Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để giải các bài toán hình học không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Thực tế sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 cấp THPT với thời lượng tiết cho dành riêng cho véc tơ không gian dùng véc tơ không gian để giới thiệu quan hệ vuông góc mà khơng xét véc tơ khơng gian thành chủ đề riêng, thời lượng ít, việc tiếp cận kiến thức cịn hạn chế Bài tập hình học không gian sử dụng phương pháp véc tơ để giải xa lạ đa số học sinh Tuy nhiên kì thi như: thi học kì, thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố, thi olimpic, thi tốt nghiệp, thi đại học, cao đẳng,… ln có nhiều hình học khơng gian giải theo phương pháp túy khó khăn, sử dụng véc tơ để giải nhẹ nhàng Do cần cho học sinh tiếp cận với nhiều toán với cách giải khác nhau, đồng thời rèn luyện cho học sinh phân tích tốn theo nhiều hướng để tìm lời giải tối ưu Giáo viên cần trang bị cho em kiến thức phù hợp; tiếp cận với nhiều kiến thức để có vốn hiểu biết làm tiền đề việc học tốt phân mơn hình học tọa độ khơng gian, cơng cụ hữu ích để giải nhiều tốn hình học Xuất phát từ thực tế tơi mạnh dạn “Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng véc tơ để giải tốn hình học không gian” làm đề tài nghiên cứu áp dụng dạy số lớp trường THPT Ba Đình PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A CƠ SỞ LÍ LUẬN: Cơ sở lí thuyết: Véc tơ khơng gian: Định nghĩa véc tơ phép toán véc tơ không gian giống nh mặt phẳng Ngồi cần biết: - Quy tắc hình hộp để cộng véc tơ không gian - Khái niệm vàr định nghĩa đồng phẳng ba véc tơ, cụ thể: r r + Ba véc tơ a, b, c đồng phẳng có ba số m, n, p không đồng thời không r r r cho ma + nb + pc = r r r r r + Cho a, b khơng phương Khi a, b, c đồng phẳng có số m, n r r r cho c = ma + nb , số m, n r r r ur + Nếu a, b, c không đồng phẳng với véc tơ d viết dạng ur r r r d = ma + nb + pc , với số m, n, p Phương pháp véc tơ: Qui trình giải tốn Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở, đưa giả thiết kết luận tốn hình học cho sang ngơn ngữ “véc tơ” Nói chung việc chọn hệ véc tơ sở phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ sở phải ba véc tơ không đồng phẳng, biết độ dài véc tơ góc chúng + Hệ véc tơ sở nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu tốn thành ngơn ngữ véc tơ cách đơn giản Bước 2: Thực yêu cầu tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ sở Bước 3: Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết hình học tương ứng B THỰC TRẠNG Hình học khơng gian mảng kiến thức nói khó học sinh trung học phổ thơng Hơn thực tế có nhiều học sinh chưa thấy hết ứng dụng véc tơ tốn hình học khơng gian Do hình học không gian môn mà học sinh bắt đầu làm quen từ lớp 9, việc tiếp thu kiến thức cịn bị động, rời rạc, khơng có hệ thống, nên khả tư mơn cịn nhiều hạn chế Chưa liên hệ từ thực tiễn đến lí thuyết, từ lí thuyết đến tập, việc vận dụng xa lạ em học sinh, em làm tập đơn giản chưa có đường lối rõ ràng Để phát huy tìm tịi, tính sáng tạo, lực tư học sinh Ngay sau học học chương III hình học nâng cao lớp 11: “Véc tơ không gian Sự đồng phẳng véc tơ” giáo viên cần cho học sinh làm tập sử dụng kiến thức véc tơ khơng gian Từ học sinh cần thấy véc tơ phép toán véc tơ có vai trị định việc giải số tốn hình học khơng gian Kết hợp với trình bày khoa học sách giáo khoa thơng qua tập củng cố khéo léo giáo viên, học sinh hiểu phương pháp véc tơ gì? Cách giải tốn hình học khơng gian phương pháp cần nội dung kiến thức gì? Tại phải nắm vững mối liên hệ véc tơ không gian với khái niệm bản, đối tượng hình học khơng gian Chính lẽ để làm tốt toán phương pháp véc tơ học tập tốt môn không phạm vi tiết học, hay chương mà công việc thường xuyên liên tục gần xuyên suốt chương trình hình học lớp 11, 12 THPT Để giải dạng tốn ngồi việc nắm vững lí thuyết véc tơ, em cịn phải nhạy bén việc phát tốn giải phương pháp véc tơ, loại tốn có nhiều dạng Đối với học sinh lớp 11, 12 loại tập chia làm dạng: Chứng minh điểm thẳng hàng, điểm đồng phẳng, quan hệ song song, quan hệ vng góc; tính góc; tính khoảng cách C GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Để thực đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng véc tơ để giải tốn hình học khơng gian” tơi cho học sinh nắm vững kiến thức véc tơ, qui trình giải toán phương pháp véc tơ, đồng thời phân thành dạng toán với cách giải tương ứng rèn luyện kỹ thơng qua ví dụ cụ thể (là toán sách giáo khoa, sách tập, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố,…) Cụ thể: I-MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN: Bài tốn 1: Chứng minh điểm thẳng hàng Cách giải: Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai véc tơ uuu r uuur uuu r uuur AB, AC phương, nghĩa AB = k AC , chọn điểm O để chứng minh uuur uuu r uuu r OC = kOA + lOB với k + l = Ví dụ 1: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh đường thẳng AG qua trọng tâm A' tam giác BCD Phát biểu kết tương tự đường thẳng BG, CG, DG (Bài tập 22a) trang 55 - Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11) A Bài giải: uuu r r uuur r uuur r Đặt AB = a, AC = b, AD = c uuuu r r 1r uuu AB = a , 2 uuur uuur uuur r r N trung điểm CD ⇔ AN = AC + AD = b + c 2 Khi đó: M trung điểm AB ⇔ AM = ( G trung điểm MN ) ( ) r a uuur uuuu r uuur r uuur uuur uuu r r r ⇔ AG = AM + AN = AB + AC + AD = a + b + c (1) 4 ( ) ( ) ( r c M ) G B D A' trọng tâm tam giác BCD r A’ N uuur uuu r uuur uuur r r r b ⇔ AA ' = AB + AC + AD = a + b + c (2) 3 uuur uuur C Từ (1), (2) suy AG = AA ' ⇔ đường thẳng AG qua trọng tâm A' tam giác BCD ( ) ( ) Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' các cạnh m, góc đỉnh A 60 ( · · ' AB = A · ' AD = 600 ) Gọi P điểm đối xứng D' qua A, Q điểm đối xứng D BAD =A qua C' Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm M BB' Tính độ dài đoạn thẳng PQ P (Bài 5a) trang 114 – Sách tập hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: uuur r uuu r r uuur r r r r r r r m2 *Đặt AA ' = a, AB = b, AC = c với a.b = b.c = c.a = r r2 r2 uuu r uuuur r r a = b = c = m , ta có AP = D ' A = −a − c Gọi M trung điểm BB' uuur uuur uuu r uuu r 3r r r MP = MB + BA + AP = − a − b − c Mặt khác uuuu r uuuur uuuuu r uuuur A D uuuur uuuuu r uuuur MQ = MB ' + B ' C ' + C ' Q = MB ' + B ' C ' + DC ' D’ 3r r r = a+b+c uuur uuuu r Như MP = − MQ , tức ba điểm P, M, Q thẳng hàng B C A’ M B’ C’ Q Vậy đường thẳng PQ qua trung điểm cạnh BB’ Bài toán 2: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng Cách giải: Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng, ta chứng minh uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur ba véc tơ AB, AC , AD đồng phẳng tức AB = m AC + n AD , chứng minh uuu r uuur uuur r k AB + l AC + m AD = với k2+l2+m2>0; ta chọn điểm O chứng minh uuur uuu r uuu r uuur OD = kOA + lOB + mOC với k+l+m=1 Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ·BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA’, N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vng (Đề tuyển sinh đại học - Khối B - năm 2003) Bài giải: uuur r uuu r r uuur r rr rr r r a2 r r r B ⇒ a.b = a.c = 0, b.c = , a = x, b = c = a Đặt AA ' = a, AB = b, AD = c A uuuu r r uuur uuur uuuu r D AM = a , AN = AC + AC ' Khi 2 B r uuur uuur uuu r uuur M uuu 1r r r ’ = AB + AD + AA ' + AB + AD = a + b + c 2 uuuu r uuur uuu r r r D AB ' = AA ' + AB = a + b A’ uuur uuuu r uuur uuur ’ Nhận thấy AD = AM + AN − AA ' , chứng tỏ B', M, D, N thuộc mặt phẳng uuuu r uuur uuuu r r r uuuu r uuuu r uuur r r r *Ta có MN = AN − AM = b + c ⇒ MN = 3a DB ' = AB ' − AD = a + b − c ⇒ DB '2 = x + a ( ) ( ) C N C ’ Để tứ giác B'MDN hình vng DB'=MN ⇒ x = 2a ⇒ x = a Kiểm tra điều kiện suy AA ' = a Nhận xét: Để chứng minh B', M, D, N thuộc mặt phẳng ta chứng minh uuur uuuu r uuur uuur AD = AM + AN − AA ' (cách 1) Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh trung điểm cạnh BC, CD, DD' , , D'A', A'B'và B'B nằm mặt phẳng (Bài 37 trang 68 - Sách hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: Gọi uM, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B' B'B uur r uuu r r uuur r D’ C’ Đặt AA ' = a, AB = b, AD = c Ta có uuuu r uuu r uuur r uuu r uuur r r uuu AM = AB + AC = AB + AB + AD = b + c 2 uuur uuur uuur u u u r u u u r u u u r r r 1 AN = AC + AD = AB + AD + AD = b + c 2 uuu r uuu r uuur u u u r u u u r u u u r 1r r AP = AB + AC = AA ' + AD + AD = a + c 2 uuur uuur uuuur r 1r uuur uuur uuur AQ = AA ' + AD ' = AA ' + AA ' + AD = a + c 2 ( ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) ) ( ) ( Q A’ P r a A S r c ) B’ R N r b B C M uuu r uuur uuuu r r r 1r uuur uuur uuu AR = AA ' + AB ' = AA ' + AA ' + AB = a + b 2 uuu r uuu r uuuu r uuu r u u u r u u u r u u u r r 1 AS = AB ' + AB = AA ' + AB + AB = a + b uuuu r uuur uuu r uuur Dễ thấy: AM = AN − AP + AQ ⇔ M, N, P, Q đồng phẳng (1) uuuu r uuur uuu r uuur AM = AN + AR − AQ ⇔ M, N, Q, R đồng phẳng (2) uuu r uuur uuu r uur AP = AN + AR − AS ⇔ N, P, R, S đòng phẳng (3) ( ) ( ( ) ) ( ) Từ (1), (2), (3) suy điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng Bài toán 3: Quan hệ song song 1) Chứng minh hai đường thẳng song song trùng Cách giải: Để chứng minh haiuuđường thẳng AB CD song song trùng nhau, ta cần ur uuu r uuu r uuur chứng minh hai véc tơ AB CD phương Khi AB , CD phương có điểm thuộc đường thẳng AB mà khơng thuộc đường thẳng CD ngược lại AB CD song song 2) Chứng minh đường thẳng song song nằm mặt phẳng Cách giải: Để chứng minh đường thẳng AB song song nằm mặt phẳng (P), ta lấy uuu r r r r r (P) hai véc tơ a b không phương, sau chứng minh AB, a , b đồng phẳng uuu r r r Khi véc tơ AB, a , b đồng phẳng có điểm thuộc đường thẳng AB mà khơng thuộc (P) đường thẳng AB song song với (P) Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A'B'C' Gọi G, G' trọng tâm tam giác ABC A'B'C', I giao điểm hai đường thẳng AB' A'B Chứng minh đường thẳng GI CG' song song (Bài tập trang 91- Sách hình học nâng cao lớp11) r c Bài giải: A uuur r uuu r r uuur r C Đặt AA ' = a, AB = b, AC = c uuur r r uur r r AG = b + c , AI = a + b r r r uur uur uuur 3a + b − 2c Do GI = AI − AG = uuur uuur uuuu r uuuu r r r r Mặt khác AG = AA ' + AB ' + AC ' = a + b + c 3 r r r uuuu r uuuur uuur r r r r 3a + b − 2c CG ' = AG ' − AC = a + b + c − c = uuur uur Từ có CG = 2GI ( ) ( ) ( ) ( ) ( G r b r a ) B I A’ C’ G’ Lại có điểm G khơng thuộc đường thẳng CG' Vậy GI CG' hai đường thẳng song song B’ Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N trung điểm CD DD'; G G' trọng tâm tứ diện A'D'MN BCC'D' Chứng minh đường thẳng GG' mặt phẳng (ABB'A') song song với ( Bài tập trang 91- Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: uuu r r uuur r uuur r Đặt AB = a, AD = b, AA ' = c Vì G' trọng tâm tứ diện BCC'B' nên r a uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r AG ' = AB + AC + AC ' + AB ' ( ) r b A B ( Từ M C Và G trọng tâm tứ diện A'D'MN nên uuur uuur uuuur uuuu r uuur AG = AA ' + AD ' + AM + AN D N r c ) A’ uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur D’ GG ' = AG ' − AG = A ' B + D ' C + MC ' + ND ' r r r r r r r r r 1 B’ C’ =  a − c + a − c + a + c + c ÷ = 5a − c 4 2  uuu r uuur uuuur Điều chứng tỏ AB, AA ', GG ' đồng phẳng Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB'A') ( ) ( ) Nên đường thẳng GG' mặt phẳng (ABB'A') song song với Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' Gọi I, K trung điểm cạnh B'C' AB a) Chứng minh IK//mp(BDC') b) Xác định đường thẳng (d) cắt BA' AC', đồng thời song song với B'D' Bài giải: uuu r r uuur r uuur r Đặt BA = a, BB ' = b, BC = c uuur r r uuuu r r r uur uuu r uuur uuur 1r r 1r a) Ta có BD = a + c, BC ' = b + c, KI = KB + BB ' + B ' I = − a + b + c uur r uuur uuuu uur uuur uuuu r D’ Suy KI = − BD + BC ' ⇒ KI , BD, BC ' đồng phẳng Mà I không thuộc mp(BDC') Do KI//mp(BDC') b) Đường thẳng d cần tìm cắt BA', AC' M, N uuur uuuur M chia BA' theo tỉ số k ⇔ MB = k MA ' ; uuu r uuuur N chia AC' theo tỉ số l ⇔ NA = l NC ' ( k, l khác 1) uuuuur uuur r r Khi đó: B ' D ' = BD = a + c C’ A’ B’ r b D I r c C rr uuu r uuuur uuu r uuur uuuur uuur uuur uu Aur uuu uK u.ur r r r a ⇔ DN = l a +B l b + c NA = l NC ' ⇔ DA − DN = l DC ' − l DN ⇔ ( l − 1) DN = l AB' − DA 1− l l −1 l −1 uuur uuuur uuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuu r uuur uuuur r k r r MB = k MA ' ⇔ DB − DM = k DA ' − k DM ⇔ ( k − 1) DM = k DA ' − DB ⇔ DM = a+ b−c k −1 k −1 uuuu r uuur uuuur  l r  l k r  r − − + 1÷c Suy ra: MN = DN − DM =  ÷a +  ÷b +  1− l k −1  l −1 k −1  l −1  uuuu r uuur r r Mặt khác: MN//BC MN = mBD = ma + mc Từ ta có: 1  l  1 − l − k − = m m =   k  l  − = ⇔ l = −  l −1 k −1    k = −2  l − + = m  Vậy: Đường thẳng d cần tìm đường thẳng MN ( với M chia BA' theo tỉ số k=-2, N chia AC' theo tỉ số l = − ) Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Lấy điểm A1, B1, C1 thuộc cạnh AA1 B ' B1 C ' C1 = = Trên đoạn thẳng CA A'B1 lần AA BB ' CC ' IJ lượt lấy điểm I, J cho IJ//B'C1 Tính tỉ số B ' C1 bên AA', BB', CC' cho ' = ( Bài 72 trang 128 – Sách tập hình học nâng cao lớp11) Bài giải: uuur r uuu r r uuur r Đặt AA ' = a, AB = b, AC = c, ta có C B uuur r uuuuu r r r uuuuu 3r AA1 = a, B ' B1 = − a , C ' C1 = − a 4 B1 uuur uur uuur r r Ta có CA1 = CA + AA1 = a − c A uuuuu r uuuuu r uuuuu r 3r r A ' B1 = A ' B ' + B ' B1 = − a + b uuuuu r uuuur uuuuu r uuuuu r 3r r r Mặt khác B ' C1 = B 'A' + A ' C ' + C ' C1 = − a − b + c J uur uuur r r Vì I thuộc CA1 nên CI = tCA1 = ta − tc uuuu r uuuuu r r r B’ Vì J thuộc A'B1 nên A ' J = m A ' B1 = − ma + mb r r ur uur uuur uuuu r  3 r Lại có IJ = IC + CA ' + A ' J =  − t − m ÷a + mb + ( t − 1) c   −1  k= 3   1 − t − m = − k  ur uuuur   ⇔ t = Do IJ//B'C1 nên IJ = k B ' C ⇔ m = −k t − = k      m = IJ = Vậy: B ' C1 I C1 C’ A1 A’ Bài tốn 4: Tính góc hai đường thẳng r r ( ) r r Cách giải: Góc hai đường thẳng d d’ α , ta có cos α = cos u, v với u, v vtcp d, d’ rr Như để tính góc hai đường thẳng ta cần tính tích vơ hướng u.v độ dài r r r r véc tơ u , v , từ có cos α = cos u, v ( ) Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có tất canh a Các điểm M trung điểm BC Tính cosin góc đường thẳng AB với đường thẳng DM (Bài trang 59 - Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: A uuur r uuu r r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AC = c r2 r2 r2 rr rr rr với a = b = c = a , a.b = b.c = c.a = uuuu r r uuur uuu 1r 1r AB + AC = b + c 2 uuuu r uuur uuuu r r 1r 1r ⇒ MD = AD − AM = a − b − c 2 ( Khi AM = ) a2 r b r c B Suy ra: uuuu r2 1 a2 a2 a 3a MD = a + a + a − − + = 4 2 2 2 2 uuu r uuuu r a a a a a Mà AB MD = − − = − ⇒ MD = 2 4 2 a uuu r uuuu r − uuu r uuuu r AB MD =− = Do đó: cos AB, MD = AB MD a 3 a Vậy góc cần tìm α mà cos α = ( r a D M C ) Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD có tất canh m Các điểm M, N trung điểm AB CD Tính góc đường thẳng MN với đường thẳng BC (Bài 8b) trang 114 – Sách tập hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: A uuur r uuu r r uuur r rr rr r r Đặt AD = a, AB = b, AC = c , với a.b = b.c = c a = r2 r2 uuur r2 uuur uuu r r r m2 M a = b = c = m Ta có BC = AC − AB = −b + c Vì M, N lầ lượt trung điểm AB CD, uuuu r uuur uuur r r r nên MN = AD + BC = a + c − b 2 r r r rr rr rr 2 Vậy MN = a + c + b + 2a.c − 2a.b − 2b.c ( ( ) ( ) ) r a r b B r c D N C 2m m m + m2 + m2 + m2 − m2 − m2 ) = Suy MN = ( 4 uuuu r uuur r r r r r r r r r r2 r r r2 r r Lại có: MN BC = a + c − b −b + c = − a.b − b.c + b + a.c + c − b.c 2 2 1 m m m m2  m2 = − − + m2 + + m2 − ÷= 2 2 2  = ( )( uuuu r uuur uuuu r uuur MN BC = Suy ra: cos MN , BC = MN BC ( ) ( ) ) m2 uuuu r uuur 2 = ⇒ MN , BC = 450 m m ( ) Vậy góc MN BC 450 Bài tốn 5: Về quan hệ vng góc Cách giải: Để chứng minh hai đường thẳng d d’ vng góc với ta chứng minh rr r r u.v = (với u v véc tơ phương d d’) góc chúng 900 Ví dụ 1: Cho tứ diện DABC có cạnh Gọi H hình chiếu D mặt phẳng (ABC) I trung điểm DH Chứng minh tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi vng góc (Bài 28a, trang 117 –Sách tập hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: r r r D uuu r r uuur r uuur r Đặt DA = a, DB = b, DC = c với a = b = c = a rr rr r r a.b = b.c = c a = a2 Do DABC tứ diện đều, nên H trọng tâm tam giác ABC, uuuu r r r r uur suy DH = a + b + c ⇒ ID = − uu r uuu r uur r r IA = DA − DI = 5a − b − c uur uuur uur r r uur IB = DB − DI = −a + 5b − c , IC = uu r uur 6uur uur uur uu r Suy IA IB = 0, IB IC = 0, IC IA = ( ) ( ( ( r r r a+b+c r b ) ) ) r r r − a − b + 5c ( ) B I r a r c A H C Vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi vng góc Nhận xét: 1) Kết tốn tính chất đẹp tứ diện 2) Để giải tốn ngồi cách giải ta cịn tính góc cặp đường thẳng, nhiên cồng kềnh Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy SA=a Gọi M, N trung điểm SB SD; I giao điểm SC mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vng góc với AI Bài giải: uuu r r uuur r uuu r r Đặt: AB = a, AD = b, AS = c uuuu r S r uuu r uuu 1r 1r AB + AS = a + c 2 uuur uuur uuu r 1r 1r AN = AD + AS = b + c 2 ( Ta có AM = ) ( ) r c suy ra: N M uur uuuu r uuur m uuu r m uuu r n uuur n uuu r AI = m AM + n AN = AB + AS + AD + AS 2 2 r n uuur m + n uuu r m r n r m+n m uuu = AB + AD + AS = a + b + 2 2 2 uuu r uuu r uuur uuu r r r r Mà SC = AB + AD − AS = a + b − c uur uuu r Vậy AI SC = ⇒ AI ⊥ SC D r b C A r a B Nhận xét: Ưu điểm sử dụng véc tơ để giải khơng cần xác định giao điểm I hình vẽ Bài tốn 6: Về khoảng cách Cách giải: uuu r 1) Để tính khoảng cách hai điểm AB ta tính bình phương vơ hướng véc tơ AB , uuu r uuu r muốn ta biểu thị AB qua hệ véc tơ sở, tính AB 2) Khoảng cách hai đường thẳng d, d’ khoảng cách hai điểm A, B lầnuuu lượt r d, d’sao cho AB đồng thời vng góc với d d’; muốn tính AB ta biểu thị véc tơ AB qua hệ uuu rr  AB.u = r r véc tơ sở chọn nhờ sử dụng  uuur r (với u, v véc tơ phương d,  AB.v = d’) 3) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ A đến B ( với B hình uuu r chiếu vng góc A trên(P)), muốn tính AB ta biểu thị véc tơ AB qua hệ véc tơ sở uuu rr  AB.u = r r chọn nhờ sử dụng  uuur r ( với u, v véc tơ không phương (P))  AB.v = Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có tất canh m Các điểm M, N trung điểm AB CD.Tính độ dài đoạn thẳng MN A (Bài 8a) trang 114 – Sách tập hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: uuur r uuu r r uuur r rr rr r r Đặt AD = a, AB = b, AC = c , ta có a.b = b.c = c a = uuur uuur uuu r r r r r2 r2 a = b = c = m Ta có BC = AC − AB = −b + c m2 r b Vì M, N lầ lượt trung điểm AB CD, uuuu r uuur uuur r r r AD + BC = a + c − b 2 r r r2 rr rr rr 2 Suy ra: MN = a + c + b + 2a.c − 2a.b − 2b.c nên MN = ( ( ) ( ) ) r a M B r c D N C 10 2m m 2 2 2 m + m + m + m − m − m = ⇒ MN = ( ) 4 m Vậy MN = = Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ sở quan trọng giải tốn phương pháp véc tơ Nói chung việc chọn hệ véc tơ sở phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ sở phải ba véc tơ không đồng phẳng, biết độ dài véc tơ góc chúng + Hệ véc tơ sở nên hệ véc tơ mà chuyển u cầu tốn thành ngơn ngữ véc tơ cách đơn giản Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N trung điểm BD AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, DN lấy điểm Q cho PQ song song với CM Tính độ dài đoạn thẳng PQ thể tích khối AMNP (Câu - Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An - lớp 12 năm học 2009 - 2010) Bài giải: * Tính độ dài đoạn thẳng PQ: A Cách 1: r r r uuur r uuur r uuur r Đặt AB = a, AC = b, AD = c với a = b = c = rr rr rr a.b = b.c = c.a = uuuu r r r uuu r r Ta có: AM = a + c, AP = ka 2 uuur uuur uuur l r r AQ = l AN + (1 − l ) AD = b + (1 − l )c uuur uuur uuu r r lr r Suy ra: PQ = AQ − AP = −ka + b + (1 − l )c uuuu r uuuu r uuur r r r Lại có CM = AM − AC = a − b + c 2 Do PQ//CM, nên P r c r a N Q M B r b D C m   k =  −k =  uuur uuuu r  l  PQ = mCM ⇒  = − m ⇔ l = 2  m   1 − l = m = − uuur r r r uuur 3 Suy ra: PQ = − a + b − c ⇒ PQ = ⇒ PQ = 3 Cách 2: Gọi H tâm tam giác BCD ⇒ AH ⊥ mp( BCD ) uuu r r uuur r uuur r Đặt HA = a, HB = b, HD = c uuur uuur uuur r uuur r r ⇒ HB + HC + HD = ⇒ HC = −b − c 11 r r 3 , = 3 r P a = AB − HB = − = , 3 rr rr rr a.b = a.c = 0, b.c = − uuu r uuu r uuur uuu r r r Q AP = k AB = k HB − HA = − ka + kb Khi uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur AQ = AD + DQ = AD + l DN = AD + DA + DN B uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur = HD − HA + HA − HD + HC − HD r 1 r  r   =  l − 1÷a − lb +  − l ÷c 2    uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur 3r 3r Lại có: CM = CB + CD = HB + HD − HC = b + c 2 2 b = c = ( ) ( ( ( A N ) M ) ) ( ) D H C Mà: PQ//CM, nên:  1 k = 2 l + k −1 =  uuur uuuu r   PQ = mCM ⇒  − l − k = m ⇔ l =   3   1 − l = m  m = − uuur r r uuur Suy PQ = −b − c ⇒ PQ = ⇒ PQ = 3 Cách 3: Gọi H tâm tam giác BCD ⇒ AH ⊥ mp( BCD ) , I trung điểm BC uuur r uur r uuur r r rr rr rr r r Đặt AH = a, DI = b, BC = c với a = ,b = , c = 1, a.b = b.c = c.a = , ta có uuuu r r r u u u r r r r 1 1 BM = − b + c, AN = a + b + c , uuu r r r r uuur r r r uuuu r r r uuur r r r AB = a + b − c, AC = a + b + c , CM = − b − c, ND = a − b − c 3 2 uuu r uuu r uuur uuur l r 5l r l r uuur  l  r  k 5l  r  k l  r AP = k AB, NQ = l ND = a − b − c ⇒ PQ =  − k + ÷a +  − − ÷b +  + − ÷c 2 2 6  4 4 l  1 k = 2 − k + =  uuur uuuu r  k 5l 1  Do PQ//MC, suy PQ = kCM ⇒  − − = − m ⇔ l = − 6  1 k l   + − = − m  m = − uuur r r Suy ra: PQ = b + c ⇒ PQ = 3 12 * Tính thể tích khối chóp AMNP uuuu r 1r r 1r r uuu u u u u r u u u r 1 2 Suy AP = , AM = , AM AP =  ÷ =   16 uuuu r uuu r Do diện tích tam giác AMP S = AM AP − AM AP = 24 uuur uuu r uuuu r uuu r  r t r r r r Lại có H nằm mp(AMP) ta có NH = NA + r AM + t AP =  + ÷a − b + c 2  3 Theo ta có AM = a + c, AP = a ( ) ( ) Nếu H hình chiếu N mp(AMP), ta có: r t r r t r uuuu r uuur + − + + + − + =0 t = 9 r + 3t =  AM NH =  8 12  ⇒ ⇒ ⇔ r uuur  uuu r t r r + t =   AP NH =  + − +  r = =0  12 12 uuur r r r ⇒ NH = a − b + c ⇒ NH = 6 Vậy thể tích cần tìm là: V = S NH = 144 Nhận xét: 1) Qua ba cách giải trên, ta thấy việc chọn hệ véc tơ sở hợp lí cho phép ta biểu thị giả thiết kết luận toán nhẹ nhàng Hơn chọn hệ véc tơ sở gồm véc tơ không đồng phẳng chung gốc (cách 1, cách 2) khơng chung gốc (cách 3) 2) Với cách tính độ dài đoạn thẳng PQ phương pháp véc tơ trên, ta nhận thấy phương pháp véc tơ tránh cho phải kẻ thêm đường phụ phức tạp, điểm yếu học sinh làm tập hình học khơng gian 3) Ngoài cách giải phương pháp véc tơ trên, ta giải phương pháp tổng hợp nhờ kẻ thêm đường phụ Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB đoạn CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ MN (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014) Bài giải: uuu r r uuur r uuur r r r2 r2 B Đặt BA = a, BC = b, BD = c với a = b = c = a M r r r r r r a2 BM = x, a.b = b.c = c.a = đặt BA DN = x với ≤ x ≤ ⇒ DC r a r b Khi ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r r uuur BM = xa , DN = xDC ⇒ BN − BD = x BC − BD ( uuur uuur uuur r r ⇒ BN = xBC + ( − x ) BD = xb + ( − x ) c uuuu r uuur uuuu r r r r Suy ra: MN = BN − BM = − xa + xb + ( − x ) c ) r c C A N D 13 a2 a2 a2 − 2x ( − x) + x (1 − x ) 2 2 2 2 = a2  x + (1 − x ) + x + x (1 − x ) − x − x (1 − x )  = a ( x − x + 1) Do đó: MN = x 2a + x 2a + (1 − x )2 a − x  f '( x ) = ⇔x= ,  x ∈ [ 0;1] Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + đoạn [ 0;1] , ta có f’(x)=4x-2,  f ( x ) = f (0) = f (1) = 1, f ( x ) = f ( ) = Nên max x∈[ 0;1] x∈[ 0;1] a M, N trung điểm AB, CD MN đạt giá trị lớn a M ≡ B, N ≡ D M ≡ A, N ≡ C Vậy: MN đạt giá trị nhỏ Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; gọi M, N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC (Đề tuyển sinh Đại học khối B năm 2007) Bài giải: uuu r r uuur r uuu r r rr rr rr S E Đặt: OA = a, OD = b, OS = c ⇒ a.b = b.c = c.a = (O tâm đáy ABCD) uuuu r uuur uuuu r r uuur uuu r uuuu r uuu MN = ON − OM = − OA + OD − OA + AM r r r r 1 uuu  = − a − b −  a − DS ÷ 2   r uuur r r uuu 3r 1r = − a − b − OS − OD = − a − c 2r 2 2 uuur AC = −2a ( ) ( ( ) r c P M ) Gọi PQ đoạn vng góc chung MN AC (P MN, Q AC), ta có: B N uuur uuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur C PQ = PA + MA + AQ = k MN + SD + l AO r 1r r  r  r r r r = k  − a − c ÷+ − c − b − la = −  l + k ÷a − ( k + 1) c − b  2    r2 3   r2 uuur uuuu r l + k ÷a + ( k + 1) a = k = −1    PQ MN =     ⇒ ⇒  uuur uuur r 2  l + k  a = l =  PQ AC =  ÷    uuur r uuur a a ⇒ PQ = − b ⇒ PQ = ⇒ PQ = ( O r b r a A D ) Chú ý: Ngoài cách giải trên, ta cịn tính khoảng cách MN AC phương pháp trượt ( nửa khoảng cách từ B đến mp(SAC)) Ví dụ 5: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có tất cạnh a Gọi M, N trung 14 điểm AA' BB' Tính khoảng cách B'M CN Bài giải: uuu r r uuur r uuuu r r Đặt BA = a, BB ' = b, BC ' = c với r r r2 rr rr a = b = c = a , a.b = b.c = 0, C’ ur r a uuuu r r r uuuuur r r a.c = , CN = b − c, B ' M = a − b 2 A’ B’ Gọi PQ đoạn vng góc chung CN B'M (P ∈ CN , Q ∈ B ' M ) uuur uuur uuu r uuuu r uuuur Ta có: PQ = PC + CB + BQ ' + B ' Q M N uuur uuu r uuur uuuuur r k r l r = kCN + CB + BB ' + l B ' M = la + ( + − )b + ( − k − 1)c 2  uuu r uuu r k=−   k − l = − PQ CN =    ⇒ ⇔ r uuuuu r uuu 3k − 5l = −4  PQ.B ' M = l =  C A B uuur r r r 3a a ⇒ PQ = (a + 3b + c) ⇒ PQ = ⇒ PQ = 16 Chú ý: Ta cịn tính khoảng cách B'M CN cách áp dụng tính chất tứ diện vuông qui khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (CAN) Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi M trung điểm DD' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A'D B’ C’ Bài giải: uuur r uuur r uuur r Đặt AB = a, AA ' = b, AD = c ta có: r r2 r2 rr rr rr a = b = c = a , a.b = b.c = c.a = uuuur uur r uuuu r r 1r A ' D = −b + c, CM = −a + b D A’ Gọi EF đường vng góc chung ( E ∈ A ' D, F ∈ CM ) Ta có: B M C uuur uuur uuuur uuuu r uuuur r uuuu r EF = ED + DM + MF = k A ' D + b + lCM A D r r r l = −la + ( − k + )b + kc 2 l   uuur uuuur  EF A ' D =  2k − =  k = uuur r r r uuur a a ⇒ ⇔ ⇒ EF = a + 2b + 2c ⇒ EF = r ⇒ EF =  uuur uuuu 9 1 k + l = l = −  EF CM =   a Vậy khoảng cách cần tìm EF = ( ) 15 Chú ý: Ngồi cách giải ta cịn tính khoảng cách CM A'D cách áp dụng tính chất tứ diện vng tính độ dài đường vng góc chung Ví dụ 7: · · Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang Góc ABC = BAD = 900 , BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007) Bài giải: S uuu r r uuur r uur r Đặt AB = a, AD = b, AS = c rr rr rr r Ta có: a.b = b.c = c.a = c uur r r uuu r r r r uuu r r r SB = a − c, SC = a + b − c, SD = b − c Gọi K hình chiếu H mặt phẳng (SCD ⇒ d ( H ;( SCD )) = HK SH = Dễ dàng tính SB Khi : r b H r a D A B C uuur uuu r uuu r uuu r uuu r  2r k r 2 uur r HK = HS + SK = − SB + k SC + l SD =  k − ÷a +  + l ÷b +  − k − l ÷c 3  2  3   r  k  r2    r2 uuur uuu r k − ÷a +  + l ÷b −  − k − l ÷c = k =    HK ×SC =  3 2  3   ⇒ ⇒ Ta có:  uuur uuur r r l = −  HK ×SD =  k + l  b2 −  − k − l  c =  ÷  ÷    3  uuur r r r  r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HK = a + b + c  ÷ = 12 6   Ví dụ 8: · B = SAC · · Cho khối chóp S ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a, AS = 900 , BSC = 1200 Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMN vuông Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014) Bài giải: S SA · = ⇒ ASC = 600 SC uur r uur r uuu r r r2 r2 r2 r Đặt SA = a, SB = b, SC = c với a = 4a , b = 9a , c = 16a rr rr rr b a.b = 0, b.c = −6a , a.c = 4a uuur r uuu r 1r Khi đó: SM = b, SN = c M uuuu r uuur uur r 2r Suy AM = SM − SA = − a + b , B uuur uuu r uur r 1r AN = SN − SA = − a + c r c · = Trong tam giác vng SAC có: cos ASC r a N C A 16 uuuu r uuur 2 2 Từ đó: AM AN = 4a + − 4a + ( −6a ) = Vậy AM ⊥ AN , tức tam giác AMN vng A *uuGọi Huurlà điểm thuộc mp(SAB) uuur uuur uuu r r r r ur uur r r SH = k SA + lSB = ka + lb ⇒ CH = SH − SC = ka + lb − c Nếu H hình chiếu C mặt phẳng (SAB) thì: uur uuur 2 k =  SA.CH =  k 4a + l.0 − 4a =  ⇒ ⇔  uur uuur 2  SB.CH =  k + l.9a − ( −6a ) = l = − Suy uuur uuur r r r 2 CH = a − b − c ⇒ CH = 4a + 9a + 16a − .0 − 2.4a + −6a = 8a ⇒ CH = 2a 3 ( ) Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) CH = 2a Ví dụ 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài giải:uuu S r r uuu r r uuur r a) Đặt AS = a , AB = b, AD = c r2 r2 r2 với a = 3a , b = c = a rr rr rr a.b = b.c = c.a = r uuur uuu r uuur r r c Khi đó: AC = AB + AD = b + c , uur uuu r uur r r uuur r SB = AB − AS = − a + b, BC = c , uuu r uuur uur r 1r 1r SO = AO − AS = −a + b + c 2 G Huuthuộc mặt phẳng (SBC) ur uur uuur r r r D C r b SH = k SB + l BC = −ka + kb + lc r  uuur uuur uuu r 1r  1r = − k a + k − ( ) OH = SH − SO  ÷b +  l − ÷c 2   2 O A r a Nếu H hình chiếu O mặt phẳng (SBC) ta có: B  1   uuur uur − ( − k ) 3a +  k − ÷.a = k =  2 OH SB =    ⇔ ⇔  uuur uuur OH BC =  l −  a = l =   ÷  uuur r r uuur 3a a ⇒ OH = a + b ⇒ OH = ⇒ OH = 8 16 uuur uur uuu r 1r 1r b) Gọi G trọng tâm tam giác SAB ⇒ AG = AS + AB = a + b 3 uuur uur uuur uuu r uuu r uuur r r r K thuộc mặt phẳng (SAC) ⇒ AK = m AS + n AC = m AS + n AB + AD = ma + nb + nc ( ) ( ) 17 uuur uuur uuur  r 1r  1r Suy ra: GK = AK − AG =  m − ÷a +  n − ÷b + nc  3  3 Nếu K hình chiếu G mặt phẳng (SAC) ta có:  1  uuu r uuur m − ÷.3a = m=    AS GK =  3   ⇒ ⇔  uuur uuur n =  AC.GK =  n −  a + na =  ÷   3 uuur r r uuur 1 1 2a a Khi GK = − b + c ⇒ GK = a + a − .0 = ⇒ GK = 6 36 36 36 Vậy khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) GK = a Nhận xét: 1) Câu a) ngồi cách giải ta cịn giải theo phương pháp trượt (bằng nửa khoảng cách từ A đến mp(SBC)) sử dụng phương pháp thể tích 2) Câu b) ngồi cách giải ta cịn giải theo phương pháp trượt (bằng phần ba khoảng cách từ B đến mp(SAC), nhiên phần tính tốn phức tạp II.BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc tạo SC mặt phẳng (SAB) 30 Gọi E trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng DE, SC theo a Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng · (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Bài 3: · Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC , SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài 4: Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA=OB=OC=1 Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD có I giao điểm hai đường chéo S · · · điểm nằm mặt phẳng (P) cho ·ASB = CSD BSC Chứng minh đường = DSA thẳng SI vng góc với mặt phẳng (P) (Đề thi Olimpic Bỉm Sơn năm 2011) Bài 6: Cho góc tam diện vuông Oxyz, Oz lấy điểm A cố định khác O, biết OA=a Gọi P mặt phẳng thay đổi chứa điểm A cắt Ox, Oy B, C cho 18 1 + = OB OC a 1) Chứng minh mặt phẳng (P) chứa đường thẳng cố đinh 2) Tìm giá trị nhỏ thể tích tứ diện O.ABC (Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An năm 2008 - 2009) D KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết nghiên cứu Để kiểm tra hiệu đề tài, tơi tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương học sinh lớp 11B lớp 11K Trong lớp 11B chưa hướng dẫn sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn hình học khơng gian Với hình thức kiểm tra làm tự luận thời gian 45 phút với đề sau: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Câu 1: (4 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các cạnh m, góc đỉnh A 60 ( · · ' AB = A · ' AD = 600 ) Gọi P điểm đối xứng D’ qua A, Q điểm đối xứng D BAD =A qua C’ Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm M BB’ Tính độ dài đoạn thẳng PQ Câu 2: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, với AD=CD =a, AB=3a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 45 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC SB Câu 3: (3 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Lấy điểm A1, B1, C1 thuộc cạnh bên AA’, BB’, CC’ cho AA1 ' AA = BB1 CC1 = = Trên đoạn thẳng CA1 A’B1 BB ' CC ' lấy điểm I, J cho IJ//B’C1 Tính tỉ số Kết thu sau: Điểm < % Lớp Sỹ số Số lượng IJ B ' C1 Điểm →