Một số định lý về khối đa diện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THÁI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THÁI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên, năm 2015 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Minh - Trưởng khoa Cơ trường Đại học Kinh tế Quản trị kinh doanh- Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn Thầy, tới thầy Ban giám hiệu, Phịng đào tạo trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7Q Trường Đại học khoa học động viên, giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Vũ Văn Hiếu thành phố Hạ Long tạo điều kiện cho tác giả học tập hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Thái ii Mục lục Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Mở đầu i iii 1 Các 1.1 1.2 1.3 kiến thức Một số tiên đề hình học không gian Một số cách xác định mặt phẳng Quan hệ song song 1.3.1 Hai đường thẳng song song 1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 1.3.3 Hai mặt phẳng song song 1.4 Quan hệ vng góc 1.4.1 Góc hai đường thẳng, hai đường thẳng vng góc 1.4.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng 1.4.3 Góc hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc 1.4.4 Khoảng cách 1.5 Thể tích khối đa diện Khối tứ diện 2.1 Một số khái niệm 2.2 Các định lý khối tứ diện 2.3 Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện 8 17 32 Khối đa diện 3.1 Đa diện - Khối đa diện 3.2 Định lý Euler khối đa diện 3.3 Định lý khối đa diện 3.4 Một số toán hệ định lý Euler 3.5 Thể tích khối đa diện 3.5.1 Phân hoạch khối đa diện 3.5.2 Thể tích khối đa diện Kết luận Tài liệu tham khảo 39 39 43 46 54 62 62 63 71 72 iii Bảng kí hiệu △ : Tam giác S : Diện tích đa giác p : Số đỉnh đa diện a : f : Số cạnh đa diện Số mặt đa diện V : h : R : Thể tích Chiều cao đa diện Bán kính cầu ngoại tiếp r : Bán kính cầu nội tiếp d : Khoảng cách E : D : Khối đa diện Miền đa giác X (E ) : Đặc số Euler đa diện E Lời mở đầu Trong vật lý, hóa học, sinh học ta học học: biết rõ thành phần nhỏ cấu tạo nên vật chất, ta hiểu rõ chất vật chất Trong hình học vậy, biết rõ thành phần cấu tạo nên hình học, ta hiểu rõ hình học Ý nghĩa hình học từ thời nguyên thủy sống lại: hình học sản phẩm túy tư duy, mà tranh tự nhiên người vẽ theo khả nhận thức, phản ánh khơng đầy đủ xác tuyệt đối Tuy nhiên, nhận thức trải nghiệm người ngày sâu sắc để nhận tự nhiên đa dạng, phức tạp, cấu trúc theo mơ hình xác định Khám phá cấu trúc chất hình học Trong hình học, thành phần đơn giản điểm, đường thẳng mặt phẳng Vì việc nghiên cứu mối quan hệ điểm, đường mặt mang ý nghĩa tảng hình học Hệ tiên đề hình học tập hợp mệnh đề mối quan hệ tảng Trên tảng ấy, khơng gian chiều, hình đơn giản tứ diện Mọi hình khối chiều coi tổ hợp tứ diện Vì việc nghiên cứu tứ diện chìa khóa để hiểu rõ tất hình khơng gian chiều Các toán định lý tứ diện đóng vai trị cốt lõi nghiên cứu hình học chiều Điều đặc biệt lý thú toán chiều toán khối đa diện Điều nói lên vũ trụ xây dựng theo cấu trúc tầng tầng lớp lớp lặp lặp lại cấu trúc định Các tầng cao hơn, rộng hơn, phức tạp thực xây dựng nguyên lý cấu trúc quán Điều ví sống có cấu trúc vô phức tạp đa dạng, tất dựa cấu trúc DNA “Phân tử DNA” hình học chiều Tứ diện (Tetrahedron) Tứ diện hình khơng gian chiều khép kín giới hạn mặt Khơng gian xác định điểm không đồng phẳng Mỗi điểm đỉnh tứ diện Mỗi đỉnh ứng với góc tam diện đỉnh xác định mặt tứ diện Mỗi cặp mặt tứ diện xác định nhị diện Cạnh nhị diện cạnh tứ diện Tứ diện có cạnh, chia làm cặp, cặp gồm cạnh chéo nhau, gọi cạnh đối Giống tam giác có đường chủ yếu trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, tứ diện có đường mặt chủ yếu Việc khảo sát đường mặt chủ yếu cung cấp nhìn tồn cảnh sâu rộng tứ diện Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức Trong chương này, tơi trình bày khái niệm hình học khơng gian Chương Khối tứ diện Chương trình bày số khái niệm khối tứ diện, tứ diện đặc biệt, số định lý khối tứ diện số toán dịch từ tài liệu tiếng Nga, số thi vô địch nước, khu vực Chương Khối đa diện Chương trình bày định nghĩa khối đa diện tổng quát, tính chất khối đa diện Định lý Euler khối đa diện, định lý A.Đ Alechxandrop thể tích khối đa diện Chương Các kiến thức 1.1 Một số tiên đề hình học khơng gian Tiên đề 1.1.1 Qua hai điểm phân biệt khơng gian có đường thẳng Tiên đề 1.1.2 Qua ba điểm khơng thẳng hàng có mặt phẳng Tiên đề 1.1.3 Một đường thẳng có hai điểm nằm mặt phẳng nằm mặt phẳng Tiên đề 1.1.4 Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung có đường thẳng chung qua điểm Chú ý Người ta gọi đường thẳng chung hai mặt phẳng giao tuyến hai mặt phẳng 1.2 Một số cách xác định mặt phẳng ❼ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng ❼ Qua hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng ❼ Qua hai đường thẳng song song xác định mặt phẳng ❼ Qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng xác định mặt phẳng 1.3 1.3.1 Quan hệ song song Hai đường thẳng song song ❼ Hai đường thẳng gọi song song với đường thẳng chúng đồng phẳng khơng có điểm chung ❼ Hai đường thẳng gọi chéo chúng không nằm mặt phẳng ❼ Định lý giao tuyến ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đơi song song ❼ Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng ❼ Ba đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối diện tứ diện đồng quy trung điểm G đoạn Điểm G cịn gọi trọng tâm tứ diện ❼ Một mặt phẳng xác định qua hai đường thẳng song song 1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng ❼ Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung ❼ Một đường thẳng (Không nằm mặt phẳng (P )) song song với (P ) song song với đường thẳng nằm (P ) ❼ Nếu mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, a song song với mặt phẳng (P ), giao tuyến (P ) (Q) (nếu có) song song với a ❼ Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng ❼ Cho hai đường thẳng a, b chéo Khi đó, ln tồn mặt phẳng (P ) chứa a song song với b 1.3.3 Hai mặt phẳng song song ❼ Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung ❼ Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng (Q) (P ) song song với (Q) ❼ Qua điểm nằm mặt phẳng, tồn mặt phẳng song song với mặt phẳng ❼ Cho hai mặt phẳng song song với nhau, mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với ❼ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba chúng song song với Định lý Thales ❼ Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến đoạn tương ứng tỷ lệ ❼ Giả sử hai đường thẳng chéo a a′ lấy thứ tự điểm A, B, C A′ , B ′ , C ′ cho: AB BC CA = = A′ B ′ B ′ C ′ C ′ A′ (1.1) Khi ba đường AA′ , BB ′ , CC ′ nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng 1.4 1.4.1 Quan hệ vng góc Góc hai đường thẳng, hai đường thẳng vng góc ❼ Góc hai đường thẳng d1 d2 khơng gian góc hai đường thẳng a1 a2 qua điểm song song trùng với d1 d2 ❼ Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 58 – Với a = ta suy 3f3 = 12 ⇒ f3 = 4; số mặt tam giác suy khối tứ diện – Với n ≥ 8, ta chứng minh tồn đa diện có n cạnh Thật vậy: Nếu n = 2k (k - chẵn) hình chóp k - giác, có k cạnh đáy k cạnh bên Nếu n = 2k + 1, ta lấy chóp k - giác, đáy chóp k – giác, ( k ≥ 4) Ta "Bẻ gãy” đáy theo đường chéo, khối chóp xuất thêm cạnh suy số cạnh 2k + Bài tốn 3.4.9 Có tồn khối đa diện lồi mà tất mặt tứ giác trở lên tất góc đa diện góc tứ diện trở lên? Bài giải Theo (3.4.7) (3.4.8) ta có 2a = 3f3 + 4f4 + 5f5 + 2a = 3P3 + 4P4 + 5P5 + Vì f3 + f4 + f5 + = f P3 + P + P5 + = P 2a ≥ 4f ⇒{ 2a ≥ 4P ⇒ 4P + 4f ≤ 4a ⇒ P + f ≤ a Hay P + f − a ≤ Mâu thuẫn với định lý Euler Vậy khối đa diện lồi nào, tồn mặt tam giác tồn góc đa diện góc tam diện Bài tốn 3.4.10 a) Chứng minh rằng: Không tồn khối đa diện lồi mà tất mặt lục giác trở lên b) Chứng minh rằng: Không tồn khối đa diện lồi mà tất góc đa diện có số mặt lớn Bài giải a) Theo (3.4.8), nên có khối đa diện f3 = f4 = f5 = Vậy suy 2a = 6f6 + 7f7 + 8f8 + = (f6 + f7 + f8 + ) ≥ (f6 + f7 + f8 + ) = 6f 6 59 ⇒ 2a ≥ 6f (3.15) Mặt khác theo (3.4.6), đỉnh góc tứ diện trở lên P3 ≠ ta lại có 2a = 4P4 + 5P5 + 6P + = (P4 + P5 + P6 + ) 4 ≥ 4(P4 + 5P5 + 6P + ) = 4P Vậy 2a ≥ 4P ≥ 3P ⇒ 4a ≥ 6P ( 3.16) Ta suy 6a ≥ 6f + 6P hay (3.16) 6f + 6P − 6a ≤ ⇔ f + P − a ≤ Điều trái với định lý Euler b) Giả sử tất đỉnh đa diện góc lục diện trở lên P3 =P4 =P5 = Mà f3 ≠ Lặp lại lý luận ta thu kết luận Bài toán 3.4.11 Chứng minh rằng: Tổng số đo góc đa giác mặt khối đa diện lồi gấp đơi tổng góc đa giác có số đỉnh số đỉnh đa diện Bài giải Theo (3.4.10) ta nhận cơng thức tổng tất góc phẳng đa diện S= 2π (a - f ) mà theo định lý Euler P − = a - f từ ta nhận S= 2π (P-2) Bài tốn 3.4.12 Chứng minh tồn khối đa diện mà số đỉnh số lẻ số cạnh xuất phát từ đỉnh số lẻ Bài giải Giả sử tồn khối đa diện thỏa mãn đầu toán Gọi a số cạnh khối đa diện, P = 2d + số đỉnh số lẻ cạnh xuất phát từ đỉnh: 2a1 + 1, 2a2 + 1, , 2aP + Vì cạnh chung cho hai đỉnh nên tổng tất cạnh tất đỉnh mà chúng qua lần số cạnh khối đa diện, tức (2a1 + 1) + (2a2 + 1) + + (2aP + 1) = 2a 60 ⇔ 2(a1 + a2 + + aP ) + P = 2a ⇔ 2(a1 + a2 + + aP + d) + = 2a Đẳng thức xảy vế trái số lẻ, vế phải số chẵn Điều chứng tỏ tồn khối đa diện thỏa mãn tốn Bài tốn 3.4.13 Chứng minh khơng thể tồn khối đa diện mà số mặt số lẻ mặt đa giác có số lẻ cạnh Bài giải Giả sử tồn khối đa diện mà số mặt số lẻ mặt có số lẻ cạnh, gọi a số cạnh khối đa diện số mặt f = 2n + (n ∈ N ∗ ), số cạnh mặt là: 2n1 + 1, 2n2 + 1, , 2nF + (ni ∈ N ∗ ) Vì hai mặt kề có chung cạnh nên tổng tất mặt lần số cạnh khối đa diện, tức : (2n1 + 1) + (2n2 + 1) + + (2nF + 1) = 2a ⇔ 2(n1 + n2 + + nF ) + f = 2a ⇔ 2(n1 + n2 + + nF ) + 2n + = 2a Đẳng thức khơng thể xảy vế trái số lẻ vế phải số chẵn Do tồn khối đa diện thỏa mãn toán Bài toán 3.4.14 Chứng minh khối đa diện lồi có mặt tam giác góc đỉnh góc tam diện Bài giải Gọi f số mặt, p số đỉnh, a số cạnh khối đa diện Giả sử khối đa diện có mặt lớn cạnh, góc đỉnh khơng phải góc tam diện Khi tổng góc mặt lớn 2π Gọi ni số cạnh mặt, ni ≥ 4, ta có tổng góc mặt (ni − 2)π ≥ 2π Do có f mặt nên: f f ∑ (ni − 2) ≥ 2f ⇔ ∑ ni − 2f ≥ 2f ⇔ 2a ≥ 4f ⇔ a ≥ f i=1 i=1 (3.17) Do đỉnh có cạnh xuất phát cạnh có chung đỉnh nên số cạnh số đỉnh thỏa mãn hệ thức: 4p ≤ 2a ⇔ 2p ≤ a (3.18) 61 Theo định lý Euler kết hợp (3.17) (3.18) ta có: p + f − a = p + f -a ≤ điều mâu thuẫn Bài toán 3.4.15 Chứng minh khối tứ diện tồn mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện Bài giải Giả sử tồn mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện Ta ký hiệu tâm mặt cầu O Xét △BCD, giả sử tiếp điểm P, Q, R Khi đường trịn (P QR) (đường tròn qua điểm P, Q, R) Ta lại có đường trịn nội tiếp △DBC tâm đường trịn ta kí hiệu O1 Qua O1 kẻ đường thẳng ∆1 (BCD) (Hình 3.20) Vậy tâm O phải thuộc ∆1 Ta thấy đường thẳng ∆1 quỹ tích điểm cách ba cạnh △BCD Tương tự vậy, Hình 3.20 mặt phẳng (ACD) có đường thẳng ∆2 qua tâm O2 vng góc với mặt phẳng (ACD) Hai đường thẳng ∆1 ∆2 thuộc mặt phẳng (QO1 O2 ) ∆1 ∆2 cắt Hồn tồn tương tự ta có bốn đường thẳng ∆1 , ∆2 , ∆3 ∆4 cắt đơi khơng đồng phẳng, chúng đồng quy điểm O Bài toán 3.4.16 Giả sử mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện điểm P, Q, R, S, T, U 62 Bài giải Chứng minh ba đường thẳng SQ, RT U P đồng quy Xét tứ giác ghềnh ABCD, ta thấy theo định lý Menlaus tứ giác SA RB QD T C =1 SB RD QC T A suy bốn điểm S, T, Q, R đồng phẳng, suy hai đường thẳng SQ T R cắt nhau.(Hình 3.21) Hình 3.21 Tương tự, ta áp dụng định lý Menlaus cho tứ giác ABCD ta hai đường thẳng SQ P U cắt T R cắt U P Ta chọn ba đường thẳng T R, SQ P U cắt đôi không đồng phẳng, suy đồng quy 3.5 3.5.1 Thể tích khối đa diện Phân hoạch khối đa diện Định nghĩa 3.5.1.1 Hình đa diện E gọi phân hoạch thành hình đa diện E1 , E2 , , En nếu: i) Các đa diện Ei điểm chung, nghĩa i ≠ j Ei0 ∩ Ej0 = Φ n ii) [E ] = ⋃ [Ei ] i=1 63 Định nghĩa 3.5.1.2 Hai đa diện gọi đồng phân chúng phân hoạch thành hình đa diện đơi Tính chất 3.5.1.3 Người ta chứng minh tính chất sau đây, tương tự đa giác: i) Bất kỳ đa diện có phân hoạch thành hình tứ diện ii) Hai đa diện đồng phân với đa diện thứ ba đồng phân với 3.5.2 Thể tích khối đa diện Định nghĩa 3.5.2.1 Hàm thể tích Gọi ∏ tập hợp đa diện không gian, hàm U : ∏ → R+ gọi hàm thể tích U thỏa mãn tính chất sau: i) Nếu E E ′ hai đa diện (tức phép đẳng cự biến E thành E ′ ) U (E )) = U (E ′ ) ii) Nếu đa diện E phân hoạch thành đa diện E1 , E2 , , En U (E ) = U (E1 ) + V (E2 ) + + U (En ) (3.19) iii) Nếu E hình lập phương có cạnh U (E )) = Khi giá trị U (E ) gọi thể tích đa diện E , thể tích khối đa diện [E ] Bài toán 3.5.2.2 Cho điểm M tứ diện ABCD Các đường thẳng M A, M B, M C, M D cắt mặt đối diện A′ , B ′ , C ′ , D′ tương ứng Tìm GTNN biểu thức: T= MA MB MC MD + + + M A′ M B ′ M C ′ M D ′ (3.20) Bài giải (Hình 3.22) Gọi H, I hình chiếu A, M mặt phẳng (BCD) Ta có H, I, A′ thẳng hàng Gọi V, V1 , V2 , V3 , V4 thể tích tứ diện ABCD bốn hình chóp đỉnh M với đáy tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Ta có AH AH.SBCD V M A V − V1 V = = = ⇒ = = − M A′ M I V1 M A′ V1 V1 M I.SBCD AA′ 64 Hình 3.22 Tương tự M B V − V2 V = = − M B′ V2 V2 M C V − V3 V = = − M C′ V3 V3 M D V − V4 V = = − M D′ V4 V4 Suy MA MB MC MD 1 1 + + + = V ( + + + )−4 M A′ M B ′ M C ′ M D ′ V1 V V3 V4 1 1 + + ) − ≥ 16 − = 12 = ( V1 + V2 + V + V4 ) ( + V1 V V3 V4 T= Vậy T = 12 ⇔ M trọng tâm tứ diện ABCD Bài tốn 3.5.2.3 Tính thể tích khối tám mặt có cạnh a Bài giải Ta phân chia khối tám mặt cạnh a với đỉnh A, B, C, D, E, F thành hai khối chóp tứ giác A.BCDE F.BCDE (Hình 3.23) Vì hai khối chóp nên tích nhau, thể tích V khối tám mặt hai lần thể tích V1 khối chóp A.BCDE Vì BCDE hình vng cạnh a với tâm O tam giác ABD tam giác cân đỉnh A nên: √ √ 1 2 V1 = SBCDE AO = a a = a3 3 65 Hình 3.23 Suy khối tám mặt tích là: √ V = 2.V1 = a3 Bài tốn 3.5.2.4 Cho hình lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ cạnh a Gọi M trung điểm CD N trung điểm A′ D′ Tính: a) Thể tích khối tứ diện B ′ M C ′ N b) Góc khoảng cách giiữa hai đường thẳng B ′ M C ′ N c) Thể tích hai phần khối lập phương bị phân chia mặt phẳng qua B ′ , M, N Bài giải a) Xem tứ diện B ′ M C ′ N khối chóp đỉnh M đáy tam giác B ′ C ′ N a2 diện tích đáy đường cao a, (Hình 3.22) thể tích a3 V = b) Gọi M ′ trung điểm C ′ D′ B; M có hình chiếu mặt phẳng (A′ B ′ C; D′ ) B ′ M ′ Ta có B ′ M ′ C ′ N nên B ′ M C ′ N Ta có 3a a2 9a2 B M = B C + CC + CM = a + a + = ⇒ B ′ M= 4 ′ ′ ′2 ′2 2 66 Hình 3.24 √ 2 5a a a C ′ N = C ′ D ′ + D ′ N = a2 + = ⇒ C ′ M= 4 Thể tích tứ diện B’MC’N: V = B ′ M.C ′ N.d sin 900 , d √ √ 3a a a d = d khoảng cách B ′ M C ′ N nên V = 2 a3 Mà V = đó: √ 4a 4a d= √ = 15 c) Kéo dài B ′ N cắt C ′ D′ I , đường thẳng M I cắt DD′ E cắt CC ′ J Nối JB ′ cắt BC K Ta thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (B ′ M N ) ngũ giác B ′ N EM K Gọi V1 thể tích phần hình hộp bị phân hoạch (phân chia) có chứa điểm C ′ , C D′ Ta có D′ I = a, ED ′ = 2a a , CK= Ta có V1 = VKCM B ′ C ′ I − VEN D′ I KCM B ′ C ′ I khối chóp cụt có đường cao a diện tích hai đáy là: 1 a a a2 SB ′ C ′ I = a2 , SKCM = CM.CK = = 2 16 √ a ⎛ a2 a2 ⎞ 21a3 V(KCM B ′ I ) = a + + a = ⎝ 16 16 ⎠ 48 67 a2 2a a3 V(EN D′ ) = S(N D′ I ) ED′ = = 3 18 Vậy 21a3 a3 55a3 V1 = − = (3.21) 48 18 144 Gọi V2 thể tích phần bị phân chia cịn lại hình lập phương thì: 55a3 89a3 = V2 = a − V = a − 144 144 3 (3.22) Bài toán 3.5.2.5 Cho hình chóp SABCD đáy nửa lục giác ABCD với AD = 2a, AB = BC = CD = a Cạnh SA = h vng góc với đáy (P ) mặt phẳng qua A vng góc với SD cắt SB, SC, SD B ′ , C ′ , D′ Tính thể tích hình chóp SAB ′ C ′ D′ Bài giải (Hình 3.23) Hình 3.25 Ta có AB ′ SB; AC ′ SC, áp dụng bổ đề tỷ số thể tích hai tứ diện, ta có : VSAB ′ C ′ SA.SB ′ SC ′ SB ′ SC ′ SB.SC ′ SA4 = = = = VSABC SA.SB.SC SB.SC SC SB SC VSABCD Nhưng SABC = SABCD ⇒ VSABC = Do đó: 3 V SAB ′ C ′ SA4 = VSABCD SB SC (3.23) 68 Cũng làm ta có: VSAC ′ D′ SA4 = VSACD SC SD2 Và 2 SACD = SABCD ⇒ VSACD = VSABCD 3 Do SA4 VSABCD VSAC ′ D′ = SC SD2 Từ (3.23) (3.24) ta có VSAB ′ C ′ D′ = VSAB ′ C ′ + VSAC ′ D′ SA4 = VSABCD ( + ) 2 SC SB SD2 SA4 VSABCD (2SB + SD2 ) = 3.SB SC SD2 (3.24) (3.25) Ta tính chi tiêt: SA = h SB = h2 + a2 SC = SA2 + AC = h2 + 3a2 SD2 = SA2 + AD2 = h2 + 4a2 √ √ a2 h a2 h = V = VSABCD = 3 4 Thay vào (3.25) ta có VSAB ′ C ′ D′ √ h a h4 (2h2 + 2a2 + h2 + 4a2 ) = 3(h2 + a2 ).(h2 + 3a2 ).(h2 + 4a2 ) √ 3.a2 h5 (h2 + 2a2 ) = 4(h2 + a2 ).(h2 + 3a2 ).(h2 + 4a2 ) Bài tốn 3.5.2.6 Cho tam diện vng Oxyz điểm A cố định bên tam diện Khoảng cách từ A đến ba mặt Oyz, Ozx Oxy a, b, c Một mặt phẳng (α) qua A cắt Ox M , Oy N Oz P a) Chứng minh a b c + + = OM ON OP (3.26) 69 b) Xác định vị trí mặt phẳng (α) để thể tích tứ diện OM N P đạt giá trị nhỏ c) Xác định vai trò điểm A △M N P VOM N P nhỏ Bài giải Hình 3.26 a) Nối A với O, M, N, P Hình chóp OM N P bị chia thành ba hình chóp nhỏ.(Hình 3.26) Ta có: VOM N P = VAON P + VAOP M + VAOM N Khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz, Ozx Oxy là: AI = a; AJ = b, AK = c Ta có: 1 1 OM.ON.OP = ON.OP.a + OM.OP.b + ON.OM.c 6 6 Chia hai vế cho OM.ON.OP ta 1= a b c + + OM ON OP (3.27) b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dựa vào hệ thức (3.27) ta có: √ abc ≥ ⇔ OM.ON.OP ≥ 27abc OM.ON.OP Do VOM N P ≥ abc (3.28) 70 Đẳng thức xảy khi: ⎧ ⎪ ⎪OM = 3a b c a ⎪ = = = ⇔ ⎨ON = 3b ⎪ OM ON OP ⎪ ⎪ ⎩OP = 3c Vậy thể tích tứ diện OM N P đạt giá trị nhỏ (VOM N P )min = abc ⎧ OM = 3a ⎪ ⎪ ⎪ M, N, P xác định ⎨ON = 3b ⎪ ⎪ ⎪ ⎩OP = 3c c) Ta có OK P A cắt P ′ ∈ M N Ta có: ⎧ AK c ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ OP OP ⎨ ⎪ ⎪ AK P ′ A ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ OP P ′ P ⇒ P ′A = P ′P Tương tự điểm N ′ M ′ ta có N ′A M ′A = ′ = M ′M NN Suy A trọng tâm △M N P 71 Kết luận Luận văn trình bày kết sau đây: 1- Trình bày khái niệm tứ diện tứ diện đặc biệt số định lý khối tứ diện từ tính chất đến nâng cao 2- Giới thiệu định lý Jordan, sơ đồ phẳng hình đa diện, đặc biệt định lý Euler số đỉnh, cạnh, mặt đa diện lồi 3- Trình bày định lý quan trọng tâm đối xứng khối đa diện mà nhiều tài liệu sách tham khảo chưa đặt vấn đề đến định lý A.Đ.Alechxandrop 4- Luận văn chọn lọc giới thiệu số thi vô địch nước quốc tế liên quan đến khối đa diện bất đẳng thức khối tứ diện khối đa diện 72 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Phan Đức Chính (2006),Bất đẳng thức; NXB Văn hóa thơng tin [2] Phan Đức Chính, Phạm Tấn Dương, Lê Đình Thịnh (1976),Tuyển Tập tốn sơ cấp Tập 2; NXB ĐH THCN [3] Văn Như Cương, Hồng Ngọc Hưng, Đỗ Mạnh Hùng, Hồng Trọng Thái (2007),Hình học sơ cấp thực hành giải toán; NXB Đại học sư phạm [4] Nguyễn Đức Đồng (2009); Tuyển tập 500 tốn Hình học khơng gian ; NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Phan Huy Khải (1999);Toán nâng cao hình học 11; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Phan Huy Khải (2008);Hình học khơng gian; NXB Giáo dục Việt Nam [7] Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Lưu Xuân Tỉnh (2005);Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn; NXB giáo dục [8] Nguyễn Anh Trương, Nguyễn Tấn Siêng, Nguyễn Văn Bình (2014);Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian; NXB Đại học quốc gia Hà Nội [9] B.I.Acgunôp - M.B.Ban (1977); Hình học sơ cấp; NXB Giáo dục [B] Tiếng Anh [10] O Dunkel( 1957); Memorial Problem Book; New York [C] Tiếng Nga ... 32 Khối đa diện 3.1 Đa diện - Khối đa diện 3.2 Định lý Euler khối đa diện 3.3 Định lý khối đa diện 3.4 Một số toán hệ định lý Euler 3.5 Thể tích khối đa diện. .. Chương trình bày định nghĩa khối đa diện tổng quát, tính chất khối đa diện Định lý Euler khối đa diện, định lý A.Đ Alechxandrop thể tích khối đa diện 3 Chương Các kiến thức 1.1 Một số tiên đề hình... ý đa diện có sơ đồ phẳng, tức có đa diện khơng đơn liên (Hình 3.8) ∎ 3.2 Định lý Euler khối đa diện Định nghĩa 3.2.1 Đặc số Euler đa diện đơn liên Đối với đa diện ta ký hiệu p, a, f số đỉnh, số