C¸c ®êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai O... Dụng cụ học tập.[r]
(1)Soạn ngày: 15/2/2012 Dạy ngày: 23/2/2012 Chuyên đề:
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
I./ MỤC TIÊU:
- KT:
+ Cđng cè, më réng cho häc sinh kiÕn thøc vỊ quan hệ yếu tố
tam giác
- KN:
+ RÌn cho häc sinh kÜ vận dụng kiến thức vào làm dạng tËp ứng
dụng kiến thức yếu tố tam giác quan hệ chúng + Củng cố, nâng cao kĩ vẽ hình, khai thác hình
- T duy: Linh hoạt, sáng tạo suy luận logic - TĐ: Cẩn thận
II./ CHUẨN BỊ:
- Gv: Nghiên cứu, soạn giáo án, phấn màu, bảng phụ - Hs: Ôn tập kiến thức
Dụng cụ học tập
III./ TIẾN TRÌNH:
A) Lý thut c¬ b¶n
1)
Các yếu tố tam giác quan hệ chúng :
Tam giác
thường Δ Cân ĐỀU
Δ
VNG Δ vng cân
Quan hệ
góc
Â+ B^+ ^C =18 01
=A+B ^ C1> ^A C^1> ^B
B^= ^C ^ B =
2 ˆ 180 A
Â=180
0
−2B^
^
A= ^B= ^C= 6
0
B^+ ^C =
90 B= C= 45O
Quan hệ
cạnh
1 cạnh < Tổng > Hiệu 2cạnh lại
AB=AC AB=BC=AC
BC2= AB2+ AC2 BC > AB BC > AC
a=AB=AC=
c
√2
BC= a √2
2)
Tam giác vuông :
- Quan hệ góc : Â=90o <=> B^+ ^C=900
- Quan hệ cạnh: Định lý PyTago: Δ ABC:A^=900⇔BC2=AB2+AC2
- Quan hệ đặc biệt:
Δ ABC:A^=900; AH
⊥BC=>AH.BC=AB.AC
AB2=BH.BC ; AC2=CH.BC
Tgv ABC, Â= 90O, MB= MC <=>AM=
(2)A
D
B C
B) Ví dụ VD1
Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam giác, biết
ADB > ADC Chøng minh r»ng: DB < DC Gi¶i Gi¶ sư DC không lớn DB nghĩa DC DB.
+ Trng hợp 1: Nếu DC = DB BDC cân D
DBC= BCD => ABD= ACD Khi ta có:
∆ADB= ∆ADC (c_g_c)
Do đó: ADB= ADC ( trái với giả thiết) + Th2: Nếu DC < DB ∆BDC, ta có
DBC< BCD mà ABC= ACB nên ABD > ACD (*)
XÐt ∆ADB vµ ∆ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB Suy ra:DAC < DAB (**)
Tõ (*) vµ (**) ∆ADB ACD ta lại có ADB < ADC, điều trái với giả thiết
Vậy: DC > DB VD2
Cho Δ ABC vuông B, đờng cao BE Tìm số đo góc nhọn tam giác , biết EC – EA = AB
Giải Trên tia EC lấy điểm D cho ED = EA
tgvABE = tgv DBE ( EA = ED, BE chung) Suy BD = BA ; BAD= BDA
Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B
VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD
Vẽ tia ID phân giác gãc CBD ( I ¿ BC ).
Hai tam giác: CID BID có : ID cạnh chung,
CD = BD ( Chứng minh trên)
CID= IDB ( DI phân giác gãc CDB )
VËy Δ CID = Δ BID ( c g c) ⇒ C= IBD Gäi C lµ α ⇒ BDA=C+ IBD= 2C= α ( gãc ngoµi cđa Δ BCD)
mà A= D ( Chứng minh trên) nên A= α ⇒2α+α = 900 ⇒ α = 300 VD3
a) Cho Δ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lƯ víi 7; 5; Các góc tơng ứng tỉ lệ với số ?
(3)A
C D
O
1) DE // BC
2) CE vu«ng gãc víi AB
Giải
a) Gọi số đo góc A, B , C lµ A,B,C Theo bµi ta cã A
7 = B 5=
C 3=
A+B+C 15 =
1800 15 =12
A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960 ⇒ B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200 C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440 ⇒ Các góc ngồi tơng ứng tỉ lệ với ; ;
2) XÐt ∆EBC vµ ∆DCB cã:
- BC chung
- EBC= DCB - BE= CD
Nªn Δ EBC = Δ DCB (c.g.c) C) Bài tập nhà
BT1
Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác
a Chøng minh r»ng: BOC= A+ ABO+ ACO
b BiÕt ABO+ ACO= 90O- A/2 vµ tia BO lµ tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C
BT2
Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM Gäi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC t¹i D
a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD
BT3
Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM Điểm E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE) Chøng minh MHK vuông cân
D) Hng dn BTVN BT1
a) Tia CO cắt AB D
+, Xét BOD có BOC góc nên BOC=B1+ D1
+, XÐt ADC cã gãc D1 lµ gãc b)
(4)nên D1= A + C1
VËy DOC= A+ C1+ B1 b, NÕu ABO+ ACO= 90O- A/2 th×
BOC= A+ 90O- A/2 hay BOC= 90O+ A/2
XÐt BOC cã:
C2= 180O- (O+ B2)= 180O- (90O+ A/2+ B/2)
C2= C/2 tia CO tia phân giác gócC
BT2
b)
Trong tam giác MAE ,ID đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) Trong tam giác BCD; ME Đờng trung bình => ME=1/2BD (2) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD
BT3 ( Tự vẽ hình)
MHK tg vuông cân M
Thật vậy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH
AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH
MHK cân M
AMH = CMK ÞHMK = 900. VËy MHK vuông cân M
Son ngy: 25/2/2012 Dy ngy: 01/3/2012 Chuyên đề:
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC (T2)
I./ MỤC TIÊU:
- KT:
+ Cñng cè, më réng cho häc sinh kiÕn thøc vÒ quan hệ yếu tố
tam giác
- KN:
+ RÌn cho học sinh kĩ vận dụng kiến thức vào làm dạng tập ng
dng kin thc cỏc yếu tố tam giác quan hệ chúng + Củng cố, nâng cao kĩ vẽ hình, khai thỏc hỡnh
- T duy: Linh hoạt, sáng tạo suy luËn logic - TĐ: Cẩn thận
II./ CHUẨN BỊ:
- Gv: Nghiên cứu, soạn giáo án, phấn màu, bảng phụ - Hs: Ôn tập kiến thức
Dụng cụ học tập
a) Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đờng trung bình => ME//BD
Trong tam gi¸c MAE cã I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)
(5)III./ TIẾN TRÌNH:
A) Lý thuyết bản
Kim tra lý thuyt ó dy buổi trước- HS trả lời, Học sinh khác nhận xét, giáo viên chỉnh kết luận
B) Ví dụ VD1
Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba im B, I, C thng hng
Giải Kẻ DF // AC ( F thuéc BC => DF = BD = CE
=> IDF = IFC ( c.g.c )
=> DIF = EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng
VD2
Cho tam giác ABC có góc B góc C nhỏ
900 Vẽ phía tam gi¸c Êy c¸c tam
giác vng cân ABD ACE ( góc ABD góc ACE 900 ), vẽ DI EK vng góc với đờng thẳng BC Chứng minh rằng:
a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK
Gi¶i a) VÏ AH BC; ( H BC) cña ABC
+ hai tam giác vuông AHB BID có: BD= AB (gt)
A1= B1( cïng phơ víi B2)
ÞAHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn)
ịAH BI (1) DI= BH
+ Xét hai tam giác vuông AHC CKE cã:
A2= C1( cïng phơ víi gãc C2) AC=CE(gt)
ịAHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn)
ịAH= CK (2)
từ (1) (2) ị BI= CK vµ EK = HC b) Ta cã: DI=BH ( Chứng minh trên) tơng tự: EK = HC
T BC= BH +HC= DI + EK VD3
Cho M,N lần lợt trung điểm cạnh AB Ac tam giác ABC Các đờng phân giác phân giác tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN lần lợt D E tia AD AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự P Q Chứng minh:
(6)c) AB = DE
Gi¶i (HD)
a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung ®iĨm AP
BP vừa phân giác vừa trung tuyến nên đờng cao BD ¿ AP
Tơng tự ta chứng minh đợc BE ¿ AQ
b) AD = DP
Δ DBP=Δ BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD
⇒ Δ MBE=Δ MAD(c.g.c)⇒ME=MD BP = 2MD = 2ME = BQ
Vậy B trung điểm PQ c) BDE vuông B, BM trung tuyến nên BM = ME Δ ADB vu«ng ë D cã DM trung tuyến nên DM = MA DE = DM + ME = MA + MB
C) Bài tập nhà BT1
Cho tam giác ABC có B=60O Hai đờng phân giác AP CQ tam giác cắt
t¹i I
a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ
BT2
Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nh nào,biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5
BT3
Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay, CM Ay, BK AC Chứng minh rằng:
a, K trung điểm AC b, ΔKMC
D) Hướng dẫn BTVN BT2
Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ;
Và đờng cao tơng ứng với cạnh , hb , hc Ta có: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : :
Hay:
3(ha +hb)=
4( hb + hc )=
5( + hc )= k ,(víi k 0).
Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Cộng biểu thức trên, ta có: + hb + hc = 6k
Từ ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k Mặt khác, gọi S diện tích ∆ABC, ta có: a.ha = b.hb =c.hc
Þ a.2k = b.k = c.3k Þ
a
=
b
=
c
(7)Giải
a) ABC cã A1= A2 (Az tia phân giác A) A1= C1 (Ay // BC, so le trong)
ÞA2= C1 => ABC cân B
m BK AC ị BK đờng cao cân ABC ị BK trung tuyến cân ABC
VyK trung điểm AC
b) AMC vuông M có AK = KC = AC/2 (1) ị MK trung tuyến thuộc cạnh huyền ị KM = AC/2 (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ KM = KC ÞKMC c©n
Mặt khác AMC có M= 90O ; A1= 30O => MKC= 90O- 30O= 60O ị KMC
………
Soạn ngày: 10/3/2012 Dạy ngày: 15/3/2012 Chuyên đề:
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC (T3)
I./ MỤC TIÊU:
- KT:
+ Cñng cè, më réng cho häc sinh kiÕn thøc vÒ quan hệ yếu tố
tam giác
- KN:
+ Rèn cho học sinh kĩ vận dụng kiến thức vào làm dạng tập ng
dụng kiến thức yếu tố tam giác quan hệ chúng + Củng cố, nâng cao kĩ vẽ hình, khai thác hình
- T duy: Linh hoạt, sáng tạo suy luận logic - T: Cẩn thận
II./ CHUẨN BỊ:
(8)A
B C
D
E C’
Q
D
R F
A
B M C
N P
O E H
I
K Dụng cụ học tập
III./ TIẾN TRèNH: A) Vớ d VD1
Cho tam giác cân ABC, có ABC=1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB
Giải ABC cân, ACB =1000=>
CAB = CBA =400.
Trªn AB lÊy AE =AD Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB= DC)
AED c©n, DAE = 400: 2=200.
=> ADE = AED = 800 = 400+EDB (gãc ngoµi cđa Δ EDB) => EDB = 400 => EB= ED (1)
Trªn AB lÊy C’ cho AC’ = AC
∆CAD = ∆C’AD ( c.g.c)
AC’D = 1000 vµ DC’E = 800. VËy ∆DC’E cân => DC =ED (2)
Từ (1) (2) cã EB= DC’ Mµ DC’= DC VËy AD + DC =AB
VD2
Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai O Các đờng cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC
a) C/m HO IM cắt Q trung điểm đoạn b) C/m QI = QM = QD = OA/2
c) H·y suy c¸c kết tơng tự nh kết câu b Gi¶i (HD)
a)
Chøng minh IH = OM
IH // 0M OMN = HIK (g.c.g) Do đó: IHQ = MOQ (g.c.g)
Þ QH = QO
QI = QM
b)
DIM vng có DQ đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
QD = QI = QM
Nhng QI đờng trung bình OHA nên QI= OA/2 Vậy QD = QI = QM= OA/2
c)
(9)H A
B C
N
M I
C
A B
M H
E
BT1
Cho tam gi¸c ABC cã gãc B = 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt I
a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN
BT2
Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam giác ABC lấy điểm M cho MBA= 30O vµ MAB= 10O TÝnh MAC.
C) Hướng dẫn BTVN BT1
a) Góc AIC = 1200 b) Lấy H AC cho AH = AN Từ chứng minh IH = IN = IM
BT2
Kẻ đòng cao CH cắt MB E
Ta cã EAB cân E EAB =300
EAM = 200 ⇒ CAE = MAE = 200 Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400
⇒ AEC = 1200 ( )
Mặt khác: EBC = 200 vµ EBC = 400
⇒ CEB = 1200 ( )
Tõ ( ) vµ ( ) ⇒ AEM = 1200
Do EAC = EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ MAC cân A
Và CAM = 400 AMC = 700
………
Soạn ngày: 15/3/2012 Dạy ngày: 22/3/2012 Chuyên đề:
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC (T4)
I./ MỤC TIÊU:
- KT:
+ Cñng cè, më réng cho häc sinh kiÕn thøc vÒ quan hệ yếu tố
tam giác
- KN:
+ RÌn cho học sinh kĩ vận dụng kiến thức vào làm dạng tập ng
dng kin thc yếu tố tam giác quan hệ chúng + Củng cố, nâng cao kĩ vẽ hình, khai thỏc hỡnh
- T duy: Linh hoạt, sáng t¹o suy luËn logic - TĐ: Cẩn thận
II./ CHUẨN BỊ:
(10)Dụng cụ học tập
III./ TIẾN TRÌNH: A) Ví dụ VD1
Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD ACE Gọi M; N; P lần lợt trung điểm BC; BD; CE
a Chøng minh : BE = CD vµ BE víi CD b Chứng minh tam giác MNP vuông cân
Giải a)
DÔ thÊy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB
mặt khác ADC = ABE => DC Víi BE
b)
Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN MP MN =
1
2 DC =
2 BE =MP; Vậy MNP vuông cân M
VD2
Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng:
a) BMC= 120O
b) AMB= 120O
Gi¶i
a)
∆EAB = ∆CAD (c.g.c)
ABM= ADM (*)
Ta có BMC= MBD+ BDM (góc tam giác)
ịBMC= MBA+ 60O+ BDM = ADM+ BDM+ 60O = 120O
b) Trªn DM lÊy F cho MF = MB
ị∆FBM
Þ∆DFB= ∆AMB (c.g.c)
DFB= AMB= 120O
VD3
Cho Δ ABC có ˆA > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lấy điểm D cho IB = ID Nối C với D
a Chøng minh Δ AIB=ΔCID
M A
B C
D
E
(11)B A
C
I D
1
1
4
3 M
N
b Gọi M trung điểm BC; N trung ®iĨm cđa AD Chøng minh r»ng I lµ trung ®iĨm cña MN
c Chøng minh AIB < BIC
d Tìm điều kiện Δ ABC để ACCD Giải (HD) a)
Ta cã ∆AIB = ∆CID v× cã
(IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b)
∆AID = ∆CIB (c.g.c)
B1 = D1 vµ BC = AD hay MB =ND ∆BMI = ∆DNI (c.g.c)
I3 = I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm MN
c)
Tam giác AIB cã BAI > 900AIB < 900 ta l¹i cã BIC > 900 VËy AIB < BIC
d)
Nếu AC vuông góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A B) B i tà ập nh à
BT1
Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên tia đối tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC lần lợt M N Chứng minh:
a DM= ED
b Đờng thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN
c Đờng thẳng vng góc với MN I ln ln qua điểm cố định D thay đổi BC
BT2
Cho ABC, cạnh AB lấy điểm D E Sao cho AD = BE Qua D E vẽ đờng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N
Chøng minh r»ng DM + EN = BC BT3
Cho tam gi¸c ABC cã B= C= 50O Gọi K điểm tam giác cho KBC= 10O, KCB= 30O
a Chøng minh BA = BK b TÝnh sè ®o gãc BAK
C) Hướng dẫn BTVN BT1
(Häc sinh tù vÏ h×nh)
a/ MDB= NEC suy DN=EN∆ ∆
b/ MDI= ∆ ∆NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN c/ Gọi H chân đờng cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có AHB= AHC suy ∆ ∆ HAB=HAC
(12)C K
A
I
B
OAB= OAC (c.g.c) nªn
∆ ∆ OBA = OCA(1) OIM= OIN suy OM=ON
∆ ∆
suy OBN= OCN (c.c.c) ∆ ∆ OBM= OCM(2) Từ (1) (2) suy OCA=OCN= 900 suy OC ┴ AC Vậy điểm O cố định
BT2
- Qua N kỴ NK // AB ta cã: EN // BK Þ NK = EB
EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt)
Þ AD = NK (1)
- Chøng minh ADM = NKC (gcg)
Þ DM = KC BT3 a)
Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I Ta có: ∆IBC cân nên IB = IC
∆BIA= ∆CIA (ccc) nªn BIA= CIA= 120O
Do ∆BIA= ∆BIK (gcg) => BA= BK
b)