Ứng dụng maple trong cơ học cổ điển và cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGÀNH: VẬT LÝ – TIN HỌC Giáo viên hướng dẫn: GV VƯƠNG TẤN SĨ Giáo viên phản biện: GV HỒ HỮU HẬU GV NGUYỄN THỊ THÚY HẰNG Sinh viên thực hiện: NGUYỄN BÍCH TUYỀN MSSV: 1062650 Lớp: SP Vật Lý – Tin Học K32 Cần Thơ, 05 / 2010 MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu .1 Phương pháp nghiên cứu .1 Các giai đoạn thực II PHẦN NỘI DUNG A LÝ THUYẾT Maple – cơng cụ tính tốn tốn học 1.1 Giới thiệu tổng quan Maple 1.2 Các phép toán 1.3 Các hàm tốn học thơng dụng 1.4 Một số thủ tục hàm tiện ích thường dùng Ma trận vector .6 2.1 Hàm array 2.2 Ma trận .6 2.3 Vector 2.4 Các phép toán ma trận vec tor .7 Giải phương trình hệ phương trình 3.1 Cách biểu diễn nghiệm phương trình theo dạng chuẩn 3.2 Cách xác định giá trị RootOf 3.3 Giải phương trình hệ phương trình 3.4 Giải gần thủ tục fsolve .8 Phép tính đạo hàm – giới hạn 4.1 Đạo hàm biểu thức theo biến 4.2 Toán tử vi phân D .8 4.3 Khai triển hàm thành chuổi tổng quát - Khai triển Taylor 4.4 Đạo hàm hàm số ẩn 4.5 Giới hạn 10 Phép tính tích phân 10 5.1 Tích phân bất định tích phân xác định 10 5.2 Tích phân bội 10 5.3 Tích phân phần 11 5.4 Đổi biến số 11 5.5 Tích phân mặt 11 5.6 Tích phân khối 12 Giải phương trình vi phân – phương trình đạo hàm riêng 12 6.1 Phương trình vi phân 12 6.2 Phương trình đạo hàm riêng 12 Đồ thị 13 7.1 Đồ thị hai chiều 13 7.1.1 Đồ thị hàm thực 13 7.1.2 Đồ thị hàm tọa độ cực 14 7.1.3 Vẽ nhiều đồ thị hệ trục tọa độ 16 7.2 Đồ thị ba chiều 16 7.2.1 Hàm tọa độ Descartes 16 7.2.2 Hàm tọa độ cực 18 7.2.3 Vẽ nhiều đồ thị hệ trục tọa độ 19 7.3 Đồ thị động 21 7.3.1 Đồ thị động hai chiều 21 7.3.2 Biểu diễn đồ thị động hệ trục tọa độ 22 7.3.3 Đồ thị động ba chiều 23 B ỨNG DỤNG MAPLE TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN 25 Lò xo 25 1.1 Lò xo nằm ngang 25 1.2 Cách giải phương pháp lượng 30 1.2.1 Phương pháp lượng Lagrange 30 1.2.2 Ứng dụng: hệ hai khối ba lò xo 31 Con lắc toán học 35 2.1 Con lắc đơn 35 2.2 Con lắc kép 41 2.3 Con lắc đơn đàn hồi 46 C ỨNG DỤNG MAPLE TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 50 Các tốn khơng gian chiều 50 1.1 Bộ dao động điều hòa 50 1.2 Bài toán phụ thuộc thời gian 57 1.3 Phương pháp biến phân 60 Các tốn khơng gian ba chiều 65 2.1 Phương trình Schrodinger 65 2.1.1 Bài toán lực xuyên tâm 65 2.1.2 Hàm cầu 66 2.1.3 Momen xung lượng 70 2.1.4 Thế Coulomb 71 2.1.5 Nguyên tử hyđrô 73 2.1.5.1 Điện đối xứng electron 85 2.1.5.2 Obitan liên kết hỗn hợp 88 2.2 Momen xung lượng 89 2.3 Phương trình bán kính 101 2.4 Hiệu ứng Zeeman 106 2.5 Hiệu ứng Stack 107 Spin trình phụ thuộc thời gian 110 3.1 Phương trình Pauli 110 3.2 Momen từ 117 III PHẦN KẾT LUẬN IV TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn:  Thầy Vương Tấn Sĩ tận tình dạy, hướng dẫn đóng góp ý kiến quý báu để em hồn thành luận văn tốt nghiệp  Các thầy cô Bộ môn Vật lý cung cấp cho em kiến thức để em vận dụng vào thực đề tài  Gia đình tạo điều kiện thuận lợi vật chất động viên, ủng hộ tinh thần cho suốt trình thực đề tài  Các bạn lớp Sư phạm Lý tin K32 hỗ trợ đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện Mặc dù cố gắng không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến chân thành q thầy bạn để đề tài hoàn chỉnh Thay lời cảm ơn, em xin kính chúc q thầy cơ, gia đình, bạn bè lời chúc sức khỏe, thành cơng hạnh phúc Nguyễn Bích Tuyền NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thời đại ngày nay, vị trí vai trị máy tính ngày trở nên quan trọng, lĩnh vực giáo dục Tin học môn học bắt buộc cho sinh viên từ bước vào đầu đại học, lên cao, sâu vào lĩnh vực đó, người bắt buộc phải dùng máy tính Với xu hướng đổi phương pháp dạy học, việc sử dụng phần mềm tin học ứng dụng vào dạy học phương pháp có hiệu quả, đặc biệt Vật lý học Khơng phải thí nghiệm ta thực cho học sinh quan sát, kết lý thuyết chưa đủ để thuyết phục học sinh mà phải thêm vào hình vẽ, đồ thị, đồ thị động Chúng vừa hấp dẫn học sinh, vừa làm cho tiết học sơi động có hiệu Hiện có nhiều phần mềm chuyên hỗ trợ cho dạy học Vật lý như: Crocodile Physics, Interactive Physics, EWB, Flash, Maple… Song để sử dụng phần mềm có hiệu dạy học người sử dụng cần phải am hiểu Vì lý đó, định chọn đề tài luận văn tốt nghiệp “Ứng dụng Maple Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử” Mục đích nghiên cứu  Đề tài nhằm phục vụ cho việc dạy học mơn Vật lý đạt hiệu nói chung, phần Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử nói riêng, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục Việt Nam  Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Vật lý  Tạo hứng thú cho học sinh học môn Vật lý  Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Phương pháp nghiên cứu  Thu thập tài liệu, thơng tin có liên quan  Phân tích tài liệu, thông tin thu chọn lọc thông tin phù hợp  Nghiên cứu, tìm hiểu rõ thành phần, cách sử dụng Maple tốn trình bày đề tài  Tổng hợp yêu cầu đề tài, ý kiến đóng góp để xây dựng đề tài hồn chỉnh lẫn nội dung hình thức Các giai đoạn thực  Nhận đề tài  Lập đề cương tổng quát  Thu thập, tìm kiếm tài liệu  Thực đề tài  Viết  Nộp thảo cho giáo viên xin ý kiến  Chỉnh sửa hoàn tất nội dung đề tài SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp II PHẦN NỘI DUNG A LÝ THUYẾT Maple- cơng cụ tính tốn toán học 1.1 Giới thiệu tổng quan Maple Phần mềm toán học Maple, ta gọi tắt Maple phần mềm đa dụng có đặc trưng quan trọng: - Thực tính tốn tốn học (kể đối tượng hình thức, thường cho dạng tên) qui tắc phép toán số học hay thủ tục, hàm (được cho tên đặc biệt chúng) - Cho phép tạo hàm mới, thủ tục mới, phép toán theo cấu trúc liệu người dùng vậy, Maple ngơn ngữ lập trình, lại ngơn ngữ dễ hiểu mà hiệu thân câu lệnh ngôn ngữ chương trình có khả tính tốn mạnh Maple sau khởi động, xuất dấu “>” cửa sổ làm việc (worksheet) Các câu lệnh xử lý nhập vào từ sau dấu “>”, kết thúc dấu “;” nhấn phím Enter Nếu muốn kết việc thực lệnh khơng cần hình, thay cho dấu “;” cuối dịng lệnh, ta dùng dấu “:” Để xóa kết trung gian, giá trị tồn phép gán trị hay nói chung kết lưu trữ nhớ Maple, nhằm thực lại cơng việc tính tốn đó, ta gõ: > restart; Và để thoát khỏi Maple, ta gõ: > quit ; Để xem trang trợ giúp (gọi tắt trang help), cung cấp thông tin chi tiết lệnh hay chủ đề Maple (chẳng hạn cung cấp cú pháp, chức năng, ý ví dụ cách sử dụng), ta gõ “ ?name ;”, với name tên hay chủ đề Thủ tục chương trình viết ngơn ngữ Maple, thực chất dãy thị (cũng câu lệnh Maple) xếp theo thứ tự nhằm giải tốn, mục đích mà kết cuối việc thực thủ tục kết việc thực lệnh cuối thủ tục Thông thường, thủ tục gọi kèm theo tham số Hàm thủ tục, thường mục đích hàm trả đối tượng cụ thể (nghĩa kiểu liệu cụ thể) trực tiếp Đối với hàm, ta gọi chung tham số đối số Nếu đối số hàm dãy số kết lời gọi hàm thuộc kiểu liệu numberic, hàm số Hãy tìm hiểu kiểu liệu Maple lệnh “?type ;” Chú ý ta đổi kiểu liệu sang kiểu liệu khác cho đối tượng thủ tục convert Muốn kiểm tra đối tượng (obj) xét thuộc kiểu liệu nào, gọi whattype(obj) Maple chứa sẵn hàm thủ tục đặc biệt thư viện ta gọi chúng câu lệnh “readlib(name) ;”, với name tên hàm hay thủ tục Ngồi ra, Maple đóng gói sẵn số thủ tục hàm đặc biệt cho lĩnh vực tính tốn đặc SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp thù gói Các gói sử dụng nhiều linalg student chứa hàm thủ tục cho việc tính tốn ma trận, vector cho việc tính loại tích phân Để xét khái niệm biến (variable) tên Maple, ta hay xét phương trình : ax2 + bx + c= Trong đó, a,b,c tham số tham số x ẩn Chúng gọi chung biến cách dùng chúng phương trình, chúng xem biến tự do, nghĩa biến xem đơn ký hiệu đến thân ký hiệu riêng chúng nhắc đến Các biến gán cho giá trị phép gán trị “ := ”, chẳng hạn, a := a gọi biến bị gán trị, a nhắc đến số thay Mặc khác, q trình tính tốn, ta thường đặt tên cho kiểu liệu phức tạp để cách trình bày phép tốn ngắn gọn rõ ràng Tên cho phép gán, chuỗi ký tự có độ dài khơng q 499 ký tự phải bắt đầu mẫu tự, chẳng hạn ta đặt tên cho hàm sin f lời gọi : > f :=->sin(x) ; Các biến toàn cục Maple biến gán sẵn giá trị xác định giữ nguyên giá trị chúng trường hợp, chúng gán tạm thời giá trị khác phép gán trị (khi khởi động lại chương trình dùng restart, biến tồn cục nhận lại giá trị ban đầu chúng) Một số biến toàn cục Maple thường dùng Digits, Order hay –MaxSols Biến mơi trường( thường có tên bắt đầu ký tự -Env) biến toàn cục thường nhận giá trị logic true, false để xác nhận tình trạng xét thuộc hay khơng thuộc điều kiện qui ước Các biến mơi trường Maple thường dùng : -EnvExplicit, -EnvAllsolutions 1.2 Các phép toán + Nhị nguyên : +, -, *, /, **, hay ^ (nâng lên lũy thừa ), so sánh(=,), lấy hàm hợp (@), lấy hàm hợp kép(@@), gán trị ( :=), phép toán logic (and, or), phép hợp (union), phép giao (interset), phép hiệu (minus) + Nhất nguyên : cộng, trừ, phủ định ( +,-, not), giai thừa (!) + Ký hiệu % : Dùng để thay kết hay biểu thức gần (%), biểu thức trước (%%), biểu thức trước (%%%) 1.3 Các hàm tốn học thơng dụng + Hàm lượng giác lượng giác ngược : sin, cos, tan, cot, arcsin, arccos, arctan, arccot + Hàm trị tuyệt đối (abs) : lấy giá trị nguyên nhỏ không nhỏ số (ceil) ; hàm số mũ số e (exp) ; hàm giai thừa số nguyên không âm (factorial) ; hàm lấy phần thập phân số (frac) ; hàm logarithm số e (ln) ; hàm logarithm số n dương khác (log[n]) ; hàm logarithm số 10 (log10) ; hàm lấy giá trị lớn hay nhỏ dãy số thực (max hay min) ; hàm bậc n số (root[n]) ; hàm lấy giá trị nguyên gần số (round) ; hàm bậc (sqrt) ; hàm lấy giá trị nguyên gần số theo hướng số (trunc) SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp 1.4 Một số thủ tục hàm tiện ích thường dùng + evalf (e,n) : cho giá trị biểu thức e với n chữ số xác, chọn đến 500000 ! + value( F) : cho giá trị thực tế kết hình thức F Ví dụ : > b:=Limit(sin(x)/x,x=0); > value(b); + expand(e,x1,x2 ) : khai triển phép nhân tổng e + normal(e) : thu gọn biểu thức hữu tỉ e dạng chuẩn + simplify(e) : đơn giản e + radsimp(e) radsimp(e, ‘ratdenom’): đơn giản biểu thức chứa thức hữu tỉ hóa mẫu số biểu thức e (nếu có) Ví dụ: > a:=3*((-16+15*sqrt(3))/(sqrt(3)-3)); > simplify(a); > normal(a); + seq(element,range): liệt kê dãy phần tử đánh số element theo số cho range Ví dụ: > l:=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]: > s:=seq(l[2*i-1], i=1 5); + subs: thay toán hạng biểu thức biểu thức xác định số trường hợp thường sử dụng: - subs(x,a,e): thay a cho x - subs(s1,…,sn,e): thay s1, …,sn vào e - subs({s1,…,sn},e) hay subs([s1,…,sn],e): thay đồng thời s1,…,sn vào e Ví dụ: > p:=x+y+2^(x+y+z) +z: > subs(y=c,p); > subs(x+y+z=c,p); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp > ACR(sigma2,sigma3); > eigenvals(sigma2); Sự kín  y hiển nhiên Chú ý trị riêng thường    x2   y2   z2  z dễ dàng xác định, từ  lập tỷ lệ để đồng thức ma trận Bây ta xác định vectơ riêng ma trận chéo  : > eigenvects(sigma3); Với trị riêng +1 ta có số bội 1(khơng có suy biến) vectơ riêng [1,0],  z =-1 vectơ riêng [0,1] Hình chiếu spin z trị riêng,   /   / Các vectơ riêng tuơng tự  z , chúng vectơ riêng s Các trị riêng s nhận thông qua 2: > sigmasq:=evalm(sigma1^2+sigma2^2+sigma3^2); Kết nhân với ( / 2) , ta có hai lần suy biến trị riêng (3 / 4) , phù hợp với s (s  1) Bây ta xét phương trình Pauli với hàm sóng có spin túy Electron đứng yên (hay điện tích có spin 1/2) đưa hay chuyển động thẳng, ta bỏ qua phần khơng gian hàm sóng Ta thấy thú vị tiến động spin từ trường Theo cổ điển, quỹ đạo hạt mang điện vòng quanh hướng cảm ứng từ B từ trường với tần số suy biến tính phương trình Lorentz lực ly tâm:  eBv  mr c Trong v vận tốc tiếp tuyến theo quỹ đạo tròn tần số góc  nhân với bán kính r Với Cơ học lượng tử bắt đầu với spin hàm sóng mơ tả chồng chất “up” “down”: > up:=vector([1,0]); > down:=vector([0,1]); > a0:='a0': > b0:='b0': > chi:=evalm(a0*up+b0*down); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 113 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Thực chuẩn hóa hàm sóng ta lại tham số hóa hai giá trị phức hệ số a0, b0 số hạng tham số thực g, d  với hợp hồn hảo điều kiện chuẩn hóa > a0s:=exp(I*g)*cos(theta/2); > b0s:=exp(I*d)*sin(theta/2); > norms:=simplify(abs(a0s)^2+abs(b0s)^2); Maple chưa rút gọn dấu đại lượng  , g, d cần giả sử biến thực > assume(g,real); assume(d,real); assume(theta,real); > simplify(norms); Chú ý a0, b0 có bốn bậc tự thực bị khử chuẩn hóa giới hạn Do có ba biến số thực  , g, d Phương trình Pauli cho tốn khơng động tọa độ cầu đưa sau: i    B  t  , t Trong  ký hiệu cho momen từ hạt Nếu ta đặt hệ tọa độ cầu trục z trùng với hướng từ trường, B  (0,0, B ) , phương trình trở thành: i eB   z  t  , t mc Như phải dùng momen từ electron Với tần số Larmor  L  eB /(2mc) đơn giản thành: i     L z  t  t Ta xác định phương trình Pauli cách thiết lập spinơ phía trước Lưu ý Maple tự động chuyển thành a t  b0 t  phụ thuộc thời gian > PauliEq:=evalm(I*map(diff,chi(t),t))=evalm(omega* > sigma3&*chi); > eq1:=lhs(PauliEq)[1]=rhs(PauliEq)[1]; > eq2:=lhs(PauliEq)[2]=rhs(PauliEq)[2]; SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 114 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Nghiệm tổng quát nhận khi: > dsolve({eq1},a0(t)); Cách khác, tìm nghiệm với điều kiện ban đầu rõ dạng giá trị a0s trước khai báo > sol1:=dsolve({eq1,a0(0)=a0s},a0(t)); Tương tự nghiệm tổng quát phương trình hai nhận > dsolve({eq2},b0(t)); > sol2:=dsolve({eq2,b0(0)=b0s},b0(t)); Sự tiến triển theo thời gian hàm sóng spinơ xác định qua lựa chọn điều kiện ban đầu (cố định g , d , ) xác định sau: > chioft:=evalm(rhs(sol1)*up+rhs(sol2)*down); Bây tính giá trị trung bình thành phần tốn tử spin, mà lên đến hệ số  / đồng với ma trận Pauli  x   ,  y   ,  z  3 Chúng ta bắt đầu với bảo tồn hình chiếu z chứng minh tính tóan giá trị trung bình tốn tử Oˆ cho spinơ nhất:  Oˆ  Chúng ta cần hình thành tốn tử hermit liên hợp  sử dụng phép nhân ma trận > chiconj:=evalm(map(conjugate,chioft)): > chidag:=transpose(chiconj): Bây ta tính    ví dụ đặc biệt hiển thị kết đơn giản hóa: > evalm(chidag &* sigma3 &* chioft): > combine(evalc(simplify(%)),trig);  cho tham số có định điều kiện ban đầu thấy lại spin hình chiếu z bảo tồn cho hạt tương tác với từ trường song song với trục z Bây ta thử với thành phần khác, cụ thể spin thành phần x (lên đến  / ) Ta tính giá trị trung bình    biểu diễn kết đơn giản: > evalm(chidag &* sigma1 &* chioft): SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 115 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp > sx:=combine(evalc(simplify(%)),trig); Ta định nghĩa thủ tục mà tham số thực hiện: > sx1t:=unapply(sx,t,omega,d,g,theta); Chúng ta quan tâm đến trạng thái hỗn tạp ‘up’ ‘down’,    / , > sx1t(t,1,0,0,Pi/4); Giá trị trung bình thành phần x toán tử spin sˆ x , biểu diễn  , dao động hàm theo thời gian, tức sˆ x lượng bảo toàn chọn chồng chất trạng thái với hình chiếu z biết Tính chất dao động s x t  chứng minh đồ thị đây: > plot(sx1t(t,1,0,0,Pi/4),t=0 2*Pi); Tương tự , ta nhận giá trị trung bình cho thành phần y spin, tức    , lại khử kết trung gian > evalm(chidag &* sigma2 &* chioft): > sy:=combine(evalc(simplify(%)),trig); > sy1t:=unapply(sy,t,omega,d,g,theta); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 116 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Kết hình chiếu z bảo toàn số pha biên độ dao động hình chiếu x y vectơ quay tròn tương ứng với chuyển động tịnh tiến vectơ quay tròn quanh trục z Sự cố định vectơ quay hoàn toàn tương tự với chuyển động vectơ quỹ đạo momen xung lượng Trong trường hợp tranh luận thông tin không đầy đủ xuất hệ nguyên lý bất định Heisenberg, biểu lộ hệ thức giao hốn Trong trường hợp quay trịn suy chuyển động tịnh tiến vectơ từ hệ thức khơng giao hốn thành phần Descartes >plot({sx1t(t,1,0,0,Pi/4),sy1t(t,1,0,0,Pi/4)},t=0 2*Pi); 3.2 Momen từ Nội dung phần ta nghiên cứu phương trình vi phân theo tiến triển theo thời gian spin từ trường phụ thuộc thời gian liên quan đến thí nghiệm Rabi đo momen từ proton nơtron Spin hàm sóng spin 1/2 hạt có hai bậc tự S t   S1 t , S t  , Đây vectơ cột Hàm sóng thỏa phương trình Schrodinger (hoặc phương trình Pauli) với số hạng đơn hàm Hamilton mô tả mối tương tác spin với từ trường:   B.  , Trong  momen từ bên hạt Như tương tác xuất chí cho chất điểm học lượng tử spin momen xung lượng bên nghĩ dòng điện đơn giản tương tác với từ trường Kết dẫn đến momen từ đơn giản Nếu hạt có cấu trúc bên phức tạp với dịng điện cảm ứng, tương tác khác với từ trường Chính biểu giá trị khác momen từ M Như vậy, nghiên cứu tính chất hạt từ trường phục vụ công cụ quan trọng để thăm dò cấu trúc bên chúng SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 117 GVHD: Vương Tấn Sĩ S1 t  hệ số khai triển spin hình chiếu m s   ms   Luận văn tốt nghiệp (hàm sóng [1,0]), S t  trạng thái [0,1] Momen từ hạt M biểu diễn toán tử  Toán tử spin biểu diễn ma trận Pauli: > with(linalg): > sigma1:=matrix([[0,1],[1,0]]): > sigma2:=matrix([[0,-I],[I,0]]): > sigma3:=matrix([[1,0],[0,-1]]): > Svec:=vector([S1(t),S2(t)]); Phương trình Schrodinger - Pauli cho hạt với động lực học bình thường, tức chuyển động thẳng không gian   1 xác định bởi: > Bx:='Bx': By:='By': Bz:='Bz': assume(omega>0); > SPeq:=evalm(I*map(diff,op(Svec),t))=evalm(mu*(Bx*sigma1+ > By*sigma2+Bz*sigma3)*Svec); Bây ta ghi rõ phân cực tròn xạ từ: > Bx:=B1*cos(omega*t); > By:=B1*sin(omega*t); > Bz:=B0; > eval(SPeq); Ta tách phương trình rút gọn nữa: > eq1:=lhs(SPeq)[1]=rhs(SPeq)[1]; > eq2:=lhs(SPeq)[2]=rhs(SPeq)[2]; SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 118 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Ta giải hệ phương trình vi phân thường theo điều kiện ban đầu hình chiếu spin ‘up’ Tuy nhiên, trước tiên ta cần chuyển phương trình với hệ số không đổi: > sol:=dsolve({eq1,eq2},{S1(t),S2(t)}): Trước tiên ta chuyển sang hàm số mũ: > eq1:=simplify(convert(eq1,exp)); > eq2:=simplify(convert(eq2,exp)); > sol:=dsolve({eq1,eq2},{S1(t),S2(t)}): Các hệ số phụ thuộc thời gian cản trở việc giải hệ kết Ta đưa hai số  D chứa B1 , B0  D B1 ;   B0 2B0 Và sử dụng để vào phương trình: > eq1:=subs(B1=2*B0*D,eq1); > eq2:=subs(B1=2*B0*D,eq2); > eq1:=simplify(subs(B0=nu/(2*mu),eq1/I)); > eq2:=simplify(subs(B0=nu/(2*mu),eq2/I)); Bây ta lấy đạo hàm phương trình khử bỏ S1 t  : > eq2p:=diff(eq2,t); Tiếp theo ta đạo hàm S1 t  dùng phương trình 1: > eq2p:=simplify(subs(diff(S1(t),t)=rhs(eq1),eq2p)); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 119 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Bây ta chuẩn bị thay S 2 t  mà không ảnh hưởng đến đạo hàm cấp hai S 2t  Ta giữ S 2 từ phép cách đưa tên khác: > eq2p:=subs(diff(S2(t),t$2)=S2pp,eq2p); > eq2p:=simplify(subs(diff(S2(t),t)=rhs(eq2),eq2p)); Chúng ta thực xong phải thừa nhận phụ thuộc vào S1 thay phương trình S : > subs(S1(t)=solve(eq2,S1(t)),eq2p); Cuối ta trở lại thay S 2t  : > simplify(convert(%,exp)); > eq2p:=simplify(subs(S2pp=diff(S2(t),t$2),%)); Chú ý phải chuyển phương trình bậc với hệ số khơng đổi Ta giải phương trình lệnh dsolve: > sol:=dsolve({eq2p,S2(0)=0,D(S2)(0)=0},S2(t)); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 120 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Ở Maple khơng tính ta dùng ký hiệu D Trong Maple D hiểu phép lấy vi phân hàm Do ta dùng tên Del để thay cho nó: > eq2p:=subs(D=Del,eq2p); > sol:=dsolve({eq2p,S2(0)=0,D(S2)(0)=I*nu*Del},S2(t)); Cái mà quan tâm bình phương biên độ, tức xác suất chiếm chổ S Đầu tiên ta biến đổi nghiệm thành hàm mũ > sol1:=simplify(convert(sol,exp)); > P2:=evalc(abs(rhs(sol1))^2): Bây ta phải thăm dò để momen từ hạt (được ẩn biến   B0 ) xác định Tham số Del biểu diễn tỷ số B1 /( B0 ) , tức đại lượng điều chỉnh thí nghiệm Một cách quan tâm thời điểm t P đạt cực đại Ta chọn B0  B  đưa xấp xỉ momen từ proton Chúng ta thực đơn vi làm thích nghi với toán hạt nhân: e 1 2m p c > P2case1:=evalf(subs(Del=0.5,nu=2*2.8,omega=1,P2)); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 121 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp > plot(Re(evalf(P2case1)),t=0 5); Bây ta thử với tham số trừ cung cấp momen từ Nơtron xấp xỉ -1.91 Manheto > P2case2:=evalf(subs(Del=0.5,nu=-2*1.91,omega=1,P2)); > plot(Re(evalf(P2case2)),t=0 5); Rõ ràng cực đại spin phân cực đối diện nhận thời điểm khác nhau, tức đường bay khác cho vận tốc chùm hạt khơng thay đổi Trong thí nghiệm Rabi sử dụng độ nhạy toán tử đảo spin gây từ trường phụ thuộc thời gian xác định giá trị momen từ Nếu đảo spin hồn thành sau vài đường bay, chùm phân cực trịn tiên xếp không xuyên qua hệ thống điều tiêu phụ thuộc vào tham số từ trường SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 122 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Để thiết lập vài phụ thuộc tiến triển theo thời gian spin hình chiếu vào tham số ta thay đổi tỷ số thành phần dao động x y, thành phần z khơng thay đổi từ trường: > P2case3:=evalf(subs(Del=0.05,nu=-2*1.91,omega=1,P2)); > plot(Re(evalf(P2case3)),t=0 5); Tốn tử đảo spin khơng hiệu theo phương pháp này, thay đổi tỷ số B1 /(2 B0 ) lân cận: > P2case4:=evalf(subs(Del=5.,nu=-2*1.91,omega=1.,P2)); Đồ thị thật nhận đảo spin đầy đủ ứng với lựa chọn tham số này, phụ thuộc thời gian bị thay đổi tần số cao Sau thay đổi tần số từ trường AC để tần số dao động spin hình chiếu giảm bớt tỷ lệ > plot(Re(evalf(P2case4)),t=0 5,numpoints=500); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 123 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp > P2case5:=evalf(subs(Del=2.,nu=-2*1.91,omega=-.5,P2)); > plot(Re(evalf(P2case5)),t=0 5); SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 124 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp Ta chọn Del khác với  cho đưa giá trị    mà spin phân cực thay đổi sau vài thời điểm t đặc biệt tới giá trị ngược lại từ ban đầu Điều sử dụng thí nghiệm Rabi để xác định cách xác momen từ nơtron proton Từ thơng tin trở thành hiển nhiên mà proton nơtron khơng có cấu trúc spin 1/2, đối tượng phức hợp Cấu trúc chúng hiểu mẫu quark mà cung cấp tranh vững baryons bố cục ba đối tượng spin gọi hạt quark Sự hiểu biết cấu trúc baryon (và mêzon) điều kiện hạt quark hổ trợ xác định thuộc tính momen từ, bổ sung vào quang phổ học baryon (những mức lượng phạm vi GeV) số phân rã Đây điều quan trọng chúng hợp nhất, hạt quark, chất trung gian tương tác mạnh, gluon, khơng lập quan sát gián tiếp SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 125 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp III KẾT LUẬN Những kết đạt đề tài Nhìn chung đề tài thực mục đích đề ra: Đã ứng dụng phần mềm Maple để giải toán phần Cơ học từ đơn giản đến phức tạp Phần mềm giúp cho việc giải tốn Cơ học nhanh, xác tiết kiệm nhiều thời gian Đồng thời giúp cho việc giải toán phức tạp tưởng giải tay phải tốn nhiều thời gian lại nhanh hiệu Maple đưa lời giải xác phù hợp với điều có lý thuyết Ngồi cịn có đồ thị động với hình ảnh sinh động giúp cho học sinh có cảm giác trực tiếp làm thí nghiệm Đề tài có tính khả thi cao công nghệ thông tin phát triển, tất em học sinh làm quen với máy vi tính, đặc biệt giáo viên sử dụng vào việc đổi phương pháp dạy học có hiệu Hạn chế Do thời gian thực đề tài có hạn nên nội dung kiến thức tốn đưa vào đề tài cịn hạn chế, tài liệu liên quan đến phần mềm Maple không nhiều Mặc khác kiến thức có hạn, việc nghiên cứu tìm hiểu phần mềm cịn giới hạn nên việc hồn thành đề tài cịn gặp nhiều khó khăn Hướng phát triển đề tài Từ kết đạt đề tài “Ứng dụng Maple Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử” tương lai có điều kiện tơi đưa thêm nhiều tốn vào sử dụng phần mềm để giải toán thuộc lĩnh vực khác Vật lý học SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 126 GVHD: Vương Tấn Sĩ Luận văn tốt nghiệp IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Maple toán ứng dụng – Phạm Minh Hoàng – NXB Khoa học kỹ thuật (2005) Giáo trình CAD (Maple) – Vương Tấn Sĩ (2007) Giáo trình Cơ học lượng tử - Nguyễn Xuân Tư – Trường Đại Học Cần Thơ (2008) Quantum Mechanics Using Maple – Marko Horbatsh Problems and Solutions on Mechanics – Major American Universities Ph.D.Qualifying Questions and Solutions SVTH: Nguyễn Bích Tuyền Trang 127 ... dạy học mơn Vật lý đạt hiệu nói chung, phần Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử nói riêng, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục Việt Nam  Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Vật lý  Tạo hứng thú cho học. .. EWB, Flash, Maple? ?? Song để sử dụng phần mềm có hiệu dạy học người sử dụng cần phải am hiểu Vì lý đó, tơi định chọn đề tài luận văn tốt nghiệp ? ?Ứng dụng Maple Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử? ?? Mục đích... 23 B ỨNG DỤNG MAPLE TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN 25 Lò xo 25 1.1 Lò xo nằm ngang 25 1.2 Cách giải phương pháp lượng 30 1.2.1 Phương pháp lượng Lagrange 30 1.2.2 Ứng dụng: