Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :.. - Biến đổi lượng giác thuần thục.[r]
(1)Bài TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết )
TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I KIẾN THỨC
1 Thuộc nguyên hàm :
a/
1
sin ax+b dx cos ax+b a
b/
sin ax+b
ln os ax+b os ax+b dx c
c
c /
1
os ax+b sin ax+b
c dx
a
d/
os ax+b
ln sin ax+b sin ax+b
c
dx
2 Đối với :
( ) I f x dx
a/ Nếu f(x)=
R
sinm x c; osnx
ta ý :
- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt lẻ sin )
- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt lẻ cos )
- Nếu m,n lẻ : đặt cosx=t sinx =t ( gọi tắt lẻ sin lẻ cos )
- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt chẵn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc công thức lượng giác công thức biến đổi lượng giác ,
hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc
chia đơi
3 Nói chung để tính tích phân chứa hàm số lượng giác , học sinh đòi
hỏi phải có số yếu tố sau :
- Biến đổi lượng giác thục
- Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng biết
nguyên hàm
II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ Tính tích phân sau :
a (ĐH, CĐ Khối A – 2005)
2
0 3cos
sin sin
dx x
x x
I
b ĐH, CĐ Khối B – 2005
dx x
x x
I
2
0 cos
cos sin
KQ:
2 ln 1Giải
a
2
0
2cos sinx sin sin
1
1 3cos 3cos
x
x x
I dx dx
x x
Đặt :
2
t
osx=
;sinxdx=-3
1 3cos
0 2;
2
c tdt
t x
x t x t
Khi :
2
1 2
3
2
1
2
2
3 2 34
2
1
3 9 27
t
t
I tdt dt t t
t
(2)b
2
2 2
0 0
sin cos 2sin cos os
2 sinxdx
1 cos cos osx+1
x x x x c x
I dx dx
x x c
Đặt :
2dt=-sinxdx, x=0 t=2;x=
1 osx
1
( )
t
t c
t
f x dx dt t dt
t t
Do :
1
2
0
2
1
2 ( ) 2 2 ln 2ln
1
I f x dx t dt t t t
t
Ví dụ Tính tích phân sau
a ĐH- CĐ Khối A – 2006
2
2
0
sin 2x
I dx
cos x 4sin x
KQ:
2
b CĐ Bến Tre – 2005
0 sin
3 cos
dx x
x I
KQ:
2 3ln 2Giải
a
2
2
0
sin 2x
I dx
cos x 4sin x
Đặt :
t cos2x4sin2 x t2 cos2x4sin2xDo :
2 2sin cos 8sin cos 3sin sin
3
0 1;
2
tdt x x x x dx xdx xdx tdt
x t x t
Vậy :
2
2
0 1
2
2 2
( )
1
3 3
tdt
I f x dx dt t
t
b
0sin
3 cos
dx x
x I
.
Ta có :
cos3x=4cos3x 3cosx
4cos2x osx= 4-4sin
c
2x osx= 1-4sin
c
2x c
osxCho nên :
2 4sin os3x
( ) osxdx
1+sinx sinx x c
f x dx dx c
Đặt :
2dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2
1 sinx
1 3
( )
t t
t
f x dx dt t dt
t t
Vậy :
2
2
0
2
( ) 8 3ln 3ln
1
I f x dx t dt t t t
t
(3)a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
2
0
sin
sin 2cos cos xdx
I
x
x x
b CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin x cosx
I dx
1 sin2x
KQ:
lnGiải
a
2 2
2
2
0 0
sin sin sinx
ln osx ln sin cos osx 1+cosx
sin 2cos cos
2
xdx xdx
I dx c
x x x c
x x
b
2 2
2
4 4
sin x cosx sin x cosx sin x cosx
I dx dx dx
sinx+cosx sin2x sinx+cosx
Vì :
s inx+cosx= sin x ;4 x 2 x 34 sin x
Do :
s inx+cosx s inx+cosxMặt khác :
d
sinx+cosx
cosx-sinx
dxCho nên :
2
4
sinx+cosx 2
ln sinx+cosx ln1 ln ln
sinx+cosx
4 d
I
Ví dụ Tính tích phân sau
a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
2
3
cos2x
I dx
sin x cosx
KQ:
1 32
b CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
KQ:
1 ln34Giải
a
2
3
cos2x
I dx
sin x cosx
Vì :
cos 2x c os2x sin2 x
cosx+sinx
cosx-sinx
Cho nên :
3
osx-sinx os2x
( ) osx+sinx
sinx-cosx+3 sinx-cosx+3 c
c
f x dx dx c dx
Đặt :
3
dt= cosx+sinx ; 2,
2 sinx-cosx+3
3 1
( )
dx x t x t
t
t
f x dx dt dt
t t t
(4)Vậy :
4
2
0
4
1 1 1
( )
2
4 32
I f x dx dt
t t t t
b
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
Đặt :
1 4cos os2xdx=
4 2sin
0 1;
4
dt xdx c dt
t x
x t x t
Vậy :
3
0
3
cos2x dt 1
I dx ln t ln3
1 2sin2x t 4
Ví dụ Tính tích phân sau :
a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
3
0
4sin x
I dx
1 cosx
KQ: 2
b CĐ Bến Tre – 2006
3
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x
Giải
a
2
2 2
2
0 0
1 cos x
4sin x
I 1 cosxdx 1 cosx sinxdx=4 cosx sinxdx=4 cosx2 2
0
b
3
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x
Ta có :
sin 3x sin 33 xsin sin 3x
x
sin os 3x c x.
Đặt :
1 dt=-3sin3xdx
sin3xdx=-3 os3x
0 2;
6
dt
t c
x t x t
Vậy :
21
6
2
0
2
1 1 1 1
( ) 2 ln ln
1
3 3
t
f x dx dt t dt t t t
t t
Ví dụ Tính tích phân sau
a
I =3
2
3
sin x sin x
cot gx dx
sin x
b.
I =2
2
sin( x)
4 dx
sin( x)
4
c I =
2
sin x dx
d I =
si
cos 2x(¿n4x+cos4x)dx
0 π
¿
(5)
a
I =3
3
2
3
1 sinx
sin x sin x cot gx dx sin x cot xdx
sin x sinx
2
3
3
2
3
1
1
cot xdx
cot x cot xdx
sin x
b.
I =2
2
sin( x) cosx-sinx
4 dx dx
cosx+sinx
sin( x)
4
2
2
d cosx+sinx
2
ln cosx+sinx
0
cosx+sinx
2
c I =
2
2 2
4
0 0
1 cos2x
1
1 cos4x
sin x dx
dx
1 2cos 2x
dx
2
4
2
2
0
3 1
1
3
1
1
3
cos2x+ cos4x dx
x
sin 2x
sin 4x 2
8 2
8
8
4
32
0
16
d I =
sicos 2x(¿n4x+cos4x)dx
0 π
¿
Vì :
4
sin os sin
2
x c x x
Cho nên :
2 2
2
0 0
1 1
1 sin os2xdx= os2xdx- sin cos sin 2 sin 2
2 2
0
I x c c x xdx x x
Ví dụ 7.
Tính tích phân sau
a I =
2
sin xdx
b I =
4
1
dx
sin x cot gx
c I =
3
2
6
tg x cot g x 2dx
d */I =
2
3
0
( cos x
sin x )dx
(6)a I =
2 2
5 2
0 0
sin xdx
1 cos x sinxdx=- 2cos x cos x d cosx
3
2
1
2
cosx+ cos x
cos x 2
3
5
0
15
b I =
4
1
dx
sin x cot gx
.
Đặt :
2
2
1
2
sin sin
cot cot
3;
6
tdt dx dx tdt
x x
t x t x
x t x t
Vậy :
1
1
2
2 2
1 tdt
I dt t
t
c I =
3 2
2
6 6
tg x cot g x 2dx
t anx-cotx dx
t anx-cotx dx
Vì :
2
sinx osx sin os os2x
tanx-cotx= 2cot
cosx sinx sinxcosx sin2x
c x c x c
x
Cho nên :
t anx-cotx<0;x ;
3
; ; cot ;
6 3 3
t anx-cotx>0;x ;
x x x
Vậy :
3
4
6
os2x os2x
t anx-cotx t anx-cotx
sin2x sin2x
c c
I dx dx dx dx
ln sin
1
ln sin
ln 26
x x
d I =
2
3
0
( cos x
sin x )dx
(1)
Đặt :
x t dx dt x, t 2;x t
(7)Do :
0 2
3 3
3
0
2
os sin sin ost sin osx
2
I c t t dt t c dt x c dx
Lấy (1) +(2) vế với vế :
2I 0 I 0Ví dụ 8
Tính tích phân sau
a
3
4
tan xdx
(Y-HN-2000) b
4
0
os2x sinx+cosx+2
c
dx
(NT-2000) c
6
4
os sin c x
dx x
(NNI-2001)
d
2
6
sin os
x dx c x
( GTVT-2000)
e
2
2
sin os
x dx c x
f
2
0
1 2sin sin
x dx x
(KB-03)
Giải
a
3
4
tan xdx
Ta có :
24
4 4
1 os
sin 1
( ) tan
os os os os
c x x
f x x
c x c x c x c x
Do :
3 3
2
4 2
4 4
1 3
( ) 1 tan tan
os os os
4 dx
I f x dx dx x x x
c x c x c x
3
1
t anx+ tan 2 3
3 12 12 12
4 x
* Chú ý : Ta cịn có cách phân tích khác :
4 2 2 2 2
( ) tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 1
f x x x x x x x x x x
Vậy :
3 3
2 2
2
4 4
tan tan tan 1 tan
os os
dx dx
I x x x dx x dx
c x c x
3
1tan t anx+x 13 3 3 1
3 3 12
4
I x
b
4
0
os2x sinx+cosx+2
c
dx
Ta có :
2
3 3
os sin osx-sinx osx+sinx os2x
( )
sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9
c x x c c
c
f x
Do :
4
3
0
osx+sinx
( ) osx-sinx
sinx+cosx+2 c
I f x dx c dx
(8)Đặt :
3cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2,
sinx+cosx+2
2 1
osx-sinx ( )
t t
t
dt c dx f x dx dt dt
t t t
Vậy :
2
2
2
3
1 1 2 1 1 2
2
3
2
3 2 2 2 2
I dt
t t t t
sin ost sin ost
sin ost os sin t ( )
sin ost+9 sin ost+9
t c t c
t c dt c t dt f x
t c t c
c
6
4
os sin c x
dx x
Ta có :
36
2
4 4
1 sin
os 3sin 3sin sin 1
( ) 3 sin
sin sin sin sin sin
x
c x x x x
f x x
x x x x x
Vậy :
2 2
2
2
4 4
1 os2x
1 cot 3
sin sin
dx dx c
I x dx dx
x x
3
1cot 3cot 3 1sin 2 23
3 12
4
x x x x x
d
2
4 4 4
2
6 6 4 2
0 0 0
sin os 1 1
1 tan
os os os os os os os
x c x dx
dx dx dx dx x
c x c x c x c x c x c x c x
4 2 4
2 2
2
0 0
1
1 tan tan tan tan tan tan t anx
os os
x dx x dx x x d x x d
c x c x
3 3
2 1 1
t anx+ tan tan t anx- tan tan tan
3 x x x 0 x x 0 15
e
2 2
2
0 0
7 os2x
sin sin 2sin
ln os2x ln os2x
4 os 4 os2x os2x 0
2
d c
x x x
dx dx dx c
c
c x c c
f
2
4 4
0 0
1 sin
1 2sin os2 1
ln sin ln
1 sin sin 2 sin 2 0
d x
x c x
dx dx x
x x x
Ví dụ 9.
Tính tích phân sau :
a
2
3
0
sin xcos xdx
b
2
0
sin os3x
x dx c
(9)c
5
2
6
0 3
2
sin os os2x
sinx+ osx sinx+ osx cosx- sinx
x c x c
I dx J dx K dx
c c
Giải
a
2 2
3 4
0 0
sin xcos xdx cos x cos sinxdxx cos x cos x d cosx
7
1
os os
7c x 5c x 0 35
b
2 2
0 0
1 2cos3
sin 3sin 1
ln 2cos3 ln
1 os3x 2cos3 2cos3 0
d x
x x
dx dx x
c x x
c Ta có :
2
6 6
0 0
sin os 1 1
2
sinx+ osx sin
sinx+ osx
3
2
x c x
I J dx dx dx
c x
c
Do :
2
tan
2
1 1
sin 2sin os x+ tan os tan
3 6 6
x d
x x x x
x c c
Vậy :
6
0 tan
2
1 1
ln tan ln ln
2 tan 2 0
2 x d
x I
x
(1)
- Mặt khác :
2
6
0
sin os sin os sin os
3
sinx+ osx sinx+ osx
x c x x c x
x c x
I J dx dx
c c
Do :
6
0
3 sinx- osx osx- sinx
I J c dx c
(2)
Từ (1) (2) ta có hệ :
3
1ln 3 ln
16
4
1
3 ln 3
16
I I J
I J J
Để tính K ta đặt
t x 32 dt dx x ;2 t 0.x 53 t
Vậy :
6
0
os 2t+3 os2t
ln
8
sint+ ost os t+3 sin t+3
2
c c
K dt dt I J
c c
(10)a
4
0 1 sin 2xdx
( CĐ-99)
b
2
0 sinx+cosx dx
(ĐH-LN-2000)
c
2
10 10 4
0
sin x cos x sin xcos x dx
(SPII-2000)d
3
6
1 sinxsin x+
6 dx
(MĐC-2000)
Giải
a
4 4
2
2
0 0
1 1
tan
1 sin sinx+cosx 2cos 0
4
dx dx dx x
x x
b
2
0 sinx+cosx dx
Đặt :
2
2
1
tan tan ; ; 0,
2 2cos 2
2
x x dt
t dt dx dx dx x t x t
x t
Vậy :
1 1
2 2
0 0
2
1 2
2 1
2
1
dt dt
I dt
t t t t t t
t t
Đặt :
2
2 2
1
2 ; tan ; tan
os
1 tan
2 2
( )
os tan
1
dt du t u t u
c u
t u
dt
f t dt du du
c u u
t
Vậy :
2
1
2
2
1
2
2 2 arxtan arctan
2
u
u
u
I du u u u
u
c
2
10 10 4
0
sin x cos x sin xcos x dx
Ta có :
sin10x c os10x sin4xcos4 x
sin2x c os2x
cos4x sin4x c
os6x sin6x
cos2x sin2 x c
os2x sin2x c
os4x sin4x cos sin2x 2x
2 2 os4x os8x 15 1
os sin os sin os4x+ os8x
4 16 32 32 32
c c
c x x c x x c c
Vậy :
2
0
15 1 15 1 15
os4x+ os8x sin sin
32 32 32 32.8 64
0
I c c dx x x
d
3
6
1 s inxsin x+
6 dx
.
Ta có :
1
sin sin osx-sinxco = *
6 6 6
x x x x x c x
(11)Do :
1 sin osx-sinxco
1 2 6
( ) 2
sinxsin x+ sinxsin x+ sinxsin x+
6 6
x c x
f x
3
6
os x+ os x+
osx ( ) 2 osx 2 ln sinx ln sin x+
sinx sin sinx sin
6 6
c c
c c
I f x dx dx
x x
sinx 3
2ln ln ln ln
2
sin x+ 6 I
*
Chú ý
: Ta cịn có cách khác
f(x)=
2
1
3 sin cot
sinxsin x+ sinx sinx+ osx
6 2 2
x x
c
Vậy :
3
2
6
2 cot
2 2ln cot 2 ln3
sin
3 cot cot
6
d x
I dx x
x
x x
Ví dụ 11
Tính tích phân sau
a
3
2
sinxcos os
x dx c x
(HVBCVT-99)
b
2
2
0
os cos
c x xdx
( HVNHTPHCM-98)
c
4
6
0
sin os sin
x dx
c x x
(ĐHNT-01)
d
4
0 os
dx c x
(ĐHTM-95)
Giải
a
3
2
2
0
sinxcos os
(sin )
1 os os
x c x
dx x dx
c x c x
Đặt :
2
2
2sin cos sin os
os 1; 2;
2
dt x xdx xdx
t c x
c x t x t x t
Vậy :
1
2
2
1 1 ln
1 ln
1
2 2
t
I dt dt t t
t t
b
2
2
0
os cos
c x xdx
Ta có :
2 os2x os4x
( ) os cos os2x+cos4x+cos4x.cos2x
2
c c
f x c x x c
1 1 1
1 os2x+cos4x+ os6x+cos2x os2x+ os4x+ os6x
4 c c 8c 4c 8c
(12)Vậy :
2
0
1 1 1
os2x+ os4x+ os6x sin sin sin
4 8 16 16 48 0
I c c c dx x x x x
c
4
6
0
sin os sin
x dx
c x x
Vì :
d
sin6 x c os6x
6sin5xcosx os sinc 5x x dx
6sin cosx x
sin4x c os4x
sin6 os6
3sin sin
os2
sin2 os2
3sin cos 2d x c x x x c x x c x dx x xdx
6
3
sin sin sin os
2 xdx xdx 3d x c x
Vậy :
6
4
6
6 6
0
sin os
sin 2
ln sin os ln
os sin sin os 0
d x c x
x
dx x c x
c x x x c x
d
4 4
2
4 2
0 0
1
1 tan t anx t anx+ tan
os os os 3
0
dx dx
x d x
c x c x c x
Ví dụ 12
Tính tích phân sau
a
11
sin xdx
( HVQHQT-96)
b
4
2
0
sin xcos xdx
(NNI-96)
c
4
os cos
c x xdx
(NNI-98 )
d
01 cos2xdx
(ĐHTL-97 )
Giải
a
11
sin xdx
Ta có :
5
11 10 2
sin xsin x.sinx= 1-cos x sinx= 1-5cos x10cos x10cos x5cos x c os x sinx
Cho nên :
2
0
1-5cos 10cos 10cos 5cos os sinxdx
I x x x x c x
7
1 5 118
os os 2cos os os osx
0
7c x 6c x x 2c x 3c x c 21
b
4
2
0
sin xcos xdx
Hạ bậc :
2
2 os2x os2x
sin cos os2x 2cos os
2
c c
x x c x c x
2
1
1 2cos os os2x-2cos os
8 x c x c x c x
1 1+cos4x 1+cos4x
1 os2x-cos os os2x- os2x
8 c x c x c c
(13)
1 cos6x+cos2x
1 os2x-cos4x+cos4x.cos2x os2x-cos4x+
16 c 16 c
1
2 3cos os6x-cos4x 32 x c
Vậy
4
0
1 1
2 3cos os6x-cos4x sin sin sin 4
32 32 64 32.6 32.4
0
I x c dx x x x x
d
2
0 0
2
1 cos2xdx 2cos xdx cosx dx cosxdx cosxdx
2 sinx sinx 1 2
0 2
III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
1 Trong phương pháp đổi biến số dạng
* Sử dụng công thức :
0( ) ( )
b b
f x dx f b x dx
Chứng minh :
Đặt : b-x=t , suy x=b-t dx=-dt ,
0
0
x t b
x b t
Do :
0
0 0
( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b
b
f x dx f b t dt f b t dt f b x dx
Vì tích phân khơng
phụ thuộc vào biến số
Ví dụ : Tính tích phân sau
a/
2
3
4sin sinx+cosx
xdx
b/
2
3
5cos 4sin sinx+cosx
x x
dx
c/
4
log t anx dx
d/
6
6
0
sin sin os
x dx x c x
e/
1
0
1 n
m
x x dx
f/
4
3
0
sin cos sin os
x x
dx x c x
(14)a/
2
3
4sin sinx+cosx
xdx I
.(1) Đặt :
3
, ;
2
4sin
4cos
2 ( ) ( )
cost+sint
sin os
2
dt dx x t x t
t
t x x t t
f x dx dt dt f t dt
t c t
Nhưng tích phân khơng phụ thuộc vào biến số , :
0
3
2
4 osx
( )
sinx+cosx c
I f t dt dx
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :
2
3
0
4 sinx+cosx
2
sinx+cosx sinx+cosx
I dx I dx
2
1
2 tan 2
4
2cos
4
I dx x
x
b/
2
3
5cos 4sin sinx+cosx
x x
I dx
Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau :
0
2
3 3
0
2
5cos 4sin 5sin 4cos 5sin os
2
sinx+cosx ost+sint sinx+cosx
x x t t x c x
I dx dt dx
c
Vậy :
2
2
2
0
1 1
2 tan
2
sinx+cosx 2cos 0
4
I dx dx x I
x
c/
4
log t anx dx
Đặt :
2
, ;
4
4 ( ) log t anx log tan
4
dx dt x t x t
t x x t
f x dx dx t dt
Hay:
21 tan
( ) log log log log
1 tan tan
t
f t dt dt t
t t
Vậy :
0 4
2
0
4
( ) log
4
0
I f t dt dt tdt I t I
(15)d/
6
6
0
sin sin os
x
I dx
x c x
(1)
6
0
6
6 0
2
sin
os
os sin
sin os
2
t
c x
d t dx I
c x x
t c t
(2)
Cộng (1) (2) ta có :
6
2
6
0
os sin
2
os sin 0
c x x
I dx dx x I
c x x
e/
1
0
1 n
m
x x dx
Đặt : t=1-x suy x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
Do :
0 1
1 0
1 m n( ) n(1 )m n(1 )m
I
t t dt
t t dt
x x dxMỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1
2
0 4sin osx
x dx c
2
4
0
osx+2sinx 4cos 3sin
c
dx
x x
(XD-98 )
3
3
2
sinxcos os
x dx c x
4
3
sinx cos x
dx x
( HVNHTPHCM-2000 )
5
1
6
5
0
x x dx
(ĐHKT-97 )
6
0sin os
x x
dx c x
( AN-97 )
7
4
0
sinx+2cosx 3sinx cosxdx
( CĐSPHN-2000)
8
2
0
1 sinx ln
1+cosx dx
( CĐSPKT-2000 )
9
0sin 4cos
x x
dx x
(ĐHYDTPHCM-2000 )
10
4
3
0
sin cos sin os
x x
dx x c x
* Dạng :
asinx+bcosx+c 'sinx+b'cosx+c'
I dx
a
Cách giải :
Ta phân tích :
' osx-b'sinx
asinx+bcosx+c
's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'
B a c C
dx A
a a a
- Sau : Quy đồng mẫu số
(16)- Tính I :
' osx-b'sinx
Ax+Bln 'sinx+b'cosx+c'
'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'
B a c C dx
I A dx a C
a a a
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ
Tính tích phân sau :
a
2
0
sinx-cosx+1 sinx+2cosx+3dx
( Bộ đề )
b
4
0
osx+2sinx 4cos 3sin
c
dx
x x
( XD-98 )
c
2
0
sinx+7cosx+6 4sinx 3cosx 5dx
d
I =2
4 cos x 3sin x dx sin x 3cos x
Giải
a
2
0
sinx-cosx+1 sinx+2cosx+3dx
Ta có :
osx-2sinx sinx-cosx+1
( )
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
B c C
f x A
Quy đồng mẫu số đồng hệ số hai tử số :
1
2
2 sinx+ 2A+B osx+3A+C
( )
sinx+2cosx+3
3 4
5 A
A B
A B c
f x A B B
A C
C
Thay vào (1)
2 2
0 0
sinx+2cosx+3
1 4
ln sinx+2cosx+3
5 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 10 0
d
I dx dx J
3 4
ln
10 5 I J
- Tính tích phân J :
Đặt :
2
1
2
2 2
2
1
; 0,
2 os
2
tan
1 2
2 ( ) 1 2
2 1
2
1
dx
dt x t x t
x c
x dt
t J
dt dt t
f x dx
t t t t t
t t
(3)
Tính (3) : Đặt :
1
2
2
2
2 tan ; tan
os
1 tan 1 2 2
( )
2 os
os du
dt t u u t u u
c u
t u du
f t dt du
c u c u
Vậy :
2
1
2
u
2 tan
2 4
j= ln
2 10 5
tan
u
u
du u u I I u u
u
(17)b
3cos 4sin osx+2sinx osx+2sinx; ( )
4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin
B x x
c c C
dx f x A
x x x x x x x x
Giống phàn a Ta có :
2
;
5
A B
;C=0
Vậy :
3cos 4sin2 1
ln 4cos 3sin ln
5 4cos 3sin 5 10
0
x x
I dx x x x
x x
Học sinh tự áp dụng hai phần giải để tự luyện
BÀI TẬP
1
3 3sin sinx cot sin x x dx x
2
23 os 4sin 3sin 4cos
c x x
dx x x
3
2
5
0
os sin
c x x dx
4
21 sin sin sin x x dx x
5
sinx-cosx sin 2x dx
6
15sin cos3x xdx
7
2
2 2
0
sinxcosx
,
os sin dx a b
a c x b x
8
tan xdx
9
ln sinx os dx c x
10
os4x.cos2x.sin2xdx c
11.
tan os2x x dx c
( KA-08)
12.
4
0
sin
sin 2 sinx+cosx x dx x
(KB-08)
13
2
2
0
os os
c x c xdx
(KA-09 )
14
4
0
sin osx
sin osx
x x x c
dx
x x c
(KA-2011 )
15
sin os x x dx c x
(KB-2011)
16
2 2 sin os 4sin x dx
c x x
(KA-06)
17
sin sin cosx x
dx
x x
CĐST-05)
18
2004 2004 2004 sin sin os x dx
x c x
.( CĐSPHN-05)
19.
sin sin os3x x x dx c
( CĐHY-06)
20
3
(18)21.
2 3
2
sin sinx x dx