Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
1,03 MB
Nội dung
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ THI THỬ THPT QUỐC GIA – LẦN TỔ TOÁN NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – Lớp 12 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Mã đề thi 191 MỤC TIÊU - Đề thi thử THPT Quốc Gia Lần trường THPT chuyên Quốc Học Huế năm khó khó, năm không ngoại lệ, xuất câu hỏi vô lạ lẫm học sinh - Đề thi chủ yếu gồm kiến thức HK1 lớp 12, kiến thức lớp 11, bám sát đề thi thức năm, nhằm giúp học sinh ôn tập trọng tâm - Đề thi gồm 19 câu NB, 14 câu TH, 11 câu VD, câu VDC, với mức độ phân bố sát với đề thi thức, tạo cho HS cảm giác giống kì thi thật, giúp học sinh có kinh nghiệm cọ sát làm thi Câu (ID:470051): Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Giá trị cực đại hàm số là: B −2 A C Câu (ID:470052): Cho a 0, a , tính giá trị biểu thức A = a B 343 A 42 D 6log a2 D C 21 Câu (ID:470053): Tính thể tích V khối hộp chữ nhật có độ dài kích thước 1; 2; A V = B V = C V = D V = Câu (ID:470054): Khối hai mươi mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt là: A 20; 30; 12 B 12; 30; 20 C 30; 12; 20 Câu (ID:470055): Với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục (I) D 12; 20; 30 , cho khẳng định sau: f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx (II) f ( x ) g ( x ) dx = ( f ( x ) dx ) ( g ( x ) dx ) (III) Nếu (IV) f ( x ) dx = F ( x ) + C f ( u ) du = F ( u ) + C kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với số k Có khẳng định sai? A B C D Câu (ID:470056): Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V , khối tứ diện A ' BCC ' tích V1 Tính A V1 V B C D Câu (ID:470057): Cho K khoảng Phát biểu sau đúng? A Nếu hàm số đồng biến K đồ thị đường lên từ phải sang trái B Hàm số đồng biến ngoặc nghịch biến K gọi chung đơn điệu K C Hàm số y = f ( x ) đồng biến K tồn cặp x1 , x2 thuộc K cho x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) D Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K f ' ( x ) , x K hàm số đồng biến K Câu (ID:470058): Tìm khoảng đồng biến hàm số y = A ( −; −1) ; ( −1; + ) B ( −; + ) C Không tồn B P (1;1) C Q ( −3; ) Câu 10 (ID:470060): Tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = B x = A y = D ( −; −1) ( −1; + ) 3x − có đồ thị ( H ) Điểm sau thuộc ( H ) ? x+2 Câu (ID:470059): Cho hàm số y = A N ( −1; −4 ) 1− x x +1 2020 2021 D M ( 0; −1) 2020 x − là: 2021x + C y = −1 D y = 2020 2021 Câu 11 (ID:470061): Cho hàm số y = x3 + 3x + có đồ thị ( C ) Số giao điểm ( C ) với đường thẳng y = là: B A D C Câu 12 (ID:470062): Tìm hàm số có đồ thị khơng nhận trục tung làm trục đối xứng: A y = cos x B y = cos x Câu 13 (ID:470063): Cho n, k A Cnk = n! ( n − k )!( k + 1)! * C y = sin x D y = sin x n k Tìm cơng thức B Cnk = n! ( n − k )! C Ank = n! ( n − k ) !k ! D Ank = n! ( n − k )! Câu 14 (ID:470064): Có số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác nhau? A 60480 B 151200 C 136080 Câu 15 (ID:470065): Hàm số sau nghịch biến A y = x B y = cot x D 15120 ? C y = x +1 D y = − x3 x2 + Câu 16 (ID:470066): Cho khối tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB, CD Sử dụng mặt phẳng trung trực AB mặt phẳng trung trực CD , ta chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện sau đây? A MANC , BCDN , AMND, ABND B MANC, BCMN , AMND, MBND C ABCN , ABND, AMND, MBND D NACB, BCMN , ABND, MBND Câu 17 (ID:470067): Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy R = cm chiều cao h = cm A V = 36 cm3 B V = 12 cm3 C V = 24 cm3 D V = 48 cm3 Câu 18 (ID:470068): Tính thể tích V khối nón có chiều cao h đường kính đáy A V = h2 48 B V = h3 48 C V = h3 h D V = h3 12 Câu 19 (ID:470069): Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số đồng biến − ; + 1 B Hàm số đồng biến khoảng −; − ; − ;3 2 C Hàm số đồng biến ( −; + ) D Hàm số đồng biến ( −;3) Câu 20 (ID:470070): Tính thể tích V khối chóp có diện tích đáy B độ dài đường cao 3h A V = Bh B V = Bh C V = Bh D V = Bh Câu 21 (ID:470071): Tính thể tích khối cầu biết chu vi đường trịn lớn 5 A 125 B 500 C 100 D 25 Câu 22 (ID:470072): Có giá trị nguyên dương tham số y = x3 − mx − ( 2m − 3) x − m + đồng biến A B m để hàm số ? C D Câu 23 (ID:470073): Tìm số nghiệm 0; ) phương trình sin 5x = ? A C B D Câu 24 (ID:470074): Tính bán kính R mặt cầu ( S ) biết diện tích mặt cầu thể tích khối cầu có giá trị A R = B R = 3 C R = D R = Câu 25 (ID:470075): Tính giá trị biểu thức A = ( 33 x + 3−3 x ) biết 3x + 3− x = A A = 192 B A = C A = 156 D A = 12 Câu 26 (ID:470076): Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ sau Có số dương số a, b, c, d ? A B Câu 27 (ID:470077): Biết ( cos C D a a phân số x.sin 3x + sin x.cos3x ) dx = cos x + C với a, b , b b tối giản ( a 0, b ) , tính 2a + b A −13 C −10 B 13 D 10 Câu 28 (ID:470078): Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức x + 2x A 21 16 B 84 Câu 29 (ID:470079): Cho phương trình C x+4 = 16 x +1 27 16 D 64 Khẳng định sau đúng? A Phương trình vơ nghiệm B Tổng nghiệm phương trình số ngun C Tích nghiệm phương trình số dương D Tổng nghiệm phương trình số dương Câu 30 (ID:470080): Một lớp học có 20 nữ 15 nam Hỏi có cách chọn bạn cho có đủ nam, nữ số nam số nữ? A 192375 B 84075 C 113750 D 129254 Câu 31 (ID:470081): Bất phương trình log ( x − x − ) log 0,5 ( x − 1) + có nghiệm nguyên thuộc 0; 2021 ? A 2019 B 2018 Câu 32 (ID:470082): Cho hàm số y = C 2021 D 2020 mx + n ( m, n, a, b, c tham số thực) Hỏi đồ thị hàm số ax + bx + c cho có tối đa đường tiệm cận (ngang đứng)? A B C D Câu 33 (ID:470083): Cho hình trụ hình lập phương có chiều cao, đường trịn đáy hình trụ đường trịn ngoại tiếp đáy hình lập phương Tính tỉ số thể tích khối trụ khối lập phương A B C 2 D Câu 34 (ID:470084): Một đoàn tàu gồm 12 toa chở khách (mỗi toa chứa tối đa 12 khách) Có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để toa có người (làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba) A 0,123 B 0, 011 C 0, 018 D 0, 017 Câu 35 (ID:470085): Tung ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất để xuất mặt có số chấm lẻ A B C D Câu 36 (ID:470086): Cho hình tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M , N , P trọng tâm tam giác ABC , ABD, ACD Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD Tính thể tích khối tứ diện OMNP A 192 B 864 C 576 D 1296 Câu 37 (ID:470087): Cho tập hợp A = 1; 2;3; ;90 Chọn từ A hai tập phân biệt gồm hai phần tử a; b ; c; d , tính xác suất cho trung bình cộng phần tử tập hợp 30 A 406 4005 B 29 572715 C 29 267 D 29 534534 Câu 38 (ID:470088): Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm BC Biết thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a3 Tính tang góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 20 B C D Câu 39 (ID:470089): Cho hình tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi A ', B ', C ', D ' điểm đối xứng A, B, C , D qua mặt phẳng ( BCD ) , ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC ) Tính thể tích khối tứ diện A ' B ' C ' D ' A 2 B 32 C 16 81 Câu 40 (ID:470090): Tìm tất giá trị dương n thỏa mãn ( 3n + 7n ) A n 2021 B n Câu 41 (ID:470091): Cho hàm số y = C n 2021 ( 2m − 1) x − m x+m ( m 0) D 2021 125 324 ( 32021 + 72021 ) n D n 2021 có đồ thị ( Cm ) Biết tồn đường thẳng ( d ) có phương trình y = ax + b cho ( Cm ) tiếp xúc với ( d ) Giá trị a + b là: A −3 B C −1 D Câu 42 (ID:470092): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + )( x − 3) Điểm cực đại hàm số g ( x ) = f ( x − x ) là: A x = B x = C x = D x = −1 Câu 43 (ID:470093): Cho hàm số y = x3 + x − có đồ thị ( C ) Có cặp điểm A, B thuộc ( C ) cho ba điểm O, A, B thẳng hàng OA = 2OB ( O gốc tọa độ)? A B C Vô số D Câu 44 (ID:470094): Một sợi dây kim loại dài 120 cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng, đoạn dây thứ hai uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới) Tổng diện tích hình vng hình trịn đạt giá trị nhỏ (làm trịn đến hàng đơn vị) A 498 B 462 C 504 D 426 Câu 45 (ID:470095): Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Biết khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng BC , CA, AB a, a 2, a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) theo a A 2a B a 66 11 C 11a D 2a 33 11 Câu 46 (ID:470096): Cho hàm số f ( x ) = ( x − m ) x − + ( m + ) x − x ( m tham số) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có điểm cực trị? A B C D Câu 47 (ID:470097): Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân A , BAC = 1200 cạnh bên hợp với đáy góc 450 Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết khoảng cách từ 21 điểm B đến mặt phẳng ( ACC ' A ') A B 3 C D 3 Câu 48 (ID:470098): Cho S = 1; 2;3; ;35 , tìm số cách chọn tập S gồm 26 phần tử cho tổng phân tử chia hết cho A 15141523 B 14121492 C 1321250 D 131213 Câu 49 (ID:470099): Cho hàm số f ( x ) = ( sin x − m ) + ( cos x − n ) ( m, n tham số nguyên) Có tất 2 ( m; n ) cho f ( x ) + max f ( x ) = 52 ? x A x C B Câu 50 (ID:470100): Cho bất phương trình log 37 55 D 12 23 − 33 − x3 − + log 37 + + log 37 với x , x 23 + 55 + 55 x + Tổng nghiệm nguyên bất phương trình cho bao nhiêu? A 54 B 228 C 207 D 42 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM C B C B C A B C A 10 D 11 B 12 C 13 D 14 C 15 D 16 B 17 A 18 B 19 B 20 A 21 A 22 D 23 A 24 C 25 C 26 B 27 D 28 A 29 D 30 A 31 D 32 C 33 A 34 D 35 A 36 D 37 B 38 C 39 D 40 D 41 B 42 C 43 A 44 C 45 D 46 A 47 A 48 B 49 D 50 D Câu (NB) - 12.1.1.2 Phương pháp: Dựa vào BBT xác định điểm cực đại hàm số: điểm mà hàm số liên tục đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy xCD = 0, yCD = Chọn C Câu (NB) - 12.1.1.2 Phương pháp: Sử dụng công thức log an b = log a b ( a 1, b ) , a loga x = x ( a 1) n Cách giải: A=a 6log a2 =a log a ( = a loga ) = 73 = 343 Chọn B Câu (NB) - 12.1.5.30 Phương pháp: Thể tích V khối hộp chữ nhật có độ dài kích thước a; b; c V = abc Cách giải: Thể tích V khối hộp chữ nhật có độ dài kích thước 1; 2; V = 1.2.3 = Chọn C Câu (NB) - 12.1.5.29 Phương pháp: Sử dụng công thức: Khối đa diện loại n; p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Đ + M – C = Cách giải: Khối hai mặt khối 3;5 có M = 20, C = 30 Đ = 12 Chọn B Câu (NB) - 12.1.3.19 Phương pháp: Sử dụng tính chất tích phân Cách giải: Dễ thấy khẳng định (II) (IV) sai Khẳng định (IV), với k = ta có: VT = f ( x ) dx = 0dx = + C VP = 0. f ( x ) dx = VT VP Chọn C Câu (NB) - 12.1.5.30 Phương pháp: Phân chia, lắp ghép khối đa diện Cách giải: Ta có: VA' ABC = VABC A' B 'C ' , mà VA ' ABC + VA '.BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' nên VA'.BCC ' B ' = VABC A' B 'C ' 3 1 Lại có VA'.BCC ' = VA'.BCC ' B ' VA'.BCC ' = VABC A' B 'C ' = VABC A' B 'C ' 2 3 V 1 V1 = V = V Chọn A Câu (NB) - 12.1.1.1 Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính đơn điệu hàm số Cách giải: Đáp án A sai hàm số đồng biến K đồ thị đường lên từ trái sang phải Đáp án C sai hàm số y = f ( x ) đồng biến K tồn cặp x1 , x2 thuộc K cho f ( x1 ) − f ( x2 ) 0 x1 − x2 Đáp án D sai hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K f ' ( x ) , x K hàm số nghịch biến K Chọn B Câu (NB) - 12.1.1.1 Phương pháp: Tính đạo hàm suy khoảng đồng biến hàm số Cách giải: TXĐ: D = \ −1 Ta có y = −x +1 −2 y' = x D x +1 ( x + 1) Do hàm số không tồn khoảng đồng biến Chọn C Câu (NB) - 12.1.1.5 Phương pháp: Thay tọa độ điểm vào hàm số Cách giải: Thay tọa độ điểm N ( −1; −4 ) vào hàm số ta có ( −1) − −4 = = −4 ( −1) + Vậy điểm N ( H ) Chọn A Câu 10 (NB) - 12.1.1.4 Phương pháp: Đồ thị hàm số y = ax + b a có TCN y = cx + d c Cách giải: Đồ thị hàm số y = 2020 x − 2020 có TCN y = 2021x + 2021 Chọn D Câu 11 (NB) - 12.1.1.6 Phương pháp: Giải phương trình hồnh độ giao điểm Cách giải: x = −1 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x3 + 3x + = x3 + 3x − = x = − Vậy số giao điểm ( C ) với đường thẳng y = Chọn B Câu 12 (NB) - 11.1.1.1 Phương pháp: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Cách giải: 10 - Giải bất phương trình logarit: log a f ( x ) b f ( x ) a b ( a 1) Cách giải: log ( x − x − ) log 0,5 ( x − 1) + log ( x − x − ) − log ( x − 1) + log ( x − x − ) + log ( x − 1) +1 log ( x − x − ) ( x − 1) ( x − x − ) ( x − 1) x3 − x − x − x + x + x3 − x − x 1 − x x + Kết hợp điều kiện đề x 0; 2021 , x x 0;3; 4;5; ; 2021 Vậy bất phương trình cho có 2020 nghiệm nguyên thỏa mãn Chọn D Câu 32 (TH) - 12.1.1.4 Phương pháp: - Hàm phân thức có bậc tử < bậc mẫu đồ thị hàm số có TCN y = - Số tiệm cận đứng đồ thị hàm phân thức số nghiệm phương trình mẫu khơng bị triệt tiêu nghiệm phương trình tử Cách giải: Vì hàm phân thức có bậc tử < bậc mẫu đồ thị hàm số có TCN y = Phương trình ax + bx + c = có tối đa nghiệm phân biệt khác − n nên đồ thị có tối đa TCĐ m Vậy đồ thị hàm số cho có tối đa đường tiệm cận Chọn C Câu 33 (VD) - 12.1.6.36 Phương pháp: - Hình vng cạnh a có bán kính đường trịn ngoại tiếp a - Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy R V = R h - Thể tích khối lập phương cạnh a V = a3 Cách giải: Giả sử hình lập phương có cạnh a Hình trụ có chiều cao h = a 17 Vì đường trịn đáy hình trụ đường trịn ngoại tiếp đáy hình lập phương nên hình trụ có bán kính đáy R= a 2 a 2 a3 Thể tích khối trụ V = R h = a = Thể tích khối lập phương V ' = a3 Vậy tỉ số thể tích khối trụ khối lập phương V = V' Chọn A Câu 34 (VD) - 11.1.2.10 Phương pháp: Sử dụng nhân xác suất Cách giải: Xác suất để toa có người xác suất để toa khơng có người 12 12 7 Vậy xác suất để toa có người C 12 12 5 0,107 12 Chọn D Câu 35 (NB) - 11.1.2.10 Phương pháp: Tính xác suất phương pháp liệt kê Cách giải: Tung ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần số phần tử không gian mẫu n ( ) = Gọi A biến cố: “xuất mặt có số chấm lẻ” A == 1;3;5 n ( A ) = Vậy xác suất để xuất mặt có số chấm lẻ P ( A) = n ( A) = = n () Chọn A Câu 36 (VD) - 12.1.5.30 Phương pháp: - Gọi M ', N ', P ' trung điểm BC, BD, CD , G, I trọng tâm tam giác BCD, MNP Tính SMNP dựa vào tỉ số tam giác đồng dạng SBCD - Tính tỉ số - Tính OI , sử dụng định lí Ta-lét AG VOMNP OI SMNP = VABCD AG SBCD 18 a3 - Sử dụng cơng thức tính nhanh: Thể tích tứ diện cạnh a V = 12 Cách giải: Gọi M ', N ', P ' trung điểm BC, BD, CD , G, I trọng tâm tam giác BCD, MNP Ta có: MN AM = = MNP M ' N ' AM ' Lại có M ' N ' P ' DCB theo tỉ số M ' N ' P ' theo tỉ số 1 nên SMNP = SBCD SM ' N ' P ' = SBCD Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên Áp dụng định lí Ta-lét: AO = AG AI AM AI AI AO = = = : = : = AG AM ' AO AG AG OI OI OI AO = = = = AO AG AO AG 12 VOMNP 1 1 = = VOMNP = VABCD VABCD 12 108 108 Mà ABCD tứ diện cạnh nên VABCD = Vậy VOMNP = SMNP = SM ' N ' P ' 12 1296 Chọn D Câu 37 (VD) - 11.1.2.10 Phương pháp: - Tính số tập hợp có phần tử A, từ tính số phần tử không gian mẫu n ( ) - Gọi A biến cố: “trung bình cộng phần tử tập hợp 30 ”, tính số phần tử n ( A ) biến cố A 19 - Tính xác suất biến cố A: P ( A) = n ( A) n () Cách giải: Số tập hợp có phần tử A C902 = 4005 Số phần tử không gian mẫu n ( ) = C4005 Gọi A biến cố: “trung bình cộng phần tử tập hợp 30 ” a + b = 30 a + b = 60 c + d = 60 c + d = 30 ( a; b ) ; ( c; d ) (1;59 ) ; ( 2;58 ) ; ; ( 29;31) n ( A) = C292 C292 29 Vậy xác suất biến cố A là: P ( A) = = C4005 572715 Chọn B Câu 38 (TH) - 12.1.5.31 Phương pháp: - Gọi H trung điểm BC ta có A ' H ⊥ ( ABC ) Tính A ' H = VABC A ' B 'C ' SABC - Xác định góc cạnh bên mặt đáy góc cạnh bên hình chiếu cạnh bên mặt đáy - Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng để tính tang góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy Cách giải: Gọi H trung điểm BC ta có A ' H ⊥ ( ABC ) Vì ABC cạnh a SABC = a2 a AH = Ta có VABC A ' B 'C ' = A ' H SABC A ' H = VABC A ' B 'C ' SABC 3a3 a = 220 = a Vì A ' H ⊥ ( ABC ) nên AH hình chiếu vng góc AA ' lên ( ABC ) 20 ( AA '; ( ABC ) ) = ( AA '; AH ) = A ' AH Xét tam giác vng AA ' H ta có tan A ' AH = A' H a a = : = AH 5 Chọn C Câu 39 (VD) - 12.1.5.30 Phương pháp: - Tứ diện A ' B ' C ' D ' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k = A' B ' AB - Gọi M , N tâm tam giác BCD, ACD , gọi G = AM BN Tính - Tính GA ' A ' B ' = GA AB VA ' B ' C ' D ' = k3 VABCD - Sử dụng cơng thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện cạnh a V = a3 12 Cách giải: Dễ dàng nhận thấy tứ diện A ' B ' C ' D ' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k = A' B ' AB Gọi M , N tâm tam giác BCD, ACD ta có AM ⊥ ( BCD ) , BN ⊥ ( ACD ) Gọi G = AM BN Ta có G trọng tâm tứ diện ABCD nên Áp dụng định lí Ta-lét ta có: AG AG GA ' = = = AM AA ' GA GA ' A ' B ' = = =k GA AB VA ' B ' C ' D ' 125 = k3 = VABCD 27 21 Mà ABCD tứ diện cạnh nên VABCD = Vậy VA ' B 'C ' D ' = 12 125 125 = 37 12 324 Chọn D Câu 40 (VDC) - 12.1.2.14 Phương pháp: - Lấy loganepe hai vế bất phương trình - Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng Cách giải: Lấy loganepe hai vế bất phương trình ta có: (3 n + 7n ) 2021 ( 32021 + 2021 ) n 2021.ln ( 3n + n ) n.ln ( 32021 + 2021 ) ln ( 3n + n ) n ln ( 32021 + 2021 ) Xét hàm số f ( t ) = 2021 ln ( 3t + 7t ) t (*) với t + ta có: 3t ln + 7t ln ) t − ln ( 3t + 7t ) t ( f ' (t ) = + t2 t.3t.ln + t.7t ln − ( 3t + 7t ) ln ( 3t + 7t ) f ' (t ) = t ( 3t + 7t ) t f ' (t ) = f ' (t ) = 3t.ln 3t + 7t ln 7t − 3t ln ( 3t + 7t ) − 7t ln ( 3t + 7t ) t ( 3t + 7t ) 3t ln 3t − ln ( 3t + 7t ) + 7t ln 7t − ln ( 3t + 7t ) t ( 3t + 7t ) 3t 3t + 7t ln 3t ln ( 3t + 7t ) f ' ( t ) t Vì t t t t t t + ln ln + ( ) + Do hàm số y = f ( t ) nghịch biến ( 0; + ) Từ (*) suy n 2021 Chọn D Câu 41 (VDC) - 12.1.1.7 Phương pháp: - Tìm điểm M ( Cm ) cố định, dự đoán M tiếp điểm 22 - Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( Cm ) M - Thử lại: Xét phương trình hồnh độ giao điểm, chứng minh tiếp tuyến vừa tìm tiếp xúc với ( Cm ) m - Đồng hệ số tìm a, b Cách giải: Ta có y = ( 2m − 1) x − m x+m = 2mx − x − m 2mx = −1 x+m x+m m đồ thị hàm số ( Cm ) qua điểm cố định M ( 0; −1) Ta dự đốn M tiếp điểm Khi ta có: Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến ( Cm ) M ( 0; −1) Ta có: y ' = 2m ( x + m) y ' ( 0) = Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) M ( 0; −1) y = ( x − ) − = x − Thử lại: Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2mx − = x − 2mx = x + 2mx x = x = (nghiệm kép) x+m Do đường thẳng y = x − tiếp xúc với ( Cm ) (thỏa mãn) Vậy a = 2, b = −1 a + b = Chọn B Câu 42 (VD) - 12.1.1.2 Phương pháp: - Tính g ' ( x ) , giải phương trình g ' ( x ) = - Lập BXD g ' ( x ) - Xác định điểm cực đại hàm số g ( x ) điểm mà g ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm Cách giải: Ta có: g ( x ) = f ( x2 − 2x ) g ' ( x ) = ( 2x − 2) f ' ( x2 − 2x ) 2 x − = g '( x) = f ' ( x − x ) = x = x − x = −2 (ta không xét x − x = x = nghiệm kép phương trình f ' ( x ) = ) x2 − x = 23 x = x = qua nghiệm g ' ( x ) đổi dấu x = −1 Chọn x = ta có g ' ( ) = f ' ( ) Khi ta có BXD g ' ( x ) sau: Điểm cực đại hàm số g ( x ) = f ( x − x ) xCD = Chọn C Câu 43 (VD) - 12.1.1.8 Phương pháp: - Giả sử A ( a; a + a − ) , B ( b; b3 + b − ) OA = 2OB - Vì OA = 2OB nên , giải hệ phương trình phương pháp OA = −2OB Cách giải: Giả sử A ( a; a + a − ) , B ( b; b3 + b − ) ( a; a + a − ) = ( b; b3 + b − ) OA = 2OB Vì OA = 2OB nên ( a; a + a − ) = −2 ( b; b3 + b − ) OA = −2OB a = 2b a = 2b 3 2 a + a − = 2b + 2b − 8b + 4b − = 2b + 2b − a = −2b a = −2b 3 a + a − = −2b − 2b + −8b3 + 4b − = −2b3 − 2b + a = 2b a = 2b a = −2 b = −1 b = −1 6b + 2b + = a = −2b a = a = −2b 6b3 − 6b + 12 = b = −1 b = −1 Vậy có cặp điểm A, B thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A Câu 44 (VD) - 12.1.1.8 Phương pháp: - Đặt cạnh hình vng x ( cm ) , bán kính hình trịn y ( cm ) - Tính chu vi hình vng chu vi hình trịn, suy tổng chu vi 120 cm - Tính diện tích hình vng, diện tích hình trịn tính tổng 24 - Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: ( ax + by ) ( a + b2 )( x + y ) Dấu “=” xảy a b = x y Cách giải: Đặt cạnh hình vng x ( cm ) , bán kính hình trịn y ( cm ) Độ dài đoạn dây thứ 4x ( cm ) , độ dài đoạn dây thứ hai 2 y ( cm ) x + 2 y = 120 x + y = 60 ( cm ) (*) Diện tích hình vng x ( cm ) Diện tích hình tròn y ( cm ) Tổng diện tích hình vng hình trịn là: x + y ( cm ) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: ( 602 = ( x + y ) = x + y x2 + y ) ( 22 + )( x + y ) 2 602 504 ( cm2 ) 4+ Dấu “=” xảy y + y = 60 ( cm ) y = x y x = = y , kết hợp (*) 2 60 120 ( cm) x = ( cm) + + Vậy tổng diện tích hình vng hình trịn đạt giá trị nhỏ 504 ( cm ) Chọn C Câu 45 (VD) - 11.1.8.50 Phương pháp: - Kẻ OM ⊥ AC ( M AC ) , ON ⊥ AB ( N AB ) , OP ⊥ BC ( P BC ) Khi ta có OP = a, OM = a 2, ON = a - Trong ( OCN ) kẻ OH ⊥ CN ( H CN ) , chứng minh OH ⊥ ( ABC ) - Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng để tính khoảng cách Cách giải: 25 Kẻ OM ⊥ AC ( M AC ) , ON ⊥ AB ( N AB ) , OP ⊥ BC ( P BC ) Khi ta có OP = a, OM = a 2, ON = a Trong ( OCN ) kẻ OH ⊥ CN ( H CN ) ta có: AB ⊥ ON AB ⊥ ( OCN ) AB ⊥ OH AB ⊥ OC OH ⊥ AB OH ⊥ ( ABC ) d ( O; ( ABC ) ) = OH OH ⊥ CN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 1 1 1 = + = + + 2 2 OH OC ON OA OB OC Lại có 1 1 1 1 = + ; = + ; = + 2 2 2 2 OM OA OC ON OA OB OP OB OC 1 1 + + = 2 + + 2 2 2 OM ON OP OA OB OC 1 1 1 + + = + + 2 2 OA OB OC OM ON OP 1 1 1 11 + + = + + = 2 OA OB OC 2a 3a a 12a 11 2a 33 = OH = 2 OH 12a 11 Vậy d ( O; ( ABC ) ) = 2a 33 11 Chọn D Câu 46 (VDC) - 12.1.1.2 Cách giải: Ta có: 26 f ( x ) = ( x2 − m ) x − + ( m + 6) x − 2x2 f ' ( x ) = 2x x − + ( x2 − m ) x−2 − 4x + m + x−2 x ( x − ) + x − m − x + m + = 3x − x + x f '( x) = 2 −2 x ( x − ) − x + m − x + m + = −3x + 2m + x Với x = f ' ( x ) = 3x − x + x Để hàm số cho có điểm cực trị phương trình −3x + 2m + = x = 2m + có nghiệm x1 x2 (*) Ta có BXD f ' ( x ) sau: Khi hàm số ban đầu thỏa mãn có điểm cực trị 2m + m −3 Ta có: (*) 2m + −3 m 2m + Mà m m −2; −1;0;1; 2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A Câu 47 (VDC) - 12.1.5.30 Phương pháp: - Gọi O trung điểm BC , gọi H điểm đối xứng với A qua O , chứng minh H tâm đương tròn ngoại tiếp ABC - Xác định ( A ' A; ( ABC ) ) - Đặt AB = AC = AH = A ' H = x ( x ) - Chứng minh d ( B; ( ACC ' A ') ) = d ( H ; ( ACC ' A ' ) ) Gọi M trung điểm AC , ( A ' HM ) kẻ HK ⊥ A ' M ( K A ' M ) , chứng minh d ( H ; ( ACC ' A ') ) = HK - Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng A ' HM tìm x - Tính VABC A ' B 'C ' = A ' H SABC Cách giải: 27 Gọi O trung điểm BC , gọi H điểm đối xứng với A qua O , dễ dàng chứng minh ABHC hình bình hành AB = BH ABH AB = AH = AC H tâm đương tròn ngoại tiếp 0 ABH = 180 − BAC = 60 ABC A ' H ⊥ ( ABC ) Do AH hình chiếu vng góc AA ' lên ( ABC ) ( AA '; ( ABC ) ) = ( AA '; AH ) = A ' AH = 450 AA ' H vuông cân H AH = A ' H Đặt AB = AC = AH = A ' H = x ( x ) Gọi M trung điểm AC , ta có AH = AC = CH = x ACH cạnh x HM ⊥ AC HM = x Trong ( A ' HM ) kẻ HK ⊥ A ' M ( K A ' M ) ta có: AC ⊥ HM AC ⊥ ( A ' HM ) AC ⊥ HK AC ⊥ A ' H HK ⊥ A ' M HK ⊥ ( ACC ' A ') d ( H ; ( ACC ' A ' ) ) = HK HK ⊥ AC Lại có BH / / AC BH / / ( ACC ' A ') d ( B; ( ACC ' A ') ) = d ( H ; ( ACC ' A ' ) ) = HK = 21 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông A ' HM ta có: 1 = + = 2+ 2 2 HK A' H HM x 3x 7 = x = AB = A ' H 3x SABC = 3 VABC A ' B 'C ' = A ' H SABC = 4 28 Chọn A Câu 48 (VDC) - 11.1.2.15 Cách giải: Trong tập hợp S ta có: - Tập hợp số chia hết cho S0 = 5;10;15; 20; 25;30;35 : phần tử - Tập hợp số chia cho dư S1 = 1;6;11;16; 21; 26;31 : phần tử - Tập hợp số chia cho dư S2 = 2;7;12;17; 22; 27;32 : phần tử - Tập hợp số chia cho dư S3 = 3;8;13;18; 23; 28;33 : phần tử - Tập hợp số chia cho dư S4 = 4;9;14;19; 24; 29;34 : phần tử Gọi X tập hợp tập hợp gồm tất tập chứa 26 phần tử S ta có n ( X ) = C3526 Gọi X = {những số chia hết cho 5}, X = {những số chia cho dư 1}, X = {những số chia cho dư 2}, X = {những số chia cho dư 3}, X = {những số chia cho dư 4} X = X X1 X X X Ta chứng minh n ( X ) = n ( X ) = n ( X ) = n ( X ) = n ( X ) Vậy số cách chọn tập S gồm 26 phần tử cho tổng phân tử chia hết cho C3526 = 14121492 Chọn B Câu 49 (VD) - 11.1.1.1 Phương pháp: - Khai triển đẳng thức - Sử dụng: − a + b a sin x + b cos x a + b , từ tìm f ( x ) , max f ( x ) x x - Giải phương trình tìm nghiệm nguyên m, n Cách giải: Ta có: f ( x ) = ( sin x − m ) + ( cos x − n ) 2 f ( x ) = sin x − 2m sin x + m2 + cos x − 2n cos x + n f ( x ) = − ( m sin x + n cos x ) + m2 + n Ta có: − m2 + n m sin x + n cos x m + n 29 m2 + n −2 ( m sin x + n cos x ) −2 m + n + m + n − ( m sin x + n cos x ) − m + n + m2 + n2 + m2 + n2 f ( x ) − m2 + n + m2 + n f ( x ) = − m + n + m + n x max f ( x ) = + m + n + m + n x Theo ta có: f ( x ) + max f ( x ) = 52 x x − m + n + m + n + + m + n + m + n = 52 + 2m + 2n = 52 m + n = 25 Vì m, n ( 0;5 ) ; ( 0; −5 ) ; ( 5;0 ) ; ( −5;0 ) ; ( m; n ) ( 3; ) ; ( 3; −4 ) ; ( −3; ) ; ( −3; −4 ) ( 4;3) ; ( 4; −3) ; ( −4;3) ; ( −4; −3) Vậy có 12 số ( m; n ) thỏa mãn Chọn D Câu 50 (VDC) - 12.1.2.14 Phương pháp: Rút gọn x3 − ( x + 1) +1 = x −1 Từ rút gọn biểu thức log giải bất phương trình x+2 Cách giải: Ta có: log 37 55 23 − 33 − x3 − + log + + log 1 37 37 23 + 55 + 55 x + 23 − 33 − x3 − log 37 (*) x +1 55 + + Ta có: ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x − = = = ( x + 1) + ( x + ) ( x + 1)2 − ( x + 1) + 1 ( x + ) ( x + x + 1) x + x3 − Khi 30 1 x−2 ( x − 1) x +1 55 + (*) log 37 x3 − 1.2.3 log 37 1 ( x − 1) x ( x + 1) 55 x3 − 1.2.3 37 ( x − 1) x ( x + 1) 55 x + x + 37 x +x 55 x + x + 111 x +x 110 1 x + x 110 x + x 110 −11 x 10 2 x 10 x 3; 4;5; ;9 Kết hợp điều kiện đề ta có x Vậy tổng nghiệm nguyên bất phương trình cho bằng: + + + = ( + 9) = 42 Chọn D -HẾT - 31