[r]
(1)đề thi học sinh giỏi cấp huyện Lớp: (Năm học 2008 -2009)
M«n: To¸n
Thời gian: 150 phút ( khơng kể chép đề ) Câu 1:(2 điểm)
cho biÓu thøc: A = √x −1x −−7¿√6
¿
a) Rót gän A
b) BiÕt x = - 3 , Tính giá trị A Câu2: ( điểm)
a) Giải phơng trình:
x2 ( x+ 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 Víi x,y N
Câu3: (2 điểm)
Cho ax3 = by3 = cz3 vµ
x+
2
y+
2
z=2
Chøng minh: √a x2
+¿b y2 +¿c z2=√3a+√3b+√3c
C©u 4: ( ®iĨm)
Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB Các điểm C, D di chuyển nửa đờng trịn cho góc COD = 900 ( cung AC < cung AD ) Gọi E giao điểm
đờng thẳng AC, BD
a) Tìm quỹ tích điểm E
b) Gi I, K giao điểm thứ hai đờng tròn có đờng kính CD với AE, BE Chứng minh IK // AB
c) Gọi M trung điểm IK, CMR: M trung điểm OE Câu 5: ( ®iĨm )
Chøng minh r»ng:
√1+ √2+
1 √3+⋯+
1 √100>10
đáp án Câu 1: (2đ)
a) Rót gän
A= x −
√x − − √6 §K {
x ≥1
x ≠7
(2)A= x −1−6
√x − − √6 =
√x −
¿ −
√x − +¿√6
(¿√6¿)
√x − − √6¿
¿
)
= √x − +¿√6 V× √x − − √6≠0 (0,5®) b) x = - √3
cã x - = - √3 - = - √3 = 3- 2.2 √3 +22
(0,5®) = ( √3 -2)2
⇒ A =
2
¿ − ¿
(¿√3¿¿)+√6=2− √¿
√3 + √6 =2 - √3 + √6
(0,5đ)
Câu 2: giải phơng trình
X2( x + 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 (x,y N) (1)
(1) ⇔ ( x3 - y3) + ( 2x2y - 2y2x) = 1991
( x-y) (x2 +3xy +y2) =1991 (2) (0,5®)
Tõ (2) x - y nguyên dơng (do x,y N x - y nguyên dơng
Nếu x2 +3xy +y2 = ( x - y)2 + 5xy ( x - y)2 x - y (0,5®)
Ta có ớc nguyên dơng 1991 1,11,181, 1991 ⇒ (2) ⇔ (3) {x2 +¿3 xy +¿y2=1991
x − y=1
Hc (4) {x2 +¿3 xy +¿y2=181
x − y=1 (0,5®)
HƯ PT (3) V« nghiƯm
HƯ PT (4) cã nghiƯm x = 12, y = (t.m) (0,5®) VËy nghiƯm cđa hƯ PT lµ x = 12, y =
C©u3: Ta cã √3a x2
+¿b y2 +¿c z2=√3 a x
x +¿
by3
y +¿
cz3
(3)=
¿1 x ¿
+¿1 y ¿ a x3(¿+¿1
z¿ ¿)
3
√a x3
x +¿
bx3
y +¿
cz3
z =
❑√
¿
= √a x3=x√3a⇒√3 a=√a x
+¿by2 +¿cz2
x (0,5®)
T¬ng Tù:
√b=√a x
2
+¿by2 +¿cz2
y ;
3
√c=√a x
2
+¿by2 +¿cz2
z (0,5®)
3
√a+√3 b+√3c=√3a x2 +¿by2 +¿cz2.(1
x+
1
y+
1
z)
=
√a x2+by2+cz2 (0,5đ) Vì (
x+
1
y+
1
z¿=
2 2=1
⇒√3a x2 +by2 +cz23a+3b+3c=0 ( ĐPCM) (0,5đ)
Câu 4:(3 điểm)
tìm quỹ tích điểm E , BCE vuông C
góc CBE =
2 gãc COD = 450
⇒ gãc CEB = 450 ⇒ E thuéc cung chøa gãc 450
giới hạn cung PQ từ P Q (AP AB ; BQ AB)
b) gãc OKD = gãc OCD = 450 = gãc AED ( cïng ch¾n cung OD)
⇒ OK // AE ⇒ gãc K1 = I1 (1)
l¹i cã: gãc K1 = gãc C1 ( tg OKIC néi tiÕp ) (2)
gãc c1 = gãc A ( Δ COA c©n ) (3)
Tõ : (1),(2),(3) ⇒ IK//AB
c) Theo chøng minh trªn : OK // AE
(4)trung điểm IK trung điểm OE ( ĐPCM) Câu 5: Ta có
1 √1>
1 √100
√2> √100
⋮
1 √100=
1
√100 (0,5®)
⇒
√1+ √2+⋯+
1 √100>
100
100=10 (ĐPCM)
(0,5đ)
thi hc sinh gii cp tnh
Môn : Toán Thời gian: 150 phút
Câu 1: (2điểm)
phân tích phân thức thành nhân tử a) x3 - x2 -
(5)C©u 2: ( 2®iĨm)
Cho biĨu thøc: P = ( a+2
a+1−
a −2
a −1 )
a+1
a
a) Rót gän P
b) Tìm a để P nguyên Câu 3: (2 điểm)
a) Cho ®a thøc : A(x) = a2x3 3ax2 - 6x -2a ( a Q)
Xác định a cho A(x) ⋮ (x+1) b) tìm x,y cho
2x2 + y2 + 2xy - 6x - 2y + = 0
Câu 4: ( 3điểm)
Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD , đờng thằng qua đỉnh A hình bình hành cắt BD, BC, DC theo thứ tự E,K,G Chứng minh
a) AE2 = EK EG
b)
AE= AK+
1 AG
c) Khi đờng thẳng thay đổi vị trí nhng qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi
C©u 5: Rót gän biĨu thøc A =
2 − 1
22 ×
32 − 1
32 ×
42 − 1
42 ×⋯×
n2 − 1
n2
đáp án + thang im
Câu 1: (2đ)
a) x3 - x2 - = x3- + - x2 = ( x3 - 23) - (x2 - 22)
= ( x - 2) ( x2 +2x + 22) - ( x - 2) ( x + 2)
= ( x - 2) ( x2 +x + 2)
b) A = x14 - ( x+1)x13 +( x+1)x12 - ( x+1)x11 + +( x+1)x2 - ( x+1)x +( x+1)x
= x14 - x14 - x13 + x13 + x12 - x12 - x11 + - x2 - x + x + = 1
C©u 2: (2®)
Làm phần cho điểm a) Rút gọn : P = ( a+2
a+1−
a −2
a −1 )
a+1
a §K: a ± 1; a
P = ( a+2)(a-1) -( a−2)(a+1)
( a+1)(a-1) ×
a+1
a
= 2a
a−1×
a=
2
(6)b) P Nguyªn ⇔
a1 nguyên a - Ư(2)
⇔ a-1 {±1;±2 )
+ NÕu a - 1= -1 ⇒ a = ( lo¹i) + NÕu a - 1= ⇒ a = (t/m) + NÕu a - 1= -2 ⇒ a = -1 ( lo¹i) + NÕu a - 1= ⇒ a = ( t/m) Câu 3: (2đ)
a) Chia a thc A(x) cho (x+1) đợc:
A(x) = (x+1) [ a2x2 + (3a - a2)x -( + 3a - a2)] + (- a2 + a + 6)
§Ĩ A(x) ⋮ (x-1) ⇒ sè d - a2 + a + = ⇔ a =-2 ; a = 3
b) x2 + 2xy + y2 - 2( x+ y) +1 + x2 - 4x + = 0
⇔ [( x+ y)2 - 2( x+ y) +1] + (x - 2)2
⇔ ( x + y- 1)2 + ( x - 2)2 = 0
⇔ {x+y −1=0
x −2=0 V×
x + y- 1¿2 ¿
0
¿
∀x , y ¿ x −2¿2
¿
0
¿ ¿ ¿ ¿
⇔ { x=2
y=1 Câu 4: (3 điểm)
a) Chứng minh: AE2 = EK EG
Ta cã CD // AB (gt ABCD hình bình hành)
AEB đồng dạng với Δ GED ⇒ AE
EG= EB ED(1)
(0.5®)
Tơng tự từ AD // BC ⇒ Δ DAE đồng dạng với Δ BEK ( BK //AD) A
B
C G
D
(7)⇒ AE
EK= ED BK(2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ AE
EG= EK
AE ⇒ AE2 = EK EG (§PCM)
(0.5®)
b) Ta có Δ AED đồng dạng với Δ KEB ⇒ AE
KE= ED EB
hay AE
AE+KE=
ED
ED+EB hay
AE AK =
ED
BD (2)
Tơng tự : Δ AEB đồng dạng với Δ GED ⇒ AE
GE= EB
ED hay AE
AE+EG=
EB
AE+ED Hay
AE EG=
EB
BD (3)
(0.5®)
Tõ (2),(3) ⇒ AE
AK = AE AG = ED BD+ EB BD =
ED+EB
BD = BD BD=1
Hay AE(
AK +
AG ) = ⇒ AK +
1 AG =
1
AE (ĐPCM)
(0.5đ) c) Ta có DG
AB= ED EB vµ
BK AD= EB ED ⇒ DG AB × BK AD=¿
ED EB ×
EB
ED=1 (0.5®)
⇒ DG BK = AB AD = const ( AB,AD Không i) (PCM) (0.5)
Câu5: (1điểm) Ta có A =
22 ×
32 ×
42 ⋯×
(n −1)(n+1)
n2 (0.5®)
= 4⋯(n −1)
2 4⋯n ×
3 5⋯n(n+1)
2 4⋯n
=
n× n+1
2 =
n+1
(8)đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Tốn
Thời gian: 150 phút ( khơng kể chép đề ) Câu 1: (2 điểm)
cho biÓu thøc
B = y - 5x √y + 6x2
a) Rút gọn tính giá trị B cho x = -
3 ; y = 18
4+√7
(9)x - √y +1 = vµ B = Câu 2:(2 điểm)
Giải phơng trình
(6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35
Câu3:(2điểm) Chứng minh
a
b+c + √
b
a+c + √
c
a+b > ( Víi a,b,c > 0)
Câu 4: Trên đờng kính AB đờng trịn tâm 0, lấy hai điểm T S đối sứng qua 0, lấy điểm M đờng tròn cho MA < MB , đờng thẳng MT,MO,MS cắt đờng tròn lần lợt C,E,D đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Qua D kẻ đờng thẳng // với AB cắt ME MC L,N
a) Chøng minh LN = LD
b) Hạ OH CD chứng minh HNDE tứ giác nội tiếp c) Chứng minh EF tiếp tuyến đờng tròn tâm O Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033
ỏp ỏn
Câu 1: (2đ) (ĐK: y 0) a) B = y - 5x √y + 6x2 =
√y ( √y - 2x) - 3x √y −2x
= ( √y - 2x) ( √y - 3x ) (0.5)
Ta cã : y = 18
4+√7 =
18(4−√7)
16−7 =
18(4−√7)
9
= - √7 = ( √7 -1)2
⇒ √y = √7 -
VËy B = [( √7 - 1) +
3 ] [ √7 -1 + 3 ] =
22+4√7
3
(0.5)
b) Theo bµi ta cã {x − √y +1=0
√y −2x=0 (1) Hc {
x − √y +1=0
√y −3x=0 (2) (0.5)
Gi¶i hƯ (1) cã {x=1
y=4 (t/m) Gi¶i hƯ (1) cã {x=1/2
(10)Vậy cặp số thoả mãn đề là: x =1; y = x =
2 ; y =
(0.5)
Câu 2: (2đ) Giải PT
(6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35 (1)
⇔ (36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35
[12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2) (0.5)
Đặt: 3x2 + 5x + = t (3)
(2) ⇔ víi (12t + 1) t = 35
⇔ 12t2 + t - 35 =
PT nµy cã t1 =
3 ; t2 = -
4 (0.5)
Thế t = 35 vào (3) ta đợc: 9x2 + 15x + =
PT nµy cã nghiƯm: x1 = −15+√189
18 =
−5+√21
6 ;
x2 = −15−√189
18 =
−5−√21
6 (0.5)
ThÕ t = -
4 vµo PT (3) cã 12x2 + 20x +15 =
( PT vô nghịêm = 102 - 12 15 = - 80 <0)
Vậy PT cho có nghiệm x = −5+√21
6 ; x =
−5−√21
6 (0.5)
Câu3:(2đ) a,b,c > nên theo bất đẳng thức côsi ta có √b+c
a ×1
b+c
a +1=
a+b+c
a
⇔ √ a
b+c
2a
b+c+a (1)
(0.25®)
DÊu "=" xÈy ⇔ b+ac=1 hay a = b+ c T¬ng tù cã: √ b
a+c
2b
b+c+a (2)
√ c a+b
2c
b+c+a (3)
(0.25®)
(11)√ a
b+c + √
b
a+c + √
c
b+a ( a + b + c>0 ) (0.25®)
dÊu "=" xÈy ⇔ {
b+c=a
a+b=c
a+c=b
⇔ a + b + c = ( vơ lý, a + b + c > 0) khơng xẩy dấu"="
VËy √ a
b+c + √
b
a+c +
c
b+a > ( ĐPCM) (0.25đ)
Câu4: (3điểm)
Chứng minh LN = LD Ta cã: ND // TS
⇒ NL // TO LD//OS theo định lý talét ta có TO
NL= OS
LD ( v× cïng = MO ML )
(0.5)
mµ TO = OS ⇒ NL = LD (§PCM)
(0.5)
b) ta cã OH CD (gt) ⇒ HC = HD (1) LN = LD (2)
Từ (1) (2) ⇒ LH đờng trung bình Δ CDN ⇒ LH // CN
hay LH // MC (0.5)
⇒ CME = HLE (đồngvị)
(12)⇒ HLE = HDE tứ giác HLDE nôi tiếp (0.5)
c) HLDE nôi tiếp ⇒ HEL = HDL (cùng chắn cung LH ) (0.5) mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900
⇒ EF tiếp tuyến đờng trịn (O) (0.5)
C©u5: (1®)
P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033
= x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004
= ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004 (0.5®)
( v× ( x -3y + 2)2 ∀ x,y ; vµ ( x -5)2 0 ∀ x
dÊu "=" xÈy ⇔ {x −x −3y5+2=0
=0 ⇔ {
x=5
y=7
3
VËy P = 2004 t¹i {
x=5
y=7
3
đề thi học sinh gii cp tnh
Môn : Toán
Thời gian: 150 phút Câu1: (2điểm)
Tính cách hỵp lý nhÊt a) p =
20 + 30 +
1 42 +
1 56 +
1 72 +
1 90 +
1 110 +
1 132 +
1 156
b) Q = 18 123+9 4567 2+3 5310
1+4+7+10++52+55+58490 10 Câu2: (2 điểm)
a) cho ph©n sè 537
463 tìm số tự nhiên cho lấy tử số trừ số
và lấy mẫu số cộng với số đợc phân số
9
b) t×m x biÕt :
360 : [41 - (2x-5)] =22
Câu 3: (2đ)
(13)b) chøng minh 88 +220 ⋮ 17
Câu4: Trên đờng thẳng xy ta lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ x,y ta vẽ tia Om v On
a) kể tên góc hình
b) giả sử góc xOm = 500 , yOn = 700 h·y chøng tá r»ng tia Om nằm hai tia
Ox On Tia On nằm hai tia Oy Om c) Tính số đo góc mOn
Câu 5: Cho M = 2!
3!+
2!
4!+
2!
5!+⋯+
2!
n ! ( Víi n > 3)
Chøng tá r»ng M <
ỏp ỏn
Câu1: (2 điểm) P =
4 5+¿ 5+¿
1
6 7+¿ ⋯+ 11 12+
1 12 13
=
4− 5+
1 5−
1 6+
1 6−
1 7+⋯+
1 12 −
1 13
b) Tư sè cđa Q = 18.123 + 18.4657 +18.5310 = 18(123 + 4657 + 5310) = 18.10 000 = 180 000 MÉu sè Q = + + + 10 + 52 + 55 + 58- 49.10 = (1+58)20
2 = 590 - 490 = 100 (v× tõ dÉy 1,4,7 ,58 cã 20 sè )
VËy Q = 180 000
100 =1800
C©u 2: (2 điểm)
a) gọi số tự nhiên phải tìm a theo ta có 537−a
463+a =
1
⇒ 9( 537 - a ) = (463 + a) ⇒ 10a = 4370
a = 437 b) t×m x
360 : [41 - ( 2x -5)] = 22.5
41 - (2x -5) = 360 : 20 41 - (2x -5) = 18
2x -5 = 41 - 18
2x -5 = 23
(14)x = 14 C©u 3: (2 ®iĨm)
a) Ta cã: 3a + 3b ⋮ 17 ⇒ 10(3a + 2b) ⋮ 17 ⇒ 10a + 20b ⋮ 17 (1) mµ 17b ⋮ 17 (2) ⇒ (30a + 20b) -17b ⋮ 17 hay (30a + 20b) ⋮ 17
3(10a + b)⋮ 17
17b⋮17 }⇒10a+b⋮17 ( §PCM)
b) chøng minh: 88 + 220 ⋮ 17
ta cã 88 + 220 = 23¿8
¿ +
20 = 224 + 220
= 220 (24 + 1)
= 220 17 17
câu 4: ( điểm)
a) có góc hình vẽ
gãc xOm, gãc xOn, gãc xOy, gãc mOn, gãc mOy, gãc nOy b) ta cã xOn + nOy = 1800 mà nOy =700
nên xOn = 1100
Trên nửa mặt phẳng bờ cha tia Ox có hai tia Om vµ On
Mµ xOm < xOn (500 < 1100 ) nên tia Om nằm hai tia Ox vµ On
Ta cã yOm + mox =1800 mà mOx =500
Nên yOm = 1300
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có hai tia On, Om
Mà yOn < yOn (700<1300) nên tia On n»m gi÷a hai tia Oy, Om
c) tia On nằm hai tia Oy, Om.Nên ta có yOn + nOm = yOm hay 700 + nOm = 1300
nOm = 600
Câu 5:(1đ)
Ta cã M = 2! (
3!+
1 4!+
1 5!+⋯+
1
n !) (n>3)
M < (
3 2+ 3+
1 4+⋯+
1
(15)M < (1
2− 3+
1 3−
1 4+⋯+
1
n−1−
n)
M < (1
2−
n)=1−
2
n
M < (do n > 3) <§PCM>
Họ tên : Lê xuân hiền đề thi học sinh gii cp tnh
Đơn vị : Trờng THCS NghÜa Trung - ViƯt yªn
Líp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán
(16)Tính giá trị biểu thức a) (2
6+3
4¿:(−4 6+3
1 7)+7
1
b) 11
13+211 65
29 52
Câu 2: (2điểm)
a) Cho x,y Z Chøng minh r»ng (6x + 11y) ⋮31
Khi vµ chØ (x + 7y) ⋮31
b) Chøng minh r»ng ( 89 - 224) 7
Câu 3: (2đ)
t×m x,y,z biÕt x
y+z+1=
y x+z+2=
z
x+y 3=x+y+z Câu 4: (3điểm)
Cho ABC có góc nhọn, kẻ đờng cao AH miền ngồi Δ ABC, ta vẽ
Δ vng cân ABE ACF đề nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM FN vng góc với đờng thẳng AH ( M,N thuộc AH)
a) chøng minh EM + HC = NH b) chøng minh r»ng EN // FM Câu5: (1đ)
cho P = 12
1 7+ 12
7 10+ 12
7 10 13+⋯+ 12
54 57 60
Chøng minh r»ng P <
2
Đáp án
Câu 1(2®). a) Ta cã 21
6+3 4=5+
1 6+
1 4=5+
5 12=
65 12
−41 6+3
1 7=−
25 +
22 =−
43 42 65
12:− 43 42=
65 12×
42
−43=− 455 86 −445 86 + 15 = −445 86 + 645 86 = 190 86 = 95 43
b) 11 13
+211 65
29 52 =
211
(13+65)
29.2 26 =
211 78
(17)= 11
26
210 26 =3 2=6
(0.5) Câu 2: (2đ)
a) ta có: (6x + 11y)⋮31
31y⋮31 }⇒ (6x + 42y) ⋮31
⇒6(x+7y)⋮31
⇒(x+7y)⋮31 < v× (6,31) =1> (0.5)
cã (x+7y)⋮31 ⇒6(x+7y)⋮31 ⇒ (6x + 11y) +31y ⋮ 31
⇒ (6x + 11y) ⋮ 31 (do 31y ⋮ 31) VËy (6x + 11y) ⋮ 31 ⇔ (x+7y)⋮31
(0.5)
b) ) ta cã 89 - 224 =(23)9 - 224 = 227 - 224 (0.5)
= 224(23 -1) = 224 7 7 (ĐPCM) (0.5)
Câu3: ( 2điểm) Từ đầu ta có
x y+z+1=
y x+z+2=
z x+y −3=
x+y+z
2(x+y+z)=x+y+z (1)
+) NÕu (x + + y + z) = ⇒ x = y = z = [do(1)] (0.5)
+) NÕu (x + + y + z) ⇒ Tõ(1) x
y+z+1=
y x+z+2=
z x+y −3=
1
2=x+y+z
{x+y=1
2− z
y+z=1
2− x
x+z=1
2− y
⇒
x
1 2− x+1
=1
2 ⇒ 3x =
2 ⇒ x=
1
(0.5)
⇒
y
1
2− y+2
=1
2 ⇒ y=
(18)z
1
2− z −3
=1
2 ⇒ z = -
6
VËy +) NÕu (x + y + z) = ⇒ x = y = z = +) NÕu (x + y + z) ⇒ x =
2 ,y =
6 , z = -5
(0.5) Câu4: (3điểm)
a) ta có F1 = A1 ( góc có cạnh tơng ứng vuông gãc) (0.25)
⇒ Δ AFN = Δ CAH ( F1 = A1 ; AF = AC (gt) vµ N = H = 900 )
⇒ AN = HC (1)
T¬ng tù: Δ BAH = Δ EAM ⇒ AH = EM (2) (0.5)
Tõ (1),(2) ⇒ AN + AH = HC + EM
Hay NH = HC + EM (§PCM) (0.5)
b) Ta cã EM = AH , AH = NF ( Δ ANC = Δ ANF) ⇒ EM = NF ⇒ Δ EMN = Δ FMN (c.g.c)
(0.5)
⇒ M1 = N1 mà M1 , N1 vị trí so le EN // FM (ĐPCM)
(0.5) Câu5: (1®iĨm) Ta cã: P = 2(
1 7+
4 10+⋯+ 54 57 60)
= 2(
1 4− 7+
1 7−
1
7 10+⋯+ 54 57−
1 57 60)
(0.5) P = 2(
1 4− 57 60)=2
854 3420=
427 855<
427 854=
1
VËy P <
2 (§PCM)
(19)