Đang tải... (xem toàn văn)
Đề 2 : Chứng minh định lí : “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phâ[r]
(1)PHẦN A: ĐẠI SỐ Phần 1 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
BT1 Tính giá trị biểu thức sau
1 √15−6√2+33 √33−12√6 √√5−√3−√29−12√5
3 √6−2√√2+√12+√18−8√2 √5−1√2+
√5+√2 √15a2−8a
√15+16 a=√3
5+√
3 3√20+√45−2√80 BT2 Cho biểu thức P=(√a −√b)
2
+4√a.b
√a+√b
a√b − b√a
√ba Tìm điều kiện để P có nghĩa
2 Rút gọn P
3 Tính giá trị P a=2√3;b=√3
BT3 Cho biểu thức A=√x+4√x −4+.√x −4√x −4 Rút gọn P
2 Tính giá trị x A đạt GTNN BT4 Cho biểu thức A=x2−3x√y+2y
Phân tích A thành nhân tử Tính giá trị A x=
√5−2; y= 9+4√5;
BT5 Cho biểu thức P=( x+2
x√x −1+
√x x√x+1+
1 1−√x):
√x −1 Rút gọn biểu thức P
2 CMR P > với x ≠ BT6 Cho biểu thức P=(2√x+x
x√x −1−
√x −1):
√x+2
x+√x+1
1 Rút gọn biểu thức P Tính √P x=5+2√3
BT7 Tính GTNN biểu thức A=√2x2−4x+3
BT8 Tìm GTLN GTNN biểu thức
x2+1¿2
¿ P=x
4
+1
¿ HD: Nhận xét A > với nọi x ALN
A nhỏ ngược lại - Ta có
A=1+ 2x2 x4+1
- Mặt khác 0≤ 2x x4
+1≤1 xuất phát (x
2-1)2 ≥
BT9 Cho biểu thức A=
x2−√x:
√x+1
x√x+x+√x
1 Tìm điều kiện x để A có nghĩa Rút gọn biểu thức A
BT10 Tìm GTLN GTNN biểu thức P= x
2 x2−5x
+7
HD
Coi p ẩn
Tìm ĐK p để pt có nghiệm
BT11 Tìm GTNN biểu thức P=
(2)HD
nhận xet mẫu số
BT12 Rút gọn biểu thức P=(a+√a
2
− b2 a −√a2−b2−
a −√a2−b2 a+√a2− b2):
4√a4−a2b2
b2 với |a|>|b|>0
Phần 2 HÀM SỐ BẬC HAI VÀ BẬC NHẤT Phương trình đường thẳng qua điểm
Phương trình đường thẳng qua điểm biết hệ số góc
Mối quan hệ đường thẳng : vng góc ,song song,cắt Điểm cố định họ đường thẳng
Viết phương trình parabol
Sự tương giao đường thẳng Parabol Điều kiện tiếp xúc
A)- Hàm số y = ax + b
BT1 Tìm gía trị m để:
1 y=(m+2)x −1 đồng biến y=(2m−3)x+5 ngịch biến
3 y=2− m
m+1 x+3m đồng biến R y=
m m−2x+
m+1
m nghịch biến R y=2−3m
m−2 x+2 đồng biến R BT2 Gọi đường thẳng có phương trình là:
(d1) : y= 2x+3 (d2) : y= -x -3 (d3) : y = -ax + 13
Tìm a để đường thẳng đồng quy
BT3Tìm m để đường thẳng theo thứ tự đồ thị hàm số y=− m
2m+3x −
m+6
2m+3
y=−2m+1
m−1 x − m −2
m −1 cắt điểm thuộc trục tung BT4Cho hàm số y=m−1
m+1 x+
3m
m −2 (m # 1, m # 2) ,Tìm m để đồ thị hàm số: Đi qua gốc toạ độ
2 Song song với trục hoành Cắt trục hoành điểm x = - Cát trục tung điểm y = -1 Đi qua điểm ( -1;1)
6 Là đường phân giác góc x’Oy Vng góc với y= - x +2 B)- Hàm số y = ax2
BT1 Cho hàm số y=(2m−1).x2−2m
1 Xác định m để đồ thị hàm số qua điểm (2,-4) Vẽ đồ thị với m tìm CMR đường thẳng y=x-2 cắt đồ thị với giá trị m
BT2 Cho hàm số y=−2.x2 có đồ thị (P)
1 Các điểm A(3;−18) , B(√3;−6) , C(−2;8) có thuộc đồ thị (P) không
2 Xác định m để đồ thị hàm số qua điểm D(m,m-1) BT3 Cho điểm A(1;1) , B(3;3)
1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A B
2 Tìm giá trị m để đường thẳng y=(m2−2).x+m2−4m+2 song song với đường thẳng
(3)BT4 Cho hàm số y=(2m−3).x+m+1
1 Xác định m để đồ thị hàm số qua điểm (1,4)
2 CMR đồ thị hàm số qua điểm cố định với giá trị m, tìm điểm cố định Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
BT5 Cho hàm số y=−1
2x Vẽ đồ thị hàm số
2 Gọi A, B điểm đồ thị có hồnh độ -2 Viết phương trình đường thẳng qua A B
3 Đường thẳng y=x+m-2 cắt đồ thị hai điểm phân biệt gọi x1 x hoành độ hai
giao điểm Tìm m để : x12+x22+20=x12.x22 BT6 Cho hàm số (D) y=3
4x −3 Vẽ (D)
2 Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng (D) hai trục toạ độ Tính khoảng cách từ o đến đường thẳng (D)
BT7 Cho hàm số y=|x −1| Vẽ đồ thị hàm số
2 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình m=|x −1|
BT8 Với giá trị m hai đường thẳng: (d1): y=(m-1)x+2 (m ≠ 1); (d2): y=3x –
1 Song song với Cắt
3 Vng góc với
BT9 Với giá trị m ba đường thẳng: (d1): y=2x-5; (d2): y=x+ 2; (d3): y=ax -12 đồng qui điểm
BT10 CMR m thay đổi đường thẳng 2x+(m-1)y=1luôn qua điểm cố định BT11 Cho parabol (P) y=1
2x
đường thẳng (d): y=px+q
Xác định p q để đường thẳng (d) qua điểm A(-1,0) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm
BT12 Cho điểm A(0;1) , B(1;2)
1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A B Điểm C(-1,-4) có nằm đường thẳng khơng BT13 Cho hàm số y=|x −1|+|x+2|
1 Vẽ đồ thị hàm số
2 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình m=|x −1|+|x+2|
BT14 Trong mặt phẳng toạ độ Xác định a để đồ thị hàm số Cho hàm số y=|x −1|+|x+2|
1 Vẽ đồ thị hàm số
2 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình m=|x −1|+|x+2|
BT15 Cho parabol (P) y=1
4x
đường thẳng (D) qua hai điểm A,B (P) có hồnh độ -2
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số Viết phương trình đường thẳng (D)
3 Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x thuộc [-2;4] cho tam giác MAB có diện tích lớn
HD
(4) Diện tích MAB lớn K/c M tới AB lớn nhất
Viết phương trình (D’) song song AB tiếp xúc (P) Tìm tiếp điểm I suy M trùng với I Kẻ IH vng góc AB suy diện tích lớn
BT16 Cho parabol (P) y=−1
4x
điểm M(1,-2)
1 Viết phương trình đường thẳng (D) qua M có hệ số góc m
2 CMR (D) luôn cắt (P) điểm phân biệt A B m thay đổi Gọi xA, xB hoành độ A,B Xác định m xA
2
.xB+xB
.xA đạt GTNN tính giá trị
4 Gọi A’,B’ hình chiếu A,B lên trục hồnh S diện tích tứ giác AA’B’B a Tính S theo m
b Xác định m để S=4(8+m2√m2+m+2)
HD(3-4)
Sử dụng cơng thức hình thang AA'=|YA|=1
4 xA
AA'=|YA|=1
4xA
A ' B '=OA'+OB'=|xA|+|xB|=xA− xB
S=(1
4 xA
+1
4 xB
)(xA− xA)
xA+xA¿2− xAxB ¿
¿ ¿ ❑❑=1
8(xA
+x2B)√¿
Sử dụng hệ thức đối xứng giải câu (4) đổi biến số suy m= m=-2
BT17 Cho parabol (P) y=x2
1 Vẽ (P)
2 Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ -1 Viết phương trình đường thẳng AB
3 Viết phương trình đường thẳng (D) song song AB tiếp xúc với (P) BT17 Cho parabol (P) y=−1
4x
đường thẳng (D): y= m.x-2.m -1 Vẽ (P)
2 Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P)
3 Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) BT18 Cho parabol (P) y=−1
4x
điểm I(0;-2) gọi (D) đường thẳng qua I có hệ số góc m Vẽ (P) Chứng tỏ với m (D) luôn cắt (P) điểm phân biệt
2 Tìm giá trị m để AB ngắn BT19 Cho parabol (P) y=1
4x
điểm I(3
2;−1) gọi (D) đường thẳng qua I có hệ số góc m Vẽ (P) viết phương trình đường thẳng (D)
2 Tìm giá trị m cho (D) tiếp xúc với (P)
3 Tìm giá trị m cho (D) (P) có hai điểm chung phân biệt BT20 Cho parabol (P) y=1
2x
đường thẳng (D) y=1
2x+1 Vẽ (P) (D)
2 Bằng phép tốn tìm toạ độ giao điểm A,B (P) (D)
(5)HD: Gọi H,L,K hình chiếu A,B, C lên trục hồnh SABC=SABKH - (SACLH + SCBKL) BT21 Cho parabol (P) y=−1
4x
đường thẳng (D) y=−1
2x+2 Vẽ (P) (D)
2 Bằng phép toán tìm toạ độ giao điểm A,B (P) (D)
3 Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho tiếp tuyến (P) song song với (D) BT22 Cho parabol (P) y=1
2x
điểm M(-1,2)
1 CMR phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k cắt (P) hai điểm phân biệt A,B với giá trị k
2 Gọi xA, xB hoành độ A,B Xác định k để : x2A+xB2+2xA.xB(xA+xB) đạt GTLN tính giá trị
BT23
1 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (2,1) (-1,-5)
2 Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với trục tung trục hoành
BT24 Cho parabol (P) y=x2−3x+2 đường thẳng (D) y = x+ m Với giá trị m
đường thẳng (d)
1 Cắt (P) điểm phân biệt
2 Tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm BT25 Cho parabol (P) y=1
2x
điểm I(0;−1) Tìm a, b để đường thẳng y=ax+b qua I
tiếp xúc với (P)
BT26 Cho parabol (P) y=x2 đường thẳng (D) y=(m−32).x+m2
1 CMR (D) (P) cắt điểm phân biệt M,N với m Tìm giá trị m để tam giác OMN vuông O(0,0)
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
NỘI DUNG
1 Công thức nghiệm ,định lý Viét Ứng dụng định lý viét
3 Biểu thức đối xứng nghiệm
4 Hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số Dấu nghiệm
6 Lập phương trình bậc nhận số a, b nghiệm
7 Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình thoả mãn ĐK cho trước BT1 Cho phương trình x2−4x+m+1=0
1 Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm
2 Tìm m cho phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn điều kiện x12+x22=10 BT2 Cho phương trình x2−2
(m−1)x+2m−5=0
1 CMR phương trình ln có nghiệm với m
2 Tìm m cho phương trình có nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang dấu gì? BT3 CMR hệ số phương trình bậc hai x2
+p1x+q1=0 x2+p2x+q2=0
Liên hệ với hệ thức: p1p2=2(q1+q2) hai phương trình có nghiệm
HD ttính tổng delta hai phương trình suy ĐPCM
BT4 Cho phương trình x2−2
(m+1)x+2m+10=0
1 Giải biện luận số nghiệm phương trình
(6)BT5 Gọi α , β hai nghiệm phương trình 3x2
+7x −4=0 Khơng giải phương trình ,
hãy lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm β −α1 α −β1 BT6 Cho phương trình (m−1)x2−2 mx+m+1=0
1 CMR phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt với m ≠
2 Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm từ tính tổng hai nghiệm phương trình
3 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuọc vào m Tìm m để phương trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức
x1
x2
+x2
x1
+5
2=0
BT7 Giả sử a,b,c ba cạnh tam giác
CMR phương trình b2x2+(b2+c2−a2)x+c2=0 vơ nghiệm
BT8 Cho phương trình x2−mx+m−1=0
1 CMR phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt với ; tính nghiệm kép (nếu có) giá trị m tương ứng
2 Đặt A=x12+x22−6 x1x2
CMR A= m - 8m + Tìm m cho A=8
Tìm GTNN A giá trị m tương ứng
BT9 Cho phương trình x2−2 mx
+2m −1=0
1 CMR phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt với m Đặt A=2.(x1
2
+x2
)−5 x1x2
CMR A= 8.m – 18.m + Tìm m cho A=27
3 Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm BT10 Cho phương trình (m−1)x2+2(m−1)x − m=0
1 Tìm m để phương trình có nghiệm kép , tính nghiệm kép Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm BT11 Cho phương trình x2−(2m−3)x+m2−3m=0
1 CMR phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt m thay đổi Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn 1<x1<x2<6
BT12 Cho hai phương trình x2
+x+a=0 x2+ax+1=0 Tìm giá trị a hai
phương trình có nghiệm chung HD sử dụng điều kiện cần đủ suy a=-2
BT13 Cho phương trình x2−(2m+1)x+m2+m−6=0
1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
2 Tìm m để phương trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức |x13− x23|=50 BT14 Cho f(x)=x2−2(m+2)x+6m+1
1 CMR phương trình f(x) = có nghiệm với m
2 Đặt t+2 Tính f(t) theo t, từ tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có hai nghiệm lớn
BT15
1 Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2+bx ++c=0 Viết phương trình
bậc hai nhận x13 x23 nghiệm
2 Giải bất phương trình (x2
+4x −10)2−7(x2
+4x −11)+7<0
BT16 Cho phương trình x2−2
(m+1)x+m2−4m+5=0
1 Tìm m để phương trình có nghiệm
(7)BT17 Cho phương trình mx2−2(m+1)x+m+2=0
1 Tìm m để phương trình có nghiệm
2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu
Chú ý suy ĐK P<0 S=0 suy m =-1
BT18 Cho phương trình x2−5x+1=0 Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải
phương trình tính giá trị biểu thức sau :
1 x12+x22 x1√x1+x2√x2
x12+x22+x1x2(x1+x2) x12(x12−1)+x22(x22−1)
BT19 Cho phương trình (m−1)x2+(m+2)x+1=0
1 Giải phương trình m =
2 Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm m để phương trình có nghiệm -3 BT20 Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2+3m+2=0
1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2 Tìm m để phương trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức x1
+x22=12
BT21 Cho phương trình x2−2 mx+2m −3=0
1 CMR phương trình ln ln có nghiệm với m Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
3 Tìm m để phương trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức x1
(1− x22)+x22(1− x12)=4
BT22 Cho phương trình 2x2−7x
+1=0 Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình
Tính x1√x2+x2√x1
BT23 Gọi α , β hai nghiệm phương trình x2− x −1=0
Khơng giải phương trình , lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm β −1α α −1β
BT27 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2, thoả mãn x1 x2 =
x1 x1−1
− x2 x2−1
=m
2−7
m2−4
BT28 Cho phương trình x2−(2+m)x+m2−1=0
1 Gọi x1, x2, nghiệm phương trình , Tìm m thoả mãn x1− x2=2 Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phương trình có nghiệm khác BT29 Cho phương trình x2−(2m+3)x+m2+2m+2=0
1 Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
2 Viết phương trình bậc có nghiệm
1 ; x x Tìm hệ thức độc lập với m nghiệm x1, x2
4 Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = 2.x2
BT30 Cho phương trình x2−2(2m+1)x+3+4m=0
1 Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
2 Tìm hệ thức độc lập với m nghiệm x1, x2
3 Tính theo m A=x1
+x2
4 Tìm m để phương trình có nghiệm gấp lần nghiệm Viết phương trình bậc hai có nghiệm x12; x22
BT31 Cho phương trình x2−mx
+m−1=0
1 Gọi nghiệm phương trình x1, x2 Tính giá trị M=
x1
+x22−1
x12.x2+x22.x1 Từ tìm m để M
(8)2 Tìm m để P=x12+x22−1 Đạt GTNN BT32 Cho phương trình 2x2−(1+m)x+m −1=0
1 Giải phương trình m=
2 Tìm m để hiệu nghiệm tích chúng BT33 Cho phương trình (m2+m+1)x2−(m2+8m+3)x −1=0
1 CMR x1.x2<
2 Gọi nghiệm phương trình x1.x2 Tìm GTLN, GTNN S= x1+x2
BT34 Cho phương trình x2+(3m+2)x −4=0 x2+(2m+3)x+2=0 Tìm m để phương trình
có nghiệm chung
BT35 Cho phương trình mx2−2(m+2)x+m=0 Tìm m để:
1 Phương trình có nghiệm
2 Phương trình có nghiệm phân biệt âm
BT36 Cho phương trình x2+x+m=0 x2+mx+1=0 Tìm m để:
a) phương trình tương đương b) phương trình có nghiệm
Phần HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BT1 Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m:
¿ mx− y=2m
4x −my=6+m
¿{
¿
BT2 Với giá trị a hệ phương trình ¿ x+ay=1
ax+y=2
¿{
¿
1 Có nghiệm Vơ nghiệm
BT3 Giải hệ phương trình
¿ x −1+
1 y+1=7
5 x −1−
2 y+1=4
¿{
¿ BT4 Giải hệ phương trình
1
¿ x2
+xy+y2=19
x −xy+y=−1
¿{
¿
2
¿ x2− y2
=16
x+y=8
¿{
¿
3
¿ x2
+y2=1
x2− x=y2− y
¿{
¿
¿ 2x+3y=2
x+xy+y+6=0
¿{
¿
5
¿ 2x −3y=1
x2−xy=24
¿{
¿
6
¿ x2
+y=4x
2x+y −5=0
¿{
¿
7
¿ 3x −4y+1=0
xy=3(x+y)−9
¿{
¿
8
¿ 2x − y=5
x2
+xy+y2=7
¿{
¿
9
x − y¿2+3(x − y)=4
¿
2x+3y=12
(9)BT5 Giải hệ phương trình
¿
5(x+y)+2 xy=−19
3 xy+x+y=−35
¿{
¿
BT6 Giải hệ phương trình ¿ x.y=12
x.z=15
z.y=20
¿{ {
¿ HD
nhân phương trình với nhau
kết hợp phương trình hệ với phương trình kết quả
BT7 Cho hệ phương trình
¿ −2 mx+y=5
mx+3y=1
¿{
¿
1 Giải hệ phương trình m = Giải biện luận hệ phương trình BT8
Tìm GTNN biểu thức P= 2.x+3.y - 4.z biết x,y,z thoả mãn hệ phương trình ¿
2x+y+3z=6
3x+4y −3z=4
¿{
¿
(x,y,z≥ ) HD
Tìm cách biểu diễn y,z theo x thay P Tìm GTNN P ý x ≥0
BT9(HD 1996-1997)
Cho hệ phương trình ¿
6x+ay=6
2 ax+by=3
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình a = b = 2) Tìm a , b để hệ có nghiệm x=1, y=5 BT10(HD 1999-2000)
Cho hệ phương trình ¿
mx− y=1
x+my=2
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình theo tham số m
2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x,y) Tìm giá trị m để x+y=1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
BT11(HD 2003-2004) Cho hệ phương trình
¿ x −2y=4− m
2x+y=3.(1+m)
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình m =
(10)BT12(HD 2003-2004) Cho hệ phương trình
¿ x −2y=3−m
2x+y=3.(2+m)
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình m =-1
2) Gọi nghiệm hệ (x,y) Tìm m để x2 + y2 đạt GTNN
BT13
Cho hệ phương trình ¿
x+my=3
mx+4y=6
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình m=3 2) Tìm m để hệ có nghiệm
¿ x>1
y>0
¿{
¿ BT14
Cho hệ phương trình ¿
a2x − y=−7
2x+y=1
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình a =
2) Gọi ( x,y ) nghiệm Tìm a để x + y =
BT15
Cho hệ phương trình ¿
mx− y=3
3x+my=5
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình m =1
2) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thoả mãn x+y −7(m−1)
m2
+3 =1
BT16
Cho hệ phương trình ¿
ax+(3a −2)y=3− a
2x+(a+1)y=4
¿{
¿
1) Giải hệ phương trình a =
2) Gọi ( x,y ) nghiệm Tìm a để hệ có nghiệm x,y số nguyên
BT17
Cho hệ phương trình ¿
mx+my=−3 (1− m)x+y=0
¿{
(11)Giải hệ phương trình m =2 Tìm m để hệ có nghiệm (x<0 y <0 ) BT18
Giải hệ phương trình ¿ x2
+y2+xy=37❑❑❑❑(1)
x2+z2+xz=28❑❑❑❑(2)
z2+y2+zy=19❑❑❑❑(3)
¿{ {
¿ BT19
Giải hệ phương trình ¿ u.x3
+v.y3=14❑❑(1)
u.x2
+v.y2=5❑❑❑❑(2)
u.x+v.y=2❑❑❑❑(3)
u+v=1❑❑❑❑(4)
¿{ { {
¿ HD
Từ (3) rút v=1-u thay vào phương trình trên
Sau thay kết hợp (3) với (1) (3) với (2) thu hệ phương trình đối xứng ẩn x,y Phần 5
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A-Bài tốn liên quan đến hình học
BT1
Một mảnhvườn hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 Nếu tăng chiều dài thêm 2m giảm chiều
rộng m diện tích khơng thay đổi Tính chiều rộng chiều dài mảnh vườn BT2
Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 150 m2 Người ta mở rộng thêm chiều 1m và
chiều thêm 2m diện tích tăng thêm 42 m2
Xác định kích thước ban đầu BT3
Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 1m Nếu tăng thêm cho chiều dài 1/4 nó, diện tích hình chữ nhật tăng thêm 3m 2 Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu
BT4
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng thêm chiều dài thêm 3m tăng thêm chiều rộng 2m diện tích tăng thêm 45m 2 Hãy tính chiều dài chiều rộng mảnh vườnư
BT5
Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết AC=8cm, BH=3,6cm Tính độ dài chiều cao AH đoạn HC
B- Bài toán chuyển động
BT1
Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc km/h Khi từ B trở A người chọn đường khác dễ dài đường cũ 6km, với vận tốc 12km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB
BT2
(12)BT3(HD 1997-1998)
Một ca nô xi dịng 42 km ngược dịng 40 km Vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng 4km/h Tính vận tốc ca nơ xi dịng biết thời gian ca nơ lúc ngược dịng lâu thời gian ca nơ lúc xi dịng
BT4
Một ôtô dự định từ A đến B cách 240 km thời gian qui định Sau giờ, xe dừng lại 20 phút Để đến B xe tăng vận tốc lên 6km/h Tính vận tốc ơtơ lúc đầu BT5(HD 1996-1997)
Hai người xe đạp xuất phát lúc từ A đến B Vận tốc người thứ vận tốc người htứ hai 3km/h nên đến B sớm người thứ hai 15 phút Tính vận tốc người biết quãng đường AB dài 15 km/h
BT6(HD 1996-1997)
Một xe máy từ A đến B với vối vvận tốc 40 km/h Một sau ô tô từ A đến B với vận tốc 1,25 lần vận tốc xe máy gặp xe máy quãng đường AB Tính quãng đường AB
C-Bài toán số nguyên
BT1
Tìm hai số biết tổng chúng 19, tổng bình phương chúng 185 BT2
Tìm hai số biết tổng chúng 9, tổng số nghịch đảo chúng 9/14 BT3
Tìm số dương có chữ số biết đem chia chữ số cho tổng chữ số thương 4, dư Nếu đem chia chữ số cho tích chữ số thương dư
D-Bài toán sản phẩm &năng suất
BT1 Hai người làm chung cơng việc hồn thành ngày Nếu hai người làm nửa công việc, sau người làm nốt cơng vbiệc cịn klại hồn thành ngày Hỏi người làm việc riêng hồn thành cơng việc
BT2
Một đoàn xe vân tải dự định số xe loại để vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành đồn giao thêm 14 Do phải điều thêm xe loại xe phải chở thêm 0,5
Tính số lượng xe phải điều theo dự định Biết xe chở khối lượng hàng BT3
Một câu lạc có 320 chỗ ngồi , chia thành dãy dãy có số chỗ ngồi Trong buổi họp số đại biểu đến 420 người nên phải kê thêm dãy ghế dãy phải ngồi thêm người
Tính số dãy ghế ban đầu BT4
Một đội xe vân tải phải chuyển 28 hàng đến nơi quy định, Vì đội xe có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 0,1 hàng Tính số xe đội lúc đầu
BT5
Theo kế hoạch đội xe cần chuyên chở 120 hàng Đến ngày làm việc, có xe bị hư nên xe chở thêm 16 Hỏi đội có xe
BT6
Hai vòi nước chảy 80 phút đầy bể vịi chảy 36 phút vịi chảy 30 phút 0,4 bể
Hỏi vịi chảy riêng đầy bể BT7
(13)chảy đầy phần cịn lại bể gìơ rưỡi Hỏi vịi chảy với cơng suất bình thường phải đầy bể
Phần PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÁC
Phương trình vơ tỉ
Phương trình chứa ẩn mẫu thức Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Một số phương trình đặc biệt
A-Phương trình bản
BT1
Giải phương trình 1) x2−2√2x −7=0
2) (2x+1)(x −4)=(x −1)(x+4)
3) x4+2x3−6x2+2x+1=0
4) x.(x+1)(x+2)(x+3)=3
5) 2− x2¿2+3 (2− x2)+2=0 ¿
B-Phương trình phân thức
BT1
Giải phương trình x+1
x − x −1
x+1=2
x+3
x −2− x+1
x+2=
x2−4x
+24
x2−4
x −3+ x+3=
1 x+1¿2
¿ ¿ x(x+2)−
1 ¿
C-Phương trình vơ tỷ
BT1
Giải phương trình 1) √x+3+√1− x=2
2) √4x2−4x
+1=2002
3) √x2−4x+4=49
4) √x2+2x+1+√x2−6x+9=4
5) √5x −1−√3x −2=√x −1 6) − x2
+2=√2− x
BT2
Giải phương trình
√x −5− x −14 3+√x −5=0 HD đổi biến số
D-Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
BT1
Giải phương trình 1) |x −2|=x+2
2) |2x2−5x+1|=|3x −1|
(14)Cho phương trình ẩn x
√x2−2x+1=√6+4√2−√6−4√2
1) Rút gọn vế phải phương trình 2) Giải phương trình
BT5
Giải phương trình ẩn
1) √x+3−4√x −1+√x+8−6√x −1=5 Đưa hàng đẳng thức
2) √x+2+3√2x −5+√x −2−√2x −5=2√2
Đưa hàng đẳng thức, đưa rút gọn
E-Bất phương trình khác
BT1
1) 2+3(x+1)
8 <3− x −1
4
F-Một số phương trình khác
BT1
Giải phương trình x2
3 + 48
x2=10( x 3−
4 x) HD : đặt y=x
3−
x Phần 7
MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC
BT1(HD 2002-2003)
Tìm số nguyên lớn không vượt (7+4√3)7
BT2(HD 2001-2002)
CMR √5−2 nghiệm phương trình x2+6x+7=2
x từ phân tích đa thức :
x3+6x2+7x −2 thành nhân tử
BT3(HD 2001-2002)
Tìm cặp số nguyên (a,b) thoả mãn phương trình 3√a+7√b=√3200
HD
Viết lại 3√a+7√b=40√2
Vì a,b nguyên dương suy √a=m√2❑❑ và
√b=n√2❑❑ với m,n nguyên dương
suy m=40−7n
3 =13−2n+ 1−n
3
Đặt 1− n
3 =k suy
n=1−3k
m=11+7k
Giải bất phương trình m>0 n>0 suy giá trị k
BT4(HD 2003-2004)
CMR √(m+1)(m+2)(m+3)(m+4) số vô tỉ với số tự nhiên m
BT5(HD 2003-2004) Tìm số nguyên m để √m2
+m+20 số hữu tỉ
BT6
(15)HD đặt điều kiện chuyển vế nhóm số hạng xuất đẳng thức
BT7
Cho hai số dương x,y có tổng Tìm GTNN P=(1−
x2).(1− y2) HD
Biến đổi biểu thức P=1+
xy
P nhỏ (xy) lớn nhất Kết hợp điều kiện x+y=1
BT8(HD 2002-2003)
Xác định số hữu tỉ a,b,c cho: (x+a)(x2+bx+c)=x2−10x −12
BT9
Cho (x+√x2+√1999).(y+√y2+√1999)=√1999 tính tổng S=x+y HD:
Xét toán tổng quát
(x+√x2+a).(y+√y2+a)=a
Nhân vế với biểu thức liên hợp thứ đẳng thức (1) Nhân vế với biểu thức liên hợp thứ hai đẳng thức (2) Cộng (1) với (2) suy S
BT10
Giải phương trình x4+√x2+1995=1995
HD:
Thêm bớt xuất (x2
+1)2=(√x2+1995−1
2)
BT11
Giả sử phương trình ax2+bx+c=0 (a#0) có nghiệm x1,x2
Đặt Sn=x1n+x2n(n∈N) CMR aSn+2+bSn+1+cSn=0
áp dụng tính A=(1+√5
2 )
+(1−√5
2 )
HD:
Biến đổi Sn+2=− b aSn+1−
c aSn
Mặt khác Sn+2=x1
n+2
+x2 n+2
=(x1 n+1
+x2 n+1
)(x1+x2)− − x1.x2(x1
n
+x2 n
)
Thay viet suy ĐPCM AD tìm a,b,c
========= Hết ========== PHẦN B
(16)BT1 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) có AB < AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A đường trịn (O) Vẽ MH vng góc BC, MK vng góc CA , MI vng góc AB (H thuôc BC, K thuôc AC,I thuôc AB)
CMR: BCMH=AC
MK+ AB MI
BT2 Cho tam giác ABC Giả sử đường phân giác phân giác ngồI góc A tam giác ABC cắt đường thẳng BC D, E có AD=AE
CMR AB2+AC2=4R2 với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
BT3 Cho đường tròn (O;R) đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) điểm A,B Từ điểm M đường thẳng (d) ngồI (O) (d) khơng đI qua O ta vẽ tiếp tuyến MN,MP với đường tròn (O) (N,P tiếp điểm
1) CMR góc NMO = góc NPO
2) CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đI qua điểm cố định M thay đổi (d) 3) Xác định vị trí điểm M (d) cho tứ giác MNOP hình vng
4) CMR tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MNP thay đổi đường cố định M thay
đổi (d)
BT4 Cho đường tròn (O;R) điểm P thuộc (O) Từ P vẽ tia Px, Py cắt đường tròn A,B Cho góc xPy góc nhọn
1) Vẽ hình bình hành APBM Gọi K trực tâm tam giác ABM CMR K thuộc đường tròn (O) 2) Gọi H trực tâm tam giác APB I trung điểm đoạn AB CMR I,H,K thẳng hàng
3) Khi tia Px,Py quay quanh P cố định cho chúng cắt (O) góc xPy khơng đổi điểm
H chuyển đơng đường cố định
BT5 Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi (CD không trùng với AB ) Vẽ tiếp tuyến (d) đường tròn (O) B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) P ,Q
1) CMR tứ giác CPQD tứ giác nội tiếp
2) CMR trung tuyến AI tứ giác APQ vng góc với CD
3) Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP CMR E chuyển động đường tròn cố định đường kính Cd thay đổi
BT6 Cho tam giác ABC vng A có I trung điểm BC Lấy điểm D đoạn BC ( D khác B ,C ) Gọi E , F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD , ADC CMR năm điểm A,E,D,I,F thuộc đường tròn
BT7 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB điểm C thuộc đường tròn khác A,B Gọi M,N trung điểm cung nhỏ AC CB
1) Kẻ ND vng góc với AC (D thuộc AC ) CMR ND tiếp tuyến (O)
2) Gọi E trung điểm đoạn BC Đường thẳng OE cắt đường tròn (O) điểm K (khác N ) CMR tứ giác ADEK hình bình hành
3) CMR C thay đổi (O) MN ln ln tiếp xúc với đường trịn cố định
BT8 Cho tam giác ABC có góc nhọn , đường cao AE CD cắt H (H trực tâm tam giác ABC )
1) CMR đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I đoạn BH
(17)BT9 Cho đường trịn ngồi (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AA’ tiếp tuyến chung BB’ đường tròn (A,B thuộc (O), A’,B’ thuộc (O’) ) Gọi giao điểm AA’ BB’ P Giao điểm AB A’B’ Q
1) CMR góc OPO’ 90 độ 2) CMR PA.PA’=AO.A’O’
3) CMR O.Q,O’ thẳng hàng
BT10 Cho tam giác ABC cạnh a với O trung điểm BC Một góc xOy = 60 độ cho tia Ox cắt cạnh AB E , tia Oy cắt cạnh AC F CMR
1) Tam giác OBE đồng dạng tam giác FCO
2) EO ,FO theo thứ tự phân giác góc BEF CFE
3) Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với đường trịn cố định góc xOy quay quanh O cho tia Ox ,OY cắt cạnh AB AC tam giác ABC
BT11 Từ điểm P ngồi đường trịn tâm O bán kính R Vẽ cát tuyến khơng qua O cắt đường trịn A B (A nằm B P )
1) CMR PA PB=PO2− R2
2) Gọi (d) đường thẳng qua P vuông góc với OP Các tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt (d) C D CMR góc COP = góc DOP
BT12 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ tiếp tuyến AB,AC (B,C tiếp điểm ) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) (M khác B,C) Tiếp tuyến qua M cắt AB,AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q
1) CMR tứ giác PQFE nội tiếp đường trịn
2) CM tỷ số PQFE khơng đổi M thay đổi đường tròn ( (O) A cố định )
BT13 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) H trực tâm Đường phân giác góc A cắt đường cao BE M , đường cao CF N
1) Tam giác HMN tam giác
2) Khi B,C cố định A chạy cung lớn BC Chứng minh MNHM khơng đổi
BT14 Cho đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC,CA AB theo thứ tự D E,F Đường thẳng vng góc với OC O cắt cạnh CA , CB I J Một điểm P chuyển động cung nhỏ DE không chứa điểm F , tiếp tuyến P (O) cắt cạnh CA, CB M,N CMR
1) Góc MON =a khơng đổi, xác định a theo góc tam giác ABC
2) Ba tam giác IMO,OMN,JON đồng dạng với Từ suy IM JN=OI2=OJ2
BT15 Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi K trung điểm cung AB , M điểm thay đổi cung nhỏ AK (M khác A,K ) Lấy điểm N đoạn BM cho BN=AM
1) CMR góc AMK=góc BNK
2) CM tam giác MKN tam giác vuông cân
3) Hai đường thẳng AM OK cắt D Chứng minh MK đường phân giác góc DMN 4) CMR đường thẳng vng góc với BM N ln qua điểm cố định
Phần phụ lục
(18)ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Thời gian : 120 phút Khóa thi : 2002 - 2003 A Lí thuyết (2 điểm)
Thí sinh chọn hai đề sau :
Đề 1. Phát biểu viết dạng tổng quát quy tắc khai phương tích áp dụng tính :
Đề 2. Định nghĩa đường trịn Chứng minh đường kính dây cung lớn đường tròn
B Bài tập bắt buộc (8 điểm)
Bài : (2,5 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = -1
c) Tìm m để với giá trị x > ta có :
Bài : (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình :
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?
Bài : (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÀNH PHỐ HÀ NỘI Thời gian : 150 phút Khóa thi : 2003 - 2004
Bài : (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = 3/2.x2
1) Hãy tính :
2) Các điểm :
có thuộc đồ thị hàm số không ?
Bài : (2,5 điểm) Giải phương trình : 1) 1/(x - 4) + 1/(x + 4) = 1/3 2) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4)
Bài : (1,0 điểm)
Cho phương trình 2x2 - 5x + =
Tính :
(x1, x2 hai nghiệm phương trình)
(19)Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đường trịn (O1) (O2)
phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với
EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I
1) Chứng minh IA vng góc với CD
2) Chứng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
3) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF
Bài : (1,0 điểm) Tìm số nguyên m để:
là số hữu tỉ
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS
TỈNH BẮC GIANG
Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
A Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề sau :
Đề : Nêu quy tắc nhân thức bậc hai áp dụng tính :
Đề : Chứng minh định lí : “Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến”
B Bài tập : (8 điểm) Bắt buộc
Bài : (2 điểm)
a) Thực phép tính :
b) Giải hệ phương trình :
Bài : (2 điểm)
Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai 2/5 Tính vận tốc ơtơ ?
Bài : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E nửa đường trịn đường kính CH cắt AC F Chứng minh : a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật
b) EF tiếp tuyến chung hai đường trịn đường kính BH CH c) Tứ giác BCFE nội tiếp
Bài : (1 điểm)
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau :
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
TỈNH BẮC GIANG
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm)
a) Tính :
(20)Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài : (2 điểm)
Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô
Bài : (3 điểm)
Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H
a) Chứng minh góc BMD góc BAC, từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh : HK // CD
c) Chứng minh : OK.OS = R2
Bài : (1 điểm)
Cho hai số a b khác thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) =
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 BC ĐH SƯ PHẠM TP HẢI PHÒNG
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài :(2 điểm) Cho hệ phương trình :
1) Giải hệ phương trình (1) a =
2) Với giá trị a hệ (1) có nghiệm
Bài :(2 điểm)
Cho biểu thức :
với x > x ≠ 1) Rút gọn biểu thức A
2) Chứng minh < A <
Bài :(2 điểm)
Cho phương trình : (m - 1)x2 + 2mx + m - = (*)
1) Giải phương trình (*) m =
2) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Bài :(3 điểm)
Từ điểm M đường trịn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) đường thẳng qua M cắt đường tròn C D Goi I trung điểm CD Goi E, F, K giao đường thẳng AB với đường thẳng MO, MD, OI
1) Chứng minh R2 = OE.OM = OI.OK
2) Chứng minh điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn
3) Khi cung CAD nhỏ cung CBD Chứng minh số đo góc DEC lần góc DBC
Bài :(2 điểm)
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
(21)ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TP HỒ CHÍ MINH
Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
I Lí thuyết : (2 điểm) Chọn hai câu sau : 1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số
áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình sau :
a) 3x - y =
b) 2x + 0y =
2) Phát biểu chứng minh định lí liên hệ số đo góc nội tiếp đường tròn với số đo cung bị chắn (chỉ chứng minh trường hợp tâm đường trịn nằm cạnh góc nội tiếp)
II. Các bài toán : (8 điểm)
Bắt buộc
Bài 1 : (1 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình :
a) 4x4 - 5x2 - =
b)
Bài 2 : (1,5 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) đường thẳng (D) : y = 2x + hệ trục tọa độ Tìm tọa độ các
giao điểm (P) (D) phép tính
Bài : (1 điểm)
Tuổi nghề 25 công nhân cho sau :
7 10 4 7 14
Hãy xếp số liệu dạng bảng phân phối thực nghiệm gồm cột : giá trị biến lượng, tần số, tần suất
Bài 4 : (1 điểm)
Thu gọn biểu thức sau :
Bài 5 : (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O) có bán kính R điểm S ngồi đường trịn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S N (đường thẳng a không qua tâm O)
a) Chứng minh SO vng góc với AB
b) Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt
điểm E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh OI.OE = R2.
d) Cho biết SO = 2R MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R
ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH
QUẬN - TP HỒ CHÍ MINH
Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm)
Tìm x biết :
Bài : (3 điểm) Tính :
(22)b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1) (1/121 - 1)
Bài : (4 điểm)
a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30
b) Tìm hai số nguyên dương cho : tổng, hiệu (số lớn trừ số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) hai số cộng lại 38
Bài : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vng cân B, có trung tuyến BM Gọi D điểm thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vng góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD) Chứng minh :
a) BH = CK
b) Tam giác MHK vuông cân
Bài : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 20o, BC = cm Trên AB dựng điểm D cho = 10o Tính độ dài
AD ?
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH NAM ĐỊNH
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài :
Rút gọn biểu thức :
Bài :
Gọi a b hai nghiệm phương trình bậc hai x2 - x - = Chứng minh biểu thức P = a + b +
a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 số nguyên chia hết cho
Bài :
Cho hệ phương trình (x, y ẩn số) :
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm m cho hệ phương trình (1) có nghiệm
Bài :
Cho hai vòng tròn (C1) (C2) tiếp xúc với T Hai vòng tròn nằm vòng tròn (C3)
tiếp xúc với (C3) tương ứng M N Tiếp tuyến chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt (C1)
điểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ
hai C
Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp
Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng qui
Bài : Một ngũ giác có tính chất : Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP
HUYỆN YÊN LẠC - TỈNH VĨNH PHÚC
Thời gian :150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Câu : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8)
a) Rút gọn A
b) Tìm a ẻ Z để A số nguyên
Câu : (2,5 điểm)
a) Cho a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c = Tính a2 + b2 + c2
b) Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn : a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) =
Chứng minh ba số a, b, c phải có số âm, số dương
Câu : (2 điểm)
Giải phương trình : a) |x + 1| = |x(x + 1)|
b) x2 + / x2 + y2 + / y2 =
(23)Tổng số tự nhiên chữ số 2359 Tìm số tự nhiên
Câu : (2,5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F điểm đối xứng qua AB, AC H
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng
b) Chứng minh BEFC hình thang Có thể tìm vị trí H để BEFC trở thành hình thang vng, hình bình hành, hình chữ nhật khơng ?
c) Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Câu :
1) Chứng minh : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = ln có nghiệm với a, b
2) Giải hệ phương trình :
Câu :
1) Với số nguyên dương n, đặt an = 22n + - 2n + + ; bn = 22n + + 2n + + Chứng minh với n,
an.bn chia hết cho an + bn khơng chia hết cho
2) Tìm tất ba số nguyên dương đôi khác cho tích chúng tổng chúng
Câu : Cho ΔABC vng A, có đường cao AA1 Hạ A1H vng góc với AB, A1K vng govd với AC
Đặt A1B = x, A1C = y
1) Gọi r r’ bán kính đường trịn nội tiếp ABC AHK Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn tỉ số
2) Chứng minh tứ giác BHKC nội tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn theo x, y
Câu :
1) Cho đường tròn (C) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi, qua A không qua O cắt (C) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O
2) Cho đường tròn (C) tâm O đường thẳng (D) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (D) Đường trịn đường kính IO cắt (C) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định
Câu :
1) Cho bảng vuông x ô Trên ô hình vuông này, ban đầu người ta ghi số số cách tùy ý (mỗi ô số) Với phép biến đổi bảng, cho phép chọn hàng cột hàng cột chọn, đổi đồng thời số thành số 1, số thành số Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi vậy, ta đưa bảng ban đầu bảng gồm toàn số
2) vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác mà gặp tóc họ đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng hai đổi sang tóc xanh) Hỏi xảy trường hợp sau số hữu hạn lần gặp vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất hiệp sĩ có màu tóc khơng ?
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm)
Cho hai số dương a b Xét tập hợp T bao gồm số có dạng : T = {ax + by, x > ; y > ; x + y = 1}
Chứng minh số :
đều thuộc tập T
Bài : (2,0 điểm)
(24)Bài : (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình :
2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a số nguyên dương
Bài : (1,0 điểm)
Tìm đa thức f(x) g(x) với hệ số nguyên cho :
Bài : (1,5 điểm)
Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + số nguyên tố
Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm x
1 x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n - x2n)/(x1 - x2) (n số tự
nhiên) Tìm giá trị a b cho đẳng thức : un + 1un + - unun + = (-1)n với số tự nhiên n,
từ suy un + un + = un +
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN
TỈNH HÀ TÂY
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm)
Cho biểu thức :
với x ≥ ; x ≠ 1) Rút gọn P
2) Tìm x cho P <
Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1,
x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 2003
Bài : (2 điểm)
Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dịng nước) ca nơ dời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 144 km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nơ trở bến A, cịn cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước
Bài : (3,5 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D
1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân
3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI
4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định
Bài : (1 điểm)
Cho a, b, c số bất kì, khác thỏa mãn : ac + bc + 3ab ≤
<DD.CHứNG minh phương trình sau ln có nghiệm : (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)(cx2 + ax + b) =
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH)
Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + x - = Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu Gọi x
1 nghiệm âm
(25)Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :
Tìm giá trị nhỏ lớn P ≤ x ≤
Bài : (2 điểm)
a) Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho a2 + b2 + c2 = 2007
b) Chứng minh không tồn số hữu tỉ x, y, z cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + =
Bài : (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường cao AH Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH đường tròn (O) lấy điểm M khác A Trên tiếp tuyến M đường tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD = BE = BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N
a/ Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp
b/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE đường tròn (O) tiếp xúc với
Bài : (2 điểm)
Có n điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng tô màu xanh, đỏ vàng Biết có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ đoạn màu vàng ; khơng có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ ba màu khơng có tam giác tạo đoạn thẳng nối có ba cạnh màu
a/ Chứng minh không tồn ba đoạn thẳng màu xuất phát từ điểm b/ Hãy cho biết có nhiều điểm thỏa mãn đề
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP
QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2002 - 2003
Thời gian : 150 phút Bài : (3 điểm)
Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x +
Bài : (3 điểm)
Chứng minh đẳng thức :
với a, b trái dấu
Bài : (3 điểm) Rút gọn :
Bài : (3 điểm)
Trong hình chữ nhật có chu vi p, hình chữ nhật có diện tích lớn ? Tính diện tích
Bài : (4 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN B C
Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB hình thang cân b) MA MB = R2
c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN P Q Chứng minh : BP.CQ = BC2/4
Bài : (4 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) B đường tròn (O) Gọi N điểm di động (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O))
(26)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH
Khoá thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài : (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
1) Rút gọn B
2) Tìm giá trị x để B > 3) Tìm giá trị x để B = -
Bài : (2,5 điểm)
Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + = (1)
1) Giải phương trình với m =
2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn :
S = x12 + x22 = 13
Bài : (2 điểm)
Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng họp khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy
Bài : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Đường kính AC đường trịn (O) cắt đường trịn (O’) điểm thứ hai E Đường kính AD đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F
1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng tứ giác OO’EF nội tiếp
3) Với điều kiện vị trí hai đường trịn (O) (O’) EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’)
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH)
Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài : (2 điểm)
Xét biểu thức :
1) Rút gọn y Tìm x để y =
2) Giả sử x > Chứng minh : y - |y| = 3) Tìm giá trị nhỏ y ?
Bài : (2 điểm) Giải hệ phương trình :
Bài : (2 điểm)
Cho hình vng có cạnh 1, tìm số lớn điểm đặt vào hình vng (kể cạnh) cho khơng có điểm số điểm có khoảng cách bé 1/2 đơn vị
Bài : (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm điểm M cố định đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vng góc với nhau, đường cắt đường tròn nhỏ A khác M, đường cắt đường tròn lớn B C Khi cho hai đường thẳng quay quanh M vng góc với nhau, chứng minh :
1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi
(27)Bài : (2 điểm)
1) Chứng minh tích số nguyên dương liên tiếp khơng thể số phương
2) Cho tam giác ABC điểm E nằm cạnh AC Hãy dựng đường thẳng qua E chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH
Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài (2 điểm)
Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b) Rút gọn biểu thức K
c) Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 2 (2 điểm)
Cho hàm số : y = x + m (D)
Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2
Bài 3 (3 điểm)
a) Giải toán cách lập phương trình :
Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật
b) Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F
a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp
b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình ? Tại ?
c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh r2
= r12 + r22
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ
Khóa thi : 2001 - 2002 * Thời gian : 120 phút
A Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn hai đề sau : Đề :
Nêu điều kiện để có nghĩa
áp dụng : Tìm giá trị x để bậc hai sau có nghĩa :
Đề :
Chứng minh : Đường kính vng góc với dây cung chia dây cung hai phần
B Toán : (8 điểm)
Bài : (3 điểm) a) Tính :
(28)c) Xác định hệ số a b hàm số y = ax + b, biết đồ thị qua hai điểm A (1 ; 3) B (2 ; 1)
Bài : (1,5 điểm)
Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước cm diện
tích tăng 48 cm2
Bài : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O Kẻ hai đường kính AA’ BB’ đường trịn
a) Chứng minh ABA’B’ hình chữ nhật
b) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh BH = CA’ c) Cho AO = R, tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THÁI BÌNH
Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2001-2002
A Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề :
Đề thứ :
a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Cho ví dụ b) Giải phương trình : x2 - 2x - =
Đề thứ hai :
Nêu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận cho trường hợp xảy
B Bài toán bắt buộc (8 điểm)
Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tính giá trị K c) Tìm giá trị a cho K <
Bài : (2 điểm) Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình cho m =
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm
Bài : (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By E F
a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b) AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ?
c) Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH d) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THƠNG THCS
Mơn thi : Toán - Năm học 1999 – 2000
A Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn câu sau :
Câu :
a) Hãy viết định nghĩa bậc hai số học số a ≥ Tính:
b) Hãy viết định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng
(29)a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc hai ẩn số
b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng”
B Bài tốn : (8 điểm) Bắt buộc cho học sinh
Bài : (2 điểm) a) Cho :
Tính M + N M x N
b) Tìm tập xác định hàm số :
c) Cho đường thẳng (d) có phưng trình Hãy tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với trục tọa độ
Bài : (2 điểm)
Trong phịng có 288 ghế xếp thành dãy, dãy có số ghế Nếu ta bớt dãy dãy lại thêm ghế vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi ghế) Hỏi phịng có dãy ghế dãy có ghế ?
Bài : (4 điểm)
Cho nửa đường trịn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F
a) Chứng minh ΔABE vuông cân b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
d) Cho điểm C di động nửa đường tròn (C khác A B) D di động cung CB (D khác C B) Chứng minh:
AC x AE = AD x AF có giá trị khơng đổi
Đề thi vào 10 chun Hải Dương 2002-2003
Mơn Tốn - Dành cho lớp chuyên tự nhiên
Thời gian làm 150 phút Bài I (3,0 điểm)
Cho biểu thức :
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên
Bài II (3,0 điểm)
1) Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình :
x2 - (2m - 3)x + - m =
Tìm giá trị m để x12 + x22 + 3x1.x2 ( x1 + x2)đạt giá trị lớn
2) Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = a2003 b2003
Chứng minh phương trình : x2 + 2x + ab = có hai nghiệm hữu tỉ
Bài III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o Tính tỉ số BC/AB
2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA, OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung trịn C Tính góc ACD
Bài IV (1,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức :