Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC.. §Ò CHÝNH THøC.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012
MƠN: TỐN Lớp thcs
Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng năm 2012
Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =
1 1
: 10
3 1
x x x
x
x x x x
ỉ - + ỉ÷ - + ư÷
ỗ + ữỗ - ữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữữỗ ữữ
ỗ + - - ỗ - - -
-è ø è ø
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P x =
√3+2√2 3−2√2−
4
√3−2√2 3+2√2 Câu II (4đ)
Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P)
1) Tính độ dài AB
2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB
Câu III (4đ)
1) Giải hệ phương trình
¿
x2 y +x=2 y2
x +y=
¿{
¿
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:
1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2)
2) KH AM
Câu V (2đ)
Với 0≤ x ; y ; z ≤1 Tìm tất nghiệm phương trình:
x 1+y+zx+
y 1+z+xy+
z 1+x+yz=
3 x+y+z
(Cán coi thi không giải thích thêm)
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012
Mơn : TỐN
Ngày thi :18/02/2012 Câu I:
1, C1,
a,
1 1
: 10
3 1
x x x
P
x
x x x x
ỉ - + ỉ÷ - + ửữ
ỗ ữỗ ữ
=ỗỗ + ữữỗỗ - ữữ
ữ ữ
ỗ + - - ỗ - - -
-è ø è ø(ĐK: x>1;x¹ 10; x ≠ 5)
Đặt x a ( a ≥ 0)
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3
3
:
3 3 3 2 2
a a a
a a a
P
a a a a a a a a
é ù + -+ ê + ú Þ = = =-ê ú + - ë - û + - + + ( ) (( ) )
3 1
3
2
2
x x x P x x - -=- = + b, 2 4
4 2 2 (3 2) (3 2) 2 2
3 2 2
1 ( 1) (T/M)
x= + - - = + - - = + -
+
= + - - =
a x 1 (T/m)
( ) ( )
3 3.1
2 2 2
a P
a
Þ =- =-
=-+ +
C2,
a,
3
:
10 1
x x
P
x x x
é ù
- + ê - + ú
= ê ú
- êë - - - úû (ĐK: x>1;x¹ 10)
( )
1
3( 3)
10
x x x P x x - + = - - + ( ) (( ) )
3 1
3 1( 10)( 2)
2(10 )( 4) 2 1 2
x x
x x x x
P
x x x x
- - - - -= =- = - - - + b) 2 4
4 2 2 (3 2) (3 2) 2 2
3 2 2
x= + - - = + - - = + -
+
=> x=1+ ( 1)- - =2 x>1 P =
1 P Câu II:
1) Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình x2 + x -2=0
=> x = x =
(3) AB =
2)Để (d’) cắt (P) điểm phân biệt phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt <=> D >0<=>
1 m<
Ta có CD2 = (x
1-x2)2+(y1-y2)2 mà y2 y1 x2m x1m x1 x2
nên:
2
2
2 1
y y x m x m x x
Ta có AB2 =18
nên CD = AB CD2 = AB2 (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*) 2(x1-x2)2 = 18 (x1-x2)2 = (x1+x2)2 - 4x1x2 =
1-4m-9 = (Theo Viet)
m = - (TM) Câu III
1,ĐK x¹ 0, y¹ 0 C1,
Dùng phương pháp rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:
3
2
2
1
2
3x 4x 4x
x (0 t / m)
x 3x 4x
3x 4x (*)
x y
(*) 2 1
x y
3
C2,
Nhân vế hai PT được: (x+y)2 =
x+y = ± (1)
Chia vế hai PT được:
2
x
4 x 2y
y
(2)
Từ PT giải (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1) Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) (1/3;2/3) 2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320
C1,
2
6 6
3
y 2x y 2x 320
' x 2x 320 320 x x 320 x x Z
x 0; 1;
* x y I y Z
* x y I y Z
2 16
* x ' 320 256 ' 16 y
1
KL : x; y 2; 24 ; 2;8 ; 2; ; 2;24
(4)Câu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đánh máy vẽ hình)
1) Ta có RE=RF=90o
nên tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn tâm (C1) trung điểm AH
1
AEC' B A BEM
AEC' BEM
ME C 'E ME tt cua (C')
MEC CEK = MCE DEC
MEK MDE
MED MKE
ME tt cua (C'')
1
1
3
I
C''
K C'
H E
F
D M
B C
A
2, gọi giao điểm AM với (C’) I ta có: ME tt (C’’) ME2 = MI MA
ME tt (C’’) ME2 = MD MK
MI MA = MD MK AIDK nt AIK = ADK = 1v KI AM (1)
Ta lại có: AIH = 1v (góc nt chắn nửa (C’) HI AM (2)
(5)Câu V: GPT
x y z
1 y zx z xy x yz x y z (1) Do vai trò x,y,z nên 0£ £ £ £x y z * TH1: Nếu x= =>
2
3
1
1 1
( ) ( )
1
( 1)( ) 1
(1 )( ) (1 )( )
y z
z zy y z
y z
z y z zy y z y z
y y z z
z y z yz y z y z
+ =
+ + +
=> - + - =
+ + + + +
- + +
-=> + =
+ + + + +
Ta có VT < mà VP³ nên trường hợp nghiệm
* TH2: Nếu x khác mà 0£ £ £ £x y z 1 z 1 x 0 xz x z 0 <=> zx x z Dấu “=” xảy khi: x=1 z=1.
+ Ta lại có: zx x z ⇔1+y+zx≥ x+y+z
⇒ x 1+y+zx≤
x x+y+z + Tương tự: 1 y
+z+xy≤ y x+y+z 1 z
+x+yz≤ z x+y+z ⇒VT= x
1+y+zx+ y 1+z+xy+
z 1+x+yz≤
x+y+z
x+y+z=1 (2)
+ Mặt khác, vì: 0≤ x ; y ; z ≤1⇒x+y+z ≤3 Dấu “=” xảy : x = y = z = ⇒VP=
x+y+z≥
3=1 Dấu “=” xảy : x = y = z = (3)