Khoảng thời gian lần liên tiếp Wt = Wd T/4.

*Nếu lúc đầu vật vị trí biên vị trí cân sau khoảng thời gian ngắn nhất T/2 vật lại vị trí cân khoảng cũ.

*Nếu lúc đầu vật cách vị trí cân khoảng x0mà sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t (∆t < T) vật lại cách vị trí cân băng khoảng cũ x0 = A/√2 ∆t = T/4.

Tình 4: Khi gặp tốn liên quan đến cắt lò xo giữ cố định điểm lị xo làm nào?

Giải pháp:

Giả sử lị xo có cấu tạo đồng đều, chiều dài tự nhiên l0, độ cứng k0, cắt

thành lò xo khác

.S ES

k E kl const

l

= ⇒ = = 0 1 2

0

n n n

k l k l k l k l

l l l l

= = = =



 = + + + 

  Nếu cắt thành lị xo

0 0

0 ' '

' '

l

k k

l

k l kl k l

l

k k

l  = 

= = ⇒ 

 = 

Nếu lò xo cắt thành n phần

1 n n

n l

l l l k k k nk

n n

ω



= = = = ⇒ = = = = 



, f tăng lần

T giảm lần

Nếu lúc lắc qua vị trí cân bằng, giữ cố định điểm lò xo khơng làm thay đổi hệ:

1 1

1

2

1 1

1

1

2

l l

k l kl k k f f

l l

k A kA k l

A A A

k l



= ⇒ = ⇒ =

  

 = ⇒ =



 =

Nếu lúc lắc qua vị trí li độ x, giữ cố định điểm lị xo bị nhốt 2

2 nhot

l kx W

l

2 2

1

1 1

1 '

2 2

nhot

k A kA l kx l

W W W k l kl k k

l l

 

= − ⇔ = −  = ⇒ = 

 

Tình 5: Khi gặp toán liên quan đến ghép lị xo phải làm nào? Giải pháp:

* Ghép nối tiếp:

1

1 1

nt

k =k +k +

* Ghép song song: ks = +k1 k2+

* Nếu vật có khối lượng m liên kết với lị xo khác hệ thức liên hệ:

2 2

1

2 2

1

2 2 2

1 2

1 1

1 1

nt

nt

s s

T T T

f f f

T T T f f f



 = + + = + +

 ⇔

 = + + 

  = + +

 

 





Nếu lúc lắc qua vị trí cân bằng, ghép thêm lị xo không làm thay đổi hệ: 2

1

1 1

2

s s t t t

nt

s t

s s

k A k A k

k k k

A A

k

k k k

 = + +



= ⇒ = 

 = + + 

Nếu lúc lắc qua vị trí có li độ x, lị xo khơng cịn tham gia dao động phần lượng bị đàn hồi lò xo bị

Tình 6: Khi gặp tốn liên quan đến chiều dài lị xo làm nào? Giải pháp:

Xét trường hợp vật

0

min CB

max CB CB

CB

l l l

l l A

l l x

l l A

= + ∆ 

 = +



 =

+ 

 = −

 

T¹i VTCB :

Tại VT li độ x :

+A≤ ∆ ⇒l0 Khi dao động lị xo ln bị dãn

0

l A

l A

∆ − 



∆ + 

+A> ∆ ⇒l0 Khi dao động lị xo có lúc dãn có lúc nén

0

0

l

Kh ng l

l A

 − ∆



− ∆ 

 ∆ +



NÐn nhiÒu nhÊt (khi vËt cao nhÊt): A ô biến dạng khi: x =

DÃn nhiều nhÊt (khi vËt thÊp nhÊt):

Chú ý:

1)Từ công thức

2

2 2

2 ;

v

x A a ω x

ω

+ = = − suy ra:

2

2

4

a v

A

ω +ω = .

2)Khi vật có tốc độ khơng lị xo khơng biến dạng A = ∆l0:

2

0

2

0

sin sin sin cb

mg g g

k l

A l v A

mg g g

k l

ω ω

ω

α α ω α

ω



= ⇒ =



∆ 

= ∆ = ⇒ =

 = ⇒ =

 ∆



2 2

2

2 4

2

4

2 2 2

2

2 4

sin

a a v g

x

a v

A

v a v g

x A

ω ω ω ω

ω ω α

ω ω ω ω

 

= −   + =



⇒ + = ⇒

 



+ =   + =



3) Chiều dài lị xo vị trí cân bằng, vị trí có li độ x (chọn chiều trục Ox hướng xuống), vị trí cao vị trí thấp nhất:

0

2

min 2 2

2

2

CB

CB CB t

CB CB

d t

max CB max CB

l l l

kx

l l x x l l W

l l A A l l

kA kx

W W W

l l A A l l

= + ∆



= + ⇒ = −   =

 

= − ⇒ = − ⇒

  = − = −

= + ⇒ = − 

Lúc vật VTCB, lị xo bị nén: ∆l0

-Nếu A≤ ∆l0 thì q trình dao động lị xo ln ln bị nén + nén nhiều nhất: (∆ +l0 A).

+ nén nhất: (∆ −l0 A).

-Nếu A> ∆l0 vị trí

+ thấp lị xo nén nhiều nhất: A+ ∆l0.

+cao lò xo dãn nhiều nhất: A− ∆l0.

Tình Khi gặp tốn liên quan đến thời gian lị xo nén dãn làm nào? Giải pháp:

Nếu A ≤∆l0 trình dao động lị xo ln ln dãn Vì vậy, ta xét trường hợp A > ∆l0! Trong chu kì thời gian lò xo nén, thời gian lò xo dãn lần

lượt là:

0

0

1

2 arccos arccos

2 arccos arccos

l T l

t

A A

l T l

t T T

A A

ω π

ω π

∆ ∆

 = =



 ∆ ∆

 = − = −



nÐn

Kinh nghiệm: Trong đề thi hành phổ biến trường hợp ∆l0 = A/2! Lúc này, chu kì thời gian lị xo nén T/3 thời gian lò xo dãn 2T/3

Chú ý: Trường hợp vật ngược lại

Nếu A ≤∆l0thì trình dao động lị xo ln ln nén Vì vậy, ta xét trường

hợp A > ∆l0! Trong chu kì thời gian lị xo dãn, thời gian lò xo nén là:

0

0

1

2 arccos arccos

2 arccos arccos

l T l

t

A A

l T l

t T T

A A

ω π

ω π

∆ ∆

 = =



 ∆ ∆

 = − = −



d·n

nÐn

Tình 8: Khi gặp toán liên quan đến lực đàn hồi, lực kéo (lực hồi phục) làm nào?

Giải pháp:

+ Lực kéo ln có xu hướng đưa vật VTCB có độ lớn tỉ lệ với li độ (F = k|x|) + Lực đàn hồi ln có xu hướng đưa vật vị trí lị xo khơng biến dạng, có độ lớn tỉ lệ với độ biến dạng lò xo (Fd = k|∆l|)

*Với lắc lị xo nằm ngang lực hồi phục lực đàn hồi (vì VTCB lị xo khơng biến dạng)

( )

max

2

2 A sin

dh

dh max

l x F F k l k x

x t F F kA m A

F x

v k

x A

p v

m

ω ϕ ω

ω

∆ = ⇒ = = ∆ =

= + ⇒ = = =

 = 

+ = 

 = 

Tình 9: Khi gặp tốn liên quan đến khoảng thời gian hướng lực đàn hồi làm nào?

Giải pháp:

*Độ lớn lực đàn hồi lớn F1 = kx1 vật nằm ngồi khoảng (-x1; x1), ứng với thời gian chu kì 4t2

*Độ lớn lực đàn hồi nhỏ F1 = kx1 vật nằm khoảng (-x1; x1), ứng với thời gian chu kì 4t1

*Độ lớn lực kéo nhỏ F1 = kx1 vật nằm khoảng (0; x1), ứng với thời gian chu kì 2t1

*Độ lớn lực kéo lớn F1 = kx1 vật nằm khoảng (x1; A), ứng với thời gian chu kì 2t2

*Độ lớn lực đẩy nhỏ F1 = kx1 vật nằm khoảng (-x1; 0), ứng với thời gian chu kì 2t1

*Độ lớn lực kéo lớn F1 = kx1 vật nằm khoảng (-A; -x1), ứng với thời gian chu kì 2t2

*Với lắc lị xo dao động theo phương thẳng đứng, xiên

Trường hợp vật

* Với lắc lò xo thẳng đứng đặt mặt phẳng nghiêng, gọi ∆l0 độ biến

dạng lò xo VTCB

+ Khi chọn chiều dương hướng xuống biểu thức lực đàn hồi lúc vật có li độ x:

( )

0 : :

dh

F = ∆ =k l k ∆ + l x > ⇒

< ⇒



Lò xo dãn Lực đàn hồi lực kéo. Lò xo nén Lực đàn hồi lực đẩy. (Khi chọn chiều dương hướng lờn thỡ Fdh= ∆ =k l k(∆ −l0 x))

+ Lực đàn hồi cực đại (là lực kéo): FMax = k(∆l0 + A) = FKmax (lúc vật vị trí thấp

nhất)

+ Lực đàn hồi cực tiểu:

* Nếu A ≥ ∆l0⇒ FMin = (lúc vật qua vị trí lị xo khơng biến dạng)

Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: FNmax = k(A - ∆l0) (lúc vật vị

trí cao nhất)

Trường hợp vật trên:

m

0

min 0

m

m 0

2 ax CB

ax CB ax

l l

l l l A

l l l A

l l

l

l l l A

− 

= − ∆

  =

 = − ∆ − ⇒

  +

 = − ∆ +  =

 

+ Lực đàn hồi cực đại (là lực đẩy, lực nén): FMax = k(∆l0 + A) = FNMax

+ Lực đàn hồi cực tiểu (lực nén):

* Nếu A < ∆l0⇒ FNmin = FMin = k(∆l0 - A)

* Nếu A ≥ ∆l0⇒ FMin =

Lực kéo đàn hồi cực đại: FKmax = k(A - ∆l0) (lúc vật vị trí cao nhất)

Chú ý :

1)Để tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu ta làm sau :

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

max

min min diem _ cao _ nhat

nen _ max

F k l A

F k l A

F

F k l A

F k A l

 = ∆ +



> ⇒ = ∆ −

 

 = ∆ − = =

 

 

≤ ⇒  

  = − ∆

 

 



2) Nếu lò xo chịu lực kéo tối đa F0 điều kiện lị xo khơng bị đứt Fmax ≤ F0.

3) Nếu A ≤∆l0 q trình dao động lị xo ln dãn (lực đàn hồi lực kéo

( ) ( )

keo _ max keo _ min

4) Nếu A > ∆l0 thì q trình dao động lị xo có lúc dãn, có lúc nén có lúc khơng biến dạng

( )

( )

0

0

TN CN

F k l A

A l

F k l A

 = ∆ +

 > ∆ ⇒ 

= ∆ − <



VÞ trÝ thÊp nhÊt : VÞ trÝ cao nhÊt :

( )

( )

0 keo _ max

nen _ max

F k l A

F k A l

 = ∆ +

 

= − ∆



Lực kéo cực đại : Lực nén cực đại :

4) Hướng lực đàn hồi lực hồi phục :

+Trong đoạn PE lực đàn hồi lực hồi phục (lực kéo về) hướng xuống.

+Trong đoạn EO lực đàn hồi hướng lên lực hồi phục (lực kéo về) hướng xuống.

+ Trong đoạn OQ lực đàn hồi lực hồi phục (lực kéo về) đều hướng lên.

Tình 10: Khi gặp toán liên quan đến sợi dây hệ làm nào? Giải pháp:

Muốn hệ dao động điều hịa sợi dây phải ln căng muốn lị xo phải ln dãn, tức

mg

A l

k

≤ ∆ =

Lực căng sợi dây độ lớn lực đàn hồi (lực kéo) : R= ∆ = ∆ +k l k( l0 x)

( ) ( )

( ) ( )

min

max

R k l A mg kA

R k l A mg kA

 = ∆ − = −

 

= ∆ + = +



Khi vËt ë VT cao nhÊt Khi vËt ë VT thÊp nhÊt Nếu sợi dây chịu lực kéo tối đa F0 điều kiện để sợi dây không đứt Rmax ≤ F0

Tình 11: Khi gặp tốn liên quan đến kích thích dao động va chạm theo phương ngang làm nào?

Giải pháp:

*Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm mềm vào vật M đứng yên

( ) ( )

0

mv

mv m M V V

m M

= + ⇒ =

k

m M

V A

ω ω

 =

 +

  = 

Nếu sau va chạm hai vật dao động điều hòa th ì

*Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm đàn hồi vào vật M đứng yên sau va chạm vận tốc m M v V:

( )

0

2 2

0

0

1 1

2 2

mv

mv mv MV V

m M

m M

mv mv MV

v v

m M



= + =

 

 ⇒ +

 = +  −

  =

  +

VËn tèc cña M ë VTCB

k M V A

ω ω

 =    = 

Nếu sau va chạm M dao động điều hịa th ì

Tình 12: Nếu lắc lị xo dao động theo phương ngang với biên độ A0 lúc vật đến vị trí biên (x0 = ±A0) xẩy va chạm làm nào?

Giải pháp:

0

2

0

0

k

m M

mv V

V

m M

A x

k M

mv V

m M

ω

ω ω

 

=

 

+

 

  =

  +

  ⇒ = +





 =



 

 

  =

  +



Va ch¹m mỊm :

Va chạm đàn hồi :

Tình 13: Khi gặp toán va chạm theo phương thẳng đứng làm nào? Giải pháp:

Tốc độ m trước va chạm: v0= 2gh *Nếu va chạm đàn hồi vị trí cân không thay đổi

0

2 2

0

1 1

2 2

mv mv MV

mv mv MV

= +

 

 = +



( )

0 2mv V

m M

m M

v v

m M

 =

 +

⇒  −

 =

 +



V A

k M

ω

⇒ =V =

*Nếu va chạm mềm vị trí cân thấp vị trí cân cũ đoạn

mg x

k

= vận tốc hệ sau va chạm: V mv0

m M

=

+ (vận tốc vật vị trí cách vị trí

cân đoạn x0) Biên độ sau va chạm: 2

0

V

A x

ω

= + với k

M m

ω=

+

Chú ý:

1)Nếu đầu lò xo gắn với Md A ≤∆l0 q trình dao động lị xo ln bị nén tức lị xo ln đẩy Md nên vật Md không bị nhấc lên Nếu A > ∆l0 muốn Md khơng bị nhấc lên lực kéo cực đại lị xo (khi vật vị trí cao lị xo dãn cực đại A - ∆l0) khơng lớn trọng lượng Md:

( )

max d

Mg

F k A l k A kA Mg M g

k

 

= − ∆ =  − = − ≤

 

2) Nếu lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng với biên độ A0 đúng lúc vật đến vị trí biên (x0 = ±A0) mới xẩy va chạm đàn hồi thì

2

0

0

k

V

M A x

mv V

m M

ω

ω

 =

 ⇒ = +

  =

 +



3) Nếu lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng với biên độ A0 lúc vật đến vị trí cao xẩy va chạm mềm sau va chạm vật có li độ so

với VTCB (A0 + x0) có vận tốc

mv V

m M

=

+ nên biên độ mới:

( )2

0

V

A A x

ω

= + + với k

m M

ω=

+

4) Nếu lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng với biên độ A0đúng lúc vật đến vị trí thấp xẩy va chạm mềm sau va chạm vật có li độ so với VTCB (A0 - x0) có vận tốc

mv V

m M

=

( )2

0

V

A A x

ω

= − + với k

m M

ω=

+

Tình 14: Khi gặp tốn liên quan đến kích thích dao động lực làm nào?

Giải pháp:

*Nếu tác dụng ngoại lực F vào vật theo phương trùng với trục lị xo khoảng thời gian ∆t ≈ vật dao động xung quanh VTCB cũ Oc với biên độ:

0

F

A l

k = ∆ =

*Nếu tác dụng ngoại lực vơ chậm khoảng thời gian ∆t lớn vật đứng yên

tại vị trí Om cách VTCB cũ Oc đoạn

F l

k

∆ =

*Nếu thời gian tác dụng (2 1)

T

t n

∆ = + trình dao động chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn (0 < t < ∆t): Dao động với biên độ

F

A l

k

= ∆ = xung quanh VTCB

Om

Giai đoạn (t ≥∆t): Đúng lúc vật đến M ngoại lực thơi tác dụng Lúc VTCB Oc nên biên độ dao động 2

F

A l

k

′ = ∆ =

*Nếu thời gian tác dụng ∆ =t nT trình dao động chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn (0 < t < ∆t): Dao động với biên độ

F

A l

k

= ∆ = xung quanh VTCB

Om

*Nếu thời gian tác dụng (2 1)

T

t n

∆ = + trình dao động chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn (0 < t < ∆t): Dao động với biên độ

F

A l

k

= ∆ = xung quanh VTCB

Om

Giai đoạn (t ≥∆t): Đúng lúc vật đến Om với vận tốc ωA ngoại lực thơi tác dụng Lúc VTCB Oc nên vật có li độ A biên độ

( )2

2

' A

A A ω A

ω

= + =

*Nếu thời gian tác dụng

4 12

T T

t nT

∆ = + + trình dao động chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn (0 < t < ∆t): Dao động với biên độ

F

A l

k

= ∆ = xung quanh VTCB

Om

Giai đoạn (t ≥ ∆t): Đúng lúc vật có li độ Om A/2 với vận tốc

ωA 3/2 ngoại lực thơi tác dụng Lúc VTCB Oc nên vật có li độ A + A/2

và biên độ là:

2

2

'

2

A A

A A A

ω ω

 

 

   

=  +  + =

 

Quy trình giải nhanh:

( )

( )

0

2

2

2

2

4

3 12

F

t A

k

T F

t n A

k m

T t nT A

k

T F

t n A

k

T T F

t nT A

k

π

∆ ≈ → = 



∆ = + → ′=



 ′

= ∆ = → =



∆ = + → ′=

 

′

∆ = + + → =

 

Tương tự, cho trường hợp:

4

T T

t nT

∆ = + + ;

4

T T

t nT

∆ = + + ,…

Chú ý: Lực tĩnh điện

0

q F E

F qE

q F E

 > ⇒ ↑↑ 

= 

< ⇒ ↑↓ 

 

 

Tình 15: Khi gặp tốn kích thích dao động cách cho đầu lò xo chuyển động làm nào?

Giải pháp:

Ví dụ minh họa: Một nặng có khối lượng m, nằm mặt phẳng nằm ngang, gắn với lị xo nhẹ có độ cứng k lị xo theo phương thẳng đứng Đầu tự lò xo bắt đầu nâng lên thẳng đứng với vận tốc v không đổi Xác định độ biến dạng cực đại lò xo

A v m

k B 2

m v

k

C mg

k D

mg m

v k + k

Hướng dẫn

Lúc đầu lò xo dãn dần vật m bắt đầu rời sàn lị xo dãn

mg l

k

∆ = , lúc này, xem vật vị trí cân truyền vận tốc v (hướng lên) sau vật m dao động điều hịa với tần số góc k

m

Do đó, biên độ A v v m k

ω

= = độ dãn cực đại lò xo là:

0

mg m

l A v

k k

∆ + = + ⇒Chän D

1.3 Con lắc đơn

+ Con lắc đơn gồm vật nặng treo vào sợi dây không dãn, vật nặng kích thước khơng đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng vật nặng

+ Khi dao động nhỏ (sinα≈α(rad)), lắc đơn dao động điều hòa với phương trình: s = Acos(ωt + ϕ) α = αmaxcos(ωt + ϕ); với α =

l s

; αmax =A

l

+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: T = 2π

g l

; f =

π

2 1

l g

; ω = l g

+ Lực kéo biên độ góc nhỏ: F = - s

+ Xác định gia tốc rơi tự nhờ lắc đơn : g = 2 4 T l π

+ Chu kì dao động lắc đơn phụ thuộc độ cao, vĩ độ địa lí nhiệt độ môi trường

+ Động : Wđ = 2 1

mv2 + Thế năng: Wt = mgl(1 - cosα) ≈

2 1

mglα2 (α≤ 100≈ 0,17 rad, α (rad)) + Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cosαmax) =

2 1

mglα2max Cơ lắc đơn bảo toàn bỏ qua ma sát

Tình 1: Khi gặp tốn liên quan đến cơng thức tính ω, f, T làm nào? Giải pháp: 1 2 2 t l T g n t l l T g n π π  ∆ = =    ∆ + ∆  = =   ;

1 2 2

1

2 2

1

1 2

2 ;

2 ;

l l

T T

g g T T T

T T T

l l l l

T T g g π π π π + − + −  = =   = +  ⇒   = − + −   = =    Chú ý:

1)Công thức độc lập với thời gian lắc đơn suy từ công thức đối với

con lắc đơn:

ax 2 2 m A l v

A x x s l

g l α α ω ω = = + = = =

2) Công thức độc lập với thời gian:

ax

2

2

2 2

2 1

m x s

q A A

v x v

A x v A q

A A α α ω ω ω = = =     = + ⇒ =  +  → = −    

3) Với lắc đơn lực kéo tính

2 kv

x s l

F m x g

l α ω ω = = = − =

động cảm ứng:

2

2

2

d

B l

d BdS Bl d

e

dt dt dt dt

α π α

π

Φ

= − = − = − = −

( ) ( )

cos

sin

max t e Bl max t

α α= ω ϕ+ ωα ω ϕ

→ = +

Tình 2: Khi gặp tốn liên quan đến lượng dao động lắc đơn làm nào?

Giải pháp:

+ Khi ma sát bảo tồn, tổng động năng, cực đại, động cực đại:

( ) ( ) 2 ( )

W cos

W cos cos

2 W

2

t max max

d

mgh mgl

mv mv

mgl mgl mv

α

α α

 = = −



= − + = − = 

=  

+ Khi lắc đơn dao động bé ( )

2 2

1 cos sin

2 2

α α α

α    

− =   ≈   =

    nên

năng dao động:

2

2 2 2

2

W

W W

2 2 2 2

t

max

max d

max mgl

mv

mgl mv mgl m A mgA mv

l

A l

α ω

α α

α

 =

  

= + = = = =  =



 =

 

1)

2

2

2

2

2

2

W

2 +W =W

2 2

d d

t d

t

t max

d t max

d t

mv

mv W

W Cho v

W W W

mgl

mgl W mv

m A mgl Cho

W

W W W

α

α

ω α α

 

  =

= 

 ⇒ 



 

= −



 = 

 



   =

  ⇒ 

= = =

   = −

  

max max

1

1

1

t t

d

n n

W W

n n

W nW

W W v v

n n

α α



= ⇒ = ±

 + +



= ⇒ 

 = ⇒ = ±

 + +



2)Nhớ lại khoảng thời gian dao động điều hịa

Tình 3: Nếu gặp toán lắc đơn dao động điều hịa lúc qua vị trí cân làm thay đổi chiều dài cho khơng đổi làm nào? Giải pháp:

2 2

2

max max

2 2

' '

'

'

2 2

W ' W

' ' ' ' '

' '

2 '

max

max

l

m A mgA mgl

W

l l

m A mgA mgl l

W A A

l l

ω α α α

ω α



 =

= = = 

 

=  ⇒

 = = =  =

 

 

Tình 4: Khi gặp tốn liên quan đến vận tốc vật, lực căng sợi dây, gia tốc làm nào?

Giải pháp:

+ Từ cơng thức tính năng:

( ) ( )

W cos cos

2

max max

mv mv

mgl α mgl α

( ) ( )

( ) ( )

2

2 cos cos cos cos

2 cos cos

max max

max max max max

v gl v gl

v gl v gl

α α α α

α α

 = − ⇒ = ± −

 

= − ⇒ = −



Nếu αmax nhỏ

( ) ( )

( )

2

2 cos cos

2 1 cos

2

max max

max max

α α α α

α α

 − ≈ −

 

 − ≈



nên ( )

2 2

2

max

max max

v gl

v gl A

α α

α ω

 = −

 

= =



+ Lực đóng vai trò lực hướng tâm:

( )

( )

α

α α

α α

− = =

= −

⇒ = −

2

max max cos

2 cos cos

3cos 2cos

ht mv

R mg F

l m gl

l R mg

Chú ý:

1)Tại vị trí biên (α = ±αmax) lực căng sợi dây có độ lớn cực tiểu (Rmin = mgcosαmax). Tại vị trí cân (α = 0) lực căng sợi dây có độ lớn cực đại (Rmax = mg(3 -2cosαmax)).

2)Nếu sợi dây chịu lực kéo tối đa F0 điều kiện để sợi dây không đứt là Rmax≤ F0.

3) Nếu lắc đơn đứng yên vị trí cân lực căng sợi dây độ lớn và ngược hướng với trọng lực Nghĩa chúng cân nhau.

4) Nếu lắc dao động qua vị trí cân thời điểm lực căng ngược hướng với trọng lực có độ lớn lớn trọng lực:

( )

ax cos ax

m m

R =mg − α >mg

Hai lực không cân hợp lực chúng hướng theo Rmax 

( )

max max

ax ax

R R

2 cos

hl

ht m m

F mg

F R mg mg α



= + 

= − = −





   hướng theo

5) Ở vị trí khơng phải vị trí cân trọng lực lực căng sợi dây không ngược hướng nên không cân Tức lắc đơn dao động thì khơng có vị trí lực căng sợi dây cân với trọng lực Fhl = +R mg ≠0.

( ) ax ax

1 cos

3cos cos cos

3

m m

mg α− α =mg⇔ α = + α

Tình 5: Khi gặp toán lắc đơn dao động, lúc qua vị trí cân sợi dây bị vướng đinh, để tính lực căng sợi dây trước sau vướng đinh làm nào?

Giải pháp:

Nếu qua vị trí cân sợi dây vướng đinh độ lớn lực căng sợi dây trước sau vướng lần

lượt là: ( )

( axax)

3 cos ' cos '

m m

R mg

R mg

α α

 = −

 

= −



Để tìm biên độ góc sau vướng đinh ta áp dụng định luật bảo toàn năng:

(1 cos max) ' cos '( max)

W =mgl − α =mgl − α

( )

ax ax

cos ' 1 cos '

m m

l l

α α

⇒ = − −

Tình 6: Khi gặp tốn liên quan đến gia tốc lắc đơn làm nào? Giải pháp:

Dao động lắc lị xo chuyển động tịnh tiến nên có gia tốc tiếp tuyến Dao động lắc đơn vừa có gia tốc tiếp tuyến vừa có gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm) nên gia tốc toàn phần tổng hợp hai gia tốc nói trên:

( )

2

2 sin

2 cos cos

t tt

tt ht tt ht

ht max

P

a g

m

a a a a a a

v

a g

l

α

α α

 = =



= + ⇒ = + 

 = = −



  

Nếu αmax nhỏ ( ) ( )

2

1 cos cos

2 sin

max max

α α α α

α α

 − ≈ −

 

 ≈



nên tt ( 2 2)

ht max

a g

a g

α

α α

= 

 = −

Tình 7: Khi gặp tốn liên quan đến va chạm lắc đơn làm nào? Giải pháp:

Vật m chuyển động vận tốc v0

 đến va chạm với vật M Gọi v V,  vận tốc m M sau va chạm

+ Nếu va chạm mềm: v = V nên: ( ) ( )

mv

mv m M V V

m M

= + ⇒ =

+

+ Nếu va chạm đàn hồi: 0

2 2

0

0

0,5 0,5 0,5

m

V v

mv mv MV m M

m M

mv mv MV

v v

m M

 = 

= +

 ⇒ +

  −

= +

 

 =

 +



1) VẬT VA CHẠM VỚI CON LẮC TẠI VỊ TRÍ CÂN BẰNG Nếu lắc đơn đứng n vị trí

cân vật m chuyển động với vận tốc v0  đến va chạm vào

+ Nếu va chạm mềm tốc độ lắc sau va chạm (tại VTCB)

( mv0 )

V

m M

= +

+ Nếu va chạm đàn hồi tốc độ lắc sau va chạm (tại VTCB)

( 2mv0 )

V

m M

= +

V tốc độ cực đại lắc sau va chạm nên V = vmax với vmax

tính max max ( max) max

2 cos

v gh gl

v A

α ω

 = = −



 =

 (Dao động bé) với 2

max

A l

g f

l T

α

π

ω π

=   

= = =

 

+ Cơ lắc sau va chạm:

( )

max

2 max

2

d

d

m M V

W

MV W

 +

= 



 =



Con lắc đơn dao động lúc qua VTCB (có tốc độ cực đại v0 = vmax) va chạm với vật M đứng yên Trong :

( )

max max max

max

2 cos

v gh gl

v A

α ω

 = = −



 =

 (Dao động bé)

+ Nếu va chạm mềm (mvmax ) V

m M

= +

chính tốc độ cực đại lắc sau va chạm :

( ) ' ''maxmax 2' 'max (1 cos 'max)

max

max

v gh gl

mv

V v

m M v A

α ω

 = = −

= = 

+  = (Dao động bé)

+ Nếu va chạm đàn hồi max

m M

v v

m M

− =

+ tốc độ cực đại lắc sau va

chạm: max max ( max)

max

' ' cos '

'

' '

max max

v gh gl

m M

v v v

m M v A

α ω

 = = −

−

= = 

+  = (Dao động bé)

+ Cơ sau va chạm:

( )

max

2 max

2

d

d

m M V

W

mv W

 +

= 



 =



VC mềm : W' = VC đàn hồi : W' =

Tình 8: Khi gặp toán liên quan đến thay đổi chu kì lắc đơn làm nào?

Giải pháp

1.CHU KÌ THAY ĐỔI LỚN

+ Con lắc đưa lên cao:

( )

2 2

1

h

h

l' GM

g

T ' l' g l' R l' h

. . .

GM

T l l g l l R

R h

g

π π

 

= = = =  + 

 

+

+ Con lắc đưa xuống sâu:

( )

2

2 z

z

l' GM

g

T ' l' g l' R l' R

. . .

GM R z

T l l g l l R z

R g

π π

= = = =

+ Con lắc đưa lên Thiên Thể:

2 2

2

l' GM

g'

T ' l' g l' R l' M R'

. . . .

GM '

T l l g' l l M ' R

R' g

π π

= = = =

+ Con lắc đơn di chuyển Trái Đất:

2

l' g'

T ' l' g

.

T l l g'

g

π π

= =

2.CHU KÌ THAY ĐỔI NHỎ

Cơng thức gần đúng: (1+u)α ≈ +1 αu với u<<1

2 1

1

2

l l l l

l l l

+ ∆ = + ∆  ≈ + ∆

 

 

1

2 1

1

2

g g g

g g g g

−

 ∆  ∆

= +  ≈ −

+ ∆  

( ) (1 ) ( )

0

0 2 0 0

0

1 ' 1

1 ' 1 ' 1 '

1 2

t

t t t t t t

t

α α α α α α

α

−

+ = + + ≈ +  − ≈ + −

  

+   

1

2

1

2

R z z

R z R R

−

 

= −  ≈ +

−  

2 '/ '

' ' 1

' 2

2 /

l g

T l g l l g l g

T l g l g l g g l g

π π

+ ∆ ∆ ∆

= = = ≈ + −

+ ∆

+ Chu kì thay đổi nhiệt độ thay đổi:

( )

0

0 0

' ' '

'

'

T l g t

t t

T l g t

α α

α

+

= = ≈ + −

+

+ Chu kì thay đổi nhiệt độ vị trí địa lí thay đổi:

( )

0

0 0

' ' ' 1

'

' 2

T l g t g g

t t

T l g t g g g

α α

α

+ ∆

= = ≈ + − −

+ + ∆

+Chu kì thay đổi đưa lên độ cao h nhiệt độ thay đổi:

( ) ( )

0

0

0

' ' ' /

'

' /

T l g t GM R h

t t

T l g t GM R h R

α α

α

+

= = ≈ + − +

+ +

+ Chu kì thay đổi lực Acsimet

Quả nặng tích V đặt chìm chất lỏng chất khí có khối lượng riêng d ln chịu tác dụng lực đẩy Acsimet

A

F =dVg(giá trị nhỏ !!) Lực gây cho vật gia tốc a, có hướng ngược với hướng g có độ lớn

dVg dVg dg

a

m DV D

= = = (Với Dlà khối lượng riêng chất làm

nặng).

Lúc vai trò gia tốc trọng trường tác dụng lên vật thay gia tốc trọng trường hiệu dụng g' có hướng hướng với g có độ lớn g' g a g dg

D

= − = −

1

' '

1

'

T l g d d

T l g D D

−

 

= = −  ≈ +

 

+ Nếu ngoại lực F gây gia tốc nhỏ

m F

a= coi nguyên

nhân dẫn đến thay đổi nhỏ chu kì, gọi chung thay đổi chu kì nhỏ theo gia tốc có: 

     ∆

T T

= g

a

±

. 2 1

(lấy dấu - ngoại lực hướng với trọng lực ngược lại dấu +)

“TỔNG HỢP” TẤT CẢ CÁC NGUYÊN NHÂN:

( )

α ∆ = −

∆ ∆

= + − + − + + 

∆ = −



l l l

T l g h d

t t

T l g R D g g g

0 '

' 1

1 '

2 2 '

Gọi T, T’ chu kì đồng hồ chu kì đồng hồ sai Giả sử hai đồng hồ bắt đầu hoạt động lúc đến thời điểm số chúng t t’ Theo nguyên tắc cấu tạo đồng hồ lắc thì: tT = t’T’

+ Khi đồng hồ chạy sai t’ (s) đồng hồ chạy chỉ:t t T t l g

T l g

= ' ' = ' ' '

+ Khi đồng hồ chạy t (s) đồng hồ chạy sai chỉ: t t T t l g

T l g

= = '

'

' '

Chú ý:

1) Khi đồng hồ chạy đỳng tđồng hồ đúng =t thỡ đồng hồ chạy sai thời

gian:t tT

T =

đồng hồ sai ' Độ chờnh lệch:

0

0

T T

t t t t t t

T T

>

  

∆ = − = − =  −  <

  

đồng hồ ỳng ng h sai

Đồng hồ sai chạy chậm. Đồng hồ sai chạy nhanh.

:

' ' :

2) Khi đồng hồ chạy sai tđồng hồ sai =t' thỡ đồng hồ chạy đỳng thời gian: T

t t

T =

đồng hồ đúng

'

' Độ chênh lệch:

1

T T

t t t t t t

T T

 

∆ = − = − =  − 

 

đồng hồ đúng đồng hồ sai

' '

' ' '

0

>   < 

§ång hå sai chạy chậm. Đồng hồ sai chạy nhanh.

: :

3) Khi đồng chạy sai muốn cho chạy phải thay đổi chiều dài cho:

0

0

' 1

1

2 2

0

l

T g h l

t

l

T g R D

l

ρ α

∆

 > ⇒



∆ ∆ 

= + − + ∆ + + = ⇒ 

∆

 < ⇒

tăng

giảm

l l

4) Nếu sau ngày đêm đồng hồ chạy nhanh b (s) cần phải tăng chiều dài sao

cho: 1 ( ) ??

2 24.3600( )

l b s l

l s l

 

∆ ∆

+ − = ⇒ =

 

5) Nếu sau ngày đêm đồng hồ chạy chậm b (s) cần phải giảm chiều dài sao

cho: 1 ( ) ??

2 24.3600( )

l b s l

l s l

 

∆ + = ⇒∆ =

 

 

Tình 9: Khi gặp tốn liên quan đến dao động lắc đơn có thêm trường lực làm nào?

+ Khi chưa có F dao động lắc đơn bị chi phối trọng lực P: -Tại VTCB, phương dây treo song song với phương P (hay g) -Chu kỳ dao động: T l

g

π

=

+ Khi có thêm Fdao động lắc đơn bị chi phối trọng lực hiệu dụng (còn

gọi trọng lực biểu kiến): P'= +P F P' có vai trị P Gia tốc trọng trường

hiệu dụng (biểu kiến): g' P' g F

m m

= = +

 

  Lúc này:

-Tại VTCB, phương dây treo song song với phương P' (hay g') -Chu kỳ dao động: '

'

l T

g

π

=

Vì P (hay g) có hướng thẳng đứng từ xuống nên để thực phép cộng

các véc tơ P'= +P F hay g' g F m = +



  ta phân biệt trường hợp: F hướng thẳng đứng, hướng ngang hướng xiên Cần lưu ý P' (hay g') có phương trùng với sợi dây có chiều cho ln có xu hướng kéo căng sợi dây!

+ Khi F hướng thẳng đứng

' F

g g

m = +



  '

' F

F m

F

g g

m F

g g

m → = + 

→

→ = − 



xung hng thng ng

lên g >

+ Khi F hướng ngang

2

' tan

'

cos F

F

g g

m F P

F g

g g

m

α

α

= + →

 =

  

 

 = +  =

  



 

  hướng ngang

+ Khi F hướng xiên

' F F

g g

m

= + →



2

' cos

'

sin sin

sin sin '

F F

g g g

m m

P F F

mg

β

α β

β α

  

 = +  −

  



 = ⇒ =

 

Ta xét loại lực F phổ biến:

* Lực điện trường: F=qE, độ lớn F = |q|E (Nếu q > ⇒ F↑↑E; q < ⇒ F↑↓E

 

)

* Lực đẩy Ácsimét: FA 

luôn thẳng đứng hướng lên có độ lớn FA = ρgV Trong đó:

ρlà khối lượng riêng chất lỏng hay chất khí, g gia tốc rơi tự V thể tích phần vật chìm chất lỏng hay chất khí

*Lực qn tính: F= −ma, độ lớn F = ma (F↑↓a) Ta xét chi tiết trường hợp nói trên:

1 Khi Fcó phương thẳng đứng

Khi F hướng thẳng đứng xuống P' có hướng thẳng đứng xuống độ lớn P’ = P + F nên g’ = g + F/m Khi F hướng thẳng đứng lên mà F < P P' có hướng thẳng đứng xuống độ lớn P’ = P - F nên g’ = g - F/m Còn F hướng thẳng đứng

lên mà F > P P' có hướng thẳng đứng lên độ lớn P’ = F – P’ nên g’ = F/m - g

Chú ý:

1)Khi lắc đơn dao động mà lực F có hướng thẳng đứng bắt đầu tác dụng thì thay đổi hay khơng cịn phụ thuộc vào li độ lúc tác dụng:

+ Nếu lúc tác động lắc qua VTCB (α = 0) khơng làm thay đổi tốc độ cực đại (v’max = vmax) nên không làm thay đổi động cực đại, tức không làm thay đổi cơ năng dao động.

+ Nếu lúc tác động lắc qua VT biên (α = ±αmax) khơng làm thay đổi biên độ góc (α’max = αmax) nên tỉ số tỉ số cực đại tỉ số gia tốc. + Nếu lúc tác động lắc qua li độ góc α = ±αmax/n độ biến thiên lúc này độ biến thiên năng.

( ) ( )

( )

ax

2

ax

max

2

2 2

max max max max

'

* '

' '

* '

'

' ' '

* W

2

' '

' W ' ?

2 2

max max

m max max

m

t

t

W

v v

W

W g

W g

F

g g

m g g l m g g l g

m

W

n n n g

m g g l

mg l mgl

W W

n

α

α α α α

α

α α α

α α α α

 = ⇒ = ⇒ =

 

 = ± ⇒ = ⇒ =



= ±  − −  

 = ⇒ ∆ = = =  − 

  



−

 = + ∆ ⇒ = + ⇒ =



( ) ( )

( )

1

2 2

1 cos cos

2 cos

max

max

max max

max max max max

v gl v gl

v gl v gl

α α α α α α α α << <<  = − → = −   = − → = 

lúc ta thay g g’:

( ) ( )

( )

1

2 2

1

2 ' cos cos '

2 ' cos '

max

max

max max

max max max max

v g l v g l

v g l v g l

α α α α α α α α << <<  = − → = −   = − → = 

3) Khi lắc treo vật chuyển động biến đổi với gia tốc a (Chuyển động

nhanh dần a↑↑v và chuyển động chậm dần a↑↓v) theo phương thẳng đứng chịu thêm lực quán tính: F= −ma, độ lớn F = ma ( F↑↓a) nên gia tốc

trọng trường hiệu dụng: g' g F g a

m = + = −      2 l

a g' g a T '

g a

l

a g' g a T '

g a π π  ⇒ = − ⇒ =  −  ⇒   ⇒ = + ⇒ =  +    hướng xuống Xét a < g

hướng lên

4)Khi lắc đơn dao động mà thang máy bắt đầu chuyển động biến đổi đều theo phương thẳng đứng (g'= ±g a) thay đổi hay khơng cịn phụ thuộc

vào li độ lúc tác dụng:

+ Nếu lúc tác động lắc qua VTCB (α= 0) không làm thay đổi tốc độ cực đại (v’max = vmax) nên không làm thay đổi động cực đại, tức không làm thay đổi cơ năng dao động.

+ Nếu lúc tác động lắc qua VT biên (α = ±αmax) khơng làm thay đổi biên độ góc (α’max = αmax) nên tỉ số tỉ số cực đại tỉ số gia tốc. + Nếu lúc tác động lắc qua li độ góc α = ±αmax/n độ biến thiên lúc này độ biến thiên năng.

( ) ( ) ( ) ax 2 ax max 2

2 2

max max max max

'

* '

' '

* '

' ' '

* W

2

' '

' W ' ?

2 2

max max

m max max

m t t W v v W W g W g

m g g l m g g l g

W

n n n g

m g g l

mg l mgl

W W n α α α α α α α α α α α α α  = ⇒ = ⇒ =    = ± ⇒ = ⇒ =   − −    = ⇒ ∆ = = =  −      −  = + ∆ ⇒ = + ⇒ = 

2

2

2 tan

' '

cos ' '

cos F

F P

F P

g g P P F

m

P g F

g g

m m

α α

α

 =   

= + → = = +

 

⇒ = = = +



 

  hướng ngang

Chú ý:

1)Đối với trường hợp tụ điện phẳng, cường độ điện trường hướng từ dương sang âm có độ

lớn: E U

d

= , với U hiệu điện hai tụ và d khoảng cách hai tụ

2)Để tính vận tốc vật, trước tiên xác định g’, xác định vị trí cân bằng, từ xác định α, αmax áp dụng công thức:

( ) ( )

( )

1

2 2

1

2 ' cos cos '

2 ' cos '

max

max

max max

max max max max

v g l v g l

v g l v g l

α α

α α α α

α α

<< <<

 = − → = −

 

= − → =



3) Khi lắc treo vật chuyển động biến đổi với gia tốc a (Chuyển động

nhanh dần a↑↑v và chuyển động chậm dần a↑↓v) theo phương nằm ngang chịu thêm lực quán tính: F= −ma, độ lớn F = ma ( F↑↓a) nên gia tốc trọng trường hiệu dụng:

' F

g g g a

m

= + = −



    Khi VTCB,

phương dây treo hợp với phương

thẳng đứng góc β độ lớn gia tốc trọng trường hiệu dụng g’ > g

2

a tan

g

g

g' g a g

cos

β

β

 =

 

 = + = >

3 Khi F có phương xiên

2

'

' cos

'

sin sin

sin sin '

F

F

g g

m

F F

g g g

m m

P F F

mg

β

α β

β α

= + →

  

 = +  −

  



 = ⇒ =

 

 

  hướng xiên

Chú ý:

1) Nếu vật trượt không ma sát mặt phẳng nghiêng chuyển động là chuyển động nhanh dần với gia tốc a=g1 =gsinα

Khi lắc đơn treo vật vị trí cân phương sợi dây vng góc với mặt phẳng nghiêng có độ lớn g'=g2 =gcosα

2) Khi lắc đơn treo vật chuyển động nhanh dần xuống dốc gia tốc

trọng trường hiệu dụng 2

' cos

g = g +a − ga β và vị trí cân sợi dây

hợp với phương thẳng đứng góc ϕ cho: '

sin sin

a g

Tình 10: Khi gặp tốn hệ lắc thay đổi làm nào? Giải pháp:

*Con lắc vướng đinh

1

1 ; 2

l l

T T

g g

π π

= =

2

2

1 2

2

1

W W

2 2

mgA mgA mgl mgl

l l α α

= ⇒ = ⇒ =

1 2

T T

T = +

*Con lắc đơn va chạm đàn hồi với lắc lò xo (m1 = m2)

2 ax

2 m

mglα =kA

1

2

l T

g m T

k

π π

 =     = 

1 2

T T

T = +

2

2 1

2 2

2

k A k A T T T



= 



+

 =



*Con lắc đơn va chạm với mặt phẳng

l T

g

π

=

1 2

2 OC

T

T = + t

1

ax

2 sin

2 m

T

T arc β

ω α

= +

Tình 11: Khi gặp toán liên quan đến chuyển động vật sau dây đứt làm nào?

Giải pháp:

1) Đứt vật qua vị trí cân bằng

Phương trình chuyển động: 0,5

x v t

y gt

=  

= 

Khi chạm đất:

2

2 0,5

C C

C C

h

gt h t

g

x v t



⇒ = ⇒ =

 

 =



y = h

Các thành phần vận tốc: ( )( )0

2 tan

' '

' 0,5 '

y x

x y

x y

v gt

v x v t v

v v

v y gt gt

v v v

β



= =

 = = = 

 ⇒

 

= = =

 

 = +



2) Đứt vật lên qua vị trí có li độ góc α

Tốc độ cầu dây đứt: v0 = 2gl(cosα−cosαmax)

Sau dây đứt vật chuyển động giống vật ném xiên, phân tích vec tơ vận tốc ban đầu:

0 0

0 0 0

0 0

cos 30 sin 30

x

x y

y y y

v v

v v v v gt

 =



= 

= ⇒ = −



  

v v + v

Thành phần v0x bảo tồn Khi lên đến vị trí đỉnh vy =

Cơ vị trí vị trí cao lúc đầu:

( )

2

2

0

0 cos

2 2

y

x x

d max

mv

mv mv

mgh mgh mgl α

= + + = + = −

1.4 Dao động tắt dần Dao động trì Dao động cưỡng Cộng hưởng

1 Dao động tắt dần

Khi khơng có ma sát, lắc dao động điều hòa với tần số riêng Tần số riêng lắc phụ thuộc vào đặc tính lắc

Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi dao động tắt dần Nguyên nhân làm tắt dần dao động lực ma sát lực cản môi trường làm tiêu hao lắc, chuyển hóa thành nhiệt Vì biên độ lắc giảm dần cuối lắc dừng lại

Ứng dụng: Các thiết bị đóng cửa tự động hay giảm xóc tô, xe máy, … ứng dụng dao động tắt dần

2 Dao động trì

Nếu ta cung cấp thêm lượng cho vật dao động có ma sát để bù lại tiêu hao ma sát mà khơng làm thay đổi chu kì riêng dao động kéo dài gọi dao động trì

3 Dao động cưỡng bức

Dao động chịu tác dụng ngoại lực cưỡng tuần hoàn gọi dao động cưỡng

Dao động cưỡng có biên độ khơng đổi có tần số tần số lực cưỡng

Biên độ lực cưỡng lớn, lực cản nhỏ chênh lệch f fo biên độ dao động cưỡng lớn

* Cộng hưởng

Hiện tượng biên độ dao động cưỡng tăng dần lên đến giá trị cực đại tần số f lực cưỡng tiến đến tần số riêng fo hệ dao động gọi tượng cộng hưởng

Điều kiện f = f0 gọi điều kiện cộng hưởng

Đường cong biểu diễn phụ thuộc biên độ vào tần số cưỡng gọi đồ thị cộng hưởng Nó nhọn lực cản môi trường nhỏ

Tầm quan trọng tượng cộng hưởng:

Những hệ dao động tòa nhà, cầu, bệ máy, khung xe, có tần số riêng Phải cẩn thận không hệ chịu tác dụng lực cưỡng mạnh, có tần số tần số riêng để tránh cộng hưởng, gây dao động mạnh làm gãy, đổ

Hộp đàn đàn ghi ta, viôlon, hộp cộng hưởng với nhiều tần số khác dây đàn làm cho tiếng đàn nghe to, rõ

Tình 1: Khi gặp toán liên quan đến tượng cộng hưởng làm nào? Giải pháp:

Hiện tượng cộng hưởng xảy chu kì dao động cưỡng chu kì dao

động riêng: Tcb =T0

0

2

1

2

cb

cb S T

v

m l

T

f k g

π ω

π π π

ω

∆

 = =

  

 = = = =



Đổi đơn vị: ( ) ( )

( ) ( )

1

1 / /

3,

1 / 3, /

km h m s

m s km h

 =

 

 =

 Chú ý:

1) Độ cứng tương đương hệ lò xo ghép song song ghép nối tiếp là:

1

1

1 1

k k k

k k k

= + +

 

 = + + 

2)Để so sánh biên độ dao động cưỡng bức: + Xác định vị trí cộng hưởng:

0

0

2 f k g

T m l

π

ω = π = = =

+ So sánh biên độ lưu ý: gần vị trí cộng hưởng biên độ lớn, xa vị trí cộng hưởng biên độ bé.

Tình 2: Khi gặp tốn liên quan đến tìm tổng quãng đường dao động (gần đúng) dao động tắt dần làm nào?

Giải pháp:

Lúc đầu dao động W (

2

2

0

2 2

kx mv

kA

W = = + ), ma sát

nên giảm dần cuối dừng lại li độ xC gần vị trí cân (

2

C C

kx

W = ≈ )

Gọi S tổng quãng đường kể từ lúc bắt đầu dao động dừng hẳn, theo định luật bảo toàn chuyển hóa lượng độ giảm (W – WC) công lực ma sát (Ams = FmsS)



C ms

W W F S

≈

− =

ms W S

F ⇒ =

(Fms = µmg (nếu dao động phương ngang), Fms = µmgcosα (nếu dao động phương xiên góc α) với µlà hệ số ma sát)

Tình 3: Khi gặp tốn liên quan đến phần trăm bị phần trăm biên độ bị giảm làm nào?

Giải pháp:

+ Phần trăm lắc bị dao động toàn phần:

( )( )

2 2

2 2

'

' '

W W W ' 2 2

2

W W

2

A A

kA kA

A A A A A A A

A

kA A A

≈ ∆

− + −

∆ = − ∆ ∆

= = ≈ =

 

(với A

A ∆

là phần trăm biên độ bị giảm sau dao động toàn phần) + Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì: n

na

A A

h

A −

=

+ Phần trăm biên độ lại sau n chu kì: n na A

h

A = −

+ Phần trăm lại sau n chu kì:

2 w

W W

n n

n

A h

A

 

= =  

 

+ Phần trăm bị (chuyển thành nhiệt) sau n chu kì: w

W W

1 W

n

n h −

+ Phần lại sau n chu kì: Wn =hnwW phần bị tương ứng:

( w)

Wn hn W

∆ = −

Tình 4: Khi gặp toán liên quan đến độ giảm biên độ sau chu kì, tổng số dao động tổng thời gian dao động dao động tắt dần làm nào?

Giải pháp

+ Ta xét dao động tắt dần chậm nên độ giảm biên độ sau chu kì nhỏ:

∆A = A – A’ ⇒ A + A’ ≈ 2A

+ Độ giảm sau chu kì cơng lực ma sát thực chu kì đó:

( ) ( )

2

4 '

.4 ' '

2 2

ms

ms ms

F

kA kA k

F A A A A A F A A A

k

− = ⇔ + − = ⇒ ∆ ≈ ∉

+ Độ giảm biên độ sau chu kì: 4Fms A

k

∆ =

+ Độ giảm biên độ sau nửa chu kì: 2

ms F A

k

∆ =

+ Biên độ dao động lại sau n chu kì: An = A - n∆A + Tổng số dao động thực được: N A

A =

∆

+ Thời gian dao động: ∆ =t N T

Tình 5: Khi gặp toán liên quan đến tốc độ trung bình trình dao động tắt dần làm nào?

Giải pháp:

Tổng quãng đường tổng thời gian từ lúc bắt đầu dao động dừng

hẳn là:

2

2

4

ms ms

ms

W kA

S

F F

A kA

t NT T

A F

π ω



= =

  

∆ = = =

 ∆



Tốc độ trung bình trình dao động tắt dần là: vtd S A t

ω π

= =

∆

Tốc độ trung bình trình dao động điều hòa là: dh

S A

v T

ω π

= = !

Tình 6: Khi gặp tốn tìm vận tốc dao động cực đại dao động tắt dần làm nào?

Giải pháp:

Bài toán tổng quát: Cho hệ hình vẽ, lúc đầu giữ vật P thả nhẹ vật dao động tắt dần Tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại giá trị vận tốc cực đại

Ngay sau bắt đầu dao động lực kéo có độ lớn cực đại (Fmax = kA) lớn lực ma sát trượt (Fms = µmg) nên hợp lực (Fhl =Fkv−Fms

  

) hướng O làm cho vật chuyển động nhanh dần O Trong trình này, độ lớn lực kéo giảm dần độ lớn lực ma sát trượt không thay đổi nên độ lớn hợp lực giảm dần Đến vị trí I, lực kéo cân với lực ma sát trượt nên vật đạt tốc độ cực đại điểm

Ta có:

ms

I ms I

I I

F mg

kx F x

k k

A A - x

µ

 = ⇒ = =

 

 =

Qu·ng ®­êng ®i ®­ỵc :

Để tìm tốc độ cực đại I, ta áp dụng định luật bảo toàn chuyển hóa lượng Độ giảm công lực ma sát:

( ) ( )

( )

2

2

2 2

2

2 2

I I

P Q ms I I I I I I

I I I

kx mv

kA k

W W F A kx A x A Ax x v

m k

v A x A

m ω

− = ⇔ − − = − ⇔ − + =

⇒ = − =

“Mẹo” nhớ nhanh, vật bắt đầu xuất phát từ P xem I tâm dao động tức thời biên độ AI nên tốc độ cực đại: vI =ωAI Tương tự, vật xuất phát từ Q I’ tâm dao động tức thời Để tính xI ta nhớ: “Độ lớn lực kéo = Độ lớn lực ma sát trượt”

Cách 2:

Xét trình chuyển động từ A sang A’, lực ma sát có hướng ngược lại nên làm dịch vị trí cân đến I cho: ms

I

F mg

x

k k

µ

= = , biên độ AI = A – xI nên tốc độ cực đại I vI =ωAI Sau chuyển động chậm dần dừng lại điểm A1 đối

xứng với A qua I Do đó, li độ cực đại so với O A1 = AI – xI = A – 2xI

Quá trình chuyển động từ A1 sang A vị trí cân dịch đến I’, biên độ AI’ = A1 – xI tốc độ cực đại I’ vI' =ωAI' Sau chuyển động chậm dần dừng lại điểm A2 đối xứng với A1 qua I’ Do đó, li độ cực đại so với O A2 = AI’ – xI = A1 – 2xI = A – 2.2xI Khảo sát trình hoàn toàn tương tự

Như vậy, sau nửa chu kì (sau lần qua O) biên độ so với O giảm

lượng

2

2 ms

/ I

F mg

A x

k k

µ

∆ = = =

1

2

3

1 2

/ / /

n /

A A A

A A A

A A A

A A n A

= − ∆ 

 = − ∆

 = − ∆

  

 = − ∆



Chú ý: Ta chứng minh có lực ma sát tâm dao động bị dịch chuyển theo hướng lực ma sát đoạn Fms

k như sau:

( )

2

2

'' '' cos

ms F y x

ms ms k

I k

m

F F k F

a x x y y y A t

m m k ω ω ω ϕ

= − =

+  

= ⇒ = −  − → = − ⇒ = +

 

  

Tình 7: Khi gặp tốn tìm li độ cực đại so với O sau lần thứ n qua O (lần thứ n lị xo khơng biến dạng) làm nào?

Giải pháp:

Gọi A1 li độ cực đại sau qua O lần 1: 12 ( )

2 C

kA kA

F A A

= − +

( 1)( 1) ( 1) ( 1)

2

0

C C

I

F F

A A A A A A A A A A x

k k

Độ giảm biên độ sau lần qua O (sau nửa chu kì): 2

2 C

/ I

F

A x

k

∆ = =

Li độ cực đại so với O sau qua O lần thứ n: An= − ∆A n A1 2/

Tình 8: Khi gặp tốn tìm qng đường sau khoảng thời gian nT/2 làm nào?

Giải pháp:

Nếu lúc đầu vật P quãng đường sau thời gian:

2

T

S= +A A

t = lµ :

1

2

2

T

t= . lµ :S = +A A +A

1

3 2

2

T

t . S A A A A

= lµ : = + + +

1

2 2

2 n n

T

t=n. lµ :S = +A A + A + A− +A

Tình 9: Khi gặp tốn tìm qng đường gia tốc đổi chiều lần thứ n làm nào?

Giải pháp:

Lúc đầu vật P đến I gia tốc đổi chiều lần thứ 1, sau đến Q quay lại I’ gia tốc đổi chiều lần thứ 2…

Do đó, quãng đường sau gia tốc đổi chiều lần thứ 1, thứ 2, thứ 3,…thứ n là:

1

2

3

1

2

2

2 2

I I

I

n n I

S A x

S A A x

S A A A x

S A A A A− x

= −

= + −

= + + −

= + + + −

Tình 10: Khi gặp tốn tìm tổng số lần qua O (vị trí lị xo khơng biến dạng) tìm tọa độ vật dừng lại làm nào?

Giải pháp:

Gọi n0, n, ∆t xc tổng số lần qua O, tổng số nửa chu được, tổng thời gian từ lúc bắt đầu dao động dừng hẳn khoảng cách từ vị trí dừng lại đến O Giả sử lúc đầu vật vị trí biên dương +A (lò xo dãn cực đại) mà lần qua VTCB biên độ giảm lượng ∆A1/2 nên muốn xác định n0, n ∆t ta dựa vào tỉ số

1 2/

A

p,q

A =

1) n0 = p Vì lúc đầu lò xo dãn nên

0

l l

 ⇒

 

⇒

nếu n số nguyên lẻ ần cuối qua O lò xo nén

nếu n số nguyên chẵn ần cuối qua O lò xo dÃn 2) Để tìm n ta xét trường hợp xẩy ra:

*nếu q ≤5 lần cuối qua O vật đoạn I’I dừng nên n = p

1/ 2 c

T

t n

x A n A

∆ =  

 = − ∆ 

*nếu q > lần cuối qua O

vật đoạn I’I vật chuyển động quay ngược lại thêm thời gian T/2 lại dừng nên n = p +

1/ 2 c

T

t n

x A n A

∆ =  

 = − ∆ 

Chú ý:

1)Khi dừng lại lị xo dãn lực đàn hồi lực kéo, ngược lại lực đàn hồi lực đẩy độ lớn lực đàn hồi vật dừng lại F =k xc

2)Để tìm xác tổng qng được ta dựa vào định lí “Độ giảm năng

đúng công lực ma sát”: 2 2

1

2

c c

C

/

kx A x

kA

F S S

A −

− = ⇒ =

∆

Tình 11: Khi gặp tốn tìm tốc độ O điểm định làm nào?

Giải pháp:

Giả sử lúc đầu vật P, để tính tốc độ O làm theo cách sau: Cách 1:Độ giảm công lực ma sát: WP - WO = Ams hay:

2

2

0

0

2

2

ms

ms /

mv F

kA k

F A v A A A A A

m k ω

 

− = ⇒ =  −  = − ∆

 

Cách 2:Xem I tâm dao động biên độ AI = A – xI nên tốc độ O:

2

0 I I

v =ω A −x

Tương tự, ta tìm tốc độ điểm khác

Bàn luận: Đến em tự rút quy trình giải nhanh cơng thức giải

điểm khác điểm O nên giải theo cách ý rằng, từ P đến Q I tâm dao động cịn từ Q đến P I’ tâm dao động

Tình 12: Khi gặp tốn liên quan đến lắc lị xo dao động tắt dần truyền vận tốc từ vị trí lị xo khơng biến dạng làm nào?

Giải pháp:

Giả sử lúc đầu vật O ta truyền cho vận tốc để đến tối đa điểm P Độ giảm công lực ma sát: WO – WP = Ams hay:

2

0

2 ms

mv kA

F A

− = ⇒ 2 2( )

0

2 ms

/

F k

v A A A A A

m k ω

 

=  + = + ∆

 

2

2

1 2/

v

A A A

ω

⇔ + ∆ − =

Tình 13: Khi gặp toán dao động tắt dần lắc lị xo, tìm tốc độ cực đại sau thời điểm t0 làm nào?

Giải pháp:

Giả sử lúc đầu vật vị trí biên, muốn tìm tốc độ tốc độ cực đại sau thời điểm t0 ta phân tích 0

2

T

t =n + ∆t 0

2

T T

t =n + + ∆t Từ tìm biên độ so với

tâm dao động lần cuối qua O tốc độ điểm cần tìm

Tình 14: Trong dao động tắt dần lắc lò xo để tìm thời gian từ điểm đến điểm làm nào?

Giải pháp:

Ta phải xác định tâm dao động tức thời biên độ so với tâm dao động

Chẳng hạn, thời gian chuyển động từ P đến O là: 1 1arcsin

4

T T IO

t t

IP

ω

= + = +

Bình luận: Với phương pháp ta tính khoảng thời gian khác, chẳng hạn thời gian từ P đến điểm I’ là: 1arcsin '

4

T II

t

IP

ω

= +

Tình 15: Với lắc lò xo dao động tắt dần theo phương thẳng đứng, để tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại, vận tốc cực đại li độ cực đại làm nào?

Bài tốn tổng qt: Cho hệ hình vẽ, lúc đầu kéo vật khỏi vị trí O đoạn A thả nhẹ vật dao động tắt dần Tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại giá trị vận tốc cực đại

Lập luận tương tự trường hợp vật dao động theo phương ngang

Nếu vật từ P Q tâm dao động I ngược lại tâm dao động I’ cho: ' C

I

F

x OI OI

k

= = =

Để tìm tốc độ cực đại ta phải xác định lúc tâm dao động I hay I’ biên độ so với tâm áp dụng: vmax =ωAI vmax =ωAI'

Độ giảm biên độ so với O sau lần qua O 1/

2

2 C

I

F

A x

k

∆ = =

nên biên độ lại sau lần 1, lần 2,…, lần n là:

1

2

3

1 2

/ / /

n /

A A A

A A A

A A A

A A n A

= − ∆ 

 = − ∆

 = − ∆

  

 = − ∆



Tình 16: Khi gặp tốn liên quan đến dao động tắt dần lắc đơn làm nào?

Giải pháp:

Ta xét dao động tắt dần chậm khảo sát gần (xem dừng lại vật vị trí cân bằng)

2 max

2 2

2 max

2 2

2

c c

mg

W k m

S

l F

A l

F A

m A mgA mgl

k W

l A

N

A l

T

t NT g

ω α

ω α

π

 = = =



 =

 ∆ =

 = = =

  =

∆

 =

∆ = 

Với lắc đơn ta thay

Chú ý:

1)Biên độ dao động lại sau n chu kì: An = A - n∆A ⇔αn = αmax- n∆α 2)Nếu lúc đầu là

2

2

2 max

m A mgl

W = ω = α và lắc thực thời

gian ∆t (hay N t T ∆

*độ hao hụt trung bình sau chu kì W W N ∆ = *cơng suất hao phí trung bình hp

W P

t =

∆ (muốn trì dao động cơng suất cần cung cấp cơng suất hao phí)

Chú ý: Nếu sau n chu kì biên độ góc giảm từ α1 xuống α2 cơng suất hao phí trung bình

2

1

1 2

hp

mgl mgl

W W

P

t n T

α − α

−

= =

∆

3)*Năng lượng có ích cần cung cấp sau thời gian t Acã Ých= Pcung cÊpt

*Nếu hiệu suất trình cung cấp H lượng toàn phần cần cung cấp là

A

Atoàn phần= có ích =Pcung cấpt

H H

*Nếu dùng nguồn điện chiều có suất điện động E điện lượng Q để cung cấp thì

năng lượng tồn phần cần cung cấp Atoàn phần = EQ Pcung cấpt= EQ

H

1.5 Tổng hợp dao động

+ Nếu vật tham gia đồng thời hai dao động điều hồ phương, tần số với phương trình: x1 = A1cos(ωt + ϕ1) x2 = A2cos(ωt + ϕ2) dao động tổng hợp là: x = x1 + x2 = Acos(ωt + ϕ) với A ϕ xác định bởi:

A2 = A1

+ A22 + A1A2 cos (ϕ2 - ϕ1) tanϕ = 1 2

1 2

sin sin

cos cos

A A

A A

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ +

Biên độ pha ban đầu dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ pha ban đầu dao động thành phần

+ Khi hai dao động thành phần pha (ϕ2 - ϕ1 = 2kπ) dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A1 + A2

+ Khi hai dao động thành phần ngược pha (ϕ2 - ϕ1) = (2k + 1)π) dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = |A1 - A2|

+Trường hợp tổng quát: A1 + A2 ≥ A ≥ |A1 - A2|

Tình 1: Khi gặp tốn cho biết phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp làm nào?

Giải pháp:

Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà phương, tần số dao động điều hoà phương, tần số

( )

( )

1 1

2 2

cos cos

x A t

x A t

ω ϕ ω ϕ

 = +

 ⇒



= +

 x=Acos(ω ϕt+ )

( )

2

1 2

1 2

1 2

2 cos

sin sin

tan

cos cos

A A A A A

A A

A A

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

 = + + −



 +

= 

+ 

*Nếu dạng hàm cos, dạng hàm sin đổi:sin( ) cos

2

t t π

ω α+ = ω α+ − 

 

*Nếu hai dao động pha ϕ2−ϕ1=k2π →Amax=A1+A2

*Nếu hai dao động thành phần ngược pha ϕ2−ϕ1=(2k+1)π →Amin = A1−A2 *Nếu hai dao động thành phần vuông pha ( ) 2

2 1

2

k π A A A

ϕ −ϕ = + → = +

Cách 2.Phương pháp cộng hàm lượng giác

( ) ( )

1

1 2

cos cos

x x x

x A ω ϕt A ω ϕt

= + +

= + + + +

( 1 2 ) ( 1 2)

cos sin

cos cos cos sin sin sin

A A

x t A A t A A

ϕ ϕ

ω ϕ ϕ ω ϕ ϕ

= + + − +

 

( )

cos

x A ω ϕt

⇒ = +

Cách 3.Phương pháp cộng số phức

x= +x x +

1 2

x= ∠ + ∠A ϕ A ϕ +

Chú ý: Để thực phép tính số phức, bấm: MODE hình xuất

CMPLX

Muốn biểu diễn số phức dạng A ∠ϕ, bấm SHIFT 3 = Muốn biểu diễn số phức dạng: a + bi, bấm SHIFT 4 = Để nhập ký tự ∠ bấm: SHIFT (–)

Khi nhập số liệu phải thống đơn vị đo góc độ hay rađian Nếu chọn đơn vị đo độ (D), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ D Nếu chọn đơn vị đo Rad (R), bấm : SHIFT MODE hình hiển thị chữ R

Kinh nghiệm:

1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hịa dùng ba cách Khi cần tổng hợp ba dao động điều hịa trở lên nên dùng cách cách 3.

2) Phương pháp cộng số phức áp dụng trường hợp số liệu tường minh hoặc biên độ chúng có dạng nhân với số, VD:

1

2

A a

A a

A a

 =

 = ⇒

 

= 

3) Trường hợp chưa biết đại lượng nên dùng phương pháp vectơ quay hoặc cộng hàm lượng giác Trường hợp hai dao động thành phần biên độ nên dùng phương pháp lượng:

( ) ( ) 2

1

cos cos cos cos

2

x=a ω ϕt+ +a ω ϕt+ = a ϕ ϕ− ωt+ϕ ϕ+ 

 

Chú ý: Nếu hai dao động biên độ phương trình dao động tổng hợp:

( ) ( ) 2

1 cos cos 2

2

x= +x x =a ω ϕt+ +a ω ϕt+ = acosϕ −ϕ cosωt+ϕ +ϕ 

   

Nếu cho biết phương trình dao động tổng hợp x=Acos(ω ϕt+ ) thì ta đối chiếu suy ra:

2

1

2

?

? ?

2 ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

+

 =

  =

 ⇒

 −  =



 =



Tình 2: Khi gặp toán cho biết đại lượng dao động tổng hợp, yêu cầu tìm số đại lượng phương trình dao động thành phần làm nào? Giải pháp:

Từ công thức 2 1

1 3 1 2

x x x x x x A A

x x x x x x x x A A A

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= + ⇒ = − = ∠ − ∠



 = + + ⇒ = − − = ∠ − ∠ − ∠ 

Chú ý: Để tính biên độ thành phần ta dựa vào hệ thức:

( )

2 2

1 2 2

A =A +A + A A cos ϕ ϕ−

2 max

max

v A

a A

W , m A

ω ω

ω

= 

 =

  = 

Tình 3: Khi gặp toán liên qua đến độ lệch pha (ϕ2 - ϕ1) (ϕ - ϕ1) (ϕ - ϕ2) phảo làm nào?

Giải pháp:

Ta dựa vào hệ thức véc tơ:

1

1

2

A A A

A A A

A A A

 = +

 = −



 = −



  

  

   bình phương vơ hướng hai vế:

( )

( )

( )

2 2

1 2 2

2 2

1 2 2

2 2

2 1

* cos

* cos

* cos

A A A A A A A A

A A A A A A AA

A A A A A A AA

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

 = + ⇒ = + + −

 = − ⇒ = + − −

 

= − ⇒ = + − −



  

  

  

Tình 4: Khi gặp toán cho biết A, ϕ1, ϕ2 tìm điều kiện để A1 max A2 max phải làm nào?

Ta viết lại hệ thức:

( )

( )

( )

2

2

2 1

0

2 2

1 2 2

2

1 2

0

A A xA yA A max

A A A A A cos

A A xA yA A max

ϕ ϕ

 = − + ⇒ =

 

= + + − ⇒

 = − + ⇒ =

 

 

Tình 5: Khi gặp tốn “Biến tướng” tổng hợp dao động điều hồ làm nào?

Giải pháp:

Về mặt toán học, thực chất tổng hợp dao động điều hoà cộng hàm sin, hàm cos (cộng véc tơ hay cộng số phức) Vì –sin(ωt + ϕ) = sin(ωt + ϕ + π) – cos(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ + π) nên trừ hàm sin, cos xem “biến tướng” tổng hợp dao động

Giả sử hai chất điểm M, N dao động điều hòa trục Ox vị trí cân O tần số với phương trình lần lượt: ( )

( )

1 1

2 2

x A cos t

x A cos t

ω ϕ ω ϕ

 = +

 

= +



Tổng đại số OM+ON là: ( 1) ( 2)

1 2 max

x x x A cos t A cos t

x A A A x A

ω ϕ ω ϕ

ϕ ϕ ϕ

 = + = + + +

 

= ∠ + ∠ = ∠ ⇒ =



Khoảng cách đại số MN là: 2 ( 2) ( 1)

2 1 max

x x x A cos t A cos t

x A A b x b

ω ϕ ω ϕ

ϕ ϕ ϕ

∆ = − = + − +

 

∆ = ∠ − ∠ = ∠ ⇒ ∆ =



Bình luận:Bài toán kiểu biến tướng tổng hợp dao động Khi cho hai dao động x1, x2 x3 tìm dao động cịn lại.

Chú ý: Khoảng cách MN cực tiểu sin

2

t ϕ

ω

 + =

 

  và cực đại

2 sin

A ϕ sin

2

t ϕ

ω

 + = ±

 

  nên 0 MN sinA

ϕ

≤ ≤

Tình 6: Khi gặp tốn tìm thời điểm lần thứ n để hai vật cách khoảng b làm nào?

Giải pháp:

Để tìm thời điểm cách khoảng b giải phương trình

x b

∆ = dùng vịng trịn lượng giác để tìm bốn thời điểm t t t t1, , ,2 Các

thời điểm khác xác định sau:

2

4

t nT t

t nT t

n

t nT t

t nT t

→ = +



 → = +



= 

→ = +



 → = +



d­ d­ 2 sè lÇn

Tình 7: Khi gặp toán hai chất điểm dao động điều hòa đường thẳng song song hai mặt phẳng song song có vị trí cân gốc tọa độ làm nào?

Giải pháp:

Nếu hai dao động điều hòa lệch pha ∆ϕ: x1 = A1cosωt x2 = A2cos(ωt +∆ϕ) tổng li độ x = x2 + x1 = A2cos(ωt + ∆ϕ) + A1cosωtvà hiệu li độ ∆x = x2 – x1 = A2cos(ωt + ∆ϕ) + A1cos(ωt + π)

Gọi A b biên độ dao động tổng hợp khoảng cách cực đại hai chất điểm thì:

( )

2 2

1 2

2 2

1 2

2 cos

2 cos

A A A A A

b A A A A

ϕ ϕ π

 = + + ∆

 

= + + ∆ +

 (trên

hình vẽ A b hai đường chéo hình bình hành!) Khi biết số đại lượng số đại lượng A, b, A1, A2 ∆ϕ

thì tính đại lượng cịn lại Quy trình giải nhanh:

Khi cho biết biên độ dao động tổng hợp hai chất điểm dao động A

độ lệch pha hai dao động thành phần là: 12 22

1 cos

2

A A A

A A

ϕ − −

∆ =

Khi cho biết khoảng cách cực đại hai chất điểm b độ lệch pha

hai dao động thành phần là: 12 22

1 cos

2

A A b

A A

ϕ + −

∆ =

Nếu ∆ϕ = π/2 (hai dao động vng pha) b= A12+A22 =A Nếu ∆ϕ > π/2 b> A12+A22 và b > A

Nếu ∆ϕ < π/2 b< A12+A22 và b < A

Chú ý : Khi hai dao động vuông pha

1) Khoảng cách cực đại hai chất điểm biên độ dao động tổng hợp:

2

1

b= =A A +A

2) Ở thời điểm đó, dao động động dao động kia cũng nên tỉ số động tỉ số tỉ số năng.

Tình 8: Khi gặp tốn cho biết phương trình liên hệ hai li độ (chẳng hạn: 2

1

ax +bx =c), cho biết li độ vận tốc vật này, để tìm vận tốc vật

1

2

2 ,

2 2

1

1 2 1 2

?

2 ' ' 0 ?

Cho x v x

ax bx c

ax bx c

ax x bx x ax v bx v v

 =  + =   + = ⇒ → + = ⇒ + = =    

Tình 9: Khi gặp tốn hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số vị trí cân gốc tọa độ Cho biết vị trí hướng lúc gặp để tìm độ lệch pha làm nào?

Giải pháp:

Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động ngược chiều

thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

2

1 2

2

1 2

cos ? sin ? cos ? sin

x A t x

t

v A t

t t

x A t x

t

v A t

ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ  = + =  ⇒ + =

= − + >

  ⇒ ∆ = + − + =   = + =  ⇒ + = 

 = − + <

   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

2

1 2

2

1 2

cos ? sin ? cos ? sin

x A t x

t

v A t

t t

x A t x

t

v A t

ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ  = + =  ⇒ + =

= − + <

  ⇒ ∆ = + − + =   = + =  ⇒ + = 

 = − + >

  

Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động chiều dương

thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

2

1 2

2

1 2

cos ? sin ? cos ? sin

x A t x

t

v A t

t t

x A t x

t

v A t

ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ  = + =  ⇒ + =

= − + >

  ⇒ ∆ = + − + =   = + =  ⇒ + = 

 = − + >

  

Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động chiều âm

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1 1

2

1 2

2

1 2

cos ? sin ? cos ? sin

x A t x

t

v A t

t t

x A t x

t

v A t

ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ  = + =  ⇒ + =

= − + <

  ⇒ ∆ = + − + =   = + =  ⇒ + = 

 = − + <

  

Ví dụ minh họa: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ

A/ 3 chất điểm thứ hai A Vị trí cân chúng xem trùng

gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ +A/2, chúng chuyển động ngược chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây:

Hướng dẫn

Cách 1:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

1

1

1

2

1

cos

2

6

sin

3 cos

2

3

sin

A A

x t

t A

v t

A

x A t

t

v A t

ω ϕ

π ω ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ π

ω ϕ

ω ω ϕ

 = + =

 ⇒ + = −



 = − + >



 = + =

 ⇒ + =



 = − + <



( 2) ( 1)

2

t t π

ϕ ω ϕ ω ϕ

⇒ ∆ = + − + = ⇒Chän D

Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác:

3

π π π

ϕ  

∆ = − − = ⇒

  Chän D

Chú ý: Cách gọi phương pháp dùng VTLG kép

+ Ta vẽ hai vịng trịn đồng tâm với bán kính lần lượt bằng biên độ dao động thành phần (nếu bán kính hai đường trịn trùng nhau). + Tại li độ gặp ta vẽ đường thẳng vng góc với

trục x cắt vòng tròn hai điểm với

1 arccosx

A

α =

2 arccosx

A

β =

Nếu gặp hai chất điểm chuyển động chiều (một nửa vòng tròn và nửa dưới) độ lệch pha ∆ =ϕ β α+ còn chuyển động chiều (cùng nửa nửa vịng trịn) ∆ =ϕ β α−

Tình 10: Để tìm thời điểm trùng phùng với hai lắc có chu kì khác nhiều làm nào?

Giải pháp:

Giả sử hai lắc bắt đầu dao động từ thời điểm t = Sau khoảng thời gian ∆t

con lắc thực n1 dao động, lắc thực n2 dao động:

1 1 2

2

n a n

n a

t n T n T

n a n

n b

= 

∆ = = ⇒ = = ⇒ 

= 

phân số tối giản

1

t anT bnT

⇒ ∆ = = , ∆tmin =a T 1=b T n 2 =1

Tình 11: Khi gặp tốn tìm thời điểm hai chất điểm gặp làm nào?

Giải pháp:

Hai dao động điều hòa phương Ox biên độ vị trí cân O với phương trình là: x1=Acos(ω1t+ϕ1), x2=Acos(ω2t+ϕ2) Để tìm thời điểm gặp có thể: giải phương trình x1 = x2 dùng vòng tròn lượng giác

( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 1

.2

t t k

t t l

ω ϕ ω ϕ π

ω ϕ ω ϕ π

 + + + =



+ − + =

 ( ω2 > ω1)

hoặc ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

.2

t t k

t t l

ω ϕ ω ϕ π

ω ϕ ω ϕ π

 + + + =



+ − + =

 ( ω2 < ω1)

Trong đó, k l số nguyên cho t > Thời điểm lần ứng với giá trị t > nhỏ (thông thường ứng với k, l = 1!)

Chú ý:

1)Nếu ϕ1 = ϕ2 = α (với α <π ) lần ứng với:

(ω2t+α) (+ ω1t+α)=0

2

2

2

4

3

2

A

t

A

A

π α

π α α

π

ω ω α

π α

 =

 

 ± =



⇒ = 

+  ± =

 

 ± =



XuÊt ph¸t cïng chiều x = th ì Xuất phát chiều x = th ì Xuất phát chiều x = th ì Xuất phát chiều x = th ×

2) Nếu (ω2 + ω1) bội số (ω2 - ω1) ω2 hoặc ω1 thì xẩy hai họ nghiệm nhập thành họ nghiệm.

3)Nếu hai dao động điều hịa phương biên độ, vị trí cân cùng tần số x1=Acos(ω ϕt+ 1), x2 =Acos(ω ϕt+ 2) phương trình x1 = x2 có họ nghiệm: (ω ϕt+ 1) (+ ω ϕt+ 2)=k.2π

Lúc đó: (( )) ( )

( )

1

1

2

sin sin

1

sin sin

A t A t

v

v A t A k t

ω ω ϕ ω ω ϕ

ω ω ϕ ω π ω ϕ

− + − +

= = = −

− + −  − + 

Trong chu kì chúng gặp lần n chu kì gặp 2n lần 3)Giả sử thời điểm t0, hai lắc có chu kì gặp li độ x1, sau nửa chu kì li độ chúng đổi dấu, tức gặp li độ -x1 Do đó:

*Khoảng thời gian hai lần liên tiếp hai lắc gặp là

2

T

*Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai lắc gặp là ( )

1

T

t n

∆ = −

Tình 12: Để tìm thời gian trùng phùng hai lắc có chu kì xấp xỉ làm nào?

Giải pháp:

còn “1 chút” dao động Sẽ tồn khoảng thời gian ∆t để lắc thứ hai lắc thứ dao động:

2 1

t t

T T

∆ −∆ =

1 T T

t t

t

T T T T

∆ ∆

⇔ − = ⇒ ∆ =

−

lín bÐ

bÐ lín lín bÐ

1.6 Bài tốn hai vật dao động điều hịa

Tình 1: Khi gặp toán hai vật dao động theo phương ngang chúng tách rời vị trí cân làm nào?

Giải pháp:

Ví dụ minh họa: Một lắc lò xo đặt mặt phẳng nằm ngang gồm lị xo nhẹ có đầu cố định, đầu gắn với vật nhỏ m1 Ban đầu giữ vật m1 vị trí mà lị xo bị nén đoạn A, đặt vật nhỏ m2 mặt phẳng nằm ngang sát với vật m1 Buông nhẹ để hai vật bắt đầu chuyển động theo phương trục lò xo Bỏ qua ma sát Ở thời điểm lị xo có chiều dài cực đại lần khoảng cách hai vật m1 m2 bao nhiêu?

Hướng dẫn

+ Giai đoạn 1: Cả hai vật dao động với biên độ A, tần số góc

1

k

m m

ω=

+

tốc độ cực đại v0 = ωA

*m1 dao động điều hịa với tần số góc

1

k m

ω= biên độ

1

' '

v m

A A

m m

ω

= =

+ (vì

tốc độ cực đại không đổi v0!)

*m2 chuyển động thẳng với vận tốc v0 m1 đến vị trí biên dương (lần 1)

m2 quãng đường 1

0

1 2

'

4

m m

T k

S v A A

m m k m m

π π

= = =

+ +

Lúc khoảng cách hai vật:

1

'

2

m

x S A A

m m

π

 

∆ = − =  − 

+  

Tình 2: Khi gặp tốn hai vật dao động điều hòa mà cất bớt vật làm nào?

Giải pháp:

+ Cất bớt vật lúc tốc độ dao động cho không làm thay đổi biên độ:

max max

' ' '

'

k

v A m m m

A A

v A k m

m m

ω ω

+ ∆

= ⇒ = = =

+ ∆

+ Cất bớt vật lúc tốc độ dao động cực đại cho không làm thay đổi tốc độ cực đại: max

max max

max '

' '

'

k v

A m m m

v v

v

A k m m

m

ω ω

+ ∆

= ⇒ = = =

+ ∆

+ Cất bớt vật lúc hệ có li độ x1 (vận tốc v1) cho không làm thay đổi vận tốc tức thời:

Ngay trước lúc tác động:

( )

2

2 2 2 2

1 1 1

v m m k

A x x v v A x

k m m

ω

+ ∆

= + = + ⇒ = −

+ ∆ Ngay sau lúc tác động:

( ) ( )

2

2 2 2 2

1 1 1

'

'

v k m m

A x x A x x A x

m m k m m

ω

= + = + − = + −

+ ∆ + ∆

Tình 3: Khi gặp tốn vật dao động điều hịa mà đặt thêm vật làm nào?

+ Đặt thêm vật lúc tốc độ dao động cho không làm thay đổi biên độ:

max max

' ' '

'

k

v A m m m

A A

v A k m m

m

ω

ω + ∆

= ⇒ = = =

+ ∆

+ Đặt thêm vật lúc tốc độ dao động cực đại cho không làm thay đổi tốc độ cực đại: max

max max

max '

' '

'

k v

A m m m

v v

v

A k m

m m

ω ω

+ ∆

= ⇒ = = =

+ ∆

+ Đặt thêm vật lúc hệ có li độ x1 (vận tốc v1) cho không làm thay đổi vận tốc tức thời:

Ngay trước lúc tác động:

( )

2

2 2 2 2

1 1 1

v m k

A x x v v A x

k m

ω

= + = + ⇒ = −

Ngay sau lúc tác động:

( ) ( )

2

2 2 2 2

1 1 1

'

'

v k m m m m

A x x A x x A x

m k m

ω

+ ∆ + ∆

= + = + − = + −

Chú ý:

1)Nếu vật m có li độ x1 vận tốc v1, vật m0 rơi xuống dính chặt vào xem

như va chạm mềm vận tốc hai vật sau va chạm:

1

0

mv V

m m

=

+ Cơ

của hệ sau đó:

( ) 2 ( )

2

0 1

' '

2 2

max

m m v kx m m V

kA

W = = + = + + .

2) Để hai vật dao động lực liên kết khơng nhỏ lực qn tính cực đại tác dụng

lên m2: max 2 2

1

lk qt

k

F F m A m A

m m

ω

≥ = =

+

3) Nếu điều kiện 2

1

lk

k

F m A

m m

≥

+ khơng thỏa mãn vật m2 sẽ tách vị

trí lần lực qn tính có xu hướng kéo rời m2 (lị xo dãn) có độ lớn độ lớn

lực liên kết

2

1 2

qt lk lk

m m

k

F m x F x F

m m km

+

= = ⇒ =

Chẳng hạn, lúc đầu lò xo nén cực đại thả nhẹ, hai vật bắt đầu chuyển động từ M Khi từ M đến O (lò xo bị nén), gia tốc hướng vị trí cân (theo chiều dương) nên lực quán tính tác dụng lên m2hướng theo chiều âm (Fqt = −m a2) và vật m2 tách Sau qua O (lò xo dãn), gia tốc hướng theo chiều âm nên lực quán tính tác dụng lên m2 hướng theo chiều dương, tức có xu hướng kéo m2 ra khỏi m1 Lúc đầu, lực qn tính có độ lớn bé Flk nhưng sau độ lớn lực

qn tính tăng dần Khi đến P

2

1 2

qt lk lk

m m

k

F m x F x F

m m km

+

= = ⇒ =

+ và vật

m2 tách điểm

Thời gian từ M đến P:

1

arcsin arcsin

4 4

T T OP T T OP

t t

A A

ω π

= + = + = +

4) Khi ∆m đặt m muốn cho ∆m không trượt m lực ma sát trượt khơng nhỏ hơn lực quán tính cực đại tác dụng lên ∆m:

2 max

msT qt

k

F F m A m A

m m

ω

≥ = ∆ = ∆

+ ∆

( )

g m m

k

mg m A A

m m k

µ

µ + ∆

⇒ ∆ ≥ ∆ ⇒ ≤

+ ∆

5)Khi hai vật không trượt độ lớn lực ma sát nghỉ độ lớn lực tiếp tuyến mà lực tiếp tuyến lực quán tính Fqt = ∆mω

2 x.

Tình 4: Khi gặp tốn, hai vật dao động theo phương thẳng đứng đến vị trí định vật cất làm nào?

Giải pháp:

Giả sử lúc đầu hai vật (m + ∆m) gắn vào lò xo dao động theo phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân cũ Oc với biên độ A0 với tần số góc

2 k

m m

ω =

+ ∆ , sau người ta cất vật ∆m hệ dao động

xung quanh vị trí cân Om với biên độ A tần số góc '2 k

m

ω = Vị trí cân cao vị trí cân cũ đoạn:

mg x

k ∆

=

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

1 1 1

2

2

2

1 1

2 2

1 1

'

'

' ' !

v m m k

A x x v v A x

k m m

v m

A x x x x v

k m

A x x A x x A A A x

m m

ω

ω

 = + = + + ∆ ⇒ = − 

  

 + ∆



 = + + = + +



 

⇒ = + + + Đặc biệt = th ì = +

Nếu trước cất vật ∆m hệ vị trí cân cũ đoạn x1 (tức cách vị trí cân đoạn x1 - x0)

( ) ( )

2

2 2 2 2

1 1 1

2

2

2

1 1

'

'

v m m k

A x x v v A x

k m m

v m

A x x x x v

k

ω

ω

 + ∆  

= + = + ⇒ = −

  

 + ∆



 = − + = − +



( )2 2

1 1

' m ' !

A x x A x x A A A x

m m

 

⇒ = + + Đặc biệt nÕu = th × = −

Tình 5: Khi gặp toán, vật dao động theo phương thẳng đứng đến vị trí định vật khác đặt lên làm nào?

Giải pháp:

Giả sử lúc đầu m gắn vào lò xo dao động theo phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân cũ Oc với biên độ A0 với tần số góc k

m

ω = , sau người ta đặt thêm vật ∆m (có tốc độ tức thời) hệ dao động xung quanh vị trí cân Om với biên độ A tần số góc

' k

m m

ω =

+ ∆ Vị trí cân thấp vị trí

cân cũ đoạn:

mg x

k ∆

= Ta xét trường hợp xẩy ra:

Nếu trước đặt vật ∆m hệ vị trí cân cũ đoạn x1 (tức cách vị trí cân đoạn x1 - x0)

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

1 1 1

2

2

2

1 1

2 2 2

1

1

'

'

'

' !

v m k

A x x v v A x

k m

v m m

A x x x x v

k

m m

A x x A x

m

x A A A x

ω

ω



 

= + = + ⇒ = −

  

 

+ ∆

 = − + = − +



+ ∆

 

⇒ = − + − 

= = −

Nếu trước đặt vật ∆m hệ vị trí cân cũ đoạn x1 (tức cách vị trí cân đoạn x1 + x0)

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

1 1 1

2

2

2

1 1

2 2

1 1

'

'

' ' !

v m k

A x x v v A x

k m

v m m

A x x x x v

k

m m

A x x A x x A A A x

m

ω

ω



 

= + = + ⇒ = −

  

 

+ ∆

 = + + = + +



+ ∆

 

⇒ = + + Đặc biệt = th ì = +

Nếu trước cất vật ∆m hệ vị trí cân cũ đoạn x1

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

1 1 1

2

2

2

1 1

2 2 2

1 1

'

'

' ' !

v m m k

A x x v v A x

k m m

v m

A x x x x v

k m

A x x A x x A A A x

m m

ω

ω

 + ∆  

= + = + ⇒ = −

  

 + ∆



 = − + = − +



 

⇒ = + + Đặc biệt = th × = −

Chú ý: 1) Để ∆m ln nằm m vị trí cao độ lớn gia tốc hệ

không vượt g: k

g A A

m m

ω

≥ =

+ ∆

2) Khi điều kiện thỏa mãn vật có li độ x ∆m tác dụng lên m một áp lực N đồng thời m tác dụng ∆m phản lực Q sao cho N = Q Viết phương

trình định luật II Niu tơn cho vật ∆m ta tìm được: kx

Q m g

m m

 

= ∆  − 

+ ∆